Teorema Fundamental do Cálculo - Parte 1

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1 Universidde de Brsíli Deprtmento de Mtemátic Cálculo Teorem Fundmentl do Cálculo - Prte Neste texto vmos provr um importnte resultdo que nos permite clculr integris definids. Ele pode ser enuncido como se segue. Teorem (Teorem Fundmentl do Cálculo - Prte ). Se f é contínu em [,b] e F : [,b] R é um função contínu tl que F (x) = f(x) pr todo x (,b), então f(x)dx = F(b) F(). Um função F como cim é chmd de primitiv de f em [,b]. O teorem diz que, pr clculr integrl de um função, é suficiente conhecermos um primitiv dest função. Isto estbelece um interessnte relção entre o processo de integrção e o de derivção. O primeiro, que foi motivdo qui pelo cálculo de áres, já er essencilmente conhecido pelos mtemáticos gregos d ntiguidde. Nquele tempo, clculvm áres e volumes usndo um processo de proximção que ficou conhecido como Método d Exustão. Por outro ldo, s ideis básics do processo de derivção já precim no século XIV, no contexto de dinâmic. Apesr do teorem ser muito útil pr efetur o cálculo ds integris, su importânci históric está no fto de que ele conect dus hbiliddes que à primeir vist são distints. O teorem cont ind com um segund prte, que será vist em um texto seguinte. Antes de provr o Teorem precismos lembrr definição d integrl f(x)dx. Dividimos o intervlo [,b] em n subintervlos de mesmo tmnho x = (b )/n, considerndo os pontos = x < x < x <... < x n < x n = b, com x k = +k x, pr cd k =,...,n. Escolhemos, em cd subintervlo [x k,x k ], um ponto x k rbitrário e definimos f(x)dx = lim n + f(x k ) x. É importnte lembrr que, qulquer que sej escolh dos pontos x k, o limite cim sempre existe e tem o mesmo vlor. k=

2 Demonstrção do Teorem. Observe inicilmente que F(b) F() = F(x n ) F(x ) = [F(x n ) F(x n )]+[F(x n ) F(x )] =. = [F(x n ) F(x n )]+[F(x n ) F(x n )]+ +[F(x ) F(x )]. De fto, pr checr iguldde cim bst eliminr todos os colchetes e perceber que mior prte dos termos se cncelm, restndo no finl somente o primeiro e o último, isto é, F(x n ) F(x ) = F(b) F(). Pr cd k =,...,n, podemos plicr o Teorem do Vlor Médio pr obter x k [x k,x k ] tl que F(x k ) F(x k ) = F (x k)(x k x k ) = f(x k) x, F(x k ) F(x k ) f(x k ) x k x k x k x k x k x k Figur : Gráfico de F Figur : Gráfico de F = f um vez que F (x) = f(x). Substituindo iguldde cim em (), obtemos F(b) F() = f(x n ) x+f(x n ) x +f(x ) x = f(x k ) x. Pssndo o limite qundo n + e lembrndo definição de integrl, concluímos finlmente que que é o que querímos provr. F(b) F() = lim n + k= f(x k ) x = f(x)dx, N sequênci fzemos lgums plicções deste importnte teorem. k=

3 Exemplo. Em um texto nterior, vimos que áre d região S delimitd pelos gráficos ds funções f(x) = (x x ) e g(x) = x é dd pel integrl [(x x ) (x )]dx = [x x ]dx. Nquel ltur, o cálculo foi bem complicdo, e necessitou de lgums fórmuls de somtórios. Vmos gor usr o Teorem pr clculr est áre. Observe que função H(x) = (x (/)x ) é contínu e stisfz H (x) = (x x ). Deste modo, [x x ]dx = H() H() = = 8 6 = 8. Algum dúvid de que foi mis simples gor?! Figur : A região S Exemplo. Considere f(x) = cos(x) e integrl definid π/ f(x)dx = π/ cos(x)dx. Um vez que função F(x) = sen(x) é contínu e stifz F (x) = (sen(x)) = cos(x), vemos que el é um primitiv pr f(x) em [,π/]. Logo, π/ ( π cos(x)dx = F ) ( π F() = sen sen() =. ) Como f em [,π/], o número cim represent áre d região compreendid bixo do gráfico de cos(x), no intervlo [,π/], e o eixo Ox. Se F é um função qulquer e os pontos e b estão no seu domínio, é usul denotr diferenç F(b) F() por F(x) b = F(b) F(). x= Assim, se F é um primitiv de f em [,b], o Teorem Fundmentl do Cálculo se escreve como f(x)dx = F(x) b x=.

4 Exemplo. Vmos retomr outro exemplo do texto nterior. Lá, querímos clculr áre d região delimitd pelos gráficos ds funções f(x) = x e g(x) = x, definids em [,]. Como f(x) g(x) em [,], áre é dd pel integrl [f(x) g(x)]dx = (x x )dx. Um cont simples nos permite encontrr um primitiv pr função que está sendo integrd cim. De fto, ( ) d x dx x = x x, de modo que (x x )dx = ( x x ) x= o que confirm o resultdo obtido no texto nterior. ( ) ( ) = = 6, Exemplo. Um vez que (rctn(x)) = /(+x ), temos que +x dx = (rctn(x)) x= = rctn() rctn() = π = π. O ftor multiplictivo não dificultou em nd cont. De fto, integrl goz de um série de proprieddes que fcilitm vid, conforme você verá n su tref. Nest ltur, você poderi se perguntr se tod função possui primitiv. Confome veremos no próximo texto, respost é firmtiv se considerrmos funções contínus. Mis especificmente, se f é contínu em [,b], então função g definid por g(x) = x f(t)dt, x [,b], é contínu e cumpre g (x) = f(x), pr todo x (,b). Em outs plvs, função cim é um primitiv de f em [,b].

5 Tref Nest tref você vi provr s proprieddes básics d integrl definid. Aind que tods els possm ser provds usndo definição de integrl, fremos isto qui usndo o Teorem Fundmentl do Cálculo. Supondo que f e g são funções contínus, prove s seguintes firmções cdx = c(b ), se c R cf(x)dx = c f(x)dx, se c R [f(x)+g(x)]dx = [f(x) g(x)]dx = f(x)dx = c f(x)dx+ f(x)dx+ f(x)dx c f(x)dx 6. se f(x) em [,b], então 7. se f(x) g(x) em [,b], então f(x)dx 8. se m f(x) M em [,b], então m(b ) f(x)dx f(x)dx M(b ). 5