Integrais de Linha. Universidade Tecnológica Federal do Paraná Câmpus Francisco Beltrão. Cálculo Diferencial e Integral 3B

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1 Integris de Linh âmpus Frncisco Beltrão Disciplin: álculo Diferencil e Integrl 3 Prof. Dr. Jons Jocir Rdtke

2 Integris de Linh O conceito de um integrl de linh é um generlizção simples e nturl de um integrl definid f (x) dx (1) No integrndo f(x) em (1), fzemos integrção o longo do eixo x de x = té x = b. Já num integrl de linh, integrremos um dd função, tmbém chmd de integrndo, o longo de um curv no espço (ou no plno). A curv orientd é o cminho de integrção, A : r() é o ponto inicil e B : r(b), seu ponto finl. é um curv suve se el tiver em cd ponto um tngente únic cuj direção vrie continumente enqunto nos movemos o longo de. Qundo A e B coincidem e é suve temos um curv fechd.

3 Definição A integrl de linh de um função vetoril F ( r) sobre um curv : r(t) é definid por F ( r) d r = F ( r(t)) r (t) dt (2) Em termos de componentes, com d r = [dx, dy, dz] temos F ( r) d r = (F 1 dx + F 2 dy + F 3 dz) = (F 1 x + F 2 y + F 3 z )dt. Se o cminho de integrção for um curv fechd, então, em vez de tmbém escrevemos. As integris de linhs são normlmente ssocids o trblho relizdo por um forç F em um deslocmento o longo de, por isto, podemos chmá-ls de integrl de trblho.

4 Exemplo Encontre o vlor d integrl de linh (2) qundo F ( r) = [ y, xy] e é o rco circulr n figur bixo de A B. Dic: Identidde trigonométric sen 2 x = 1 (1 cos 2x) 2

5 Exemplo O cálculo do vlor de integris de linh no espço é prticmente igul o que ocorre no plno. Pr ver isso, encontre o vlor d integrl de linh (2) pr F ( r) = [z, x, y] e é um hélice dd por r(t) = [cos t, sen t, 3t].

6 As proprieddes geris de um integrl de linh decorrem diretmente ds proprieddes correspondentes ds integris definids do cálculo, sber, k F d r = k F d r ( F + G) d r = F d r + G d r F d r = F d r + 1 F d r 2 em que o cminho está subdividido em dois rcos 1 e 2 que têm mesm orientção de. Teorem Quisquer representções de que forneçm mesm direção positiv em tmbém resultm num mesmo vlor pr integrl de linh (2).

7 Trblho Relizdo por um Forç O trblho relizdo por um forç constnte F no deslocmento o longo de um segmento reto d é T = F d. Isso sugere que definmos o trblho T relizdo por um forç vriável F no deslocmento o longo de um curv : r(t) como o limite ds soms dos trblhos relizdos nos deslocmentos de pequens cords de, que result em definir T por meio d integrl de linh (2). Exemplo Nos últimos dois exemplos podemos considerr F sendo um forç e o resultdo d integrl será o trblho relizdo, digmos em Newton-metro (Nm) e/ou Joule (J).

8 onsideremos que F sej um forç, de modo que (2) é o trblho. Digmos que t é o tempo, de modo que d r/dt = v, velocidde. Então podemos escrever (2) como W = F d r = F ( r(t)) v(t) dt (3) Pel segund lei de Newton (forç = mss celerção), F = m r (t) = m v (t) onde m é mss do corpo deslocdo. A substituição em (3) fornece ( ) v v W = m v v dt = m dt = m t=b 2 2 v 2 t= No ldo direito, m v 2 /2 é energi cinétic. Logo, o trblho é igul o gnho de energi cinétic (lei fundmentl d mecânic).

9 Dependênci do minho A dependênci do cminho ds integris de linh tem um importânci prátic e teóric tão grnde que iremos formulá-l n form de um teorem. Teorem A integrl de linh (2) em gerl depende não pens de F e ds extremiddes A e B do cminho, ms tmbém do próprio cminho o longo do qul integrl é considerd.

10 Exercício lcule F ( r) d r pr os seguintes ddos. Se F é forç, esss integrl fornecerá o trblho relizdo no deslocmento o longo de. Esboce. 1. F = [y 3, x 3 ], é prábol y = 5x 2 de A : (0,0) B : (2,20) 2. F = [y 3, x 3 ], é o menor cminho entre A : (0,0) B : (2,20). A integrl fic menor do que no problem 1? Justifique. 3. F = [y 3, x 3 ], vi diretmente de A : (0,0) té B : (2,0) e depois sobe verticlmente té : (2,20). 4. F = [x 2, y 2, 0], é o semicírculo de (2, 0) té ( 2, 0), y 0 5. F = [xy 2, x 2 y], : r = [cosh t, senh t, 0], 0 t F = [e x, e y ] no sentido horário o longo do círculo com centro (0, 0), de (1, 0) té (0, 1). 16 Resposts: ; ; ; 4. 3 ; 5. 93,09; 6. 2 senh 1

11 Exercício lcule F ( r) d r pr os seguintes ddos. Se F é forç, esss integrl fornecerá o trblho relizdo no deslocmento o longo de. Esboce. 7. F = [z, x, y], : r = [cos t, sen t, t] de (1, 0, 0) (1, 0, 4π). 8. F = [cosh x, senh y, e z ], : r = [t, t 2, t 3 ] de (0, 0, 0) à ( 1 2, 1 4, 1 8 ). 9. F = [cosh x, senh y, e z ], é o segmento retiĺıneo de (0, 0, 0) ( 1 2, 1 4, 1 8 ). 10. F = [x, z, 2y] vi diretmente de (0, 0, 0) (1, 1, 0), então té (1, 1, 1), e depois de volt (0, 0, 0). 11. F = [e x, e y, e z ], r = [t, t 2, t 2 ] de (0, 0, 0) (2, 4, 4). 12. F = [x 2, y 2, cos 2 z], : r = [cos t, sen t, t] de (1, 0, 0) (1, 0, 4π). Resposts: 7. 6π; 8. 0,6857; 9. 0,6857; 10. 1,5; ,5854; 12. 2π