Lista de Exercícios Integração Numérica

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1 List de Exercícios Integrção Numéric ) Nos exercícios ixo, proxime integrl utilizndo () Regr do Trpézio e () Regr de Simpson. (Arredonde respost pr três lgrismos significtivos.) ) x dx n = 8 Regr do Trpézio: x = = = n x =, x =, x =, x =, x =, x5 =, x =, x7 =, x8 = f ( x) dx f ( x ) + f ( x) + + f ( xn ) + f ( xn n x dx f x + f x + f x + + f x8 x dx, +,98 +,9 +,85 +,7 +,5 +, +,98 +, x dx,77 Regr de Simpson: f ( x) dx f ( x ) + f ( x) + f ( x ) + f ( x ) + + f ( xn ) + f ( xn n x dx f x + f x + f x + f x + + f x + f x 7 8 x dx, +,99 +,9 +,78 +,7 +, +, +,9 +, x dx,78 Págin de 7

2 ) x + x dx n = Regr do Trpézio: x = = = n 5 x =, x =, x =, x =, x =, x5 =, x = f ( x) dx f ( x ) + f ( x) + + f ( xn ) + f ( xn n dx,5 +, +, +, +, +,5 +, x + x x + x dx,879 Regr de Simpson: f ( x) dx f ( x ) + f ( x) + f ( x ) + f ( x ) + + f ( xn ) + f ( xn n dx f x + f x + f x + f x + + f x + f x x + x x + x 5 dx,5 +, +, +, +, +, +, x + x dx,888 Págin de 7

3 ) Aplique fórmul do erro pr determinr n tl que o erro n proximção d integrl definid sej inferior,, utilizndo () Regr do Trpézio e () Regr de Simpson em: Regr do Trpézio:. Determinr f ( x). e x dx f ( x) = e x f x = e x f x = e x. Achr o máximo de f ( x) em [, ]. Como x =. x e é sempre crescente, o máximo de f ( x) se drá em Portnto, o máx f ( x) é igul e.. Estelecer desiguldde ( ) E máx f ( x) n. 8 8e E e E e E n n n. Pr um erro inferior ε, resolver em relção n desiguldde ( ) máx f ( x) < n ε 8e,,n 8e n.79,95 n.8 n < > > = Págin de 7

4 Regr de Simpson:. Determinr f () ( x ). f ( x) = e x f x = e x f x = e x f x = e 8 x () f ( x) = e x. Achr o máximo de f () ( x ) em [, ]. Como x =. Portnto, o x e é sempre crescente, o máximo de máx f () ( x ) é igul e. f () ( x ) se drá em. Estelecer desiguldde ( ) 5 () E máx f ( x) 8n. 5 e 8e E e E e E 8n 8n 5n. Pr um erro inferior ε, resolver em relção n desiguldde ( ) 5 () máx f ( x) < 8n ε 8e 5,,5n 8e n 58, n n < > > = OBS: Lemrr que n Regr de Simpson, n deve ser pr. Págin de 7

5 ) Aplique Regr de Simpson, com n =, pr determinr o volume do sólido gerdo pel revolução, em torno do eixo x, d região delimitd pelos gráficos de y x x y x = +, =, e = Qundo x = y = V = π f x dx ( ) V = π x x + dx ( ) V = π x x + dx Regr do Trpézio: x = = = n x =, x =, x =, x =, x = f ( x) dx f ( x ) + f ( x) + + f ( xn ) + f ( xn n ( + ) ( ) + + ( ) + ( ) + ( ) x x dx f x f x f x f x f x π π π π π ( + ) [, + 5,88 +,5 + 5,88 +,] x x dx x x dx + 5,7 Págin 5 de 7

6 ) Um corpo ssimil um comprimido pr resfrido com efeito em hors, um tx cujo modelo é dc = 8 ln t t +, t onde dc é dd em grms por hor e t é o tempo (em hors). Determine quntidde totl de remédio sorvid pelo corpo durnte s hors. Supondo que desejássemos determinr o tmnho d mostr de tl form que o erro fosse inferior,. Utilizndo regr do Trpézio, determinremos o tmnho de n.. Determinr. f ( t) = 8 ln t t + ( t ) f ( t) t t + d ( t t + ) ( t ) ( t ) ( t t + ) ( t t + ) ( t t + ) ( t ) ( t ) ( t t + ) ( t t + 8) ( t 8t + ) ( t t + ) t t + 8 t + 8t + + = ( t t + ) t t ( t t + ) ( t t ) ( t t + ). Achr o máximo de f ( t) em [,]. O máximo de se drá em t =. d Págin de 7

7 Verifique existênci de extremos reltivos n expressão nterior pelo teste d derivd primeir, ou sej, f ( t) =. Portnto, o máx f () é igul.. Estelecer desiguldde ( ) E máx f ( x) n. E ( ) E n n. Pr um erro inferior ε, resolver em relção n desiguldde ( ) máx f ( x) < n ε,,n n., n 9,5 n < > > = Bst dividirmos o intervlo ddo em suintervlos. Com o uso de um plnilh eletrônic, dividiremos em (múltiplo de ) suintervlos: C = 8 ln t t + x = = = = n x = ; x =,; x =,; x =,; x =,; ; x =,9; x = 9 f ( x) dx f ( x ) + f ( x) + + f ( xn ) + f ( xn n 8 ln +, +,5 +, + +,95 +,8 ( t t ) [ ] 8 ln t t + 58,87 g Págin 7 de 7