MAT Complementos de Matemática para Contabilidade - FEAUSP 1 o semestre de 2011 Professor Oswaldo Rio Branco de Oliveira INTEGRAL

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1 MAT Complementos de Mtemátic pr Contbilidde - FEAUSP 1 o semestre de 011 Professor Oswldo Rio Brnco de Oliveir INTEGRAL Suponhmos um torneir bert em um recipiente e com velocidde de escomento d águ ( vzão, ou fluxo) vrindo com o tempo. Conhecendo o fluxo em cd instnte num período, digmos [0,T], é rzoável que possmos determinr vrição d quntidde de águ neste período. Denotndo por Q(t) quntidde de águ no recipiente no instnte t e introduzindo instntes intermediários 0 = t 0 <... < t i <... < t n = T, vrição no período [0,T] é som ds vrições nos subintervlos temporis: (1) Q(T) Q(0) = [Q(t i ) Q(t i 1 )] = Q [ti t i 1]. A tx de vrição de Q = Q(t) em [t i 1,t i ] é vzão num determindo instnte t i [t i 1,t i ] (vide teorem do vlor médio e/ou su interpretção). Isto é, pondo t i = t i t i 1, () Combinndo (1) e () obtemos, (3) Q(T) Q(0) = Q [ti 1 t i ] t i = Q(t i) Q(t i 1 ) t i t i 1 = Q (t i ). Q [ti t i 1] t i t i = Q (t i ) t i. Definimos então integrl de Q [que notmos T 0 Q (t)dt] como o limite dos somtórios, Q (c i ) t i, c i rbitrário em [t i 1,t i ], qundo os comprimentos dos sub-intervlos tendem todos zero. Assim, se tl limite existir, e ele existe se Q é continu, temos, Q(T) Q(0) = T 0 Q (t)dt Interpretção: vrição d quntidde de águ é integrl do fluxo no período considerdo. Retornem el o estudrem no Cálculo III o Teorem d Divergênci, ou de Guss. NotndoqueQéumprimitivdeQ etrocndoq porf éfácilverquepodemosreenuncir o resultdo cim como: dd f : [,b] R integrável e F um primitiv de f temos, f(x)dx = F(b) F(). Oscálculoscimconstituemcomummínimodecuiddosumdemonstrçãodo1 o Teorem Fundmentl do Cálculo, como mostrmos seguir. 1

2 1 o Teorem Fundmentl do Cálculo: Sej f : [,b] R integrável e F : [,b] R derivável e tl que F = f. Então, Prov: Por definição, f(x)dx = F(b) F(). f(x)dx = lim P 0 f(c i ) x i, onde P = {x 0 = < x 1 < x <... < x n 1 < x n = b} é um prtição de [,b], P = mx x i = mx{ x 1,..., x n } é norm d prtição P, E = {c 1,...c n } é um escolh 1 i n rbitrári de pontos c i [x i 1,x i ], i = 1,...,n subordind à prtição P e f(c i ) x i, é som de Riemnn reltiv à prtição P e à escolh E. Sej P = {x 0 = < x 1 < x <... < x n = b} um prtição qulquer de [,b]. Temos, F(b) F() = [F(x 1 ) F(x 0 )]+[F(x ) F(x 1 )]+...[F(x n ) F(x n 1 )] e, pelo TVM pr Derivds, existe c i [x i 1,x i ] tl que F(x i ) F(x i 1 ) = F (c i ) x i. Logo, como F (c i ) = f(c i ), som de Riemmnn de f reltiv à est prtição P e est prticulr escolh E = {c 1,c,...,c n } é f(c i ) x i = F (c i ) x i = [F(x i ) F(x i 1 )] = F(b) F(). Assim, pr tod prtição P existe um escolh E tl que o vlor d som de Riemnn correspondente é F(b) F(). Portnto, como existe o limite pr escolhs rbitráris subordinds um prtição, tl limite é igul o vlor já obtido: F(b) F() Assumiremos neste texto o seguinte resultdo, Teorem: Se f : [,b] R é contínu então f é integrável. Prov: Vide H. L. Guidorizzi, Cálculo 1, 5 ed., LTC Editor, pp Pssmos então provr o intuitivo e importnte resultdo, Teorem: Sej f : [,b] R contínu tl que f 0 e f(x 0 ) > 0 pr lgum x 0 [,b]. Então, f(x)dx > 0. Prov: Suporemos x 0 (,b) pois demonstrção é semelhnte nos csos x 0 = e x 0 = b.

3 y f(x 0 ) f(x 0 ) ϕ (x 0 r)x 0 (x 0 +r)b x Figur 1: A integrl de ϕ, com f ϕ 0. Por continuidde, existe um intervlo J = [x 0 r,x 0 +r] (,b) tl que f(x) > f(x 0), x [x 0 r,x 0 +r]. Então, função ϕ : [,b] R (vide figur bixo) definid por, 0, se x [,x 0 r] ou se x [x 0 +r,b], ϕ(x) = ϕ(x 0 ) = f(x0) liner sobre os segmentos [x 0 r,x 0 ] e [x 0 +r,b], é contínu, stisfz f(x) ϕ(x), x [,b], e ind, f(x)dx ϕ(x)dx = x0+r x 0 r ϕ(x)dx = f(x 0)r > 0. 1 o TVM pr Integris: Sej f : [,b] R, f contínu. Então, existe c (,b) tl que Prov: Vide figur bixo. f(x)dx = f(c)(b ). y f(c) c b x Figur : Ilustrção pr o 1 o TVM pr Integris pr f contínu e positiv. 3

4 Se f é constnte é óbvio que em qulquer c em (,b) iguldde firmd é stisfeit. Se f não é constnte, sejm m = f(x 1 ) e M = f(x ) o mínimo e máximo de f, respectivmente. Então, m f(x) M, x [,b], e existe x 0 [,b] tl que m < f(x 0 ) < M, e como f contínu, obtemos [f(x) m]dx > 0 e [M f(x)]dx > 0. Logo, mdx < f(x)dx < M dx, donde m < f(x)dx < M, b e portnto, pelo Teorem do Vlor Intermediário, existe c (x 1,x ) (ou (x,x 1 )) tl que f(c) = f(x)dx b Pssmos então provr o, o Teorem Fundmentl do Cálculo: Sej f : [,b] R contínu. Então, está bem definid função F : [,b] R dd por F(x) = x f(t)dt, e ind, F é um primitiv de f. Isto é, F é derivável e F (x) = f(x), x [,b]. Prov: Utilizndo proprieddes elementres de integris e o TVM pr integris temos, F(x+h) F(x) h = x+h f(t)dt x f(t)dt = h x+h f(t)dt x = f(c)h = f(c) h h pr lgum c = c(h) entre x e x+h. Se h 0, c x e devido à continuidde de f segue que F(x+h) F(x) lim = lim f ( c(h) ) = f(x), h 0 h h 0 o que prov que F é derivável e que F = f o TVM pr Integris Sejm f,g : [,b] R, f e g contínus, com g 0 e g(x)dx > 0. Então, existe c (,b) tl que Prov: ( ) f(x)g(x)dx = f(c) g(x) dx. Sejm m = f(x 1 ) e M = f(x ) o mínimo e máximo de f, respectivmente. Então, x [,b] temos m f(x) M e ind, mg(x) f(x)g(x) Mg(x). Consideremos γ = f(x)g(x)dx g(x)dx 4

5 Cso 1: Se m < γ < M, pelo TVI existe c (x 1,x ) (ou (x,x 1 )) tl que f(c) = γ. Cso : Se γ = M então [M f(x)]g(x)dx = 0 e portnto, como [M f(x)]g(x) 0, temos [M f(x)]g(x) = 0, x [,b], e como g não se nul em lgum intervlo berto J, segue que f é então constnte e igul M em J e ssim, todo c em J stisfz (**). Cso 3: (γ = m) Bst plicr o Cso o pr de funções f e g Interpretção: Se f é contínu, f ssume su médi ponderd por g 0 se g(t)dt > 0. Proposição (Fórmul d Integrção por Prtes n Integrl Indefinid): Sejm f e g deriváveis em (,b). Então, f g dmite primitiv em (,b) se e só se fg tmbém dmite e, neste cso, Prov: Pel fórmul (fg) = f g +fg temos f(x)g (x)dx = f(x)g(x) fg = (fg) f g, f (x)g(x)dx. donde concluímos que ψ é um primitiv de f g se e somente se fg ψ é um primitiv de fg. Isto é, ψ = f g (fg ψ) = fg Notção: Usulmente lembrmos d fórmul de integrção por prtes escrevendo, udv = uv vdu. Proposição (Fórmul d Integrção por Prtes n Integrl Definid): Sejm f e g funções com derivds contínus em [, b]. Então, Prov: f(x)g (x)dx = [ f(x)g(x) ] b Pelo 1 o Teorem Fundmentl do Cálculo temos, (fg) (x)dx = [ f(x)g(x) ] b f (x)g(x)dx. D fórmul (fg) = f g +fg d lineridde d integrl definid segue que, (fg) (x)dx = f (x)g(x)dx+. f(x)g (x)dx. Eliminndo (fg) (x)dx ds dus equções cim obtids concluímos tese 5

6 Proposição (Mudnç de Vriável n Integrl Indefinid): Sej I um intervlo e consideremos f : x I f(x) R. Suponhmos que ϕ : y J x = ϕ(y) I, J um intervlo, é inversível e derivável com invers ϕ 1 : x I y = ϕ 1 (x) J tmbém derivável. Se f ( ϕ(y) ) ϕ (y)dy = F(y)+k,y J e k fixo em R, então, f(x)dx = F ( ϕ 1 (x) ) +k. Prov: Aplicndo regr d cdei, hipótese sobre F e novmente regr d cdei obtemos, (F ϕ 1 ) (x) = F ( ϕ 1 (x) ) (ϕ ( 1 ) (x) = f ϕ ( ϕ 1 (x) )) ϕ ( ϕ 1 (x) ) (ϕ 1 ) (x) = = f(x) (ϕ ϕ 1 ) (x) = f(x) 1 = f(x) Teorem d Mudnç de Vriável: Sej f : I R contínu, I um intervlo e e b rbitrários em I. Sej ϕ : [c,d] I tl que ϕ é contínu e ϕ(c) = e ϕ(d) = b. Então, f(x)dx = d c f ( ϕ(y) ) ϕ (y)dy. Atenção: Não é necessário < b. Prov: Como f, ϕ e ϕ são contínus, s dus integris definids cim existem. Aind, por ser contínu f dmite um primitiv F e então, pelo 1 o Teorem Fundmentl do Cálculo, Aind mis, pel regr d cdei temos f(x)dx = F(b) F(). (F ϕ) (y) = F ( ϕ(y) ) ϕ (y) = f ( ϕ(y) ) ϕ (y) e então, plicndo novmente o 1 o TFC obtemos d f ( ϕ(y) ) ϕ (y)dy = (F ϕ)(d) (F ϕ)(c) = F(b) F() = c f(x)dx 6