DERIVADAS DAS FUNÇÕES SIMPLES12

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1 DERIVADAS DAS FUNÇÕES SIMPLES2 Gil d Cost Mrques Fundentos de Mteátic I 2. Introdução 2.2 Derivd de y = n, n 2.2. Derivd de y = / pr Derivd de y = n, pr 0, n =,, isto é, n é u núero inteiro negtivo 2.3 Derivds ds funções seno e cosseno 2.4 Derivd d função logrític 2.5 Derivd d função eponencil Licencitur e Ciêncis USP/ Univesp

2 Licencitur e Ciêncis USP/Univesp Módulo Introdução O conceito de derivd de u função é u dos sustentáculos do Cálculo e o introduzios no teto nterior. O objetivo gor é o de priorr o desenvolviento do ferrentl inerente o ssunto, fi de poder operr co ele. Assi, neste teto deduzireos lguns resultdos reltivos o cálculo de derivds de funções siples. No estudo ds derivds de funções de u únic vriável independente, Augustin Cuchy, e sus Oeuvres Coplètes, procur distinguir s funções siples que, segundo ele próprio, são considerds coo resultdo de u únic operção plicd à vriável independente ds funções que são construíds co o uílio de váris operções, s quis são chds de funções coposts. As funções siples que produze s operções corriqueirs d álgebr e d trigonoetri são +,,.,,, A, log A, sen, cos, rcsen, rccos onde é u núero rel e A é estritente positivo e diferente de. Pr cd u ds derivds ds funções siples, e sus inverss, presentos lguns eeplos resolvidos, plicndo novente o conceito de derivd que foi introduzido no teto nterior. 2.2 Derivd de y = n, n 2.2. Derivd de y = / pr 0 No teto nterior, vios definição de derivd de u função nu ponto do seu doínio e, prtir del, encontros derivd de f = n 2. sendo n u núero nturl. Assi, df f '= ( d )=. n n 2.2 Fundentos de Mteátic I

3 264 Licencitur e Ciêncis USP/Univesp Módulo De odo is gerl, pr função g=. n 2.3 onde n é u núero nturl, encontros dg g ' ( )= ( d )= nn Vos considerr gor o cso e que o epoente é u núero inteiro, coeçndo co o cso e que y = 2.5 onde é u núero rel qulquer. Vos encontrr derivd nu ponto do doínio, isto é, 0. Teos dus situções considerr: i. > 0 Sej Δ tl que + Δ > 0. A relção entre s diferençs, isto é, t de vrição édi, se escreve gor coo: = ou sej, ( ) = Depois de efetud operção de subtrção dos teros no nuerdor, epressão 2.7 pode ser siplificd. Obteos então: = Derivds ds Funções Siples

4 dí resultndo epressão: = + Licencitur e Ciêncis USP/Univesp Módulo E, portnto, tondo o liite qundo Δ tende zero, isto é, li li = = obteos derivd d função n prieir situção. ii. < 0 Sej gor Δ tl que + Δ < 0. Consideros novente t de vrição édi e, pós s siplificções necessáris, obteos es epressão = + 2. onde < 0 e + Δ < 0. Tondo o liite qundo Δ tende zero, isto é, li li = = ou sej, es epressão que foi obtid n situção nterior. Assi, concluíos que função y = / é derivável e todo ponto do doínio e su derivd é dd por: y ' = Fundentos de Mteátic I

5 266 Licencitur e Ciêncis USP/Univesp Módulo Derivd de y = n, pr 0, n =,, isto é, n é u núero inteiro negtivo n Sendo y = =, nturl, tondo o eso cuiddo co o fto de considerr o cso e que > 0 e Δ é tl que + Δ > 0, e depois o cso e que < 0 e Δ é tl que + Δ < 0, teos e bs s situções: = ou sej, = + + = Usndo o Teore do binôio de Newton e s siplificções possíveis, obteos: = y / 2 + Depois de efetud operção de subtrção dos teros no nuerdor, epressão 2.6 pode ser siplificd. Obteos então: Tondo o liite qundo Δ tende zero, isto é, ( ) 2 2 = ( ) / li = y = Mostros ssi que se y = n Derivds ds Funções Siples

6 Licencitur e Ciêncis USP/Univesp Módulo co n u núero inteiro, derivd eiste e todos os pontos do doínio e 267 y' = n n 2.20 Eeplo Eeplos No cso d função y = 5, utilizndo 2.2, já deduzid no teto nterior, teos yʹ = 5 4. Sendo y = = 5 utilizndo relção encontrd e 2.8, observos que su derivd é y' = 5 Eeplo 2 6 = 5 Vos escrever equção d ret tngente o gráfico d função y = no ponto cuj bsciss é = 2. 2 Notos que ret procurd pss pelo ponto 2, e te coeficiente ngulr ddo pel derivd 4 d função e = 2. Coo, se y equção dess ret é: = 2 então y ' = 2 3, o coeficiente ngulr d ret tngente procurd é = 4 e y = ( 2), , ou sej, 3 y = Gráfico 2.: O gráfico de y = 2 e ret tngente no ponto 2, 4. Fundentos de Mteátic I

7 268 Licencitur e Ciêncis USP/Univesp Módulo Eeplo 3 se 0 Sendo f= = se < 0 vos deterinr o conjunto de pontos onde f é derivável. Resolução: E prieiro lugr, observos que se trt de u função cujo doínio é o conjunto dos núeros reis, que é definid por eio ds dus regrs ci, dds n epressão d função. A notção de vlor bsoluto pens descreve tl fto de u for siples e rápid. Pr encontrr su derivd, precisos nlisr seprdente s situções seguintes:. > 0 e o créscio Δ positivo ou negtivo, s de tl neir que + Δ > 0; b. < 0 e o créscio Δ positivo ou negtivo, s de tl neir que + Δ < 0; c. = 0 e o créscio Δ positivo ou negtivo. Vejos então cd u desss situções:. Se > 0 e + Δ > 0, teos: isto é, pr > 0, derivd d função é. b. Se < 0 e + Δ < 0, teos: ou sej, pr < 0, derivd d função é. c. Se = 0, teos: se Δ > 0 li se Δ < 0 li = li = + li li ( + ) ( = ) = = li = li 0+ 0 = li 0 0 = 2 Derivds ds Funções Siples

8 Licencitur e Ciêncis USP/Univesp Módulo Logo, coo os liites lteris são diferentes, não eiste li, ou sej, não eiste derivd 0 d função no ponto = 0. Consequenteente, o doínio d função derivd é {0}. Gráfico 2.2: O gráfico d derivd d se 0 função f= =, isto é, d se < 0 se > 0 função f ' =. se < Derivds ds funções seno e cosseno Anliseos gor derivd d função y = sen. A t de vrição édi será dd por: sen( + ) sen = 2.2 Teos dus fors de efetur o liite qundo 0. N prieir for, escreveos o seno d so coo: sen( + )= sen cos+ sen cos 2.22 o que nos lev concluir que t de vrição édi é dd por: = cos sen sen + cos 2.23 Fundentos de Mteátic I

9 270 Licencitur e Ciêncis USP/Univesp Módulo Considerndo gor o liite: li = li sen 0 0 ( cos ) sen + cos 2.24 prtir do que vios no teto sobre Liites, e 0.35 e 0.36, respectivente, teos li sen = e li cos 0 = e, portnto, li cos = de onde concluíos que d( sen ) = cos d 2.28 sen( + ) sen A segund lterntiv pr clculr li = li 0 0 fto de que: consiste e utilizr o sen( + b) sen( b)= 2senb cos 2.29 e, considerndo = + 2 e b = 2, teos: + 2cos = y sen Derivds ds Funções Siples

10 Licencitur e Ciêncis USP/Univesp Módulo o que nos lev u epressão is siples pr t de vrição édi: + cos = sen y Tondo gor o liite qundo 0 e levndo e cont o liite 0.35, obteos o resultdo: y' = cos 2.32 Considereos gor o cso d função y = cos. Neste cso, t de vrição édi pode ser escrit coo: cos( + ) cos = 2.33 Agor escreveos o cosseno d so utilizndo identidde: cos( + )= cos cos sensen 2.34 Substituindo tl identidde e 2.33, obteos o seguinte resultdo pr t de vrição édi: = cos ( cos ) sen sen 2.35 Considerndo-se gor o liite qundo Δ 0, li = li cos 0 0 ( cos ) sen sen Novente, utilizndo os liites ddos pels epressões 0.35 e 0.36, obteos derivd d função cosseno: 2.36 d(cos ) = sen d 2.37 Fundentos de Mteátic I

11 272 Licencitur e Ciêncis USP/Univesp Módulo Tbé poderíos clculr y cos cos li = ( + ) li de outr neir, que consiste e utilizr identidde: Considerndo = + 2 e b = 2, teos: cos( + b) cos( b) = 2sen.senb + 2sen = y sen ou sej, sen = 2 + sen o que, de novo, nos lev o resultdo: y' = sen 2.42 Eeplo 4 A ret tngente o gráfico de y = sen n orige é ret que conté s bissetrizes dos qudrntes ípres, isto é, ret y =. De fto, o gráfico de y = sen pss pel orige e o coeficiente ngulr d ret tngente nesse ponto é o vlor d derivd y' = cos clculd e = 0, isto é, =. Logo, equção d ret procurd é y =. Gráfico 2.3: O gráfico de y = sen e ret tngente n orige. 2 Derivds ds Funções Siples

12 Eeplo 5 Licencitur e Ciêncis USP/Univesp Módulo Anlogente, pode-se ostrr que ret tngente o gráfico de y = cos, no ponto π 2, 0, é ret y = + π Derivd d função logrític Inicilente, considereos função y = ln 2.43 cujo doínio é o conjunto dos núeros reis estritente positivos. Sej > 0 e Δ tl que + Δ > 0. A t de vrição édi é dd por: ou sej, Observndo que = ln( +) ln y + = = + = + ln ln ln = + = + y = + ln ln ln o tor o liite qundo Δ 0, teos: li li ln ln = + = e 0 0 u vez que ln é u função contínu e li + = e Fundentos de Mteátic I

13 274 Licencitur e Ciêncis USP/Univesp Módulo Coo ln e =, teos finlente y ' = 2.48 Assi sendo, função logrític de bse e, y = ln, e 2.43, te derivd dd por d ( ln )= d 2.49 Sej gor y = log A 2.50 onde bse A é estritente positiv e diferente de. A t de vrição édi é dd por: ou sej, log A( + ) log A = y + = = + = + loga log A log A Agor, co os esos rguentos ntes utilizdos, y li = li loga + log A e = = 0 0 ln A = + log A ln u vez que log e = e A ln A = ln A. Dess neir, função logrític de bse A, A > 0 e A, dd e 2.50, y = log A, te coo derivd função y ' = ln A Derivds ds Funções Siples

14 Licencitur e Ciêncis USP/Univesp Módulo Derivd d função eponencil Inicilente, considereos função eponencil de bse e: y = e 2.55 cujo doínio é o conjunto de todos os núeros reis. A t de vrição édi é dd por: + e e e ( e ) = = 2.56 Agor, e pois li =. 0 li li ( e e = ) = e De fto, colocndo u = e Δ, teos Δ = ln(u + ) e, qundo Δ 0, u 0. Então, e u li = li = li = li = = 0 u 0 ln( u + ) u 0 u 0 u ln( u + ) ln( u + ) ln e u 2.58 Concluíos, portnto, que derivd d função eponencil de bse e, dd e 2.55, y = e, é própri função y = e, confore Considereos gor função eponencil de bse A, y = A 2.59 onde A é estritente positivo e diferente de. Fundentos de Mteátic I

15 276 Licencitur e Ciêncis USP/Univesp Módulo A t de vrição édi é dd por: + A A A ( A ) = = 2.60 e li li ( A A ) = = A ln A 0 0 A u vez que li = ln A. 0 De fto, de neir seelhnte à que foi efetud no cso d bse e, colocndo u = A Δ, teos Δ = log A (u + ) e, qundo Δ 0, u 0. Então, A u li = li = li = li 0 u 0 log A ( u + ) u 0 u 0 log A( u + ) log A( u + ) u = = ln A log e A u Assi, função logrític de bse A, A > 0 e A, dd e 2.59, y = A, te derivd função y = A.ln A Derivds ds Funções Siples

16 Licencitur e Ciêncis USP/Univesp Módulo 277 Eeplo 6 As rets tngentes os gráficos de y = ln no ponto (, 0) e de y = e no ponto (0, ) são prlels. De fto, sendo y = ln, teos y' = /. Logo, equção d ret tngente o gráfico d função no ponto (, 0) é y =. Agor, sendo y = e, teos y' = e e equção d ret tngente o gráfico e (0, ) é y = +. O prleliso ds dus rets é evidente pois, nos pontos considerdos, els present o eso coeficiente ngulr. Gráfico 2.4: As rets tngentes os gráficos de y = ln no ponto (, 0) e de y = e no ponto (0, ) são prlels. Fundentos de Mteátic I