MTDI I /08 - Integral de nido 55. Integral de nido

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1 MTDI I - 7/8 - Integrl de nido 55 Integrl de nido Sej f um função rel de vriável rel de nid e contínu num intervlo rel I [; b] e tl que f (x) ; 8x [; b]: Se dividirmos [; b] em n intervlos iguis, mplitude h de cd um deles é h b n : Designndo por x ; x ; : : : ; x n os extremos consecutivos destes intervlos, o produto de h pel imgem de x j ; j < n; dá áre de cd um dos rectângulos representdos no grá co seguinte A som S n hf (x ) + + hf (x n ) hf (x i ) ; dá um proximção d áre d gur limitd pelo grá co de f (x) ; pelo eixo ds bcisss e pels rects x e x b: Se umentrmos n, o número de rectângulos ument e obtemos um melhor proximção d áre. Se zermos n tender pr in nito, podemos obter o vlor correcto d áre. Exemplo: Determinr áre A d região limitd pelo eixo ds bcisss e pels rects x, x e f (x) x + ; isto é, áre d região ssinld cinzento no grá co bixo: i

2 MTDI I - 7/8 - Integrl de nido 56 Seguindo o que foi referido trás, divide-se o intervlo [; ] em n intervlos iguis e tem-se: x ; x n ; x 4 n ; : : : ; x n n n ; pr cd x i; f (x i ) x i + i n + ; mplitude de cd intervlo é h n Assim, pr este cso S n n i i n + n n i + i! n i n (n + ) + n n + + n n Então A lim S n lim n + n + 4 Este método não prece muito e cz pr o cálculo de áres. O exemplo presentdo é um cso muito simples, (que não necessitv de este tipo de cálculo, ddo trtr-se de um áre fcilmente clculável por um simples decomposição d gur num triângulo e num rectângulo) e mesmo ssim deu lgum trblho. No entnto o procedimento presentdo generliz-se e conduz à de nição de integrl de nido. Integrl de nido Sej f um função contínu num intervlo rel I [; b]. O rciocínio feito nteriormente pode ser feito def orm mis gerl, dividindo [; b] em n intervlos não regulres [x i ; x i+ ] de mplitude h i e escolhendo, não um dos extremos do intervlo, ms um qulquer vlor x i do intervlo [x i ; x i+ ]. A som obtid seri então h i f (x i ) : A prtir dqui obtém-se de nição de integrl de nido: i De nição Chm-se integrl de nido de f no intervlo [; b] o limite, se existir, de h i f (x i ) ; qundo h i! : i O integrl, tl como foi de nido (e qundo existe...) represent-se por f (x) dx;

3 MTDI I - 7/8 - Integrl de nido 57 que se lê integrl (reltivo x) de f (x) entre e b e diz-se que função é integrável no intervlo [; b] : A função f é função integrnd, x vriável de integrção e e b os limites de integrção. Pode-se colocr questão de quis são s funções integráveis num determindo intervlo [; b] : O seguinte teorem crcteriz muits desss funções: Teorem Se f é um função contínu num intervlo [; b] ; então f é integrável em [; b] ; isto é, existe f (x) dx: Note-se que o teorem diz pens que um função contínu é integrável, não diz que se não fôr contínu não é integrável. Proprieddes A de nição de integrl permite inferir um série de proprieddes pr funções integráveis num intervlo [; b]: Proprieddes:. Sendo k R,.. 4. R f (x) dx : f (x) dx R b kdx k (b ) : f (x) dx: (f (x) + g (x)) dx f (x) dx + g (x) dx: 5. Sendo k R, kf (x) dx k f (x) dx: 6. Se f é contínu em [; b] e < c < b; então f (x) dx Z c f (x) dx + f (x) dx: c 7. Se 8x [; b] ; f (x) g (x), então f (x) dx 8. Se 8x [; b] ; m f (x) M, então m (b ) R c g (x) dx f (x) dx M (b ) :

4 MTDI I - 7/8 - Integrl de nido 58 Aplicções do integrl de nido o cálculo de áres O integrl de nido tem plicções directs o cálculo de áres. Considermos, no que se segue, funções contínus num intervlo [; b] : Se f (x) ; 8x I; então áre A d gur delimitd pelo grá co de f (x), pelo eixo ds bcisss e pels rects x e x b é A f (x) dx Se f (x) ; 8x I; então áre d gur descrit trás é dd pelo simétrico do integrl (evidentemente que um áre não pode ser negtiv). A f (x) dx Qundo função tom vlores positivos e negtivos no intervlo [; b] o integrl não dá directmente áre, podendo tomr vlores negtivos ou nulos. Por exemplo, o integrl d função sin x entre e é : De fcto, observndo o grá co de sin x; vê-se que s áres ds regiões ssinlds por A e B são iguis, e por isso, no cálculo do integrl de sin x entre e os vlores do integrl entre e e do integrl entre e são simétricos e nulm-se. Pr funções que tomem vlores negtivos e positivos num intervlo [; b], áre d região delimitd pelo grá co d função, pelo eixo ds bcisss e pels rects x e x b é dd por jf (x)j dx: No exemplo nterior áre d gur ssinld cinzento, é dd por Z jsin xj dx:

5 MTDI I - 7/8 - Integrl de nido 59 É ind possível clculr s áres de regiões delimitds por dus funções, pr o que se tem: Se f e g são funções contínus tis que f (x) g (x) ; 8x [; b], áre A d região limitd pels funções f (x) e g (x) e pels rects x e x b é A (f (x) g (x)) dx Exemplo: A áre d gur A no grá co seguinte, em que f (x) x e g (x) x Z é dd por A x (x ) dx A áre A d região limitd pels funções f (x) e g (x) e pels rects x e x b é A jf (x) g (x)j dx Exemplo: A áre A d gur no grá co seguinte, em que f (x) sin x e g (x) cos x é dd por A 5 Z4 4 jsin x cos xj dx

6 MTDI I - 7/8 - Integrl de nido 6 Teorem fundmentl do cálculo integrl O teorem fundmentl do cálculo integrl permite o cálculo de integris de nidos sem recorrer à de nição e mostr relção entre integris de nidos e primitivs (ou integris inde nidos). Teorem (Teorem fundmentl do cálculo integrl) Sej f um função contínu num intervlo rel I [; b] e ' (x) função de nid, 8x [; b]; por Então ' (x) f (x) : Z x ' (x) f (t) dt: Corolário Se f é um função contínu num intervlo rel I [; b] e F é um primitiv de f em [; b]; então f (x) dx F (b) F () : Demostrção (do corolário) Sej F um primitiv de f em [; b]: Como F (x) e Z x ' (x) f (x) dx são primitivs d mesm função, diferem pens num constnte, isto é, Z x f (x) dx F (x) + k: Pr x ; vem Z f (x) dx F () + k,, F () + k, k F () Pr x b; tem-se Substituindo k por F () obtém-se, então, f (x) dx F (b) + k: f (x) dx F (b) F () Observção: A diferenç F (b) F () costum representr-se por [F (x)] b e à iguldde [F (x)] b F (b) F () chm-se fórmul de Brrow.

7 MTDI I - 7/8 - Integrl de nido 6 Exemplos:. Z 5 e x dx [e x ] 5 e5 e. Z ( x (x )) dx Z x x + dx x x + x + ( )! ( ) + ( ) 9 (com este exemplo clculámos um ds áres indicds n págin 59). Vmos clculr áre d gur d págin 58, pr o que é necessário clculr Z jsin xj dx: Como sin x entre e e sin x entre e ; tem-se Z jsin xj dx Z sin xdx + Z sin xdx [ cos x] + [cos x] cos + cos + cos cos Métodos de integrção O teorem fundmentl do cálculo integrl permite o cálculo do vlor de um integrl de nido, desde que se poss clculr um primitiv d função integrnd. Os métodos de primitivção conhecidos podem ser reescritos em termos de integris de nidos. Método de integrção por prtes: Sejm u e v dus funções de nids num intervlo I, com derivds u e v, contínus em I: Pr quisquer dois pontos ; b I tem-se: u (x) v (x) dx [u (x) v (x)] b u (x) v (x) dx Exemplo: Z rcsin xdx () [x rcsin x] Z x p x dx

8 MTDI I - 7/8 - Integrl de nido 6 rcsin rcsin r! 4 p x p! + p () Prtes: u rcsin x! u v x v p x Método de integrção por substituição: Neste cso do método o procedimento simpli c-se pois o cálculo do vlor do integrl é directo desde que, o efectur susbstituição, pr lém de lterr função integrnd e mudr vriável de integrção, se mudem tmbém os limites de integrção. Sendo f um função contínu num intervlo I e u um função bijectiv de um intervlo H no intervlo I; com derivd contínu. Então, pr ; b I; f (x) dx u Z (b) f (u (t)) u (t) dt Exemplo: Z 5 Z () p x dx x Z Z t t dt t + t t + dt t + dt [t rctn t] u () ( rctn + rctn ) 4 rctn () Substituição: t p x u (x) x t + u (t) u (t) t Novos limites de integrção: u (5) p 5 u () p