Noções de Cálculo Integral

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1 Cpítulo 2 Noções de Cálculo Integrl 2.1 Introdução No cpítulo nterior vimos o poder do Cálculo Diferencil em pulverizr um grndez, decompondo o problem proposto em prtes minúsculs, gerlmente mis simples e de resolução diret. Por meio dele segmentos de rets, plnos e homogeneiddes são gerdos prtir de curvs, superfícies complexs e heterogeneiddes, respectivmente. De fto, vists de um ponto muito mplido e próximo, s discrepâncis e complexiddes desprecem e dão lugr às estruturs mis simples. Estudremos gor o problem inverso: como encontrr solução do problem originl prtindo dos innitésimos disponíveis. Tl solução consiste em encixr perfeitmente e somr todos os innitos e minúsculos elementos gerdos pelo Cálculo Diferencil, tref do Cálculo Integrl. 2.2 A Integrl indenid Resolver um integrl consiste bsicmente em encontrr um função chmd de primitiv tl que su derivd é extmente igul à função que dispomos. Por exemplo, primitiv de 3x 2 é x 3, pois (x 3 ) = 3x 2. D mesm form, primitiv de cos x é sin x, pois (sin x) = cos x. Pr ser mis exto, s resposts correts são x 3 + C e sin x + C, sendo C um constnte qulquer ( su derivd, sendo nul, não irá lterr o resultdo). Se integrl d função f(x) é igul g(x) + C, escrevemos: f(x)dx = g(x) + C (2.1) O símbolo d integrl,, é um S longdo, distorcido, lembrndo que ess operção represent um som contínu de elementos muito pequenos e próximos, como veremos n seção 2.7. N expressão cim, função f(x) é o integrndo e está relciond à primitiv g(x) de cordo com operção: g (x) = f(x). Em outrs plvrs, derivd d primitiv é igul o integrndo. É muito importnte destcr que o termo dx não pode ser omitido n representção d integrl: ele indic diretmente vriável sobre qul é feit integrção. Conforme veremos n seção 2.8.4, ele surge d própri denição d diferencil de um função. Conseqüentemente, é errdo e não tem sentido escrever sin x, ou z 3, ou lgo precido! O correto seri sin x dx e z 3 dz, respectivmente. D mesm form, integrl x 2 3 z d

2 Noções de Cálculo Integrl 2 indic um integrção feit sobre vriável, noss vriável de interesse, considerndo x e z constntes. De cordo com o exposto, podemos escrever: 3x 2 dx = x 3 + C 1x 99 dx = x 1 + C cos x dx = sin x + C sin x dx = cos x + C e x dx = e x + C Observe que os integrndos cim são s derivds ds funções que precem no segundo membro d expressão correspondente. A constnte C é obrigtóri, já que su derivd é nul e não fet o integrndo. Como ess constnte não foi denid té o momento, esse tipo de integrl será chmd de integrl indenid. É muito comum encontrmos problems envolvendo x n dx, com n R. Surge pergunt: qul é função cuj derivd é igul x n? Pr respondê-l, observemos que (x n+1 ) = (n+1)x n, ou x n 1 = [ n+1 xn+1 ], pois n+1 é um constnte e pode ser colocd no interior d derivd. Em outrs plvrs, derivd d função x n+1 /(n + 1) é extmente igul à x n. Logo, x n dx = xn+1 + C com n 1 (2.2) n + 1 Este importnte resultdo será muito utilizdo ns deduções e problems que serão vistos no desenrolr do curso. Observe que n deve ser diferente de 1 m de não zerr o denomindor do segundo membro, evitndo su divergênci, isto é, o termo 1/ =. Cso n = 1 o integrndo seri x 1 = 1/x, levndo : 1 dx = ln x + C x A tbel seguinte é um pequen mostr ds integris de lgums funções corriqueirs. Tbels mis complets e extenss podem ser encontrds em livros e n internet, como por exemplo no endereço função x n 1 x sin x cos x sec 2 x e x xn+1 n+1 integrl + C, com n 1 ln x + C cos x + C sin x + C tn x + C e x + C Ex.: Clculr s integris seguintes: () dx; (b) x dx; (c) dx/x 3 ; (d) xdx; (e) dx/ 7 x 5 ; Sol.: () dx = x dx = x +1 /( + 1) + C, logo, dx = x + C, ou sej, som innit e contínu de tods s prtes innitesimis dx é igul o todo, isto é, o próprio x ( constnte ditiv C é incluíd pens pr generlizr solução); (b) pr n = 1, temos: x dx = x 2 /2 + C; (d) x = x 1/2 n = 1/2, logo, x dx = (2/3)x 3/2 + C; (e) 1/ 7 x 5 = x 5/7 n = 5/7. Conseqüentemente, dx/ 7 x 5 = 7 7 x 2 /2 + C.

3 Prof. Pulo Rmos 28 Noções de Cálculo Integrl Algums proprieddes i. Som/subtrção Pode-se provr que {f(x) ± g(x)} dx = f(x) dx ± g(x) dx (2.3) isto é, integrl d som (diferenç) de funções é som (diferenç) ds integris. Ex.: Clculr integrl: (x 5 x + 1) dx. Sol.: De cordo com propriedde presentd, (x 5 x + 1) dx = x 5 dx x dx + dx = 1 6 x6 1 2 x2 + x + C ii. Multiplicção por um esclr Se k é um constnte, então: k f(x) dx = k f(x) dx (2.4) isto é, um constnte multiplictiv si d integrl sem sofrer lterção. Ex.: Clculr (3x 2 5)dx. Sol.: (3x 2 5)dx = (3x 2 )dx 5dx = 3 x 2 dx 5 dx = 3 ( 1 3 x3 ) 5x+C = x 3 5x+C. Muito importnte! As integris não gozm d propriedde distributiv d multiplicção e divisão de funções, ou sej, f(x) g(x) dx f(x) dx g(x) dx f(x) g(x) dx f(x) dx g(x) dx Métodos e técnics especiis serão desenvolvidos o longo d disciplin Cálculo II com o propósito de resolver problems dess nturez. Um deles é o método d integrção por prtes, que será visto rpidmente n seção Mudnç de vriáveis Um técnic simples que permite resolver lgums integris prentemente mis complicds, técnic de mudnç de vriável. Dd su simplicidde, vmos explicá-l trvés dos exemplos seguintes. Ex.: Clculr e 2x+1 dx. Sol.: Sbemos que e x dx = e x + C. A diculdde d questão é o expoente, que não é simplesmente o x desejável, ms 2x + 1. Pr conseguir tl simplicção, podemos fzer

4 Noções de Cálculo Integrl 22 seguinte mudnç de vriável: v = 2x + 1, de tl form que dv/dx = 2 dx = 1 2 dv. A integrl será escrit como: e 2x+1 dx = e v dv 2 = 1 2 e v dv = ev 2 + C = e2x+1 + C 2 Ex.: Clculr (1 3x) 12 dx. Sol.: Chmndo v = 1 3x, vem: dv/dx = 3 dx = 1 3dv, logo, (1 3x) 12 dx = ( v 12 dv ) = v 12 dv = 1 3 v C = (1 3x) C Fic como exercício mostrr que derivd d função cim é relmente igul (1 3x) 12. Ex.: Clculr tn x dx. Sol.: Or, tn x dx = sin x cos x dx. Se chmrmos v = cos x, vem: dv/dx = sin x dv = sin xdx, que é extmente o numerdor d frção dentro d integrl. Assim, tn x dx = sin x dx cos x = dv v = ln v + C = ln sin x + C Ex.: Clculr (x 2 + 1) 1 dx. Sol.: O termo entre prêntesis lembr identidde trigonométric tn 2 φ + 1 = sec 2 φ, o que nos lev à substituição: x = tn φ dx/dφ = sec 2 φ, isto é, dx = sec 2 φ dφ. Assim, dx 1 + x 2 = sec 2 φ dφ sec tn 2 φ = φ dφ sec 2 φ = Como x = tn φ φ = rctn x, obtemos nlmente: dx 1 + x 2 = rctn x + C dφ = φ + C A seguir veremos outro método importnte e poderoso pr resolução de integris mis complexs. 2.5 Integrção por prtes A integrção por prtes consiste em quebrr um integrl mis cprichos em um produto de funções mis simples de se trblhr. Embor este método requeir um pouco mis de prátic e de mlíci, ele será presentdo qui pens pr dr mior mplitude à noss exposição. Sejm dus funções contínus e diferenciáveis, u = u(x) e v = v(x). Como sbemos, (uv) = u v + uv, ou sej d(uv) dx = du dx v + u dv dx

5 Prof. Pulo Rmos 28 Noções de Cálculo Integrl 23 Se multiplicrmos iguldde cim por dx, obtemos d(uv) = v du + u dv, ou ind, d(uv) = v du+ u dv. Como d(uv) = uv (d mesm form que dx = x ou dζ = ζ), teremos: uv = v du + u dv, ou ind, u dv = uv v du (2.5) Esse é o fmoso método d integrção por prtes, cuj essênci consiste n escolh corret ds funções u e v que levem à solução do problem. Ambs s funções dependem de x e permnecem desconhecids té o momento, dí su presenç no interior ds integris. O exemplo seguinte mostr como esse método é utilizdo. Ex.: Clculr xe x dx. Sol.: Podemos quebrr integrl dd em dus prtes se zermos x = u e e x dx = dv. Dí decorre que du = dx e v = e x, cuj substituição em 2.5 fornecerá: xe x dx = xe x e x dx = xe x e x + C = e x (x 1) + C Fic como exercício provr que derivd de e x (x 1) + C é relmente igul xe x. 2.6 A integrl denid Um segundo tipo de integrl que podemos ter é integrl denid. Como o próprio nome sugere, trt-se de um integrl denid pens em um intervlo de vlores possíveis de x. A integrl denid d função f(x) no intervlo x (, b) será representd por: b f(x) dx Como será visto posteriormente durnte s uls d disciplin Cálculo II, o teorem fundmentl do Cálculo estbelece o importnte resultdo: Se f(x) dx = g(x) + C, então b f(x) dx = g(b) g(). Ex.: Clculr 1 2x dx. Sol.: Pr resolver integrl denid precismos ntes obter primitiv correspondente. Temos: 2x dx = 2 x dx = 2 x 2 /2 + C = x 2 + C, ssim, g(x) = x 2. De cordo com o teorem fundmentl do Cálculo, 1 2x dx = g(1) g() = 12 2 = 1. Observe que constnte C não prece n integrl denid e que o resultdo d operção é um número, não um função. Ex.: Clculr 5 2 dx. Sol.: Or, dx = x + C g(x) = x. Logo, 5 2 dx = g(5) g(2) = 5 2 = 3. Ex.: Clculr e x dx.

6 Noções de Cálculo Integrl 24 Sol.: Sej integrl: e x dx. Fzendo x = v, obtemos dx = dv. Logo, e x dx = e v ( dv) = e v dv = e v + C = e x + C, resultndo g(x) = e x e: pois e = 1/e = 1/ =. e x dx = [ e x] = [ e e ] = [ 1] = Interpretção geométric Geometricmente, derivd corresponde à inclinção d ret tngente um curv em um ponto ddo. Ms qul o signicdo geométrico d integrl? Pr que mis el serve, lém de clculr primitivs? Um respost imedit surge d gur seguinte. Nel vemos um curv = f(x) cuj áre delimitd pels rets x 1 =, x N = b e = queremos clculr. x i f xi f x O x 1= x 2 x 3 x x =b i N x Figur 2.1: Decompondo um áre em retângulos Se o intervlo de interesse for dividido em N prtes e retângulos forem construídos (centrdos nos pontos x i, com i = 1, 2, 3,...), cd um com ltur f(x i ) e bse x i, áre A delimitd pel curv será, proximdmente: A N f(x i ) x i i=1 N proximção cim, o somtório, representdo pelo símbolo N i=1, represent um som de N termos do tipo f(x 1 ) x 1 + f(x 2 ) x f(x N ) x N, isto é, som ds áres retngulres.. Obvimente, qunto mior o vlor de N menor será o erro cometido. De fto, à medid que o número de retângulos dentro do intervlo umentr (N ), s sus bses irão diminuir ( x i ), fzendo proximção convergir pr um iguldde. Dito de form mtemátic, N b A = f(x i ) x i = f(x)dx lim N x i i= Indicremos som innit cim pelo símbolo. A integrl simboliz, portnto, um som innit de termos do tipo f(x)dx em um ddo intervlo. Do ponto de vist

7 Prof. Pulo Rmos 28 Noções de Cálculo Integrl 25 geométrico, integrl denid b f(x)dx represent áre sob curv = f(x), de x = té x = b. Ex.: Clculr áre delimitd pel curv f(x) = x entre x = e x = 4. Sol.: Temos: A = 4 4 x dx = x1/2 dx = [ 2 3 x3/2] 4 = 2 3 [ 4 3 ] = = 16 3 u.. Ex.: Idem pr curv f(x) = e x, com x vrindo de. Sol.: Como e x dx = e x + C, vem: e x dx = [e x ] = [ 1] = 1, pois e =, como já foi visto. Ex.: Qul áre formd entre s curvs f(x) = x 2 e g(x) = x no intervlo compreendido entre os seus pontos de intersecção? x 2 x 1 x Sol.: Os pontos de intersecção são obtidos fzendo-se: x 2 = x x 4 = x, ou sej, x 3 (x 1) =, cujs rízes são x = e x = 1. A áre de interesse é diferenç entre s áres sob s curvs x e x 2 (observe x está cim de x 2 ) entre os pontos considerdos, isto é: A = 1 ( x x 2 ) dx. Fic como exercício mostrr que ess integrl é igul 1/ Algums plicções São inúmers s plicções do Cálculo Integrl e o seu estudo detlhdo foge os propósitos deste mteril introdutório. Apresentremos seguir pens um diminuto repertório de plicções d integrl, movidos pel necessidde de simplicção, coerênci e concisão. Representndo um som innit de diminutos elementos innitmente próximos, s integris estão ssocids às distribuições contínus, sejm de mss, crg, energi ou de outr grndez qulquer que se presente dess form. Por ess rzão, els são empregds nos cálculos de comprimentos, áres, volumes, densiddes, distribuições de msss e de crgs, cmpos esclres e vetoriis, de centros de grvidde, momentos de inérci, distribuições contínus de forçs e pressões, energis potenciis e muito mis Vlor médio de um função A áre sob curv f(x) no intervlo x [, b] é dd por b f(x) dx. Se fosse necessário construir um retângulo de mesm áre no intervlo considerdo, qul deveri ser su ltur? Est pergunt é interessnte, pois o se trblhr com um função de vlor constnte (ltur do retângulo) complexidde d curv inicil é contornd.

8 Noções de Cálculo Integrl 26 f f x O b x Figur 2.2: A áre sob f(x) é extmente igul f(b ), sendo f o seu vlor médio no intervlo considerdo. Chmndo ess ltur de f, áre do retângulo será igul (b ) f, sendo b su bse. D iguldde entre s áres, (b ) f = b f(x) dx, vem: f = 1 b b f(x) dx (2.6) O vlor f denido em 2.6 é chmdo de vlor médio d função f(x). Ex.: A celerção instntâne de um prtícul é dd por (t) = 3t (uniddes S.I.). Qul su celerção médi de 1 s 3 s? Sol.: Por denição, ā = (t) dt = (3t 2 + 1) dt = 1 2 [ t 3 + t ] 3 1 = 1 [3 2] = 14 m/s2 2 A eq. 2.6 é gerl e tem plicções em tods s áres, sej n mtemátic, físic, esttístic, engenhri etc Comprimento de um curv Vimos no cpítulo nterior que o comprimento innitesiml ds d curv = f(x) é ddo por: ds = 1 + (d/dx) 2 Se integrrmos mbos os membros dess expressão, encontrremos: s = 1 + (d/dx) 2 dx, pois ds = s, menos de um constnte. Logo, o comprimento d curv entre x = e x = b será: b s = 1 + [ (x)] 2 dx (2.7) N miori dos csos, problems desse tipo podem levr o surgimento de integris cuj resolução dependerá de técnics lém do nível introdutório deste trblho. Entretnto, o uso de tbels mis elbords de integris poderá contornr ess diculdde Volume gerdo por rotção A gur bixo mostr um curv = f(x) que, pós girr em torno do eixo Ox, gerou o volume representdo.

9 Prof. Pulo Rmos 28 Noções de Cálculo Integrl 27 dx f( x) b x Figur 2.3: Sólido gerdo pel rotção d curv f(x). Observe o cilindro innitesiml de volume dv = πf(x) 2 dx. De cordo com mesm gur, um fti trnsversl innitmente n do sólido corresponderá um cilindro de rio e ltur (espessur) dx, com volume innitesiml igul dv = π 2 dx. Lembrndo que V = dv, integrção de x = té x = b de mbos os membros d fórmul nterior fornecerá o volume procurdo: V = π b [f(x)] 2 dx (2.8) Ex.: A prábol = x 2 gir em torno do eixo Ox. Qul o volume do sólido gerdo entre x = e x = 2? Sol.: De cordo com eq. 2.8 o volume será: 2 [ V = π x 2 ] 2 [ 2 x dx = π x 4 5 dx = π 5 ] 2 = 32π 5 u.v. Ex.: Mostre que o volume de um esfer de rio R vle 4 3 πr3. Sol.: Um superfície esféric é gerd pel rotção de um semicircunferênci em torno de um eixo que pss pelo seu diâmetro, por exemplo, Ox. Se o eixo O for o eixo de simetri, equção dess semicircunferênci será: = + R 2 x 2 2 = R 2 x 2, com R x R. De cordo com 2.8, o volume será: V = π R R ( R 2 x 2) R dx = π (R 2 dx R R R ) x 2 dx = πr 2 (2R) 1 3 π(2r3 ) = 4 3 πr3 Veremos gor lgums plicções d integrl no cmpo d Físic Aplicção n Cinemátic É função d Cinemátic obter posição, velocidde e celerção de um corpo no decorrer do tempo. Ao estudr dinmicmente um problem, esforços são feitos no sentido de se encontrr um expressão nlític pr forç resultnte F relciond o movimento correspondente. Or, pel segund lei de Newton, celerção d prtícul é dd por = F/m,

10 Noções de Cálculo Integrl 28 sendo m su mss, considerd constnte. Temos, portnto, celerção do objeto. Porém, como obter velocidde e posição instntânes, x(t) e v(t), conhecid celerção? Pr responder, vle notr que representção de Leibniz pr derivd é signictivmente interessnte e dúbi: o mesmo tempo que dψ/dt simboliz um operção mtemátic (no cso derivção de um grndez genéric ψ(t) em relção à vriável t), tmbém represent um quociente, ou divisão, entre dus grndezs innitmente pequens, dψ e dt, forms resumids de ψ e t, como já foi mplmente discutido no cpítulo nterior. Assim sendo, lembrndo ind d representção de Newton, podemos escrever: ψ (t) = dψ dt dψ = ψ (t) dt que é extmente diferencil d função ψ(t). A integrção de mbos os membros d iguldde cim fornece: dψ = ψ (t) dt. Se conhecermos função ψ (t) resolveremos o problem, pois dψ = ψ dψ = ψ, menos de um constnte. Assim, ψ(t) = ψ (t) dt + C Em linhs geris, esse é o procedimento seguido pr resolver os problems vindouros. Pr tornr mis clro o processo, vmos resolver s questões seguintes. Ex.: A celerção de um corpo é dd por (t) = 3t 2 2t. Obter um expressão pr s correspondentes velocidde e celerção instntânes, sbendo-se que no instnte t = o corpo pssv pel posição x = 4 m com velocidde v = 3 m/s. Sol.: Temos que (t) = dv/dt, ou sej, dv/dt = 3t 2 2t dv = (3t 2 2t) dt. Se integrrmos mbos os membros dess iguldde, teremos: dv = (3t 2 2t) dt, ou ind, v(t) = t 3 t 2 + C, pois dv = v ( menos de um constnte). De cordo com o problem, v() = 3 C = 3, resultndo v(t) = t 3 t D mesm form, dx/dt = v(t) dx = (t 3 t 2 + 3) dt. Integrndo mbos os membros obtemos: dx = (t 3 t 2 + 3) dt x(t) = 1 4 t4 1 3 t3 + 3t + C, sendo C um constnte cujo vlor dependerá d condição inicil x() = 4, isto é, C = 4. Logo, função horári d posição será: x(t) = 1 4 t4 1 3 t3 + 3t + 4. Fic como exercício mostrr que, de fto, dx/dt e d 2 x/dt 2 fornecerão s expressões já conhecids pr velocidde e celerção d prtícul, respectivmente. Ex.: Quis s equções que regem o movimento de um corpo que se move em trjetóri retilíne com celerção constnte e igul, se v(t = ) = v e x(t = ) = x? Sol.: Sendo dv/dt =, então, dv = dt v = dv = dt. Como é constnte, sirá d últim integrl e ssim, v(t) = dt = t + C. D condição v() = v obtemos C = v. Logo, v(t) = v + t. D mesm form, dx/dt = v dx = v(t) dt, ou ind, dx = (v + t) dt. Logo, x(t) = v t+ 1 2 t2 +C ; como x() = x, vem: C = x e x(t) = x +v t+ 1 2 t2. Observe que s expressões obtids pr x(t) e v(t), correspondentes às equções do movimento retilíneo uniformemente vrido, ou M.R.U.V., só form obtids e, conseqüentemente, só devem ser utilizds se prtícul se mover com celerção constnte.

11 Prof. Pulo Rmos 28 Noções de Cálculo Integrl 29 Ex.: Sbendo-se que velocidde instntâne de um prtícul é dd por v(t) = 3 sin t e que no instnte t = su posição é x() =, obter (t) e x(t). Sol.: Or, celerção pode ser obtid fcilmente derivndo-se velocidde, isto é, (t) = dv/dt (t) = 3 cos t. Pr posição, temos: v(t) = dx/dt dx = 2 sin t dt. Integrndo mbos os membros dess últim expressão, encontrmos: dx = 2 sin t dt, ou ind, x(t) = 2 cos t + C, pois dx = x. De cordo com o problem, x() = 2 cos + C = C = 2, resultndo x(t) = 2 2 cos t. Ex.: A celerção de um corpo vri com posição de cordo com expressão (x) = 3x, sendo x su posição. () Encontrr equção d velocidde, v(x), sbendo-se que v = 2 m/s e x = 6 m. (b) Qul velocidde do corpo o pssr pel origem (x = )? Sol.: () De cordo com regr d cdei e lembrndo que dx/dt = v, podemos escrever: = dv dt = dv dx dx dt = v dv dx Observe que o tempo não está mis presente n expressão nl de, gor função d posição, em coerênci com o problem. Como (x) = 3x, temos: v dv dx = 3x v dv = 3x dx. Assim, v dv = 3 x dx v2 2 = 3x2 2 + C Se v = v = 2 qundo x = x = 6, então: 2 = 54 + C C = 52, resultndo: v 2 2 = x v(x) = ± x 2 14 Observe que só existirá velocidde pr vlores de x tis que x 2 14, ou sej, x 14 m ou x 14 m. (b) Neste cso, o vlor de x está for dos intervlos obtidos cim, deixndo o problem sem um respost numéric. De fto, x =, implic x 2 14 = 14, resultndo em um velocidde imginári (número complexo). Este bsurdo rtic pens que é impossível que o corpo psse pel origem do sistem. 2.9 Exercícios geris Probl.1 Clculr s integris ds seguintes funções: () f(x) = ; (b) f(x) = 3x,3 ; (c) f(x) = 1/x 2 ; (d) f(x) = x 5 / 3 x 2 ; (e) f(x) = x x. Probl.2 Clculr s seguintes integris: () (x 2) 2 dx; (b) (x + 5)(x 5) dx; (c) (x + 1)(x + 2)(x + 3) dx; (d) (x 4 + x x π) dx; Probl.3 Atrvés de um mudnç dequd de vriáveis, clculr s integris ds funções bixo: () f(x) = 2x + 3; (b) f(x) = (3 2x) 1 ; (c) f(x) = 1/(3x 4); (d) f(x) = 3x/(2x 2 +

12 Noções de Cálculo Integrl 3 1); (e) f(x) = cos x e sin x ; (f) f(x) = 4 sin 3x cos 3 3x. (g) f(x) = (2x + 5)(x 2 + 5x) 7 ; (h) f(x) = tn x sec 2 x; (i) f(x) = 3(x ln x) 1 ; Probl.4 Usndo o processo de integrção por prtes, obter s integris ds funções: () f(x) = x 2 e x ; (b) f(x) = x sin x; (c) f(x) = e x cos x; Probl.5 Clculr: () 3 1 x2 dx; (b) 1 1 (x+1)12 dx; (c) 2π 4 cos xdx; (d) (f) x 4 dx; (g) π x sin 2 xdx; x 1 dx; (e) + (x+3) 1 dx; Probl.6 Determinr áre delimitd pel curv = sin x e o eixo Ox de x = té x = 2π e interprete o resultdo obtido. Probl.7 Qul áre que hipérbole = 1/x form com o eixo Ox se x [1, + )? Probl.8 Qul áre entre s curvs 1 = 4x x 2 e 2 = (x 2) 2? Probl.9 Provr que o vlor médio d velocidde obtido prtir d equção 2.6 é extmente igul à su denição cinemátic, isto é, v = s/ t, sendo s = s(t) posição d prtícul no tempo t. Probl.1 Qul o vlor médio ds funções: () f(x) = sin x, no intervlo [, 2π]? (b) f(x) = sin 2 x, em [, 2π]? (Dic: utilizr seguinte relção trigonométric: sin 2 x = (1 cos 2x)/2 (ind como exercício, deduzir est identidde!) (c) f(x) = 5x 5, em [, 2]? Probl.11 Sbendo-se que 2 + u 2 du = u u ( 2 ln u + ) 2 + u 2 + C determinr o comprimento do rco d prábol = x 2 de x = té x = 4. Probl.12 Se ret = Rx/H, sendo R e H constntes reis positivs, girr em torno do eixo ds bscisss, determinr: () O volume do cone gerdo, de x = té x = H; (b) O volume do tronco de cone gerdo, de x = h té x = H, sendo < h < H. Probl.13 Clculr o volume gerdo pel rotção de = 2x 3 em torno de O, de = = 4. Probl.14 A densidde liner de mss (representd por λ) é denid como rzão entre mss de um corpo e o seu comprimento, isto é, λ = dm/dx, sendo dm mss de um segmento de tmnho dx pertencente o corpo em questão. Evidentemente, no M.K.S., λ é ddo por kg/m. Supondo que um hste unidimensionl e horizontl de comprimento 3 m sej não uniforme, isto é, possu densidde vriável dd por λ(x) =, 5 + 4x + x 2, obter: () mss totl d hste; (b) posição do centro de grvidde d hste (not: bsciss

13 Prof. Pulo Rmos 28 Noções de Cálculo Integrl 31 do centro de grvidde de um corpo é dd por: x CG = 1 M xdm, onde M é mss totl do corpo e dm mss innitesiml correspondente o comprimento dx). Probl.14 Um ponto move-se em trjetóri retilíne com um descelerção cujo módulo é ddo pel expressão = kv, sendo k um constnte positiv e v velocidde instntâne d prtícul. No instnte t = velocidde do corpo é v. Que distânci el percorrerá té prr?