Utilizar a integral definida para calcular área, comprimento de arcos, volume de sólidos de revolução e trabalho mecânico.

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1 Aul 3 Aplicções d integrl Objetivos Utilizr integrl definid pr clculr áre, comprimento de rcos, volume de sólidos de revolução e trblho mecânico. Inicimos ul 9, dedicd à integrção, motivndo o conceito de integrl definid, chmd integrl de Riemnn, por intermédio do cálculo de áres. Mis precismente, se tivéssemos que clculr áre d região R esboçd n figur 3., seguir, limitd lterlmente pels rets verticis x = e x = b, inferiormente pelo segmento [, b], contido no eixo ox e superiormente pelo gráfico d função y = f(x), ftiávmos tl região em finíssimos retângulos e, à medid que sus bses se tornssem cd vez menores áre totl desses retângulos ficrim cd vez mis próxim d áre de R. Vej figur

2 7 Cálculo - ul 3 UFPA Fig. 3. Esse procedimento, extremmente útil, se plic não somente em problems geométricos ms tmbém em problems físicos. Est ul e seguinte serão dedicds esss plicções. Comecemos relembrndo o estudo ds áres. Cálculo de áres Nest seção estudremo o cálculo de áre de regiões do plno que são ssocids gráficos de funções. Anlisremos dus situções: áres bixo de gráficos de funções e áres entre gráficos de funções. Áre bixo de gráfico Suponhmos que se queir clculr áre d região R descrit nteriormente, muits vezes chmd de áre bixo do gráfico d função, e que função y = f(x) sej positiv, pr todo x [, b]. Subdividindo o intervlo [, b] em subintervlos d form = x < x < x < < x n = b (lembremos ds prtições introduzids n ul 9) e escolhendo pontos rbitrários ξ i pertencentes os intervlos [x i, x i ], temos que áre de cd retângulo R i, como n figur 3.3,

3 UFPA Cálculo - ul 3 7 f( i ) x i- i x i Fig. 3.3 é dd por f(ξ i ) x i, em que x i = x i x i, de modo que som totl ds áres de todos os retângulos R i é N f(ξ i ) x i. i= Ess é um proximção d áre R que se quer clculr. Designemos por P = { = x < x < x <... < x n = b} e Observemos que P = mx i n x i. lim P N f(ξ i ) x i i= fornece áre de R que é extmente integrl definid de y = f(x) no intervlo [, b]. Assim, designndo áre de R por A(R), teremos A(R) = f(x)dx. (3.) De posse d expressão em (3.) estudremos vários csos. Exemplo 6. Clculemos áre d região R compreendid entre s rets x =, x =, o eixo ox e o gráfico d função y = x. Ess região é mostrd n figur 3.4.

4 7 Cálculo - ul 3 UFPA 4 y = x Fig. 3.4 A áre d região procurd é A(R) = [ x x 3 dx = 3 ] = 7 4. Exemplo 7. Clculemos áre d região compreendid entre o eixo ox e o gráfico d função f : [, π] R definid por f(x) = sen x. Queremos clculr áre d região mostrd n figur 3.5. y = sen x Fig. 3.5 A áre dess região é dd por π sen x dx = [cos x] π = cos π + cos =. Áre entre gráficos Suponhmos que se queir clculr áre d região R limitd pelos gráficos ds funções y = f(x) e y = g(x), pr x b, em que f(x) g(x), pr todo x [, b], conforme figur 3.6.

5 UFPA Cálculo - ul 3 73 f g Fig. 3.6 Assim, áre A(R) de R é clculd por A(R) = ou sej, A(R) = f(x)dx g(x)dx, [f(x) g(x)]dx. (3.) No presente exemplo, supusemos que mbs s funções ssumim pens vlores positivos. No entnto, expressão em (3.) continu válid mesmo no cso em que s funções tinjm vlores negtivos. Consideremos situção como esboçd n figur 3.7. f R g R Fig. 3.7 Neste cso, região R = R R e A(R) = A(R ) + A(R ). A áre A(R ) é clculd por enqunto A(R ) = A(R ) = f(x)dx g(x)dx em que presenç do sinl n expressão cim se deve o fto de que g(x) é negtiv em [, b]. Portnto ( ) A(R) = f(x)dx + g(x)dx = [f(x) g(x)]dx.

6 74 Cálculo - ul 3 UFPA Mesmo que tenhmos ocorrênci de gráficos como os representdos n figur 3.8, expressão em (3.) continu válid. R R R3 f g Fig. 3.8 Nesse cso temos R = R R R 3. Assim, A(R) = A(R )+A(R )+A(R 3 ). Logo A(R) = c [f(x) g(x)]dx + d c [g(x) f(x)]dx + [f(x) g(x)]dx. Exemplo 8. Clculemos áre d região R sob ret y = x+, cim d prábol y = x e entre o eixo oy e ret x =, conforme figur 3.9. x = Fig. 3.9 Nesse cso, A(R) = [ x (x + x )dx = ] x3 + x = 3 3. Exemplo 9. Encontremos áre d região limitd pel rets y = x 4 e pel prábol y = 4x. Vejmos figur 3..

7 UFPA Cálculo - ul y = x y = 4x Fig. 3. e observemos que n relção y = 4x y não é função de x, ms x é função de y. Assim, podemos escrever x = y 4 e x = y + de modo que os vlores de y correspondentes os pontos de interseção d ret e d prábol são determindos pels rízes d equção y y 8 =, o que nos fornece s soluções y = e y = 4. Dess mneir, A(R) = 4 [ ] [ ] y + y y 4 y3 dy = + y = Integris imprópris Pr termos um idéi inicil do que iremos desenvolver, comecemos com um exemplo. Exemplo. Consideremos função f(x) = x cujo gráfico está esboçdo n figur 3., seguir.

8 76 Cálculo - ul 3 UFPA y = x Fig. 3. Sbe-se que, cso queirmos determinr áre d região bixo do gráfico de tl função, entre os vlores < < b < +, conforme mostrdo n figur 3.(), bst clculrmos integrl f(x)dx. Fig. 3.() Fig. 3.(b) Sejmos um pouco mis mbiciosos e suponhmos que queirmos clculr áre de tod região bixo d curv, cim do eixo ox e pr x < +, conforme mostr figur 3.(b). Observemos que região não é limitd pr vlores de x >. Pr relizrmos tl objetivo, clculremos integrl f(x)dx e depois fremos b tender pr +. O resultdo obtido nesse limite é chmdo integrl imprópri de primeir espécie e será designd por + f(x)dx = lim b + + dx = lim x b + f(x)dx. Assim, [ ] b [ = lim x b + b ] =. Isso mostr que podemos trblhr com regiões não-limitds, ms que possuem áres finits. Qundo isto contece dizemos que integrl imprópri + f(x)dx converge. Vejmos um outro exemplo.

9 UFPA Cálculo - ul 3 77 Exemplo. Consideremos função f(x) = x, pr vlores positivos de x, cujo gráfico está esboçdo n figur 3.3. y = x Fig. 3.3 A áre d região bixo do seu gráfico, cim do eixo ox, entre os pontos b < < b < + é dd por dx. x y = x b Fig. 3.4 No entnto, cso desejemos clculr áre d região limitd pelos gráficos de f(x) = x e pels rets y =, x = e x = b, devemos nos vler, muttis mutndis, ds mesms idéis desenvolvids no exemplo nterior. No cso em tel, procedmos d seguinte mneir: clculremos integrl b dx e depois fremos + e ssim teremos integrl imprópri x de segund espécie x dx.

10 78 Cálculo - ul 3 UFPA y = x b Fig. 3.5 Portnto, b [ ] b [ dx = lim dx = lim x = lim ] x + x + b = b + e, como no exemplo precedente, diz-se que integrl imprópri é convergente. x dx Mis formlmente, sej y = f(x) um função contínu em cd intervlo d form [, M], em que R é um número fixdo e M >. Em virtude d continuidde de f em cd intervlo [, M] tem-se que M f(x)dx existe. Suponhmos que M lim f(x)dx M + exist. Define-se então tl limite como sendo integrl imprópri de primeir espécie d função f em [, + ) e escreve-se + f(x)dx = M lim f(x)dx. M + Se esse for o cso, diz-se que integrl imprópri é convergente. Cso contrário, diz-se que integrl imprópri é divergente. No exemplo integrl imprópri converge. Pode-se tmbém definir integris imprópris d form f(x)dx = lim f(x)dx M M

11 UFPA Cálculo - ul 3 79 n qul função f é contínu em cd intervlo d form [M, b] em que b é um número rel fixdo e M < b. Temos integris d form + f(x)dx = lim M + N M N f(x)dx em que M e N são números reis stisfzendo N < M e função f é integrável em cd intervlo [N, M]. A expressão lim M + N M N f(x)dx deve ser entendid como segue lim M + N M N f(x)dx = ( lim N lim M + Exemplo. Clculemos integrl imprópi x dx M Est integrl é igul à áre mostrd n figur 3.6. N ) f(x)dx. y 4 = 4 + x Fig. 3.6 Pelo que já foi dito temos x dx = lim M + N = lim M + N = lim N = π. ( M 4 N + x dx ( ( ) ( )) rctn N + rctn M lim M + ( ( ) ( ))) rctn N + rctn M

12 8 Cálculo - ul 3 UFPA Consideremos um outr situção. Sej f um função contínu em cd intervlo d form [ + ɛ, b] em que < b são números reis fixdos e ɛ > é qulquer número rel tl que + ɛ < b. Assim, integrl +ɛ f(x)dx existe. Cso o limite lim f(x)dx ɛ + +ɛ exist, diremos que el é um integrl imprópri de segund espécie e escreve-se f(x)dx = lim f(x)dx. ɛ + +ɛ É clro que se f for contínu em [, b] integrl imprópri coincide com integrl de Riemnn usul. Evidentemente outrs situções poderão ocorrer. Suponhmos, por exemplo, que um cert função y = f(x) sej contínu em qulquer intervlo d form [, b ɛ] em que < b são números reis fixdos e ɛ > é qulquer rel tl que < b ɛ. A integrl ɛ f(x)dx sempre existe, qulquer que sej o vlor de ɛ como cim. Se lim ɛ + ɛ f(x)dx existir, ele será tmbém chmdo de integrl imprópri de segund espécie e designd por f(x)dx pr qul são válids tods s observções feits nteriormente pr outr integrl imprópri. Deve-se observr que hipótese de que f sej contínu foi impost fim de grntirmos integrbilidde de f nos intervlos fechdos e limitdos. No entnto, tl hipótese pode ser substituíd por integrbilidde. 3 Comprimento de rco Inicilmente observemos que s plicções d integrl consistem em proximr entiddes, digmos, curvilínes, por outrs que sejm lineres. Trtemos, no presente cso, do comprimento de curvs. Suponhmos que tenhmos o problem de clculr o comprimento d curv representd pelo gráfico d função derivável y = f(x), no intervlo [, b], como descrit n figur 3.7, seguir.

13 UFPA Cálculo - ul 3 8 Fig. 3.7 O comprimento do rco do ponto P o ponto P n é proximdo pelo comprimento d poligonl P P... P n cujo comprimento será designdo por L n. Assim, L n = P P + P P + P n P n. As componentes do ponto P k são dds por P k = (x k, f(x k )) e os de P k = (x k, f(x k )), de modo que P k P k = (x k x k ) + (f(x k ) f(x k )). Usndo o teorem do vlor médio, vide ul 6, à função f, no intervlo [x k, x k ], encontr-se ξ k (x k, x k ) tl que f(x k ) f(x k ) = f (ξ k )(x k x k ) e designndo por x k = x k x k, teremos de modo que P k P k = ( x k ) + [f (ξ k )] ( x k ) = + [f (ξ k )] x k, L n = Fzendo norm d prtição tender zero, obtém-se L = n + [f (ξ k )] x k. k= P = {x = < x < x <... x n < x n = b} lim P e, portnto, temos n + [f (ξ k )] x k = + [f (x)] dx. k= L = + [f (x)] dx. Ess é fórmul pr o cálculo do comprimento do rco descrito por um curv representd pelo gráfico d função y = f(x) entre x = e x = b.

14 8 Cálculo - ul 3 UFPA Exemplo 3. Encontremos o comprimento d curv dd pel equção f(x) = 3 x 3 pr x entre e. Observemos que f é derivável e f (x) = x. Assim, o comprimento L requerido é L = [ + x dx = ( + x) dx = 3 ( + x) 3 ] = 3 4 Volume de sólidos de revolução [ 3 ]. Sej y = f(x) um função contínu e positiv definid em um intervlo fechdo [, b], conforme figur 3.8. R Fçmos um revolução complet d região R definid por R = {(x, y) ; x b e y f(x)}. Vej figur 3.9. Esse sólido é chmdo de sólido de revolução. Fig. 3-9

15 UFPA Cálculo - ul 3 83 Nosso objetivo é determinr o volume desse sólido, por meio de um integrção. Intuitivmente, o processo consiste em ftir o referido sólido em ftis finíssims de tl mneir que els se proximem de um cilindro. Pr isto considerremos um prtição P = { = x < x < x < < x n = b} em que fti determind por [x k, x k ], conforme figur 3-, x x k- k k Fig. 3- possui volume proximdmente igul π [f(ξ k )] x k, em que ξ k é um ponto do intervlo [x k, x k ]. Desse modo, o volume totl proximdo é n π [f(ξ k )] x k. k= Fzendo, como nos csos nteriores, o mior comprimento x k tender zero, obtém-se o volume V do sólido de revolução como sendo V = π [f(x)] dx. Exemplo 4. Clculemos o volume do sólido obtido pel rotção, em torno do eixo x, de todos os pres (x, y) tis que x 4 e y x. O sólido em questão está mostrdo n figur 3..

16 84 Cálculo - ul 3 UFPA O volume desse sólido é ddo por V = π 4 5 Trblho mecânico ( [ x x) dx = π ] 4 = 8π Desde os cursos elementres de Físic que conhecemos o conceito de trblho mecânico relizdo por um forç constnte. Mis precismente, suponhmos que se tenh um forç constnte F deslocndo um certo corpo o longo de um trjetóri retilíne, desde o ponto A té o ponto B, conforme mostr figur 3., e sej d distânci entre tis pontos. Fig. 3. Define-se o trblho mecânico d forç F, designdo por WA B (F ), pr deslocr o corpo do ponto A o ponto B como sendo WA B (F ) = F d. No entnto, nem sempre contece de s forçs envolvids nos fenômenos físicos serem constntes. É o que ocorre com s forçs grvitcionis, elétrics, mgnétics, etc. Em virtude disso, fz-se necessário definir precismente o trblho mecânico qundo s forçs envolvids forem vriáveis.

17 UFPA Cálculo - ul 3 85 Restringiremos noss nálise o cso em que trjetóri é retilíne pois, cso contrário, teremos de lidr com integris de linh, o que foge o escopo dests uls. Suponhmos que estejmos deslocr um corpo o longo de um eixo, por meio de um forç F (x), em que x design posição do corpo com relção à origem O do eixo que estmos considerr, que desloc o corpo desde o ponto té o ponto b, de cordo com o mostrdo n figur 3.3. Fig. 3.3 Como forç F (x) depende d posição x em que o corpo se encontr, não podemos usr definição suprcitd pr clculr o trblho relizdo por F (x) no percurso de té b. No entnto, podemos nos vler de um proximção que nos levrá o conceito de integrl. Com efeito, subdividmos o percurso totl [, b] em pequenos percursos [x i, x i ] ddos por = x < x < x < x 3 < < x n < x n = b e í o leitor já deve ter percebido que construímos um prtição do intervlo [, b]. Evidentemente, mesmo que cd subintervlo [x i, x i ] tenh comprimento bem pequeno, forç F (x) terá um vrição nesse percurso. Contudo, se escolhermos um ponto qulquer ξ i [x i, x i ] e fizermos W x i x i (F (ξ i )) = F (ξ i )(x i x i ) = F (ξ i ) x i teremos um proximção pr o trblho relizdo pel forç F no intervlo [x i, x i ]. Or, cso queirmos um proximção pr o trblho totl no percurso [, b], devemos somr tods s prcels como s cim, pr obter n i= W x i x i (F (ξ i )) = n F (ξ i ) x i. Ess expressão é extmente um som de Riemnn d função F com respeito à prtição P = { = x < x < x < x 3 < < x n < x n = b}. Designndo por P norm dest prtição, pr obter o vlor exto do trblho no intervlo [, b], devemos tomr o limite d som de Riemnn qundo norm d prtição tender zero. Ms isto é precismente integrl de Riemnn d função F no intervlo [, b]. Então o trblho relizdo pel forç F no percurso ddo, designdo por W(F b ), é ddo por Vejmos um exemplo. W b (F ) = i= F (x)dx.

18 86 Cálculo - ul 3 UFPA Exemplo 5. (Trblho relizdo pr deformr um mol) Pel Lei de Hooke forç necessári pr deformr um mol é d form F (x) = kx, em que k é constnte d mol e x deformção. Portnto, cso queirmos deformr mol de um posição té um posição b, o trblho ser relizdo é [ ] x W(F b b [ ] b ) = F (x)dx = kxdx = k = k. 6 Exercícios resolvidos. Clcule o comprimento d circunferênci x + y = R. Solução. Em virtude d simetri d circunferênci, é suficiente clculr o comprimento d prte d circunferênci contid no primeiro qudrnte, e multiplicá-lo por 4. Fig. 3.4 A referid prte d circunferênci é dd pel função f(x) = R x, com x R. Portnto, o comprimento L d circunferênci é L = 4 R + [f (x)] dx. Desde que f (x) = x(r x ) teremos R L = 4R R x dx. Fzendo mudnç de vriável x = R cos θ obtemos L = 4R π R( sen θ) dθ = 4R R R cos [θ]π/ = πr. θ

19 UFPA Cálculo - ul Clcule o comprimento d curv y = 8x 3, de x = à x = 3. Solução. Observemos que y = x 3 e y = 3 x / e ssim o comprimento L d curv é L = (y ) dx = + 8x dx. Usndo mudnç de vriável u = + 8x, obtém-se L = 3 [ 3 + 8xdx = ( + 8x) 3] = [ ] Clcule o volume do sólido obtido pel rotção, em torno do eixo x, de todos os pres (x, y) tis que x 4 e y. Solução. O sólido desse exercício pode ser visulizdo n figur seguir. O seu volume é obtido como segue V = π 4 ( x) dx π 4 dx = 5π. 4. Um prtícul se desloc o longo do eixo ox sob ção de um forç prlel o deslocmento e de módulo igul x. Clcule o trblho relizdo pel forç pr deslocr prtícul de x = té x = 4. Solução. O trblho relizdo pel forç é ddo por 4 x dx = [ x ] 4 = J.

20 88 Cálculo - ul 3 UFPA 7 Exercícios propostos. Nos exercícios seguir, clculr áre d região R entre os gráficos ds funções f e g pr vlores de x no intervlo [, b]. Fç um esboço d região R. () f(x) = x, g(x) =, =, b =. (b) f(x) = x 3 + x, g(x) = x 3 +, =, b =. (c) f(x) = x, g(x) = x +, =, b =. (d) f(x) = x, g(x) = x 4x +, =, b =.. Ns observções feits sobre cálculos de áres considervm-se funções d form y = f(x) e clculvm-se áres de regiões limitds pelo gráfico de f e o eixo x. Este er o problem, e lgums de sus vrições, que considermos té gor. Contudo, existem situções ns quis se tem x como função de y e, nestes csos, clculm-se áres de regiões limitds pelos gráficos ds funções e o eixo oy. Vej figur 3.6. Fig. 3.6 Ness situção, áre d região R é dd por A(R ) = d c g(y)dy. De posse desss observções. Determine áre d região limitd entre s curvs esboçndo os seus gráficos. () x = y 3 y x =. (b) x = y e x = y (c) x = y 3 4y + 3y e x = y. (d) x = y + e x = 4 y.

21 UFPA Cálculo - ul Ache áre d região entre s curvs y = x e y = 9x integrndo () com relção x; (b) com relção y. 4. Mostre que integrl é divergente. x dx 5. Investigue convergênci d integrl + x p dx, > com respeito os possíveis vlores de p. 6. Investigue convergênci d integrl x p dx, b > com respeito os possíveis vlores de p. 7. Investigue convergênci d integrl imprópri + xe x dx. 8. Investigue convergênci d integrl imprópri + xe x dx. 9. Clcule integrl imprópri x ln x dx.. Mostre que integrl é convergente. x.. Clcule integrl imprópri x dx.

22 9 Cálculo - ul 3 UFPA 8 Resposts dos exercícios propostos. () 3 f( x) = - x - g( x) = Fig. 3.7 (b) 3 g( x) = x + 3 f( x) = x + x - Fig. 3.8 (c) 9

23 UFPA Cálculo - ul 3 9 f( x) = x 4 g( x) = x + - Fig. 3.9 (d) 5 3 g( x) = x - 4 x + f( x) = x - Fig.3.3. () x = 3 x = y - y - (b) ln Fig. 3.3

24 9 Cálculo - ul 3 UFPA 4 x = y x = - y Fig.3.3 (c) x = y - 4y +3y x = -y Fig (d) 4 3

25 UFPA Cálculo - ul x = 4 - y x = - y + 3. () (b) 9 8 Fig ( ) 9 x x dx = 43 ( y y ) dy = Diverge pr p e converge pr p >. 6. Converge pr p e diverge pr p >. 7. Converge pr e. 8. Converge pr e Nest ul você prendeu : utilizr integrl definid pr clculr áre, comprimento de rcos, volume de sólidos de revolução e trblho mecânico.

26 94 Cálculo - ul 3 UFPA 9 Apêndice Métodos numéricos pr cálculo de integris Clculr integris definids torn-se mtéri simples desde que conheçmos um primitiv d função ser integrd dd por funções elementres. Além disso, sbe-se que tod função contínu definid em um certo intervlo possui primitiv. Mis precismente, dd um função contínu f : I R, em que I é um intervlo de R, função F (x) = x f(t)dt, em que é um ponto qulquer de I e x I é um primitiv de f em I. No entnto, nem sempre temos primitivs dds como um combinção de funções elementres. O exemplo típico é o d função f(x) = e x. Como, então, clculr e x dx? Pr tingir este objetivo, existem métodos numéricos que, mesmo não exibindo o vlor exto d integrl, nos fornecem proximções tão curds qunto se queir. Exibmos lguns métodos. Método do retângulo (usndo extremiddes de intervlos) Sej f : [, b] R um função integrável. Consideremos um prtição P = {x = < x < x < < x n < x n }. Sbemos que ess prtição P induz um proximção d integrl de Riemnn f(x)dx por intermédio d chmd som de Riemnn n f(ξ i )(x i x i ) i= em que ξ i (x i, x i ). Suponhmos que cd subintervlo [x i, x i ] possu comprimento igul b de modo que x n =, x = + b, x n = + b,..., x n n = + (n ) b, x n n = + n b = b. Escolhmos ξ n = = x, ξ = + b = x n,..., ξ n = + (n ) b = x n n. Conseqüentemente, f(x)dx = b n [f(x ) + f(x ) + + f(x n )]. Cso tivéssemos tomdo s extremiddes esquerds dos subintervlos, terímos proximção f(x)dx = b n [f(x ) + f(x ) + + f(x n )].

27 UFPA Cálculo - ul 3 95 Como já foi observdo, qunto mior for o vlor de n N melhor serão s proximções dds ns expressões cim. As interpretções geométrics desses ftos já form fornecids n ul 9. Método do ponto médio Considerremos um prtição como no cso nterior e escolheremos como ξ i o ponto médio do intervlo [x i, x i ] em que estmos tmbém considerndo todos os intervlos com comprimentos iguis b. Assim, n ξ i = x i +x i pr i =,..., n, de modo que teremos seguinte proxim- ção Vej figur f(x)dx = b n [ f ( x + x ) + f ( x + x ) + + f ( xn + x n )]. x x 3 x3 x n- n b Fig Método do Trpézio Nesse cso considerremos prtição como nos dois csos nteriores e proximmos integrl por meio de trpézios como os mostrdos n figur x x x x 3 n- b Fig. 3.36

28 96 Cálculo - ul 3 UFPA Observemos que áre de cd trpézio é dd por [ ] f(xi ) + f(x i ) b n e ssim temos proximção f(x)dx = b n [ f(x ) + f(x ) + + f(x n ) + f(x ] n). Temos tmbém o método de Simpson, que não será borddo qui. Vejmos um exemplo simples pr ilustrr os métodos numéricos descritos. Consideremos função f : [, ] R, f(x) = x, cuj integrl é clculd, pelo teorem fundmentl do cálculo e é dd por x dx = 3 =, Fçmos subdivisão do intervlo [, ] de modo que tenhmos prtição P = { x = < x = 3 < x = } 3 < x 3 = cujos subintervlos possuem comprimentos iguis 3. Usndo o método do retângulo e tomndo s extremiddes esquerds, conforme figur 3.37, teremos proximção x dx = 3 [ + ( ) + 3 ( ) ] = =, 85. y = x 3 3 Fig. 3.37

29 UFPA Cálculo - ul 3 97 Usndo ind o método do retângulo, ms gor tomndo s extremiddes direits tl como n figur 3.38, teremos [ ( x dx = ) ( ) + + ] = =, 585 y = x 3 3 Fig que é um proximção (por excesso). Usndo regr do trpézio, como é mostrdo n figur seguinte, teremos proximção x dx = 3 [ f() + ( ) + 3 que é um proximção (por excesso). ( 3 ) ] + f() = 9 54 =, 359. y = x 3 3 Fig. 3.39

30 98 Cálculo - ul 3 UFPA Agor, usndo o método do ponto médio, conforme figur 3.4, temos [ ( x dx = ) ( ) ( ) ] = =, 34. que é, neste cso, melhor ds proximções. y = x 3 3 Fig. 3.4 Experimente prtições mis refinds: divid o intervlo em qutro prtes iguis, cinco prtes iguis, etc. Use um clculdor ou progrms mtemáticos como o Mple.