CÁLCULO I. Denir o trabalho realizado por uma força variável; Denir pressão e força exercidas por um uido.

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1 CÁLCULO I Aul n o 3: Comprimento de Arco. Trblho. Pressão e Forç Hidrostátic. Objetivos d Aul Denir comprimento de rco; Denir o trblho relizdo por um forç vriável; Denir pressão e forç exercids por um uido. 1 Comprimento de Arco Suponh que tenhmos um curv C denid pel equção y = f(x), onde f é contínu em [, b], como ilustrdo bixo: Se curv fosse poligonl, poderímos clculr seu comprimento somndo os comprimentos dos segmentos que formm, ms no cso cim, não podemos proceder dess form. Como sbemos clculr o comprimento de poligonis, então podemos proximr curv por um poligonl e ssim, terímos um proximção pr o comprimento d curv. Sendo ssim, subdividimos o intervlo [, b] em n subintervlos de comprimento x com extremiddes = x, x 1,..., x n = b e tommos os pontos P i = (x i, y i ), i = 1,,..., n. Ao ligr os pontos P 1, P,..., P n obtemos um poligonl como bixo: Sbendo que distânci entre os pontos P i 1 = (x i 1, y i 1 ) e P i = (x i, y i ) é dd por então o comprimento d poligonl é ddo por P i 1 P i = (x i x i 1 ) + (y i y i 1 ) L i = P i 1 P i 1

2 que é um proximção pr o comprimento L d curv. Aumentndo quntidde de pontos que compõem poligonl, temos um proximção cd vez melhor pr o vlor de L. Desse modo, podemos denir lim n + P i 1 P i Agor, sbemos que x = x i x i 1 e tomndo y = y i y i 1, temos que P i 1 P i = (x i x i 1 ) + (y i y i 1 ) = ( x) + ( y) Pelo Teorem do Vlor Médio pr função f no subintervlo [x i 1, x i ], descobrimos que existe um número c i (x i 1, x i ) tl que Logo, f(x i ) f(x i 1 ) = f (c i )(x i x i 1 ) y i y i 1 = f (c i )(x i x i 1 ) y = f (c i ) x P i 1 P i = ( x) + ( y) = ( x) + [f (c i )] ( x) = x 1 + [f (c i )] Logo, o comprimento d curv y = f(x) pode ser denido por lim n + b 1 + [f (c i )] x = 1 + [f (x)] dx Est integrl existe desde que f sej contínu em [, b]. Denição 1 (Comprimento de Arco). Se f for contínu em [, b], então o comprimento d curv y = f(x), x b é: b 1 + [f (x)] dx. Se usrmos notção de Leibniz pr s derivds, podemos escrever fórmul do comprimento de rco d seguinte form: b ( ) dy 1 + dx. dx Exemplo 1. Encontre o comprimento de rco d curv y = x + 1, com 1 x dx = 5 dx = Exemplo. Encontre o comprimento de rco d curv, y = x, com x x dx = 1 + (x) dx Fzendo x = tg(u), temos que dx = sec (u) du. Assim: x dx = + (tg(u)) dx = sec 3 (u) du = 1 (sec(u)tg(u) + ln sec(u) + tg(u) ). 4

3 Segue que: 1 + 4x dx = 1 4 (sec(u)tg(u) + ln sec(u) + tg(u) ) = 1 4 (x 1 + 4x + ln( 1 + 4x ) + x) + C Portnto: 1 + 4x dx = [ 1 4 (x 1 + 4x + ln( ] x ) + x) 16, 8. Exemplo 3. Encontre o comprimento de rco d curv, y = ln(sec(x)), com x π 4. π tg (x) dx = sec(x) dx = [ln sec(x) + tg(x) ] π 4 = ln( + 1). Trblho Considere um corpo rígido sobre qul tu um forç F, sendo o movimento do corpo retilíneo e no sentido d forç: Qundo umentmos velocidde do corpo plicndo um forç sobre ele, podemos dizer que trnsferimos energi pr o corpo. Sendo ssim, trblho W é energi trnsferid de um objeto pr outro por meio de um forç. Qundo energi é trnsferid pr o objeto, o trblho é positivo (W > ). Qundo energi é trnsferid do objeto, o trblho é negtivo (W < ). Logo, relizr trblho signic trnsferir energi. Se forç F que tu sobre o corpo é constnte, o módulo do trblho é obtido pelo produto esclr W = F d W = F d cos θ, sendo F o módulo do vetor forç, d o módulo do vetor deslocmento e θ o ângulo entre os vetores. Porém, como estmos considerndo que eles têm mesm direção e sentido, obtemos: W = F d. Se forç é medid em Newtons (N ) e o deslocmento em metros (m), então unidde do trblho é newton-metro (N m), que é tmbém chmd de Joule (J). Exemplo 4. Aplic-se um forç horizontl constnte de 4 N pr empurrr um cix pesd por um distânci de 5 m. Qul o trblho relizdo? W = F d = 4 5 = J. 3

4 Considere gor um prtícul que se move o longo de um ret sob ção d forç vriável e contínu F (x). Queremos determinr o trblho relizdo por est forç pr deslocr prtícul de um ponto x = o ponto x = b. Como forç é vriável, não podemos plicr fórmul de trblho dd cim. Vmos dividir o intervlo [, b] em n subintervlos com extremiddes x, x 1, x,..., x n e com lrgurs iguis x = b n. Se W i é o trblho relizdo pel forç pr deslocr prtícul no intervlo [x i 1, x i ], então W = W i E o problem reci em clculr um proximção pr W i. Pr tl, escolhe-se em cd subintervlo um ponto rbitrário: x 1 [x, x i ], x [x 1, x ], x 3 [x, x 3 ],..., x n [x n 1, x n ] e ssumimos que, pr deslocr prtícul o longo do intervlo [x i 1, x i ], forç é constnte e igul F (x i ). Assim: W i F (x i ). x e W F (x i ). x. Note que, qunto menor for x, melhor será est proximção. Assim, deni-se: ( ) b W = lim F (x n i ). x = F (x) dx. Exemplo 5. Um prtícul é movid o longo do eixo x por um forç que mede F (x) = 1 (1 + x) N em um ponto x metros d origem. Clcule o trblho relizdo pr mover prtícul d origem té 9 metros. Como forç que tu sobre prtícul x metros d origem é dd por F (x) = 1 (1 + x), pr deslocá-l do ponto x = o ponto x = 9, reliz-se o trblho ddo por: W = 9 [ 1 (1 + x) dx = 1 ] 9 = 9 J. (x + 1) Exemplo 6. A Lei de Hooke rm que forç necessári pr mnter um mol esticd x uniddes lém de seu comprimento nturl é proporcionl x, isto é, F (x) = kx, onde k > é constnte elástic d mol. Suponh que J de trblho sejm necessários pr esticr um mol de seu comprimento nturl de 3 cm pr 4 cm. Qunto trblho é necessário pr esticr mol de 35 cm pr 4 cm? 4

5 Pel lei de Hooke, forç que tu sobre mol é dd por F (x) = kx, onde x é o comprimento d mol lém de,3 m, que é seu comprimento nturl. Como est forç é vriável, então o trblho necessário pr esticr mol de,35 m,4 m (x =, 5 m x =, 1 m) é ddo por:,1 [ ] k,1 W = kx dx =,5 x = 375k 1 5 J,5 Rest então determinr o vlor d constnte k d mol. Como,1 [ ] k,1 = kx dx = x k = Assim: W = , 4 J. 3 Pressão e Forç Hidrostátic Outr plicção muito importnte do cálculo integrl à físic e à engenhri é o cálculo d forç que um uido exerce sobre um superfície. Denição (Pressão). Se um forç de módulo F for plicd um superfície de áre A, então denimos pressão P exercid pel forç sobre superfície como sendo P = F A. Suponh que um plc horizontl n com áre de A metros qudrdos sej submers em um uído de densidde ρ quilogrms por metro cúbico um profundidde h metros bixo d superfície do uído. O uido diretmente cim d plc tem volume V = Ah, ssim, su mss é m = ρv = ρah. A forç exercid pelo uído n plc é, portnto: em que g é celerção d grvidde. Sendo ssim: F = mg = ρgah P = F A = ρgh. Um princípio importnte d pressão de uídos é o fto vericdo experimentlmente de que em qulquer ponto no líquido pressão é mesm em tods s direções. Assim, pressão em qulquer direção em um profundidde h em um uido com densidde de mss ρ é dd por: P = ρgh Isso nos jud determinr forç hidrostátic contr um plc verticl, prede ou brrgem em um uido. Este não é um problem simples, porque pressão não é constnte, ms ument de cordo com profundidde. Suponh que um superfície pln estej imers verticlmente em um uido de densidde ρ, e que prte submers d superfície se estend de x = té x = b, o longo d prte positiv do eixo x. Pr x b, sej w(x) extensão d superfície e h(x) profundidde do ponto x. 5

6 A idei básic pr resolver este problem é dividir superfície em fixs horizontis, cujs áres possm ser proximds por áres de retângulos. Esss proximções de áres, nos permitirão crir um som de Riemnn que proxime pressão totl n superfície. Tomndo um limite ds soms de Riemnn, obteremos um integrl pr F. Denição 3. Suponh que um superfície pln estej imers verticlmente em um uido com densidde ρ, e que prte submers s superfície se estend de x = té x = b o longo do eixo x cujo sentido positivo sej pr bixo. Pr x b, suponh que w(x) sej extensão d superfície e que h(x) sej profundidde do ponto x. Denimos, então, forç do uido sobre superfície por b F = ρgh(x)w(x) dx. Exemplo 7. A fce de um dique é um retângulo verticl com ltur de 1 pés e extensão de pés. Encontre forç totl que o uido exerce sobre fce, qundo superfície d águ está no nível do topo do dique. Considere o peso especíco do uido igul 6, 4 lb/pé 3. Introduzimos um eixo x com origem n superfície d águ, conforme mostr gur bixo: Em um ponto x sobre esse eixo, extensão do dique é de w(x) = pés e profundidde h(x) = x pés. Assim: F = 1 = 148.6, 4.x dx 1 [ x = 148 = 6.4.lb. Exemplo 8. Um plc com o formto de triângulo isósceles, com bse de 1 pés e ltur 4 pés, é imers x dx ] 1 verticlmente em óleo de máquin, conforme mostr gur seguir. Encontre forç F que o uido exerce sobre superfície d plc se densidde de peso (peso especíco) do óleo for 3 lb/pé 3. 6

7 Vmos introduzir um eixo x, conforme mostr gur bixo. Por semelhnç de triângulos, extensão d plc, em pés, um profundidde h(x) = x + 3 pés, stisfz w(x) 1 = x 4 w(x) = 5 x. Assim: F = = 75 ( 5 3.(3 + x). (3x + x ) dx [ 3x = 75 + x3 3 = 34 lb. ] 4 ) x dx Resumo Fç um resumo dos principis resultdos vistos nest ul. Aprofundndo o conteúdo Lei mis sobre o conteúdo dest ul ns seções 6.4, 8.1 e 8. do livro texto. Sugestão de exercícios Resolv os exercícios ds seções 6.4, 8.1 e 8. do livro texto. 7