Derivada da função composta, derivada da função inversa, derivada da função implícita e derivada de funções definidas parametricamente.

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1 .5.- Derivd d função compost, derivd d função invers, derivd d função implícit e derivd de funções definids prmetricmente. Teorem.3 Derivd d Função Compost Suponh-se que g: A R é diferenciável no ponto e que f: D Ré diferenciável no ponto bg(). Então fog é diferenciável no ponto e tem-se : Utilizndo outr notção: ( g( ) ) g ( ) ( fog ) ( ) f h fog e zf() e g() então dh d Eemplos: Clcule derivd dos seguintes eercícios utilizndo o conceito de derivd d função compost. () Sendo z sen() e 4 4, clcule derivd de h sen ( ) dh () h ln u() clcule? d dz d d d O teorem nterior permite estbelecer s fórmuls ds derivds ds funções elementres: Sej: uu() se n (u) u cos(u) co s (u) u sen(u) tg (u) u sec (u) cotg (u) u cosec (u) α α ( u ) α u u, α ( constnte R) u u u ( ) u ln() u (log ) u ln 4ª ul teóric Pág. 3

2 Função implícit e su derivd Sej F(,)0 um condição e f() um função definid implicitmente pel condição. Então derivd f () d função implícit obtém-se derivndo em ordem mbos os membros d condição. Eemplo Derive função implícit: + 4 Teorem.3 Derivd d Função Invers Sej f: I D um função injectiv e contínu, e g: Jf(I) su invers. Então se f é diferenciável no ponto com f ( ) 0 e g diferenciável em bf(): g ( b) f ( ) f ( g( b)) rctg() tg() cos ( ) cos ( ) ( tg( )) cos ( ) cos ( ) + sen ( ) + tg ( ) + ( rctg( ) ) 4ª ul teóric Pág. 4

3 ( rccotg() ) + ( rccos() ) ( rcsen() ) Derivd de um função dd sob form prmétric Obs. - A circunferênci pode definir-se por dus epressões com o uilio de um prâmetro t: r cost, 0 t < π equções prmétrics d circunferênci r sent - A elipse pode definir-se por dus epressões com o uilio de um prâmetro t: cos t, 0 t < π equções prmétrics d elipse b sent Por serem dus equções num prâmetro dizem-se equções prmétrics. Como se clcul derivd de um função dd sob form prmétric? Sej f() um função definid pels equções prmétrics. ϕ( t), t0 t t ψ ( t) Se ϕ e ψ são diferenciáveis em cd t 0 < t < t e pr lém d d disso ϕ dmite invers diferenciável, então : dt d d dt 4ª ul teóric Pág. 5

4 Eemplo: Sej f() dd pels equções prmétrics cost sent, 0 t π clcule.6 Estudo do gráfico de um função Pr desenhr o gráfico deve: () Determinr o domínio d função; () Determinr os zeros d função; (3) Anlisr função qunto à continuidde e identificr os pontos de descontinuidde; (4) Procurr ssimptots; (5) Com primeir derivd de f(), determinr : - Pontos de estcionridde e pontos de descontinuidde d ª derivd; - Máimos e mínimos; - Monotoni (crescimento e decrescimento de f()). (6) Com segund derivd de f(), determinr : - Os pontos de infleão - Concviddes (conves e côncvs ) (7) Esboçr o gráfico tendo em considerção os pontos "notáveis", nomedmente: - zeros d função; - etremos; - pontos de infleão; - e s ssimptots. 4ª ul teóric Pág. 6

5 Algums Definições e Teorems úteis o estudo do gráfico de funções. Def..33 Zeros de um função Sej f: D R um função, s soluções d equção f()0 chmm-se zeros d função. Def..34 Assimptots Sej f: D R um função; () Se D e D e lim f ( ) um ssimptot verticl de equção. então função tem () Se lim f ( ) b ou lim f ( ) b, f tem um + ssimptot horizontl de equção b. (3) Se lim f ( ) f tem um ssimptot oblíqu m+b se eistir e for finito f ( ) lim ; neste cso: f ( ) m lim e b lim ( f ( ) m) 4ª ul teóric Pág. 7

6 Algums definições e teorems importntes pr o cálculo de etremos e d monotoni. Def..35 Sej f: D que: R um função e D um ponto, diz-se () f() tem máimo locl em se eistir ε > o tl que V ε ( ) f ( ) f ( ) () f() tem mínimo locl em se eistir ε > o tl que V ε ( ) f ( ) f ( ) (3) f() tem um etremo locl em se f() tiver um máimo ou um mínimo em - Os máimos e mínimos locis procurm-se nos pontos de estcionridde ( f ()0) e nos pontos onde função está definid e derivd não. Teorem de Rolle.36 Sej f: I D,(I[, b] ) um função contínu e diferenciável em ], b[ ; se f()f(b), eiste c ],b[ tl que f ( c) 0. Corolário.37 Entre dois zeros de um função eiste um zero d su derivd. Corolário.38 Entre dois zeros consecutivos d derivd não pode hver mis de um zero d função. Teorem.39 Se pr I, f ( ) > 0, f é crescente em I e se f ( ) < 0, f é decrescente em I. Algums definições e teorems importntes pr o cálculo dos pontos de infleão e ds concviddes. - pontos de infleão são os pontos onde função f mud de concvidde e obtêm-se igulndo zero segund derivd. 4ª ul teóric Pág. 8

7 f ( ) < 0, Teorem.40 Sej f um função. Se ] b[ função é conve () nesse intervlo e se f ( ) > 0 ], b[ função é côncv () nesse intervlo..7 - Diferencil e diferençs finits Consideremos um função f: D R, e um ponto interior o domínio D, e h um n.º rel tl que (+h) D. - Chm-se créscimo d função f, correspondente o incremento de h d vriável ( ddo prtir do ponto ), à diferenç : f(+h)-f() f ( h) f ( + h) f ( ) créscimo d função f - Chm-se diferencil d função f no ponto o produto f ( ) h e designremos por d f (h) ou simplesmente por : d f f ( ) h ou se f(), d f ( ) h - Note que d f f (h) Eercício: Determine o créscimo e o diferencil d função: pr Geometricmente, e h 0.0 f(+h) f() h d f f ( h ) +h 4ª ul teóric Pág. 9