Derivação e Integração Numérica. 1.1 Aproximação da derivada por diferenças nitas. f (x 0 ) f(x 0) f(x 0 h) = y 1 y 0

Transcrição

1 Derivção e Integrção Numéric 1 Derivção Numéric Ddo um conjunto de pontos (x i, y i ) ( ) n i=1, derivd dy pode ser clculd de váris forms N próxim dx i seção trblremos com diferençs nits, que é mis dequd qundo s bcisss estão próxims e os ddos não sofrem perturbções signictivs N seção subsequente trtremos os csos qundo os ddos oscilm vi juste ou interpolções de curvs 11 Aproximção d derivd por diferençs nits A derivd f (x ) de um função f(x) no ponto x é f f(x + ) f(x ) (x ) = lim D denição, se é pequeno (não muito pequeno pr evitr o cncelmento ctstróco), é esperdo que um proximção pr derivd no ponto x sej dd por f (x ) f(x + ) f(x ) Observe que se for extmente distânci entre x e x 1, então x + = x 1 e f (x ) f(x 1) f(x ) = y 1 y Exemplo 1 Clcule derivd numéric d função f(x) = cos(x) no ponto x = 1 usndo = 1, = 1, = 1 e = 1 A tbel bixo mostr derivd numéric pr cd vlor de f(1 + ) 1 f(11) = cos(11) = f(11) = cos(11) = f(11) = cos(11) = f(11) = cos(11) = f(1 + ) f(1) = = = = Observe que qunto menor, melor é proximção, visto que o vlor exto pr derivd é f (1) = sin(1) = Porém, qundo = 1 1, derivd numéric é 84488, resultdo pior que quele pr = 1 (usndo ritmétic de computdor no scilb) Além disso, qundo = 1 1, derivd numéric clculd no scilb é zero (cncelmento ctstróco) Isso nos motiv pensr qul é o melor Ess proximção pr derivd é denomind diferençs progressivs A derivd numéric tmbém pode ser proximd usndo denições equivlentes: f (x ) f(x ) f(x ) 1 = y i y i 1

2 que é denomind diferençs regressivs ou que é denomind diferençs centris f (x ) f(x + ) f(x ) = y i+1 y i 1 Exemplo Clcule derivd numéric d função f(x) = cos(x) no ponto x = 1 usndo diferençs progressivs, diferençs regressivs e diferençs centris com = 1, = 1 e = 1 A tbel bixo mostr derivd numéric pr cd vlor de diferençs progressivs diferençs regressivs diferençs centris cos(1) cos(9) 1 cos(1) cos(99) 1 cos(1) cos(999) 1 = 817 = = 8417 cos(11) cos(9) cos(11) cos(99) cos(11) cos(999) = 8417 = = Erros de truncmento Sej D +, f(x ) proximção d derivd de f em x por diferençs progressivs, D, f(x ) proximção por diferençs regressivs e D, f(x ) proximção por diferençs centris, então D +, f(x ) f (x ) = f(x + ) f(x ) f (x ) = f(x ) + f (x ) + f (x ) + O( ) f(x ) f (x ) = f (x ) + O( ) = O() Anlogmente, D, f(x ) f (x ) = f(x ) f(x ) f (x ) ( ) f(x ) f(x ) f (x ) + f (x ) + O( ) = f (x ) = f (x ) + O( ) = O() Tmbém, D, f(x ) f (x ) = f(x + ) f(x ) = f (x ) f(x ) + f (x ) + f (x ) + O( ) = O( ) ( ) f(x ) f (x ) + f (x ) + O( ) f (x )

3 Exemplo Clcule derivd numéric e o erro de truncmento de f(x) = e x em x = 15 pel fórmul de diferenç progressiv pr = 1, = 1 e = 1 Como f (x) = e x < 1, então f +(x ) f (x ) < O vlor exto d derivd é f (15) = 1 1 Erros de rredondmento diferençs progressivs erro = Pr entender como os erros de rredondmento se propgm o clculr s derivds numérics vmos considerr o operdor de diferençs nits progressivs D +, f(x) = f(x + ) f(x) Nesse contexto temos o vlor exto f (x) pr derivd, su proximção numéric D +, f(x) e representção em número de máquin do operdor D +, f(x) que denorremos por D +, f(x) Sej ε(x, ) o erro de rredondmento o clculrmos derivd e consideremos Tmbém, consideremos e D +, f(x) = D +, f(x)(1 + ε(x, )) = f(x + ) f(x + ) = δ(x, ) δ f(x) f(x) = δ(x, ) δ, f(x + ) f(x) (1 + ε(x, )) onde f(x + ) e f(x) são s representção em ponto utunte dos números f(x + ) e f(x), respectivmente A diferenç do vlor d derivd e su proximção representd em ponto utunte pode ser estimd d seguinte form: f (x) D +, f(x) = f f(x + ) f(x) (x) (1 + ε(x, )) ( ) = f f(x + ) f(x) f(x + ) f(x + ) f(x) f(x) (x) + + (1 + ε) ( ) = f f(x + ) f(x) f(x + ) f(x + ) f(x) f(x) (x) + + (1 + ε) ( ) f f(x + ) f(x) (x) + f(x + ) f(x + ) + f(x) f(x) 1 + ε + f(x + ) f(x) ε ( ) δ M + + δ 1 + ε + f (x) ε ( ) δ M ε + f (x) ε

4 onde M = 1 mx f (y) x y x+ está relciondo com o erro de truncmento Est estimtiv mostr que se o vlor de for muito pequeno o erro o clculr proximção numéric cresce Isso nos motiv procurr o vlor ótimo de que minimiz o erro Exemplo 4 Estude o comportmento d derivd de f(x) = e x no ponto x = 15 qundo c pequeno Segue tbel com os vlores d derivd pr vários vlores de D +, f(15) D +, f(15) Observe que o vlor exto é e o ótimo é lgo entre 1 8 e Fórmul de três e cinco pontos pr derivd primeir Pr proximr derivd de um função f(x) em x, x 1 ou x usremos os três pontos vizinos (x, f(x )), (x 1, f(x 1 )) e (x, f(x )) Um interpolção usndo polinômios de Lgrnge pr esses três pontos é d form: f(x) = f(x ) (x x 1)(x x ) (x x 1 )(x x ) + f(x 1) (x x )(x x ) (x 1 x )(x 1 x ) + f(x ) (x x )(x x 1 ) (x x )(x x 1 ) + f (ξ(x)) (x x )(x x 1 )(x x ) A derivd de f(x) é f x x 1 x (x) = f(x ) (x x 1 )(x x ) + f(x x x x 1) (x 1 x )(x 1 x ) + f(x x x x 1 ) (x x )(x x 1 ) + f (ξ(x)) ((x x 1 )(x x ) + (x x )(x x 1 x )) Trocndo x por x, temos + D x ( f (ξ(x)) ) (x x )(x x 1 )(x x ) (1) f x x 1 x (x ) = f(x ) (x x 1 )(x x ) + f(x x x x 1) (x 1 x )(x 1 x ) + f(x x x x 1 ) (x x )(x x 1 ) + f (ξ(x )) ((x x 1 )(x x ) + (x x )(x x 1 x )) + D x ( f (ξ(x )) ) (x x )(x x 1 )(x x ) Considerndo um ml equiespçd onde x 1 = x + e x = x +, temos: f (x ) = f(x ) ( )( ) + f(x 1) ()( ) + f(x ) ()() + f (ξ(x )) (( )( )) = 1 [ f(x ) + f(x 1 ) 1 ] f(x ) + f (ξ(x )) 4

5 Similrmente, trocndo x por x 1 ou trocndo x por x n expressão (1), temos outrs dus expressões f (x 1 ) = 1 [ 1 f(x ) + 1 ] f(x ) + f (ξ(x 1 )) f (x ) = 1 [ 1 f(x ) f(x 1 ) + ] f(x ) + f (ξ(x )) Podemos reescrever s três fórmuls d seguinte form: f (x ) = 1 [ f(x ) + f(x + ) 1 ] f(x + ) f (x + ) = 1 [ 1 f(x ) + 1 ] f(x + ) + f (ξ(x + )) f (x + ) = 1 [ 1 f(x ) f(x + ) + ] f(x + ) ou ind + f (ξ(x )) + f (ξ(x + )) f (x ) = 1 [ f(x ) + 4f(x + ) f(x + )] + f (ξ(x )) f (x ) = 1 [f(x + ) f(x )] + f (ξ(x )) f (x ) = 1 [f(x ) 4f(x ) + f(x )] + f (ξ(x )) Observe que um ds fórmuls é extmente s diferençs centris obtid nteriormente Anlogmente, pr construir s fórmuls de cinco pontos tommos o polinômio de Lgrnge pr cinco pontos e cegmos cinco fórmuls, sendo um dels seguinte: f (x ) = 1 1 [f(x ) 8f(x ) + 8f(x + ) f(x + )] + 4 f (5) (ξ(x )) (5) () () (4) Exemplo 5 Clcule derivd numéric de f(x) = e x pr = 1, = 1 e = 1 em x = 15 pel fórmul de três e cinco pontos A tbel mostr os resultdos: = 1 = 1 = 1 diferençs progressivs diferençs regressivs três pontos usndo () três pontos usndo () três pontos usndo (4) cinco pontos usndo (5) O vlor exto d derivd é f (15) = Aproximção pr derivd segund por diferençs centris Pr proximr derivd segund, considere s expnsões em série de Tylor f(x + ) = f(x ) + f (x ) + f (x ) + f (x ) + O( 4 ) 5

6 f(x ) = f(x ) f (x ) + f (x ) f (x ) + O( 4 ) Somndo s dus expressões, temos: f(x + ) + f(x ) = f(x ) + f (x ) + O( 4 ) ou sej, um proximção de segund ordem pr derivd segund em x é f (x ) = f(x + ) f(x ) + f(x ) + O( ) := D,f(x ) + O( ), onde D,f(x ) = f(x + ) f(x ) + f(x ) Exemplo Clcule derivd segund numéric de f(x) = e x = 1 em x = 15 pr = 1, = 1 e A tbel mostr os resultdos: D, = 1 = 1 = 1 f(15) Observe que f (x) = (4x )e x e f (15) = Problems de vlor contorno Nest seção usremos proximção numéric d derivd pr resolver problems de vlor de contorno d form u xx = f(x, u), < x < b u() = u u(b) = u b Resolver numericmente o problem cim exige um discretizção do domínio [, b], ou sej, dividir o domínio em N prtes iguis, denindo = b N O conjunto de bcisss x i, i = 1,, N + 1 formm um ml pr o problem discreto Nosso objetivo é encontrr s ordends u i = u(x i ) que stisfzem versão discret: u i+1 u i +u i 1 = f(x i, u i ), i N u 1 = u u N+1 = u b O vetor solução (u i ) N+1 i=1 do problem é solução do sistem cim, que é liner se f for liner em u e não liner cso contrário Exemplo 7 Encontre um solução numéric pr o problem de contorno u xx + u = e x, < x < 1 u() = 1 u(1) =

7 Observe que e versão discret d equção é = 1 N u i+1 u i +u i 1 + u i = e x i, i N u 1 = 1 u N+1 = ou sej, u 1 = 1 u i+1 + ( + )u i u i 1 = e x i, i N u N+1 = que é um sistem liner A su form mtricil é: u 1 u u u N u N+1 = 1 e x e x e x N Pr N = 1, temos seguinte solução: Derivd vi juste ou interpolção Ddo os vlores de um função em pontos {(x i, y i )} ( ) N i=1, s derivds dy podem ser obtids trvés d dx i derivd de um curv que melor just ou interpol os pontos Esse tipo de técnic é necessário qundo os pontos são muito espçdos entre si ou qundo função oscil muito Por exemplo, ddo os pontos (, 1), (1, ), (, 5), (, 9), prábol que melor just os pontos é Usndo esse juste pr clculr s derivds, temos e Q(x) = x + 75x Q (x) = x y (x 1 ) Q (x 1 ) = 45, y (x ) Q (x ) = 195, y (x ) Q (x ) = 45 e y (x 4 ) Q (x 4 ) = 495 7

8 Agor ole o gráco d seguinte tbel de pontos x y Observe que s derivds clculds por diferençs nits oscilm entre um vlor pequeno e um grnde em cd intervlo e lém disso, fórmul progressiv difere d regressiv signicntemente Por exemplo, por diferençs regressivs f (7) (755 75) = 5 e por diferençs progressivs f (7) (9 755) = 178 A 1 1 melor form de clculr derivd qui é fzer um juste de curv A ret que melor just os ddos d tbel é y = f(x) = x Usndo esse juste, temos f (7) Integrção 1 Introdução Considere o problem de clculr áre entre um função positiv, o eixo x e s rets x = e x = b O vlor exto dess áre é clculd fzendo um proximção por retângulos com bses iguis e depois tomndo o limite qundo o número de retãngulos tende o innito: A = lim n f(x i ) n, i=1 8

9 onde n = b n é o tmno d bse dos retângulo e f(x i), 1 i n, + (i 1) x i + i, é ltur dos retângulos Ess denição é generlizd pr cálculo de integris num intervlo [, b]: f(x)dx = lim n f(x i ) n A gur bixo mostr um exemplo qundo f(x) = x +1, x Temos proximção por um retângulo com bse 1 =, depois com dois retângulos de bse = 1 e, nlmente com qutro retângulo de bses = 5 i=1 Os vlores proximdos pr integrl são ddos n tbel: 1 = = 1 = 5 4 = 5 (x + 1)dx 1 f(1) = 4 f(5) + f(15) = Observe que [ x (x + 1)dx = + x ] = 8 + = 47 Regrs de Integrção Numéric A integrl de um função num intervlo [, b], tmbém cmd de qudrtur numéric, é proximd pel som f(x)dx i f(x i ), onde x i, 1 i n, são pontos distintos do intervlo [, b] Ness denição, integrl (x + 1)dx (dd n seção 1) usndo um proximção por retângulo us pens um ponto, o ponto médio do intervlo ( x 1 = 1), e som se reduz um prcel (( )f(1)) A fórmul gerl pr ess cso, cmdo de regr do ponto médio é: ( ) + b f(x)dx (b )f := f(x 1 ) () i=1 9

10 A form nturl de obter s regrs de integrção é usr o polinômio de Lgrnge que pss pelo pontos {(x i, f(x i ))} n i=1 n f(x) = P n (x) + termo de erro = f(x i )L i (x) + (x x i ) f (n+1) (ξ(x)) (n + 1)! e integrmos f(x)dx = i=1 A fórmul de qudrtur então é onde 1 Regr do ponto médio [ f(x i ) i=1 ] 1 b L i (x)dx + (n + 1)! f(x)dx i = i f(x i ), i=1 L i (x)dx i=1 n (x x i )f (n+1) (ξ(x))dx A regr do ponto médio () pode ser deduzid mis formlmente usndo expnsão de Tylor i=1 que lev integrl f(x) = f(x 1 ) + f (x 1 )(x x 1 ) + f (ξ(x)) (x x 1 ) f(x)dx = f(x 1 )dx + f (x 1 ) (x x 1 )dx + f (ξ(x)) (x x 1 ) dx Usndo o teorem do vlor médio pr integris e que = b e x 1 = ( + b)/, temos: pr η b f(x)dx = f(x 1 )dx + f (x 1 ) [ (x = f(x 1 ) + f x1 ) (η) [ (b = f(x 1 ) + f x1 ) (η) = f(x 1 ) + f (η) (x x 1 )dx + f (η) ] b 1 (x x 1) dx [ ] b 1 + f (η) (x x 1) ] ( x 1) Exemplo 8 Use regr do ponto médio pr proximr integrl Depois divid integrl em dus / e x dx + e plic regr do ponto médio em cd um dels integris e x dx 1/ e x dx [ 1 + f (η) (b x 1) 1 ] ( x 1) Finlmente, repit o processo dividindo em qutro 1

11 Usndo o intervlo [, 1], temos = 1 e x 1 = 1/ A regr do ponto médio result em e x dx 1 e 1/4 = Usndo dois intervlos, [, 1/] e [1/, 1] e usndo regr do ponto médio em cd um dos intervlos, temos: Agor, usndo qutro intervlos, temos e x dx 5 e 1/1 + 5 e 9/1 ) = = e x dx 5 e 1/4 + 5 e 9/4 + 5 e 5/4 + 5 e 49/4 = Observe que o vlor d integrl é e x dx = Regr do Trpézio A regr do trpézio consiste em proximr integrl por um trpézio em vez de um retângulo, como zemos Pr isso, o polinômio de Lgrnge deve ser um ret, como mostr gur O polinômio de Lgrnge de primeir ordem que pss por (x, f(x )) := (, f()) e (x 1, f(x 1 )) := (b, f(b)) é ddo por P 1 (x) = f(x ) (x x ) (x 1 x ) + f(x 1) (x x 1) (x x 1 ) = f(x ) (x x ) f(x 1 ) (x x 1), onde = x 1 x Podemos integrr função f(x) proximndo- por esse polinômio: f(x)dx = f(x ) (x x ) b dx f(x 1 ) (x x 1 ) dx + 1! (x x )(x x 1 )f (ξ(x))dx 11

12 Pelo teorem do vlor médio, existe η b tl que f(ξ(x))g(x)dx = f(η) g(x)dx e, portnto, [ ] (x x ) x1 [ ] (x x1 ) x1 f(x)dx = f(x ) f(x 1 ) + f [ (η) x x x x (x 1 + x ) + x x 1 x = f(x ) (x 1 x ) + f(x 1 ) (x x 1 ) + f ( ) (η) x 1 x 1 (x 1 + x ) + x x 1 x 1 x + x (x 1 + x ) x x 1 x = f(x ) + f(x 1) + f (η) x 1 x 1(x 1 + x ) + x 1x x + x (x 1 + x ) x 1 x ( x x x 1 + x 1x + x1) = (f(x ) + f(x 1 )) + f (η) 1 = (f(x ) + f(x 1 )) f (η) 1 Exemplo 9 Use regr do trpézio pr proximr integrl Depois divid integrl em dus / e x dx + e x dx 1/ e x dx e plic regr do trpézio em cd um dels Finlmente, repit o processo dividindo em qutro integris Usndo o intervlo [, 1], temos = 1, x = e x 1 = 1 A regr do trpézio result em e x dx 1 (e + e 1 ) = 8997 Usndo dois intervlos, [, 1/] e [1/, 1] e usndo regr do trpézio em cd um dos intervlos, temos: e x dx 5 (e + e 1/4 ) + 5 (e 1/4 + e 1 ) = = 717 Agor, usndo qutro intervlos, temos e x dx 5 (e + e 1/1 ) + 5 (e 1/1 + e 1/4 ) + 5 (e 1/4 + e 9/1 ) + 5 (e 9/1 + e 1 ) = Regr de Simpson A regr de Simpson consiste em proximr integrl usndo três pontos do intervlo: x =, x 1 := + b Pr isso, o polinômio de Lgrnge deve ser um prábol: = x + e x := b = x 1 + P (x) = f(x ) (x x 1)(x x ) (x x 1 )(x x ) + f(x 1) (x x )(x x ) (x 1 x )(x 1 x ) + f(x ) (x x )(x x 1 ) (x x )(x x 1 ) 1 ] x1 x

13 Se usrmos o mesm metodologi d regr dos trpézios, clculremos f(x)dx = P (x)dx + (x x )(x x 1 )(x x ) f (ξ(x))dx e obteremos o fórmul de Simpson com um erro de qurt ordem O fto é que regr de Simpson tem ordem cinco e, pr isso, usremos um bordgem lterntiv Considere o polinômio de Tylor f(x) = f(x 1 ) + f (x 1 )(x x 1 ) + f (x 1 ) (x x 1 ) + f (x 1 ) onde x ξ(x) x e integre no intervlo [, b] = [x, x ]: f(x)dx = [f(x 1 )(x x 1 ) + f (x 1 ) (x x 1) + 1 x f (4) (ξ(x))(x x 1 ) 4 dx, 4 x Pelo teorem do vlor médio, existe x η x tl que f(x)dx = [f(x 1 )(x x 1 ) + f (x 1 ) (x x 1) Usndo o fto que e temos x + f (4) (η) (x x 1 ) 4 dx 4 x = [f(x 1 )(x x 1 ) + f (x 1 ) (x x 1) + f (4) (η) 1 [ (x x1 ) 5] x x + f (x 1 ) + f (x 1 ) + f (x 1 ) (x x 1 ) (x x 1 ) =, (x x 1 ) 4 (x x 1 ) 4 = (x x 1 ) 5 (x x 1 ) 5 = 5, f(x)dx = f(x 1 ) + f (x 1 ) + 5 f (4) (η) Usndo diferençs nits centris pr derivd segund: x η 1 x, temos f(x)dx = f(x 1 ) + f (x 1 ) = f(x ) f(x 1 ) + f(x ) ( f(x ) f(x 1 ) + f(x ) = (f(x ) + 4f(x 1 ) + f(x )) 5 1 (x x 1 ) + f (4) (ξ(x)) (x x 1 ) 4, 1 (x x 1 ) + f ] x (x 1 ) (x x 1 ) 18 x (x x 1 ) + f ] x (x 1 ) (x x 1 ) 18 x (x x 1 ) + f ] x (x 1 ) (x x 1 ) 18 x + 1 f (4) (η 1 ), ) + 1 f (4) (η 1 ) ( 1 f (4) (η 1 ) 1 5 f (4) (η) + 5 f (4) (η) ) Pode-se mostrr que é possível escoler η que substitu η e η 1 com seguinte estimtiv f(x)dx = (f(x ) + 4f(x 1 ) + f(x )) 5 9 f (4) (η ) 1

14 Exemplo 1 Use regr de Simpson pr proximr integrl Depois divid integrl em dus / e plic regr de Simpson em cd um dels e x dx + e x dx 1/ e x dx Usndo o intervlo [, 1], temos = 1/, x =, x 1 = 1/ e x = 1 A regr de Simpson result em e x dx 5 (e + 4e 1/4 + e 1 ) = Usndo dois intervlos, [, 1/] e [1/, 1] e usndo regr do trpézio em cd um dos intervlos, temos: Regrs composts e x dx 5 (e + 4e 1/1 + e 1/4 ) + 5 (e 1/4 + 4e 9/1 + e 1 ) = Vimos que em tods s estimtivs de erro que derivmos, o erro depende do tmno do intervlo de integrção Um estrtégi pr reduzir o erro consiste em dividir o intervlo de integrção em diversos subintervlos menores: N i k f(x)dx = f(x)dx onde k=1 = 1 < b 1 = < b = < < b Ni 1 = Ni < b Ni = b Depois, plic-se um método simples em cd subintervlo A regr compost dos trpézios ssume seguinte form: N i f(x)dx = k=1 k k f(x)dx k N i k=1 b k k [f( k ) + f(b k )] Se ssumirmos que todos os intervlos têm o mesmo comprimento, temos: f(x)dx N i k=1 [f( k ) + f(b k )] Denimos portnto E temos: x k = + (k 1) k = x k, b k = x k+1 f(x)dx N i k=1 [f(x k ) + f(x k+1 )] = [f(x 1) + f(x ) + f(x ) + + f(x Ni ) + f(x Ni +1)] 14

15 Já regr compost de Simpson ssume seguinte form: N i f(x)dx = k=1 k k f(x)dx N i k=1 b k k [ f( k ) + 4f ( ) k + b k ] + f(b k ) Se mis um vez ssumirmos que todos os intervlos têm o mesmo comprimento, temos: f(x)dx N i [ ( ) ] k + b k f( k ) + 4f + f(b k ) Denimos portnto E temos: k=1 x k = + (k 1), k = 1, N i + 1 f(x)dx k = x k 1, b k = x k+1 N i k=1 [f(x k 1 ) + 4f(x k ) + f(x k+1 )] = [f(x 1) + 4f(x ) + f(x ) + 4f(x 4 ) + + 4f(x Ni ) + f(x Ni +1)] Exemplo 11 Clcule numericmente integrl x e x dx pels regrs composts do ponto médio, trpézio e Simpson vrindo o número de intervlos N i = 1,,,, 1, 4, 48, 9 4 O método de Romberg N i ponto médio Trpézios Simpson O método de Romberg é um método simplicdo pr construir qudrturs de lt ordem Considere o método de trpézios composto plicdo à integrl f(x)dx Den I() proximção dest integrl pelo método dos trpézios composto com ml de lrgur constnte igul Aqui = b N i pr lgum N i inteiro, ie: [ ] I() = N i f() + f(x j ) + f(b), N i = b j= 15

16 Teorem 1 Se f(x) é um função nlític no intervlo (, b), então função I() dmite um representção n form I() = I + I + I I + Pr um demonstrção, vej [1] Em especil observmos que f(x)dx = lim I() = I Ou sej, o vlor exto d integrl procurd é ddo pelo coeciente I A idei centrl do método de Romberg, gor, consiste em usr extrpolção de Ricrdson pr construir métodos de mior ordem prtir do métodos dos trpézios pr o intervlo (, b) Exemplo 1 Construção do método de qurt ordem I() = I + I + I I + I ( ) = I + I I I 4 + Usmos gor um eliminção gussin pr obter o termo I : Lembrmos que 4I(/) I() = I 1 4 I I + I() = [f() + f(b)] I(/) = + b [f() + f (c) + f(b)], c = 4 4I(/) I() = [f() + f (c) + f(b)] [f() + f(b)] = [f() + 4f (c) + f(b)] Observe que esquem coincide com o método de Simpson A prtir de gor, usremos seguinte notção R 1,1 = I() R,1 = I(/) R,1 = I(/4) R n,1 = I(/ n 1 ) Observmos que os pontos envolvidos n qudrtur R k,1 são os mesmos pontos envolvidos n qudrtur R(k 1, 1) crescidos dos pontos centris, ssim, temos seguinte fórmul de recorrênci: R k,1 = 1 R k 1,1 + k f k 1 i=1 1 ( + (i 1) ) k 1

17 Denimos R k, pr k como o esquem de ordem qutro obtido d fórmul do exemplo 1: R k, = 4R k,1 R k 1,1 Os vlores R k, representm então os vlores obtidos pelo método de Simpson composto plicdo um ml compost de k pontos Similrmente os vlores de R k,j são os vlores obtidos pel qudrtur de ordem j obtid vi extrpolção de Ricrdson Pode-se mostrr que R k,j = R k,j 1 + R k,j 1 R k 1,j 1 4 j 1 1 Exemplo 1 Constru o esquem de Romberg pr proximr o vlor de e x dx com erro de ordem Exemplo 14 Constru o esquem de Romberg pr proximr o vlor de x e x dx com erro de ordem 1 5 Ordem de precisão Todos os métodos de qudrtur que vimos té o momento são d form N f(x)dx w j f(x j ) Exemplo 15 () Método do trpézio f(x)dx [f() + f(b)] b = b f() + b f(b) := w 1 f(x 1 ) + w f(x ) = w j f(x j ) (b) Método do trpézio com dois intervlos [ ( ) ] + b b f(x)dx f() + f + f(b) 4 = b 4 f() + b ( ) + b f + b 4 f(b) := w 1 f(x 1 ) + w f(x ) + w f(x ) = w j f(x j ) 17

18 (c) Método de Simpson f(x)dx [ f() + 4f = b := w j f(x j ) ( ) + b (b ) f() + f ] b + f(b) ( ) + b + b f(b) (d) Método de Simpson com dois intervlos [ ( ) ( ) ( ) + b + b + b f(x)dx f() + 4f + f + 4f 4 4 = b 1 f() + b ( ) + b f + b ( ) + b 4 f 5 := w j f(x j ) ] b + f(b) 1 ( + b + b f 4 ) + b 1 f(b) A principl técnic que temos usdo pr desenvolver os métodos numéricos é o polinômio de Tylor: Integrndo termo termo, temos: f(x) = + 1 x + x + + n x n + R n (x) f(x)dx = dx + 1 xdx + = (b ) + 1 b x dx b n x n dx n b n+1 n+1 n R n (x)dx R n (x)dx Neste momento, é nturl invertigr o desempeno de um esquem numérico plicdo funções do tipo f(x) = x n Denição 1 A ordem de precisão ou ordem de extidão de um esquem de qudrtur numéric como o mior inteiro positivo n pr o qul o esquem é exto pr tods s funções do tipo x k com k n, ou sej, Um esquem é dito de ordem n se w j f(x j ) = f(x)dx, f(x) = x k, k =, 1, n ou, equivlentemente: w j x k j = Observção 1 Se o método tem ordem ou mis, então x k dx = bk+1 k+1, k =, 1, n k + 1 w j = b 18

19 Exemplo 1 A ordem de precisão do esquem de trpézios é 1: onde w j = b, x 1 = e x = b f(x)dx [f() + f(b)] b = w j f(x j ) w j = b (k = ) w j x j = ( + b) b = b (k = 1) w j x j = ( + b ) b b (k = ) Exemplo 17 A ordem de precisão do esquem de Simpson é : f(x)dx [ f() + 4f ( ) + b ] b + f(b) = w j f(x j ) onde w 1 = w = b,w = 4 b, x 1 =, x = +b e x = b w j = ( ) b = b (k = ) w j x j = ( + 4 +b + b) b = ( + b) b = b (k = 1) w j x j = ( + 4 ( ) +b + b ) b = ( + 4b + b ) b = b (k = ) w j x j = ( + 4 ( ) +b + b ) b = b4 4 (k = ) 4 w j x 4 j = ( ( ) +b 4 + b 4 ) b b5 5 (k = ) 4 Problem 1 Encontre os pesos w j e s bscisss x j tis que o esquem de dois pontos é de ordem 1 f(x)dx = w 1 f(x 1 ) + w f(x ) Solução: Temos um sistem de qutro equções e qutro incógnits ddo por: w 1 + w = x 1 w 1 + x w = x 1w 1 + x w = x 1w 1 + x w = 19

20 D segund e qurt equção, temos: w 1 w = x x 1 = x x 1 Como x 1 x, temos x 1 = x e w 1 = w D primeir equção, temos w 1 = w = 1 D terceir equção, temos x 1 = x = Esse esquem de ordem de precisão três e dois pontos cm-se qudrtur de Guss-Legendre com dois pontos: ( ) ( ) f(x)dx = f + f Exemplo 18 Comprção 1 f(x) Exto Trpézio Simpson Guss-Legendre () e x e e e 1 + e 811 e 1 + 4e + e 1 58 e + e 491 x + x x e x e e Qudrtur de Guss-Legendre A qudrtur de Guss-Legendre de N pontos é o esquem numérico 1 f(x)dx = N w j f(x j ) cuj ordem de extidão é N 1 O problem de encontrr os N pesos e N bscisss é equivlente um sistem não-liner com N equções e N incógnits Pode-se mostrr que este problem sempre tem solução e que solução é únic se x 1 < x < < x n As bscisss são ds pelos zeros do enésimo polinômio de Legendre, P N (x) Os pesos são ddos por w j = ( 1 x j ) [P N (x j )] Estes ddos são tbeldos e fcilmente encontrdos

21 n x j w j 1 ± ± ( ± ) /5 /7 18+ ( ± + ) /5 /7 18 Exemplo 19 Aproximr pelo método de Guss-Legendre com pontos x dx I = 5 ) ( ) ( 9 f f() f = No Scilb: exec pesossci; I=f()*w(1)+f(x())*w()+f(-x())*w() Exemplo Aproximr pelo método de Guss-Legendre com 4 pontos x dx I4=f(x4(1))*w4(1)+f(-x4(1))*w4(1)+f(x4())*w4()+f(-x4())*w4() Exemplo 1 Aproximr 1 + x dx pelo método de Guss-Legendre com, 4 e 5 pontos Fz-se mudnç de vriáveis u = x x dx = 1 ( ) u du 1 1

22 deff('y=f(u)','y=sqrt(1+(u+1)^/4)/') I=f()*w(1)+f(x())*w()+f(-x())*w() I4=f(x4(1))*w4(1)+f(-x4(1))*w4(1)+f(x4())*w4()+f(-x4())*w4() I5=f()*w5(1)+f(x5())*w5()+f(-x5())*w5()+f(x5())*w5()+f(-x5())*w5() Soluções Numérics pr problems de vlor inicil Muitos problems de vlor inicil d form y (t) = f(y(t), t) y(t ) = y condição inicil não podem ser resolvidos extmente, ou sej, sbe-se que solução existe e é únic, porém não podemos expressá-l em termos de funções elementres Por isso é necessário clculr soluções numérics Nesse propósito, construímos um ml de pontos no eixo t, {t i } N i=1 e clculmos o vlor proximdo d função soluço y(t i ) em cd ponto d ml usndo esquems numéricos 1 Método de Euler Sej o problem de vlor inicil y (t) = f(y(t), t) y() = y condição inicil Aproximmos derivd y (t) por um esquem de primeir ordem do tipo ssim temos y (t) = y(t + ) y(t) + O(), > y(t + ) y(t) = f(y(t), t) + O() y(t + ) = y(t) + f(y(t), t) + O( ) Denindo y (k) como um proximção pr y ((k 1)) e t (k) = (k 1), temos y (k+1) = y (k) + f(y (k), t (k) ) y (1) = y condição inicil Exemplo 1: Considere o problem de vlor inicil y (t) = y(t) y() = 1 Sbemos d teori elementr de equção diferenciis ordináris, que solução ext deste problem é únic e é dd por y(t) = e t

23 O método de Euler plicd este problem produz o seguinte esquem: y (k+1) = y (k) + y (k) = (1 + )y (k) y (1) = 1, cuj solução é dd por Como t = (k 1), solução proximd é y (k) = (1 + ) k 1 y(t) ỹ(t) = (1 + ) t Fic óbvio que se, então ỹ(t) e t Exemplo Considere o problem de vlor inicil y (t) = y(t)(1 y(t)) y() = 1/ É fácil encontrr solução ext dest equção pois dy(t) = dt y(t)(1 y(t)) ( 1 y + 1 ) dy = dt 1 y ln(y) ln(1 y) = t + C ( ) y ln = t + C 1 y y 1 y = e t+c y = e t+c (1 y) y(1 + e t+c ) = e t+c y = ind y() = ec = 1/, temos e C = 1 e, portnto, C = 1+e C Assim, solução ext é dd por y = et 1+e t O método de Euler produz o seguinte esquem itertivo: e t+c 1 + e t+c y (k+1) = y (k) + y (k) (1 y (k) ) y (1) = 1/

24 Comprção t Exto Euler = 1 Euler = 1 1/ 5 5 1/ e 1/ 1+e 1/ e 1+e e 1+e e 1+e Exemplo y = y + t y() = 1 Cuj solução ext é y(t) = e t + t 1 O esquem recursivo de Euler c: y (k+1) = y(k) y(k) + t (k) y() = 1 Comprção t Exto Euler = 1 Euler = e e e

25 Exemplo 4 x = y y = x x() = 1 y() = Cuj solução ext é x(t) = cos(t) e y(t) = sin(t) Escrev e temos Equivlente y (k+1) z(t) = [ ] [ ] x (k+1) x (k) = y (k) [ x(t) y(t) ] [ y (k) + x (k) x (k+1) = x (k) y (k) y (k+1) = y (k) + x (k) ] Exemplo 5 Resolv o problem de vlor inicil de segund ordem ddo por y + y + y = cos(t) y() = 1 y () = e compre com solução ext pr = 1 e = 1 Procedemos com substituição w = y, de form que obtermos o sistem: y = w w = w y + cos(t) y() = 1 w() = Método de Euler modifcdo y (k+1) = y (k) + w (k) w (k+1) = w (k) w (k) y (k) + cos(t (k) ) y (1) = 1 w (1) = No método de Euler, usmos seguinte iterção: y (k+1) = y (k) + f(y (k), t (k) ) y (1) = y i condição inicil 5

26 A idéi do método de Euler melordo é substituir declividde f(y (k), t (k) ) pel médi ritmétic entre f(y (k), t (k) ) e f(y (k+1), t (k+1) ) No entnto, não dispomos do vlor de y (k+1) pelo que proximmos por ỹ (k+1) = y (k) + f(y (k), t (k) ) ỹ (k+1) = y (k) + f(y (k), t (k) ) y (k+1) = y (k) + [ f(y (k), t (k) ) + f(ỹ (k+1), t (k+1) ) ] y (1) = y i condição inicil Refç o exemplo vi método de Euler melordo Ordem de precisão Considere o problem de vlor inicil ddo por y (t) = f(y(t), t) y() = y i No método de Euler, proximmos derivd y (t) por um esquem de primeir ordem do tipo de form que tínmos y (t) = y(t + ) y(t) + O(), > y(t + ) = y(t) + f(y(t), t) + O( ) Se xrmos um instnte de tempo t = N, temos: y(t) = [ y() + f(y(), ) + O( ) ] + [ y() + f(y(), ) + O( ) ] + [ y(t ) + f(y(t ), t ) + O( ) ] = y k + N 1 j= O( ) = y k + O() Por isso, o método de Euler é dito ter ordem globl de precisão 4 Métodos de Runge-Kutt Os métodos de Runge-Kutt consistem em métodos do tipo: onde k 1 = f(y (n), t (n) ) y (n+1) = y (n) + w 1 k w n k n k = f(y (n) + α,1 k 1, t (n) + β ) k = f(y (n) + α,1 k 1 + α, k, t (n) + β ) k n = f(y (n) + α n,1 k 1 + α n, k + α n,n 1 k n 1, t (n) + β n )

27 Os coecientes são escolidos de form que expnsão em tylor de y (n+1) e y (n) + w 1 k w n k n coincidm té ordem k + 1 Exemplo: y (n+1) = y (n) + k 1 + k onde k 1 = f(y (n), t (n) ) e k = f(y (n) + k 1, t (n)+ ) 41 Métodos de Runge-Kutt - Qurt ordem onde y (n+1) = y (n) + k 1 + k + k + k 4 k 1 = f(y (n), t (n) ) k = f(y (n) + k 1 /, t (n) + /) k = f(y (n) + k /, t (n) + /) k 4 = f(y (n) + k, t (n) + ) Este método tem ordem de truncmento locl de qurt ordem Um discussão eurístic usndo método de Simpson pode judr compreender os estrnos coecientes: y(t (n+1) ) y(t (n) ) = t (n+1) t (n) f(y(s), s)ds [ f ( y(t (n) ), t (n)) + 4f ( y(t (n) + /), t (n) + / ) + f ( y(t (n) + ), t (n) + )] k 1 + 4( k +k ) + k 4 onde k 1 e k 4 representm s inclinções nos extermos e k e k são dus proximções diferentes pr inclinção no meio do intervlo 4 Métodos de psso múltiplo - Adms-Bsfort O método de Adms-Bsfort consiste de um esquem recursivo do tipo: k y n+1 = y n + w j f(y (n j), t (n j) ) j= Exemplo: Adms-Bsfort de segund ordem y n+1 = y n + [ ( f y (n), t (n)) f ( y (n 1), t (n 1))] Exemplo: Adms-Bsfort de terceir ordem y n+1 = y n + [ ( f y (n), t (n)) 1f ( y (n 1), t (n 1)) + 5f ( y (n ), t (n ))] 1 Exemplo: Adms-Bsfort de qurt ordem y n+1 = y n + [ ( 55f y (n), t (n)) 59f ( y (n 1), t (n 1)) + 7f ( y (n ), t (n )) 9f ( y (n ), t (n ))] 4 Os métodos de psso múltiplo evitm os múltiplos estágios do métodos de Runge-Kutt, ms exigem ser "inicidos"com sus condições iniciis 7

28 5 Métodos de psso múltiplo - Adms-Moulton O método de Adms-Moulton consiste de um esquem recursivo do tipo: k y n+1 = y n + w j f(y (n j), t (n j) ) j= 1 Exemplo: Adms-Moulton de qurt ordem y n+1 = y n + [ ( 9f y (n+1), t (n+1)) + 19f ( y (n), t (n)) 5f ( y (n 1), t (n 1)) + f ( y (n ), t (n ))] 4 O método de Adms-Moulton é inplícito, ou sej, exige que cd psso, um equção em y (n+1) sej resolvid 51 Estbilidde Consideremos o seguinte problem de teste: { y = αy y() = 1 cuj solução ext é dd por y(t) = e αt Considere gor o método de Euler plicdo este problem com pss : { y (k+1) = y (k) αy (k) A solução ext do esquem de Euler é dd por e, portnto, y (1) = 1 y (k+1) = (1 α) k ỹ(t) = y (k+1) = (1 α) t/ Fixmos um α >, de form que y(t) Ms observmos que ỹ(t) somente qundo 1 α < 1 e solução positivs somento qundo α < 1 Conclusão: Se o psso for muito grnde, o método pode se tornr instável, produzindo solução espúris Problem Resolv o problem 1 pelos diversos métodos e veque euristicmente estbilidde pr diversos vlores de Referêncis [1] Demilly, J P Anlyse Numérique et Équtions Dierentielles, nouvelle Édition ed EDP Sciences, Grenoble, 8