Universidade de Mogi das Cruzes UMC. Cálculo Diferencial e Integral II Parte III
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- Helena Fidalgo Barreiro
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1 Cálculo Diferencil e Integrl II Págin Universidde de Mogi ds Cruzes UMC Cmpos Vill Lobos Cálculo Diferencil e Integrl II Prte III Engenhri Civil Engenhri Mecânic mrili@umc.br º semestre de 05
2 Cálculo Diferencil e Integrl II Págin temos:.. Integrção por Prtes Sejm f( ) e g ( ) funções deriváveis no intervlo I, pel derivd do produto, f g f g f g f g f g f g ( ). ( ) ' ( )'. ( ) ( ). '( ) ( ). '( ) ( ). ( ) ' ( )'. ( ) f ( ). g '( ) d f ( ). g( ) ' d f ( )'. g( ) d f ( ). g '( ) d f ( ). g( ) f ( )'. g( ) d N prátic, pr u f ( ) e v g( ), temos du f '( ) d e dv g '( ) d Substituindo n fórmul nterior obtemos fórmul de integrção por prtes: udv uv vdu. u dv... e d e d... Eemplos du d udv uv vdu v e d e. Clculr s integris ds seguintes funções, por prtes: e d e e d e e c e ( ) c... send u du d dv send v send cos udv uv vdu. send ( cos ) ( cos )d cos cos d Resolvemos integrl cos d u du d cos d dv cos d v cos d sen, tmbém por prtes:
3 Cálculo Diferencil e Integrl II Págin udv uv vdu cos d sen send Substituindo n integrl nterior, temos:. send cos cos d. send cos sen cos c. send cos [ sen send] cos sen send.. e.cos d u e du e d dv cos d v cos d sen udv uv vdu e.cos d e sen sen. e d e sen e send Resolvemos integrl e send e send u e du e d dv send v send cos, tmbém por prtes: udv uv vdu e send e ( cos ) ( cos). e d e cos e cos d Note que integrl nterior, temos: e.cosd e sen e send e cos d é mesm integrl procurd. Substituindo n integrl e.cos d e sen ( e cos e cos d) e.cosd e sen e cos e cosd e.cosd e sen e cos e sen e cos e.cos d e ( sen cos ) e.cos d c
4 Cálculo Diferencil e Integrl II Págin 4... Eercícios. Clculr s integris ds funções bio, por prtes:.. send u du udv uv vdu dv send v.. ( 7) cos d u du udv uv vdu dv v ( 7) cos d.. ( ) e d u du udv uv vdu dv v ( ) e d.4. cos d u du udv uv vdu dv v cos d.5. ln d u du udv uv vdu dv ln d v
5 Cálculo Diferencil e Integrl II Págin 5.6. d u du udv uv vdu dv v d.7. ln d u du udv uv vdu dv v ln d.8. ln d u du udv uv vdu dv v lnd
6 Cálculo Diferencil e Integrl II Págin 6.9. ln d u du udv uv vdu dv v ln d.0. ln d u du udv uv vdu dv v ln d.. e d u du udv uv vdu dv v e d
7 Cálculo Diferencil e Integrl II Págin 7.. sec d u du udv uv vdu dv sec d v. Clcule s integris bio.. e d u du udv uv vdu dv v e d.. 4 e d u du udv uv vdu dv v 4 e d
8 Cálculo Diferencil e Integrl II Págin 8.. (ln ) d u du udv uv vdu dv v (ln ) d.4. ( ) e d u du udv uv vdu dv v ( ) e d
9 Cálculo Diferencil e Integrl II Págin 9.5. sen5d u du udv uv vdu dv sen5d v.6. e d u du udv uv vdu dv v e d.7. (ln ) d u du udv uv vdu dv v (ln ) d
10 Cálculo Diferencil e Integrl II Págin 0 e sen d.08. u du udv uv vdu dv v e send. Clcule s integris bio.. rctgd u du udv uv vdu dv v rctgd
11 Cálculo Diferencil e Integrl II Págin.. e d u du udv uv vdu dv e d v.. ( ) e d u du udv uv vdu dv v ( ) e d
12 Cálculo Diferencil e Integrl II Págin.4. cos d u du udv uv vdu dv v cos d.5. ( ) cos5d u du udv uv vdu dv v ( ) cos5d
13 Cálculo Diferencil e Integrl II Págin.6. ( ) cos d u du udv uv vdu dv v ( )cos d.7. send u du udv uv vdu dv v send
14 Cálculo Diferencil e Integrl II Págin 4 Resposts:.. cos sen c.. ( 7) sen cos c.. e ( ) c.4. sen cos c.5. (ln ) c ( ) ( ) c 5.7. (ln ) c.8. (ln ) c.9. (ln ) c.0. (ln ) c.. e ( ) c.. tg ln cos c ( ) c.. e 7 e ( ) c.5.. (ln ) ln c 4 e.. ( ) c 4 4 cos5 sen5 c sen cos c 5e.8.. (ln ) ln c e ( ) c ln( ).. rctg c sen cos sen c.5. sen ( )( ) cos c 4 e ( ) c.. sen5 cos5 c e ( 4 5) c cos sen cos c
15 Cálculo Diferencil e Integrl II Págin 5. Integrl definid.. Teorem Fundmentl do Cálculo Se f( ) é contínu em um intervlo fechdo [ b, ] e se F ( ) é qulquer primitiv de f( ), então f ( ). d F( b) F( ).... Eemplos b d ( ) d.4 ( ) 6 5 u d ( ) cos d sen sen sen 0... Integrl indefinid e cálculo de áre Qundo função f( ) é continu e não negtiv em [ b,, ] integrl definid coincide com o vlor d áre S limitd pel curv. Pr os eemplos e cim clculmos áre d região S. eio ds bscisss e s rets Definição: dd um função contínu f( ) 0, áre entre curv, o e b é chmd integrl definid de f entre os limites b e b ( b), que se escreve f ( ). d. Os números e b são limites de integrção, em que é o limite inferior e b o limite superior.
16 Cálculo Diferencil e Integrl II Págin 6 Obs: A integrl definid é um número que represent áre bio d curv. A integrl indefinid é um função, isto é, é um fmili de primitivs.. 0 d Cálculo d áre: Função: f ( ) Gráfico d função 0 bh.. 9 d u.. Obs: áre de um retângulo: bh. S.. 4 d Função: Cálculo d áre: f ( ) Gráfico d função 4 ( B b). h (5 ).6 d u.. Obs: áre de um trpézio: ( B b). h S
17 Cálculo Diferencil e Integrl II Págin 7.. Teorem Se f é continu em [ b,, ] então f é integrável em [ b., ] P P P P4 P5 P6 P7 P8 P9 P0.. Proprieddes d Integrl Definid b Supondo b, f( ) e g ( ) funções contínus nos respectivos intervlos: f ( ). d f ( ). d b b b cf ( ). d c f ( ). d, c: constnte b b b f ( ) g( ). d f ( ). d g( ). d b b b f ( ) g( ). d f ( ). d g( ). d b c b f ( ). d f ( ). d f ( ). d, c b c b f ( ). d 0 f ( ). d 0, f( ) 0 b b f ( ). d g( ). d, f ( ) g( ) e [, b] b f ( ). d f ( ). d b b f ( ). d ( b ). f ( c), c b... Eemplos.Verifique se iguldde é verddeir 0. d. d d. d d. d
18 Cálculo Diferencil e Integrl II Págin 8. Clcule s integris definids:.. 7. d ( ) d 7. d 7. 7( ) 7( ) 7( ).. (5 6) 0 d (5 6) d 5 d d 6d 5 d d 6 d d º modo: clculr integrl indefinid pelo método d substituição e, n sequênci clculr integrl definid. u 5 du 5d u 5 du d u du c 5 u u c 5 c ( d 5. ) (7 ) º modo: clculr integrl pelo método d substituição e, n sequênci, reclculr os limites de integrção n integrl definid. u 5 du 5d N integrl (vriável ) 0 N integrl (vriável u) u 5. u 9 u 5.0 u du u d. u (49 9 ) (7 ) u 9 9 9
19 Cálculo Diferencil e Integrl II Págin 9.4. Eercícios.Clcule s seguintes integris definids:.. ( ) d Ç.. 0 ( 4 7) d Ç.. d t tdt.5. d 5
20 Cálculo Diferencil e Integrl II Págin send cos d A.8. ( sen cos ) d.9. 0 ( cos ) d
21 Cálculo Diferencil e Integrl II Págin.Clcule s seguintes integris definids pelo método d substituição:.. u dy 0 y du S.. u d 9 du S.. u 0 v dv ( v ) du
22 Cálculo Diferencil e Integrl II Págin S.4. u 4 d ( ) du S.5. u 4 0 ( ) d du S.6. u 5 d du
23 Cálculo Diferencil e Integrl II Págin.Clcule s seguintes integris definids pelo método de integrção por prtes:.. ln d u du udv uv vdu dv v.. e d u du udv uv vdu dv v
24 Cálculo Diferencil e Integrl II Págin 4 Resposts: ln e
25 Cálculo Diferencil e Integrl II Págin 5.5. Aneo Revisão Logritmo e Trigonometri CICLO TRIGONOMÉTRICO A Seno Cosseno Tngente RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS ESPECIAIS 0º ( /6) 45º ( /4 ) 60º ( / Cotngente ) FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: Seno de é ordend OP do ponto P em relção o sistem uov. Cosseno de é bsciss OP do ponto P em relção o sistem uov. Sendo e lgébric de AT. Sendo 0,,, tngente de é medid, cotngente de é medid lgébric de BD. Sendo,, considerndo s tngente o ciclo em P e, sendo S su intersecção com u, secnte de é bsciss OS do ponto S. 0,,, considerndo s tngente o ciclo em P e, sendo S su intersecção com v, Sendo cossecnte de é ordend OC do ponto C.
26 Cálculo Diferencil e Integrl II Págin 6 Resumo: sen 0 cresce decresce 0 decresce - cresce 0 cos decresce 0 decresce - cresce 0 cresce tg 0 cresce Não cresce 0 cresce Não cresce 0 eiste eiste cotg não eiste decresce 0 decresce não eiste decresce 0 decresce não eiste sec cresce Não eiste cresce - decresce Não eiste decresce cossec Não eiste decresce cresce não eiste cresce - decresce não eiste LOGARITMO: Definição: Se, b R, 0 e b 0, então log b b Conseqüêncis:. log 0 b. log c. log b b Proprieddes:. logritmo do produto: log ( b. c) log b log c b. Logritmo do quociente: log b log b log c c. Logritmo d potênci: log b log b c
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6 Cálculo Integrl. (Eercício VI. de []) Considere função f definid no intervlo [, ] por se [, [ f () = se = 3 se ], ] () Mostre que pr tod decomposição do intervlo [, ], s soms superior S d ( f ) e inferior
x 0 0,5 0,999 1,001 1,5 2 f(x) 3 4 4,998 5,
- Limite. - Conceito Intuitivo de Limite Considere função f definid pel guinte epressão: f - - Podemos obrvr que função está definid pr todos os vlores de eceto pr. Pr, tnto o numerdor qunto o denomindor
A força não provém da capacidade física, e sim de uma vontade indomável. Mahatma Gandhi
A forç não provém d cpcidde físic, e sim de um vontde indomável. Mhtm Gndhi Futuros militres, postos! É hor de meter o ggá! Este é o módulo 8 do curso de MATEMÁTICA d turm AFA-EN-EFOMM- EsPCE-EEAr. Nesse
b a f(x) dx a f(x)dx = 0 f(x)dx a f(x)dx = - b f(x)dx b f(x)dx = c f(x)dx + b f(x)dx ou - f(x)dx ou - f(x)dx f (x) y f (x) 1 DEFINIÇÃO DE INTEGRAL
DEFINIÇÃO DE INTEGRAL Dentro do conceito do cálculo, temos que integrl foi crid pr delimitr áre A loclizd sob um curv f() em um plno crtesino. A f () b A notção mtemátic d integrl cim é: A = b f() d 2
1 x 5 (d) f = 1 + x 2 2 (f) f = tg 2 x x p 1 + x 2 (g) f = p x + sec 2 x (h) f = x 3p x. (c) f = 2 sen x. sen x p 1 + cos x. p x.
6. Primitivs cd. 6. Em cd cso determine primitiv F (x) d função f (x), stisfzendo condição especi- () f (x) = 4p x; F () = f (x) = x + =x ; F () = (c) f (x) = (x + ) ; F () = 6. Determine função f que
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