Aula 27 Integrais impróprias segunda parte Critérios de convergência

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1 Integris imprópris segund prte Critérios de convergênci MÓDULO - AULA 7 Aul 7 Integris imprópris segund prte Critérios de convergênci Objetivo Conhecer dois critérios de convergênci de integris imprópris: critério d comprção e critério do ite do quociente. Introdução Ao lidrmos com um integrl imprópri, questão fundmentl é d convergênci, ou não. Em muits ocsiões, é suficiente determinr se um dd integrl imprópri converge. Nest ul, você prenderá dus mneirs pr, pelo menos em lguns csos, responder à questão d convergênci sem, efetivmente, clculr o vlor d integrl imprópri. Antes de prosseguirmos, no entnto, vmos considerr lguns eemplos nos quis s integris imprópris não convergem. Eemplo 7. Anlise convergênci ds seguintes integris imprópris: () 3 d (c) sen d (b) ( ) d (d) + cos d. ) Vejmos. t d = d = 3 t 3 t ln t 3 = +. Podemos interpretr ess respost d seguinte mneir: se, então t >. Assim, d = ln t 3 é áre sob curv y = entre = e = t. CEDERJ

2 Integris imprópris segund prte Critérios de convergênci f() f() = 3 3 t Dizer que 3 eiste um vlor de t suficientemente grnde tl que é mior do que M. d = signific que, pr cd número M >, t d = ln t 3 3 Em outrs plvrs, eiste um vlor de t cuj áre sob curv correspondente super o vlor de M. Vej que isso ocorre pr todos os vlores M >. Por eemplo, se M =, 3 d = ln 3, 9 >. É verdde que os vlores de t precism ser muito grndes, reltivos os vlores de M, ms isso não é nenhum problem. b) d = d = ( ) t + t ( ) t + + t. y Qundo t +, t + e, portnto, t = +. A interpretção, nesse item, é semelhnte à do item nterior. A diferenç é que s áres t ( ) d = +, com < t <, umentm indefinidmente n medid em que tommos vlores pr t mis e t mis próimos de, pelo ldo direito. t + Os próimos itens diferem bstnte dos nteriores. t f() = ( ) c) sen d = t t sen d = [ cos t]. t Nesse cso, não eiste o ite. Isto é, função f(t) = cos t, n medid em que os vlores de t crescem, fic oscilndo entre e. CEDERJ

3 Integris imprópris segund prte Critérios de convergênci MÓDULO - AULA 7 d) Nesse cso, devemos escrever integrl como som de dus: cos d = + cos d + cos d =. Novmente, como no item nterior, integrl não converge, um vez que, por eemplo cos d = t t cos d = sen t t e t sen t não eiste, pois g(t) = cos t fic oscilndo entre e, qundo t. Você pode observr como os eemplos diferem. É conveniente reservr o termo divergente pr situções ns quis o ite é infinito (+ ou ), como nos csos () e (b). Noscsos como (c) e (d), diremos que integrl imprópri é indefinid. Assim, d diverge pr + e sen d 3 é indefinid. Eemplos referenciis Antes de presentrmos os critérios de convergênci, vmos considerr convergênci de lgums funções, que serão úteis como prâmetros de comprção. Eemplo 7. Ns seguintes firmções, é um número rel mior do que zero. Se r >, então Se r, então Se r >, então b d é convergente. r d é divergente. r e r d é convergente. t Relmente, se r, então t Se r >, (r ) r. t d = r t ( r = e integrl imprópri converge: tr t ). r r r d = 3 CEDERJ

4 Integris imprópris segund prte Critérios de convergênci Se r <, = tr t t r = + e integrl imprópri diverge. Você pode consttr que d diverge e que e r d = e rb r. t Vmos o primeiro critério de convergênci. b Critério d comprção Este critério é ssim chmdo por se bser n comprção de dus funções. Sejm f e g dus funções contínus, definids em [, ), tis que f() g(). se se Nesss condições, g() d converge, então f() d diverge, então f() d tmbém converge; g() d tmbém diverge. Resumindo, se mior converge, menor tmbém converge. Se menor diverge, mior tmbém diverge. Atenção! O critério de comprção pode ser usdo pens qundo mbs s funções são positivs. Vej, n figur seguir, um ilustrção dos gráficos de f e g. y f g O critério d comprção firm que, se áre sob o gráfico d função g é finit, o mesmo ocorre com áre menor, sob o gráfico de f. Em contrprtid, se áre sob o gráfico d função f diverge, o mesmo ocorre com áre mior, sob o grfico de g. Vej como o critério d comprção funcion, nos seguintes eemplos. CEDERJ

5 Integris imprópris segund prte Critérios de convergênci MÓDULO - AULA 7 Eemplo 7.3 sen Anlise convergênci d integrl imprópri ( ) d. Um psso importnte pr usr corretmente o critério é determinr qul função será usd como prâmetro pr comprção. Em outrs plvrs, quem frá os ppéis de f e g? É clro que isso implic num epecttiv d convergênci ou d divergênci d integrl imprópri em questão e, nisso, reside todo o problem. No cso do eemplo em questão, notmos que há um quociente, que função do numerdor é itd (y = sen ) e que o denomindor é um função polinomil de gru. Vmos, portnto, tentr mostrr que integrl converge, usndo pr comprção integrl imprópri d. A grnti d convergênci ( ) dess integrl imprópri é o gru do denomindor, um vez que estmos integrndo sobre semi-ret [, ). Relmente, t [ t ] d = d = ( ) t ( ) t t =. Esse resultdo não é surpreendente se levrmos em cont os prâmetros ddos no eemplo 7.. Agor, devemos nos certificr de que s hipóteses do critério d comprção são stisfeits. Aqui está: R, sen e, portnto, se, sen ( ) ( ). Podemos concluir dizendo: como d converge, pelo critério ( ) sen d comprção, d tmbém converge. ( ) Aqui está um oportunidde pr você tentr: Eercício. Use um prâmetro do eemplo 7. pr mostrr que converge. cos 3 d Vmos mis um eemplo. CEDERJ

6 Integris imprópris segund prte Critérios de convergênci Pr clculr integrl e d, usmos integrção por prtes. Eemplo 7. Clcule e d e mostre que Primeiro o cálculo de e d. Como e d = e ( + + ) + C, e rctg d converge. t t e d = t [ e t (t + t + ) ] =. A Regr de L Hospitl serve pr clculr certos ites. Esse conteúdo foi ensindo no Cálculo I. t + t + Lembre-se de que o = pode ser clculdo usndo t e t Regr de L Hospitl. Agor devemos considerr comprção. Note que, se, rctg < π. Portnto, Ess é um interessnte propriedde d função rco-tngente. e rctg < π e. Análise Rel é um disciplin mis vnçd do curso de Mtemátic. Já sbemos que e, pelo critério d comprção, e d =. Isso nos dá e rctg d converge. π e d = π Antes do próimo eemplo, lgums plvrs sobre o porquê d vlidde do critério. A hipótese de que s funções considerds são positivs é importnte. Queremos informções sobre o t t f() d. Note que F (t) = t f() d é áre sob o gráfico d função (positiv) f de té t. Portnto, se t t, F (t ) > F (t ) (mior o intervlo, mior áre). Então estmos considerndo o ite de um função crescente qundo t. Esse ite só pode ser um número ou. Se um função crescente é itd, seu ite é finito, qundo t. Se, por outro ldo, el segue mjorndo todos números positivos, dizemos que seu ite é infinito. Pr demonstrr firmção nterior, usmos um propriedde dos números reis, que firm que todos os seus subconjuntos não vzios itdos superiormente têm um elemento supremo. CEDERJ 6

7 Integris imprópris segund prte Critérios de convergênci MÓDULO - AULA 7 Este conceito será melhor esclrecido em Análise. A segund firmção é o que crcteriz o ite ser infinito. Assim, integrl imprópri converge, se é itd, ou diverge, cso seus vlores sigm ultrpssndo todos os números reis positivos. O critério d comprção tmbém se plic nos csos em que integrl imprópri tenh seu domínio de integrção itdo. A formulção fic ssim: Sejm f e g funções contínus no intervlo (, b]. Se f() g(), pr todo < b, se Se b b f() d diverge, então g() d converge, então b b g() d tmbém diverge. Vej como isso funcion no seguinte eemplo. f() d converge. Eemplo 7. + Anlise convergênci d integrl imprópri ( ) d. Esse eemplo mostr como precismos ter cuiddo no trto ds integris imprópris. A integrl d diverge. O epoente mior do que ( ) no denomindor grnte convergênci no cso de o ite de integrção ser infinito. No eemplo em questão, o domínio de integrção é [, ]. O próimo eemplo nos dá um pequen etensão do critério d comprção. Agor, como + e, portnto, se <, + ( ) ( ). Como d =, integrl imprópri ( ) + d diverge. ( ) Eemplo 7.6 Sej f : [, ) R um função contínu. Se f() d tmbém converge. Vej como isso funcion. Sbemos que mostrr que π π f() d converge, então e d converge e queremos e sen d tmbém converge. No entnto, não podemos plicr o critério d comprção, um vez que função f() = e sen ssume, tmbém, vlores negtivos. 7 CEDERJ

8 Integris imprópris segund prte Critérios de convergênci Pr confirmr ess firmção bst considerr, seprdmente, os csos r e r <. Ms, sen e, portnto, e sen = e sen e. Assim, o critério d comprção grnte que logo, π e sen d tmbém converge. π e sen d converge, e Vej como isso é possível. Primeiro, pr qulquer número rel r, r + r r. Estmos supondo que f() d converge. Então f() d tmbém converge, e como f() + f() f(), podemos plicr o ( ) critério d comprção pr concluir que f() + f() d é convergente. Ms, t t t ( ) f() d = f() + f() d t t t f() d. Os dois ites d direit são finitos. f() d é convergente. Assim, integrl imprópri Eercício. Mostre que integrl imprópri cos 3 d é convergente. Agor, o segundo critério de convergênci. Critério do ite do quociente g() > e Sejm f e g dus funções contínus em [, ), tis que f() e f() g() = L com L (, ). Isto é, o ite do quociente é um número positivo. Então s integris imprópris f() d e mneir. Ou sej, mbs convergem ou mbs divergem. g() d comportm-se d mesm Esse critério de convergênci é prticulrmente proprido pr nlisr convergênci de integris imprópris cujo integrndo é o quociente de polinômios. Vej como isso funcion no eemplo seguinte. CEDERJ 8

9 Integris imprópris segund prte Critérios de convergênci MÓDULO - AULA 7 Eemplo 7.7 Anlise convergênci ds seguintes integris imprópris: d d. Como ntes, precismos decidir se tentremos mostrr convergênci ou divergênci d integrl e, depois, qul será integrl imprópri usd como prâmetro. No cso, o mior epoente do numerdor é e o do denomindor é 3. A diferenç é. Como d é convergente, vmos mostrr que integrl é convergente. Note que, pr vlores suficientemente grndes de, f() = e g() = >. Temos de clculr o ite: 3 = =. Como L =, podemos plicr o critério e concluir que integrl imprópri d converge No cso, considermos o ite = = 3. Como 9 + d diverge, o mesmo ocorre com / + 8 d. Pr terminr ul, um plvr sobre rzão do funcionmento desse critério. Como o f() g() = L, sbemos que f() L g(), pr vlores suficientemente grndes de. Isso indic que o comportmento ds integris imprópris serão do mesmo tipo. Eercícios d ul. Começmos presentndo s soluções dos eercícios deidos o longo Eercício. Use um prâmetro do eemplo 7. pr mostrr que converge. cos 3 d 9 CEDERJ

10 Integris imprópris segund prte Critérios de convergênci Solução: Sbemos que d converge. 3 Como cos, vle cos critério d comprção, integrl 3 cos 3 Eercício. Mostre que integrl imprópri 3, qundo. Assim, pelo d converge. cos 3 d é convergente. Solução: Esse cso é precido com o nterior, ms não podemos plicr diretmente o critério d comprção, pois função y = cos 3 não é positiv no domínio de integrção. Contudo, podemos plicr o critério d comprção cos o cso d, e, devido o fto presentdo no eemplo 7.6, 3 integrl converge. Nos próimos eercícios, determine convergênci ou divergênci ds integris imprópris usndo um dos dois critérios presentdos n ul. 3. e sen d d. + sen 3. d. 6. d. ln + 7. d. 8. e d sen 9. d.. π + + ( + )( + ) d. +. d.. 3/ + / + + e d. 3. d.. + e d. 8 sen 3. d. 6. d e e d. 8. e + e d. 3 d.. d. ln ln Aqui estão dus sugestões pr judr você encontrr solução de dois eercícios propostos. No eercício, note que, se > e, então ln >. Qunto o eercício, observe que = + = + +. Agor, se ssume vlores próimos de, + + está próimo de =. Usndo isso, mostre que <. CEDERJ 3