Volumes de Sólidos de Revolução. Volumes de Sólidos de Revolução. 1.O método do disco 2.O método da arruela 3.Aplicação

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Volumes de Sólidos de Revolução Prof.: Rogério Dis Dll Riv Volumes de Sólidos de Revolução.O método do disco.o método d rruel.aplicção Pr deduzir um fórmul que nos permit chr o volume de um sólido de revolução, consideremos um função contínu f, não-negtiv no intervlo [, b]. Suponhmos áre d região proximd por n retângulos, todos com mesm lrgur Dx, conforme figur seguir. Conforme figur seguir, obtém-se um sólido de revolução fzendo-se um região pln revolver em torno de um ret. A ret é chmd eixo de revolução. n

2 Fzendo os retângulos revolverem em torno do eixo x, obtemos n discos circulres, cd um dos quis tem volume ddo por π f ( x i ) x Inicilmente fzemos um esboço d região delimitd pelo gráfico de f e pelo eixo x. Conforme figur seguir, trcemos um retângulo representtivo cuj ltur é f (x) e cuj lrgur é x. O volume do sólido formdo pel revolução d região em torno do eixo x é proximdmente igul à som dos volumes dos n discos. Além disso, tomndo o limite qundo n tende pr o infinito, podemos ver que o volume exto é ddo por um integrl definid. Este resultdo é chmdo o Método do Disco. O Método do Disco O volume do sólido formdo pel revolução, em torno do eixo x, d região delimitd pelo gráfico de f e pelo eixo x ( x b), é [ ] Volume = π f ( x ) b Rio = ( ) = + f x x x Exemplo : Determine o volume do sólido formdo pel revolução, em torno do eixo x, d região delimitd pelo gráfico de f (x) = -x + x e pelo eixo x. [ f x ] Volume = π ( ) π ( ) = x + x π ( ) = x x + x 5 x x x = π + 5 π =,5 uniddes cúbics Método do Disco Substituir f (x) Desenvolvendo o integrndo Determinndo ntiderivd Aplicndo o Teorem Fundmentl

3 . O método d rruel OBS: No Exemplo, todo o problem foi resolvido sem pelr pr o esboço tridimensionl mostrdo n figur nterior, à direit. Em gerl, pr estbelecer integrl pr o cálculo do volume de um sólido de revolução, é mis útil um esboço gráfico d região pln do que do próprio sólido, porque o rio se torn mis visível n região pln. Se região revolve em torno do eixo x, podemos determinr o volume do sólido resultnte plicndo o Método do Disco f e g e subtrindo os resultdos. b b [ ] π [ ] Volume = π f ( x) g( x) Escrevendo est expressão como um únic integrl, obtemos o Método d Arruel.. O método d rruel. O método d rruel Podemos mplir o Método do Disco pr clculr o volume de um sólido de revolução que presente um burco. Consideremos um região delimitd pelos gráficos de f e g, conforme figur seguir (ldo esquerdo). O Método d Arruel Sejm f e g contínus e não-negtivs no intervlo fechdo [, b]. Se g (x) f (x) pr todo x no intervlo, então o volume do sólido gerdo pel revolução, em torno do eixo x, d região delimitd pelos gráficos de f e g ( x b), é b b [ ] π [ ] Volume = π f ( x) g( x) f (x) é o rio exterior e g (x) é o rio interior.. O método d rruel. O método d rruel Note que, n figur nterior (à direit), o sólido de revolução tem um burco. Além disso, o rio do burco é g (x), o rio interior.

4 . O método d rruel. O método d rruel Exemplo : Clcule o volume do sólido gerdo pel revolução, em torno do eixo x, d região delimitd pelos gráficos de f x x g x ( ) = 5 e ( ) = conforme figur seguir. Tomndo f (x) como rio exterior e g (x) como rio interior, podemos determinr o volume do sólido como seguir. π ([ ] [ ] ) Volume = f ( x) g( x) π ( 5 x ) ( ) = Método ds Arruels Substituir f (x) e g (x). O método d rruel. O método d rruel ( ) = π 6 x x = π 6x 56π = 6, Simplificr Determinr ntiderivd polegds cúbics. O método d rruel Determinemos primeiro os pontos de interseção de f e g igulndo f (x) e g (x) e resolvendo em relção x. f ( x) = g( x) 5 x = 5 x = 9 x = 6 x = ± Igulr f (x) e g (x) Substituir f (x) e g (x) Elevr mbos os membros o qudrdo Resolver em relção x Exemplo : De cordo com o regulmento, um bol de rugby pode ter como modelo um sólido formdo pel revolução, em torno do eixo x, do gráfico de f x x x ( ) =,9 +,, 5,5 5,5 conforme figur seguir. Utilize este modelo pr determinr o volume de um bol de rugby. (No modelo, x e y são ddos em polegds.)

5 Como região é gird o redor do eixo y, fz sentido ftir o sólido perpendiculrmente o eixo y e, portnto, integrr em relção y. OBS: Obtém-se um sólido em form de um bol de rugby (futebol mericno) pel revolução de um segmento de prábol em torno do eixo x. Pr determinr o volume do sólido de revolução, plique o Método do Disco. Se ftirmos um ltur y, obteremos um disco circulr com rio x, onde x = y /. [ f x ] 5 Volume = π ( ) 5 (,9x,) 5 = π + 5 Método do Disco Substituir f (x) f (y) = y [ ] Volume = π f ( y ) dy b polegds cúbics Exemplo : Determine o volume do sólido obtido pel rotção d região limitd por y = x, y = e x = o redor do eixo y. Como o sólido está entre y = e y =, seu volume é π Volume = y ) dy / / Volume = π y dy = π y dy 5/ 5/ Volume = π y = y 5 π 5 Volume [ ] 96π = π = 5 5 5