Resolução de Sistemas de Equações Lineares Simultâneas

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1 Depto de Coputção Instituto de Ciêncis Ets e Biológics Universidde Federl de Ouro Preto Resolução de Sistes de Equções ineres Siultânes José Álvro Tdeu Ferreir, Deprtento de Coputção, Instituto de Ciêncis Ets e Biológics, Universidde Federl de Ouro Preto, 5- Ouro Preto, MG, Brsil, E-il: bob@iceb.ufop.br - Introdução A resolução de sistes de equções lineres siultânes é u dos probles nuéricos is couns e plicções científics pr siulr situções do undo rel. É etp fundentl n resolução de vários probles que envolv, por eeplo, equções diferenciis prciis, deterinção de cinhos ótios e redes (grfos), regressão, sistes não lineres, interpolção de pontos, dentre outros. Vários probles d Engenhri envolve resolução de sistes de equções lineres. A título de eeplo, considere-se deterinção de do potencil e redes elétrics, o cálculo d tensão e estruturs etálics n construção civil, o cálculo d rzão de escoento e u siste hidráulico co derivções, previsão d concentrção de regentes sujeitos reções quíics siultânes. Neste teto será considerd resolução de u siste de equções lineres de n equções co n incógnits, d for ostrd e (.). n n n n n n nn n b b bn (.) Onde,...,, n são s incógnits,,,..., nn os coeficientes ds incógnits e b, b, b,..., b n os teros independentes do siste de equções. Este siste pode ser escrito sob for tricil, freqüenteente is vntjos, edinte o eprego d seguinte notção E que A. = b (.) n b n b A,, b. n n nn n bn Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Nuérico

2 Depto de Coputção Instituto de Ciêncis Ets e Biológics Universidde Federl de Ouro Preto Assi, A é triz dos coeficientes ds incógnits, o vetor colun ds incógnits e b o vetor colun dos teros independentes. A triz A e os vetores colun e b serão considerdos reis, não obstnte uito do que se vi dizer neste cpítulo ser generlizável o cpo copleo se grnde dificuldde. U triz bstnte iportnte, e que será utilizd posteriorente, é triz uentd de u siste de equções lineres. Confore ostrdo seguir, pr obtê-l bst crescentr à triz dos coeficientes o vetor b dos teros independentes. [ A b] n n n n nn b b bn Definição. Denoin-se vetor solução (ou siplesente solução) de u siste de equções lineres d for A = b, e denot-se por, o vetor que conté s vriáveis j, j =,, n, que stisfze, de for siultâne, tods s equções do siste. - Clssificção de u siste de equções co relção o núero de soluções Co relção o núero de soluções, u siste de equções lineres siultânes pode ser clssificdo e: () Coptível e deterindo: qundo ditir u únic solução. (b) Coptível e indeterindo: qundo ditir u núero infinito de soluções. (c) Incoptível: qundo não ditir solução. Vle lebrr que, condição pr que u siste de equções lineres tenh solução únic é que o deterinnte d triz dos coeficientes sej não nulo. Cso contrário será indeterindo ou incoptível. Qundo todos os teros independentes fore nulos, isto é, se b i =, i =,,..., n, o siste é dito hoogêneo. Todo siste hoogêneo é coptível, pois ditirá pelo enos solução trivil ( j =, j =,,,..., n). De u for is pl, pode-se considerr que resolver u siste de equções consiste e dignosticr e qul ds três situções ele se enqudr. Ou sej, é is do que deterinr u vetor, u vez que ele pode não eistir ou não ser único. Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Nuérico

3 Depto de Coputção Instituto de Ciêncis Ets e Biológics Universidde Federl de Ouro Preto Métodos nuéricos pr resolução de sistes de equções lineres Os étodos nuéricos destindos resolver sistes lineres são divididos e dois grupos: os étodos diretos e os étodos itertivos. Métodos Diretos Os Métodos Diretos são queles que, eceto por erros de rredondento, fornece solução et de u siste de equções lineres, cso el eist, por eio de u núero finito de operções ritétics. São étodos bstnte utilizdos n resolução de sistes de equções densos de porte pequeno édio. Entend-se por siste denso quele n qul triz dos coeficientes te u núero pequeno de eleentos nulos. São considerdos sistes de pequeno porte - queles que possue té trint equções e de édio porte té cinqüent equções. A prtir dí, e gerl, são considerdos sistes de grnde porte. Pertence à clsse dos Métodos diretos todos os que são estuddos nos cursos de o e o grus coo, por eeplo, Regr de Crer. Entretnto, tis étodos não são usdos e probles práticos que eige resolução de sistes de equções lineres co u núero reltivente grnde de equções porque present probles de desepenho e eficiênci. Pr ilustrr este fto considere-se Regr de Crer. Sej u siste de equções lineres A. = b co o núero de equções igul o núero de incógnits (u siste n n), sendo D o deterinnte d triz A, e D, D, D,..., D n os deterinntes ds trizes obtids substituindo e A, respectivente, colun dos coeficientes de,,,..., n pel colun dos teros independentes. Sbe-se que o siste será coptível e terá solução únic se, e soente se, D e, então, únic solução de A. = b é dd por: = D, = D D, = D D D n,..., n = D D Portnto, plicção d Regr de Crer eige o cálculo de n + deterinntes ( det A e det A i, i n). Pode ser ostrdo que o núero áio de operções ritétics envolvids n resolução de u siste de equções lineres co n equções e n incógnits pr este étodo é (n + )(n!)(n ), Pr n = o núero totl de operções efetuds será *! * 9 ultiplicções is u núero seelhnte de dições. Assi, u coputdor que efetue cerc de ilhões de ultiplicções por segundo levri 5 nos pr efetur s operções necessáris. Sendo ssi, regr de Crer é inviável e função do tepo de coputção pr sistes uito grndes e, portnto, o estudo de étodos is eficientes torn-se necessário, Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Nuérico

4 Depto de Coputção Instituto de Ciêncis Ets e Biológics Universidde Federl de Ouro Preto u vez que, e gerl, os csos práticos eige resolução de sistes lineres de porte elevdo. Antes, poré, fz-se necessário trtr d bse teóric que fundent estes étodos. Trnsforções eleentres As trnsforções eleentres constitue u conjunto de operções que pode ser efetuds sobre s linhs ou coluns de u triz. No que se refere à resolução de sistes de equções lineres, ests trnsforções são, norlente, plicds pens sobre s linhs d triz dos coeficientes ou d triz uentd dependendo do étodo utilizdo.. Multiplicção de u linh por u constnte não-nul. i c i, c R, c. Troc de posição entre dus linhs. i j. Adição de u últiplo de u linh outr linh, i i + c j, c R, c Mtrizes equivlentes Dus trizes são dits equivlentes qundo é possível, prtir de u dels, chegr à outr por eio de u núero finito de trnsforções eleentres. Teore Sej [A b] triz uentd de u siste de equções A = b, co deterinnte de A não nulo, e [T c] u triz el equivlente. Sendo ssi, os sistes A. = b e T. = c possue es solução. Sistes equivlentes Dois sistes A = b e Ã. = c se dize equivlentes se possue es solução. Mtriz tringulr (i) Superior: é u triz qudrd n qul todos os eleentos bio d digonl principl são nulos. (ii) Inferior: é u triz qudrd n qul todos os eleentos ci d digonl principl são nulos. Sistes Tringulres É u siste de equções lineres no qul triz dos coeficientes é tringulr. Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Nuérico

5 Depto de Coputção Instituto de Ciêncis Ets e Biológics Universidde Federl de Ouro Preto. Método de Guss O Método de Guss é u dos étodos is conhecidos e is utilizdos pr resolução de sistes de equções lineres densos de pequeno édio porte. Este étodo consiste e operr trnsforções eleentres sobre s linhs d triz uentd de u siste de equções A. = b té que, depois de n pssos, se obtenh u siste tringulr superior, U. = c, equivlente o siste ddo. n b n b n n nn b n [A b] n b o n b Trnsf. Eleen. n - n - nn b n [U c].. Descrição do étodo A resolução de u siste de equções lineres pelo étodo de Guss envolve dus fses distints. A prieir, chd de fse de eliinção, consiste e trnsforr o siste ddo e u siste tringulr superior. A segund, chd de fse de substituição, consiste e resolver o siste tringulr superior por eio de substituições retrotivs. Pr descrição do étodo, sej o siste de equções lineres seguir = = 6 (.) = = Te-se: A e b 6-6 Portnto, triz uentd deste siste de equções é Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Nuérico 5

6 Depto de Coputção Instituto de Ciêncis Ets e Biológics Universidde Federl de Ouro Preto [A b] Denotndo prieir linh de [A b] por, segund por, e ssi sucessivente, são obtidos os seguintes resultdos n fse de eliinção. Psso : Neste psso = é o eleento pivô e o objetivo é eliinção dos eleentos que estão bio dele. Pr isto é utilizdo o procediento seguir. (i) Clculr os ultiplicdores - i i, i =,,. Sendo ssi ve: , e (ii) Efetur s trnsforções eleentres.... Dest for, obté-se triz [A () b () ], seguir, que é equivlente {A b]. () [A b () ] Psso : Neste psso é o eleento pivô e o objetivo é eliinção dos eleentos que estão bio dele. Pr isto é utilizdo o procediento seguir. i (i) Clculr os ultiplicdores i -, i =,. Sendo ssi ve: 8 ( ) e Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Nuérico 6

7 Depto de Coputção Instituto de Ciêncis Ets e Biológics Universidde Federl de Ouro Preto (ii) Efetur s trnsforções eleentres... É obtid, então, triz [A () b () ], seguir, que é equivlente [A b]. () [A b () ] Psso : Neste psso é o eleento pivô e o objetivo é eliinção do único eleento que está bio dele. Pr isto é utilizdo o procediento seguir. (i) Clculr o ultiplicdor i i, i =. Sendo ssi ve: - (ii) Efetur trnsforção eleentr. - ( ) -. É obtid, então, triz [A () b () ], seguir, que é equivlente [A b]. () [A b () ] Portnto, o finl de pssos, o siste A. = b, epresso por (.), foi trnsfordo no seguinte siste tringulr superior A (). = b () : =.. + = - (.).. = -. = Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Nuérico 7

8 Depto de Coputção Instituto de Ciêncis Ets e Biológics Universidde Federl de Ouro Preto Terind fse de eliinção, pss-se, gor, pr fse de substituição, n qul se resolve o siste (.) por eio ds seguintes substituições retrotivs: 6 (-6) -.(-) -.() - (-) -.(-)- (-) - Portnto, solução do siste de equções é = [ - -] t. No étodo de Guss, os ultiplicdores do psso d fse de eliinção são clculdos, de for gerl, por eio d epressão: - i i -,,..., n -; i,,..., n - (.) Pr efetur eliinção são relizds s trnsforções eleentres: - -.,,..., n -;i,,..., n (.) i i i Pr vlir o núero áio de operções ritétics envolvids n resolução de u siste de equções lineres n n, qundo se utiliz o étodo de Guss, é presentd no qudro. copleidde de pior cso ds fses de eliinção e substituição. Fse Divisões Multiplicções Adições Totl... n - n n... n(n ) (n )(n ).... n(n ) (n )(n ).... Eliinção n(n ) n - n n n 7n n (n ) (n ) Substituição n n(n ) n(n ) n Totl n(n ) n n 5n n n 5n n n 7n Qudro.: Copleidde do Método de Guss. Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Nuérico 8

9 Depto de Coputção Instituto de Ciêncis Ets e Biológics Universidde Federl de Ouro Preto Coo se observ, o étodo de Guss te copleidde polinoil O(n ). U coputdor que fz u operção ritétic e -8 segundos gstri,57 segundos pr resolver u siste 55 (u tepo infinitente inferior àquele gsto pel Regr de Crer). O siste. foi preprdo co foco no étodo, ou sej, no processo de trnsforção de u siste de equções lineres qulquer e u que sej tringulr superior. N seqüênci, serão trtdos lguns eeplos co o objetivo de bordr lgus questões de orde nuéric. Eeplo. Sej resolver o siste de equções.5, seguir, retendo nos cálculos três css deciis.,5. +,8. +,. = 9,6,. + 5,. +,. =,6 (.5),8. +,. +,6. = 9, Os cálculos relizdos estão surizdos no qudro.. inh Multiplicdor Coeficientes T. ind. Trnsforções,5,8, 9,6 = -,667, 5,,,6 = -,78,8,,6 9,,999 -, -,77 + = -,5,8,7 5,78 +,8 6,86 Qudro.: Surizção dos cálculos.. Observe-se que, qundo é relizd trnsforção eleentr pr eliinção n posição linh dois colun u, o cálculo relizdo é, + (-,667),5 que produz o resultdo (-,5) que, considerndo três css deciis, vi (-,). O proble está no erro de rredondento no cálculo do ultiplicdor, que cusou refleo n eliinção. Coo, no finl terá utilidde pens prte tringulr superior d triz dos coeficientes, então, ns posições ns quis deve ocorrer eliinção, os cálculos pode deir de ser feitos. Este procediento é interessnte porque diinui o esforço coputcionl. É obtido, então, o siste tringulr superior ddo por.6. Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Nuérico 9

10 Depto de Coputção Instituto de Ciêncis Ets e Biológics Universidde Federl de Ouro Preto,5. +,8. +,. = 9,6,999.,. = -,77 (.6),8. = 6,86 Resolvendo.6 obté-se o vetor = [,,,8] t... - Avlição do Resíduo/Erro O erro ε produzido por u solução do siste A. = b pode ser vlido pel epressão: á r (.7) i n Onde r i, i =,,..., n; é i-ési coponente do vetor resíduo R, o qul é ddo por: R = b A. (.8) i Pr o eeplo., o vetor resíduo é: 9,6,5,8,, R,6 -, 5,,. -, (.9) 9,,8,,6,8 Assi, o vetor resíduo é R = [,8,5,] t e o erro coetido é: á r á i n i i,8,,5,,,5 (.) Eeplo -. Sej, gor, resolução do siste de equções ddo por. considerndo, qundo for o cso, três css deciis = = - 7 (.) = = Os cálculos estão surizdos no qudro.. Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Nuérico

11 Depto de Coputção Instituto de Ciêncis Ets e Biológics Universidde Federl de Ouro Preto inh Multiplicdor Coeficientes T. Indep. Trnsforções - = = - 5 = = - 6 = -, =, -,999 -,998 7, , -, Qudro.: Surizção dos cálculos. É obtido, então, o siste tringulr superior ddo por = = (.). +. = - 6-8,. = -, Resolvendo. obté-se o vetor = [ - ] t. É siples verificr que o vetor resíduo é nulo e, portnto, foi obtid solução et do siste de equções.. Observe-se que foi necessário efetur troc de posição entre s linhs e e virtude de pivô nulo. Qundo não é possível efetur troc de posição entre linhs, situção que ocorre qundo, lé de o pivô ser nulo, todos os eleentos d colun, que estão bio dele, tbé o são, então triz dos coeficientes é singulr e o siste de equções não dite solução únic. Est situção é trtd no eeplo. seguir. Eeplo. Sej resolução dos sistes de equções A. = b e A. = b onde: A, b 6 e b (.) Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Nuérico

12 Depto de Coputção Instituto de Ciêncis Ets e Biológics Universidde Federl de Ouro Preto Os cálculos estão surizdos no qudro.. inh Multiplicdor Coeficientes b b Trnsforções = = = = = = Qudro.: Surizção dos cálculos. De A. = b é produzido o siste tringulr superior ddo por =.. + = - (.) = -7. = Portnto, trt-se de u siste de equções lineres incoptível. De A. = b é produzido o siste tringulr superior ddo por =.. + = - (.5) =. = Trt-se, ssi, de u siste de equções lineres indeterindo... - O Método de Guss co pivotção prcil Confore eposto nteriorente, o Método de Guss requer o cálculo dos ultiplicdores. Entretnto este fto pode ocsionr probles se o pivô estiver próio de zero ou for nulo. Isto porque trblhr co pivô nulo é ipossível e o pivô próio de zero pode conduzir resultdos iprecisos, visto que dá orige ultiplicdores be iores do que unidde o que, por su vez provoc u plição dos erros de rredondento. Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Nuérico

13 Depto de Coputção Instituto de Ciêncis Ets e Biológics Universidde Federl de Ouro Preto A plição de erros de rredondento ocorre qundo se ultiplic u núero uito grnde por outro que já conté erro de rredondento. Por eeplo, dit-se que u núero n tenh erro de rredondento. Este núero pode, então, ser escrito n for: ñ = n + Se ñ é ultiplicdo por, te-se que.ñ =.n +. Portnto o erro no resultdo é.. Se for grnde este erro pode ser uito ior que o originl. Diz-se, então, que o erro foi plificdo. Pr contornr este proble, ou sej, pr iniizr o efeito dos erros de rredondento é dotd, no Método de Guss, u estrtégi de pivotção, que é u processo de escolh do pivô. Neste teto é considerd estrtégi de pivotção prcil, que consiste e: (i) no psso, d fse de eliinção, tor coo pivô o eleento de ior ódulo dentre os coeficientes -, =,,..., n - ; i =, +,..., n; i, (ii) se necessário, efetur troc de posição entre s linhs i e. Utilizndo est estrtégi todos os ultiplicdores serão, e ódulo, enores que unidde. Análises de propgção de erros de rredondento pr o lgorito de Guss indic que é conveniente que isto ocorr, sendo ssi, é necessário que o pivô sej o eleento de ior vlor bsoluto d colun, considerndo d posição digonl (inclusive) pr bio. Eeplo. Sej resolver o siste de equções ddo por.6 utilizndo o Método de Guss co pivotção prcil e considerndo, qundo for o cso, três css deciis = = - (.6) = = 8 Os cálculos estão surizdos no qudro.5. Observe-se que é feit, de iedito, troc de posição entre s linhs u e três. Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Nuérico

14 Depto de Coputção Instituto de Ciêncis Ets e Biológics Universidde Federl de Ouro Preto inh Multiplicdor Coeficientes T. Indep. Trnsforções = -, = -, -5 5 = -, ,6 -,6 -, -5, + = -,875 -,,6,, + =,75, -,8 -,6, +..,5,5 6,75 -,5 -,5 -,5 -,5 -,5 -,5 =,5,5,5 6, Qudro.5: Surizção dos cálculos. É obtido, então, o siste tringulr superior ddo por = 7 -,6.,6.,. = - 5, (.7) -,5.,5. = -,5 = 6 Resolvendo.7 obté-se o vetor = [ - -5, 6] t. O vetor residul produzido é ddo por r = [-, -, -, -,] t. Assi, o erro coetido é: á r á i n i i,, -,, -,, -,, Portnto não foi obtid solução et do siste ddo por.6. Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Nuérico

15 Depto de Coputção Instituto de Ciêncis Ets e Biológics Universidde Federl de Ouro Preto. - O Método d Decoposição U.. Introdução E uits situções, é desejável resolver vários sistes de equções lineres que possue e cou triz dos coeficientes e tê teros independentes diferentes, ou sej, qundo se te: A. = b i, i =,,..., Nestes csos, é indicdo resolvê-los por eio u técnic de ftorção d triz A. Est técnic consiste e decopor triz dos coeficientes e u produto de dois ou is ftores e, e seguid, resolver u seqüênci de sistes de equções lineres que conduzirá à solução do siste originl. A vntge d utilizção de u técnic de ftorção é que se pode resolver qulquer siste de equções lineres que tenh A coo triz dos coeficientes. Se b for lterdo, resolução do novo siste é quse que iedit. Dentre s técnics de ftorção is utilizds, destc-se d decoposição U. Por est técnic, triz A dos coeficientes é decopost coo o produto de dus trizes e U, onde é u triz tringulr inferior e U, u triz tringulr superior, isto é: A =.U Antes de trtr do étodo d decoposição U, serão presentdos lguns conceitos necessários à su fundentção. Mtriz identidde É u triz qudrd n qul os eleentos situdos n digonl principl são iguis u e, os deis, são nulos. É denotd por I. Sendo A u triz, te-se que A.I = I.A = A. Definição. Sej A u triz qudrd de orde n, não-singulr, isto é, det(a). Diz-se que A - é invers de A se A.A - = A -.A = I. Teore. Se A e B são trizes de orde n, inversíveis, então (A.B) - = B -.A -. Deonstrção Sej: B -.A - = R B -.A -.A = R.A B - = R.A B -.B = R.A.B I = R.A.B Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Nuérico 5

16 Depto de Coputção Instituto de Ciêncis Ets e Biológics Universidde Federl de Ouro Preto I.(A.B) - = R.(A.B).(A.B) - (A.B) - = R ogo (A.B) - = B -.A -., A Ftorção U de u triz c.q.d. Teore. Dd u triz qudrd A, de orde n, sej A triz constituíd ds prieirs linhs e coluns de A. Suponh que det(a ) pr =,,..., (n ). Então, eiste u únic triz tringulr inferior = (l ij ), co l = l =... = l nn =, e u únic triz tringulr superior U = (u ij ), tl que.u = A. Alé disto det(a) = u.u... u nn. Os ftores e U pode ser obtidos por eio de fóruls que perite clculr os eleentos l ij, i =,,..., n e j =,,..., n e u ij ; i, j =,,..., n ou utilizndo idéi básic do Método de Guss. Neste teto, será trtd obtenção ds trizes e U utilizndo idéi básic do étodo de Guss, u vez que o uso de fóruls dificult plicção d estrtégi de pivotção prcil. Considere-se u triz genéric de orde três. A {.8) No prieiro psso do processo de eliinção são obtidos os ultiplicdores - e e são efetuds s trnsforções eleentres. - Sendo obtid triz. (.9). (.) A (.) Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Nuérico 6

17 Depto de Coputção Instituto de Ciêncis Ets e Biológics Universidde Federl de Ouro Preto Tod trnsforção eleentr pode ser epress coo u produto de dus trizes. Sendo ssi, efetur s trnsforções eleentres.9 e. equivle pré-ultiplicr.8 pel triz.. M (.) Co efeito, note-se que M.A ogo M.A A (.) No segundo psso do processo de eliinção é clculdo o ultiplicdor e é efetud trnsforção eleentr. - Obté-se triz. (.) A (.5) Pode ser deonstrdo que relizr trnsforção eleentr. é equivlente préultiplicr triz. pel triz M (.6) Portnto, A = M.A (.7) Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Nuérico 7

18 Depto de Coputção Instituto de Ciêncis Ets e Biológics Universidde Federl de Ouro Preto Resuindo, te-se que: A = M.A A = M.A Portnto A = M. M.A (.8) Pré-ultiplicndo os dois ebros de.8 pel invers d triz (M. M ) (M. M ) -.A = (M. M ) -.(M. M ).A = I.A = A Portnto A = (M. M ) -.A = (M ).(M ).A (.9) Pode ser deonstrdo que (M ) - (.) (M ) - (.) Tendo e vist. e., te-se que (M ) -.(M ) - (.) Substituindo.5 e. e.9 te-se que A. (.) U Assi, pode-se concluir que A = U, onde: (i) U é triz tringulr superior obtid o finl d fse de eliinção do étodo de Guss; (ii) é u triz tringulr inferior, n qul os eleentos d digonl principl são unitários e, bio, se encontr os ultiplicdores d etp d fse de eliinção co o sinl trocdo. Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Nuérico 8

19 Depto de Coputção Instituto de Ciêncis Ets e Biológics Universidde Federl de Ouro Preto.. A resolução de u siste de equções lineres utilizndo Decoposição U Sej u siste de equções A. = b. Pr resolvê-lo, utilizndo decoposição U, bst eecutr seguinte seqüênci de pssos: (i) Obté-se ftorção.u d triz A. Sendo A =.U, então.u. = b; (ii) Fz-se U = y, logo.y = B; (iii) Resolve-se o siste tringulr inferior y = b; (iv) Resolve-se o siste tringulr superior U = y obtendo, então, solução do siste de equções A. = b. Eeplo.5 Sej resolver o siste de equções seguir.. +. = = = 9 Os cálculos relizdos estão surizdos no qudro.6. inh Multiplicdor Coeficientes Trnsforções - = = = Qudro.6: Surizção dos cálculos.. Te-se, então que: - e U - - Resolução do siste.y = b y = -.y + y = - 5 Y = [ 7 6] t.y +.y + y = 9 Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Nuérico 9

20 Depto de Coputção Instituto de Ciêncis Ets e Biológics Universidde Federl de Ouro Preto Resolução do siste U. = Y. +. =. +. = 7 -. = 6 O vetor = [ ] t é solução do siste de equções ddo... O Método d Decoposição U co Pivotção Prcil Pr plicr estrtégi de pivotção prcil o Método d Decoposição U fz-se necessário utilizr u vetor de perutção P, que é gerdo tribuindo-se u núero de orde cd equção que copõe o siste. Pr efeito d presentção do processo, sej o eeplo seguir. Eeplo.6 Sej resolver o siste de equções ddo seguir utilizndo o Método d Decoposição U co pivotção prcil e considerndo, qundo for o cso, dus css deciis.. - = 6. + = = = - O vetor de perutção é P = [ ] t. Os cálculos estão surizdos no qudro.7. Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Nuérico

21 Depto de Coputção Instituto de Ciêncis Ets e Biológics Universidde Federl de Ouro Preto inh Multiplicdor Coeficientes P Trnsforções = -, - = - = -,8 - -, - -, =,5, - =,5, , -,5 -,5,8 -,5-5 7,5 5,8 -,5-5 7,5 5 = -,, -,5 -,5 6, -,5, -, Qudro.7: Surizção dos cálculos Observe-se que é feit, de iedito, troc de posição entre s linhs u e qutro. A es troc deve ser feit no vetor de perutção. Obté-se, então, P () = [ ] t e é relizd eliinção dos eleentos d prieir colun. No psso dois, que consiste n eliinção dos eleentos d segund colun, verific-se que o pivô está n terceir linh. ogo, é necessário fzer troc de posição entre s linhs dois e três. Est es trnsforção deve ser relizd no vetor de perutção, obtése, então, P () = [ ]. Verific-se, no psso três, que o pivô está n qurt linh. ogo, é necessário fzer troc de posição entre s linhs três e qutro. Efetundo es trnsforção no vetor de perutção, obté-se P () = [ ]. Tê-se, seguir, s trizes e U.,8, -,5 -,5, 5 e U ,5 -, Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Nuérico

22 Depto de Coputção Instituto de Ciêncis Ets e Biológics Universidde Federl de Ouro Preto Resolução do siste.y = b Aplicndo P () = [ ] o vetor b = [6 8 7 ] t, -e obtido b = [ ] t. y = - y = - 7,8.y,5.y + y = 6 y = 6,5,.y,5.y +,.y + y = 8 y = - Resolução do siste U. = Y = = ,5. = 6,5,. = - A solução do siste de equções é, portnto, = [ - 5] t. Eeplo.7 A nálise dos lientos, I, II e III revelou que os esos possue s seguintes uniddes de vitins A, B e C por gr: Vitin A B C I,5 8, 7, II, 8, 9, III 5,,8 7,6 A tbel infor que, por eeplo, u diet co g do liento I fornece 65 uniddes de vitin A, de vitin B e 8 de vitin C. Se u pesso precis ingerir 68, 79, e,7 uniddes de vitin A, B e C, respectivente, quis s quntiddes dos lientos I, II e III que suprirão ests necessiddes? Solução Bst resolver o seguinte siste de equções:,5 +, + 5, = 68 () 8, + 8, +,8 = 79, () 7, + 9, + 7,6 =,7 () Utilizndo-se o étodo d decoposição U co pivotção prcil e efetundo os cálculos co css deciis, são obtidos os resultdos seguir. Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Nuérico

23 Depto de Coputção Instituto de Ciêncis Ets e Biológics Universidde Federl de Ouro Preto inh Multiplicdor Coeficientes P Trnsforções = -,59 8, 8,,8 = -,7,5, 5, 7, 9, 7,6 = -,9,59,7,59 8, 6,6 8,99 + +,7,9,77 + Resolvendo Y = B Aplicndo P = [ ] t e B, obté-se B = [79, 68,7] t y = 79,,59 y + y = 68 y = 78,65,7 y +,9y + y =,7 y = 7,9 Resolvendo UX = Y 8, + 8, +,8 = 79,,59 + 8, = 78,65,77 = 7,9 Obté-se, coo solução, o vetor X = [7,957 7,78,5] t, e grs. O vetor residul produzido é R = [-,877 -,8,65] t, portnto foi obtid u solução proid. Obs: A solução et é X = [8 7,5,] t...5 Cálculo de Deterinntes U subproduto d resolução de sistes lineres por eio de étodos diretos é o cálculo de deterinntes. É ostrdo seguir coo clculr o deterinnte de u triz utilizndo o Método d Decoposição U. Coo foi visto, triz A pode ser decopost coo produto de dois ftores e U, onde é u triz tringulr inferior co eleentos digonis unitários e U u triz tringulr superior, isto é: A = U. Assi, pode-se escrever: det(a) = det(.u) = det() det(u) Coo se sbe, o deterinnte de u triz tringulr é igul o produto dos eleentos d digonl principl, então det() = e det(a) = det(u) = produto dos pivôs Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Nuérico

24 Depto de Coputção Instituto de Ciêncis Ets e Biológics Universidde Federl de Ouro Preto No cso de ser utilizdo o procediento de pivotção prcil, te-se que det(a) = (- ) det(u) = (- ) produto dos pivôs Sendo o núero de trocs de posição entre linhs durnte fse de eliinção. Eeplo.8 N decoposição U, co pivotção prcil, d triz for obtidos os ftores e U,75,5 A -,5 - - e U - -,5,75 Co dus trocs de posição entre linhs n fse de eliinção. Sendo ssi: det(a) = det(u) = (- ) () (- ) (,75) = -7 Os itens..6 e..7, seguir, trt de dus plicções do Método d Decoposição U que consider situção n qul se desej resolver vários sistes de equções lineres que possue e cou triz dos coeficientes e tê teros independentes diferentes...6 Refinento d solução de u siste de equções lineres siultânes Quer utilize-se técnic de pivotção ou não, os erros de rredondento tê lgu efeito nos resultdos. Por este otivo, tão logo tenh sido obtid u solução, fz-se necessári utilizção de u técnic de refinento que, norlente, reduzirá os erros de rredondento. Sendo ssi, dit-se que: (i) U siste de equções, A. = b foi resolvido, utilizndo-se o étodo d decoposição U e foi obtid u solução proid, dd por u vetor. (ii) A solução et, que se desej deterinr, é u vetor. (iii) Δ é u vetor de correção ser feit e de odo obter. Portnto, te-se que = + Δ e A. = b A.( + Δ ) = b A.Δ = b A. Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Nuérico

25 Depto de Coputção Instituto de Ciêncis Ets e Biológics Universidde Federl de Ouro Preto De cordo co.8, R = b A. é o vetor resíduo produzido pel solução proid. Sendo ssi A Δ = R Te-se, então, u siste de equções lineres siultânes co triz dos coeficientes idêntic à de A. = b. Coo A = U então.u.δ = R Fzendo U.Δ = Y te-se.y = R. Pr deterinr Δ bst resolver, pel orde,.y = R (.) que é u siste de equções lineres siultânes tringulr inferior) e U.Δ = Y (.5) que é u siste de equções lineres siultânes tringulr superior. Resolvendo.5 e, seguir,. fic deterindo o vetor Δ. Feit correção e é obtido o vetor e clculdo o vetor resíduo R. Este processo pode, nturlente, ser repetido té que se obtenh u erro que, por lgu critério, poss ser considerdo suficienteente pequeno. Eeplo.9 O siste de equções + = = = foi resolvido utilizndo-se o étodo d decoposição U co pivotção prcil. For obtids s trizes: -,67 -,, - U 5 6, 6,7 e o vetor de pivotção P () = [ ] t. Coo u solução foi obtido o vetor = [,97 -,978,967] t, que produziu o vetor residul R = [-,6,,7] t. Fç u refinento d solução obtid. Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Nuérico 5

26 Depto de Coputção Instituto de Ciêncis Ets e Biológics Universidde Federl de Ouro Preto Solução Resolução de Y = R Aplicndo P = [ ] t e R obté-se R = [, -,6,7] t. Sendo ssi Y = [, -,6,96] t. Resolução de UΔ = Y É obtido Δ = [,68 -,6,5] t Coo = + Δ = [,9999 -,,9999] t Est solução produz o vetor resíduo R = [-,,,] t. Considerndo-se R, verific-se que é u solução que present u precisão ior que. De fto, te-se pr que: á r á i n i i -,6,,,,7,7 e, pr á r á -,,,,,, i n i i A solução produz u resíduo enor Deterinção d invers de u triz Sej A u triz qudrd não singulr, isto é, det(a), e = A - su triz invers. Sendo ssi, te-se que A. = I. O objetivo deste teto é ostrr coo obter utilizndo o Método d Decoposição U. Pr efeito de desenvolviento, sej A u triz de orde. Portnto, te-se que: A I Fzendo o produto, são obtidos os três sistes de equções seguir. + + = + + = + + = + + = + + = + + = + + = + + = + + = Observe-se que são três sistes de equções que tê e cou triz dos coeficientes diferindo, pens, n triz dos coeficientes. Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Nuérico 6

27 Depto de Coputção Instituto de Ciêncis Ets e Biológics Universidde Federl de Ouro Preto São sistes de equções d for A. i = B i, i =,,, onde i é i-ési colun de e B i é i-ési colun de I. Coo A =.U, então.u. i = B i. Resolve-se, então, os sistes de equções.y i = B i e U. i = Y i, i =,,. A resolução de cd u destes sistes de equções produz u colun d triz. Eeplo. Utilizndo o Método d Decoposição U deterine invers d triz. - A - Sbendo-se que -, U - 5 -,6 Retenh nos cálculos três css deciis. Solução Deterinção d prieir colun de X: Y = B, onde B = [ ] t Y = [ - -,] t UX = Y X = [,77,67 -,89] t. Deterinção d segund colun de X: Y = B, onde B = [ ] t Y = [,] t UX = Y X = [,88 -,66,56] t Deterinção d terceir colun de X: Y = B, onde B = [ ] t Y = [ ] t UX = Y X = [-,56,67,78] t ogo, triz invers de A é: A,77,67 -,89,88 -,66,56 -,56,67,78 Observe-se que, pr deterinr invers de u triz de terceir orde, foi necessário resolver três sistes de equções lineres siultânes de orde três. Sendo ssi, con- Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Nuérico 7

28 Depto de Coputção Instituto de Ciêncis Ets e Biológics Universidde Federl de Ouro Preto clui-se que, pr deterinr invers de u triz de orde n, é necessári resolução de n sistes de equções lineres siultânes de orde n. 5 - Métodos itertivos 5. - Teori Gerl dos Métodos Itertivos U ds idéis fundentis e Cálculo Nuérico é d iterção ou proição sucessiv. Eiste u grnde núero de étodos nuéricos, pr resolver os is vridos tipos de probles, que são processos itertivos. Coo o próprio noe já diz, esses étodos se crcteriz pel plicção de u procediento de for repetid, ou sej, repetir u deterindo cálculo váris vezes, obtendo-se cd repetição, ou iterção, u resultdo is preciso que quele obtido n iterção nterior. U iportnte clsse é dos étodos itertivos estcionários de gru u, nos quis o resultdo obtido e cd iterção é u função, soente, do resultdo d iterção nterior. Se u proble, P, te u solução S, então é gerd u seqüênci de proições, ou de estitivs, {S }, =,,,...; tl que: S = (P, S - ), =,,,... (5.) Sendo que epressão 5. é função de iterção do étodo itertivo. Definição 5. U étodo itertivo é dito estcionário se função de iterção é, sepre, es e tods s iterções. Cso el se odifique é dito não estcionário. Definição 5. U étodo itertivo é dito de gru g se, pr obter u estitiv, são necessáris g estitivs nteriores d solução do proble, ou sej, função de iterção é d for: S = (P, S, S,..., S g ); = g, g +, g +,... (5.) Por eeplo: p = S = (P) e S = (P, S - ), =,,... p = S = (P), S = (P, S ) e S = (P, S -, S - ), =,,... Os spectos trtdos seguir estão, sepre, presentes nos processos itertivos estcionários de gru u independenteente do proble ser resolvido. Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Nuérico 8

29 Depto de Coputção Instituto de Ciêncis Ets e Biológics Universidde Federl de Ouro Preto Estitiv inicil Coo, e cd iterção, é necessário utilizr o resultdo d iterção nterior, então, fi de se inicir u processo itertivo, é preciso ter u estitiv inicil pr solução do proble. Ess estitiv pode ser conseguid de diferentes fors, confore o proble que se desej resolver. Função de iterção U função de iterção, d for 5., por eio d qul se constrói u seqüênci de estitivs pr solução do proble. Convergênci É preciso que o étodo itertivo gere u seqüênci que convirj pr solução do proble. Isto signific que o resultdo obtido e u iterção deve estr is próio d solução do que o nterior. Ess convergênci ne sepre é grntid e u processo nuérico. Critério de Prd Obviente não se pode repetir u processo nuérico de for indefinid. É preciso prá-lo e u deterindo instnte. Pr isto, deve ser utilizdo u certo critério, que vi depender do proble ser resolvido, por eio do qul é tod decisão qunto à finlizção do processo. Este critério de prd envolve precisão desejd n solução do proble, e u núero áio de iterções Métodos Itertivos pr resolução de sistes de equções lineres siultânes Pr deterinr solução de u siste de equções lineres por eio de u étodo itertivo é preciso trnsforá-lo e u outro siste liner que possibilite definição de u processo itertivo. Alé disto, o siste liner obtido pós trnsforção deve ser equivlente o siste originl, ou sej, bos deve ter es solução. Sendo ssi, ddo u siste liner equivlente d for A. b, ele é trnsfordo e u siste liner M. c () (5.) Onde: M é u triz co diensões c é u vetor co diensões n n n Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Nuérico 9

30 Depto de Coputção Instituto de Ciêncis Ets e Biológics Universidde Federl de Ouro Preto A função () é função de iterção que, no cso, é dd n for tricil. A seguir, tondo-se u proição inicil, itertiv de vetores: (), pr, constrói-se u seqüênci () (o) (o) M. c ( ) () () () M. c ( ) () ( -) ( - M. c ( ), =,,... (5.) A epressão 5. é for gerl dos étodos itertivos, do tipo estcionário de gru u, que serão trtdos nest seção, sendo que M é triz de iterção. Definição 5. Se pr qulquer estitiv inicil liite independente de, sucessão { }, obtid de 5., convergir pr u, então o étodo itertivo diz-se convergente. Definição 5. Se os sistes de equções A. = b e (I M). = c possuíre es solução, então o étodo itertivo consubstncido por 5. é dito consistente. Proposição 5. Sej det(a). O étodo itertivo proposto e 5. é consistente se, e soente se, (I M).A -.b = c Prov Sendo = M. + c M. = c (I M). = c...() A. = b = A -.b... () Substituindo () e () ve que (I M).A -.b = c c.q.d. Sendo ssi, é interessnte que os étodos itertivos sej, siultneente, convergentes e consistentes. Critério de prd O processo itertivo é finlizdo qundo se obté () tl que, ( ) ( ) i i i =,,..., n; sej enor ou igul u precisão estbelecid e, então, () é todo coo u proição pr solução do siste de equções; ou qundo for tingido u núero áio de iterções estbelecido. Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Nuérico

31 Depto de Coputção Instituto de Ciêncis Ets e Biológics Universidde Federl de Ouro Preto 5. - Método de Jcobi 5.. Forulção lgébric Sej u siste de equções lineres d for... n n b... n n b n n n... nn n b n (5.5) Sendo ii, i,,..., n, eplicit-se u incógnit e cd equção (ou sej, fz-se seprção pel digonl d triz de coeficientes) e estbelece-se o esque itertivo seguir. () () () n nn (b (b (b n n ( -) ( -) ( -) n ( -) ( -) ( -)... n n nn ( -) n ) ( -) n ) ( -) n ) (5.6) Sendo ssi, dd u proição inicil u seqüênci (), (),..., (), o Método de Jcobi consiste e obter (), por eio d relção recursiv: () = M. ( ) + c (5.7) Onde M n / / nn / n / nn / / n / nn n n / / e b / b / c bn / nn Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Nuérico

32 Depto de Coputção Instituto de Ciêncis Ets e Biológics Universidde Federl de Ouro Preto Eeplo 5. Resolv o siste de equções seguir utilizndo o Método de Jcobi co precisão,5, u áio de 5 iterções e = [ ] t. Solução A função de iterção é: = = =,.(-.,5.(8- - -,.( Fzendo os cálculos utilizndo 5.8, são obtidos os resultdos presentdos no qudro ) - - ) ) (5.8) - i - i ,,57,,,95,95,8,5,995,6,969,,99,99,,6 Qudro 5.: Resultdos obtidos Considerndo precisão estbelecid, o vetor = [,99,99,] t é u solução do siste de equções. 5.. Forulção tricil O esque itertivo de Jcobi pode ser foruldo tricilente. Pr obter est forulção, considere-se, inicilente, que 5.6 pode ser escrito d for dd por 5.9. () ( -) ( -) ( -). b... n n () ( -) ( -) ( -). b... n n ( ) ( -) ( -) ( -) nn. n bn n n... nn n (5.9) Sej, então, s trizes Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Nuérico

33 Depto de Coputção Instituto de Ciêncis Ets e Biológics Universidde Federl de Ouro Preto - n b - n - b A b (5.) - n n nn n n bn n n D nn U n n (5.) Sendo que A é triz dos coeficientes, é u triz que conté prte estritente tringulr inferior de A, U é u triz que conté prte estritente tringulr superior de A e D é u triz que conté digonl de A. U triz é estritente tringulr, inferior ou superior, qundo os eleentos d digonl principl tbé são nulos. Pode ser verificdo, fcilente, que: (i) + D + U = A (5.) (ii).. D. nn. n (5.) (iii) ( -) ( -) ( -) b... n n ( -) ( -) ( -) b... n n - b - ( U). ( -) ( -) ( -) bn n n... nn n (5.) Considerndo 5. e 5., te-se que 5.9 pode ser reescrito n for: D. = b ( + U). (5.5) Multiplicndo bos os teros de 5.5 pel invers d triz digonl ve: D.D. = D.b D.( + U). - Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Nuérico

34 Depto de Coputção Instituto de Ciêncis Ets e Biológics Universidde Federl de Ouro Preto Portnto, forulção tricil do esque itertivo de Jcobi é: = D.( + U). + D.b (5.6) Ou, então Onde = M. + c (5.7) M = D.( + U) (5.8) c = D.b (5.9) Eeplo 5. Resolv o siste de equções seguir utilizndo o étodo de Jcobi n su forulção tricil co precisão,5; u áio de iterções e = [ ] t.. + = 9 +. = + 5. = -6 Solução Te-se que: D - 5 U b - 6 É trivil verificr que D -,5, -, Então -,5 - M - D ( U) -,., - - -,,,5, -,5, Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Nuérico

35 Depto de Coputção Instituto de Ciêncis Ets e Biológics Universidde Federl de Ouro Preto,5 - c D.b Sendo ssi, o esque itertivo é:, 9,75.,667, 6,,5 -,5,75 -,,. -,667,,, As iterções produze os resultdos seguir.,75,667, 5,67,85,8,8,8,,95 5, 5,58,996,95, 6,998,99,5 As diferençs entre s iterções consecutivs são dds pelos vetores:,867,8,88,767,9,6,,5, 5,8,6,67 6 5,,5,5, Portnto, pr precisão estbelecid, o vetor 6 = [,998;,99;,5] t é u solução. Proposição 5. O Método de Jcobi, ddo por 5. é consistente. Prov Considerndo proposição 5., deve ser deonstrdo que (I M).A.b = c. Co efeito. (I M).A.b = [I + D.( + U)].A.b = [D.D + D.( + U)].A.b = D.( D + + U).A.b Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Nuérico 5

36 Depto de Coputção Instituto de Ciêncis Ets e Biológics Universidde Federl de Ouro Preto = D.A.A.b = D.b = c c.q.d Método de Guss-Seidel 5.. Forulção lgébric Assi coo no Método de Jcobi o siste de equções lineres A. = b é escrito n for equivlente: = M. + c por eio d seprção digonl d triz dos coeficientes e o processo itertivo de tulizção é seqüencil, coponente por coponente. A diferenç é que, no oento de relizr-se tulizção de u ds coponentes do vetor nu deterind iterção, são utilizds s coponentes já tulizds n iterção tul, co s restntes não tulizds d iterção nterior. Por eeplo, o se clculr coponente () j, j =,,..., n; d iterção (), utiliz-se s coponentes já tulizds () () (),,..., j co s coponentes ind não tulizds d iterção nterior ( -) j, ( -) j,..., ( -) n. Portnto, te-se o esque itertivo seguir. () () () () n ( -) ( -) ( -) ( -) (b... ) n n () ( -) ( -) ( -) (b... n n ) () () ( -) ( -) (b... n n ) (bn nn () () () () n n n... nn n ) (5.) Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Nuérico 6

37 Depto de Coputção Instituto de Ciêncis Ets e Biológics Universidde Federl de Ouro Preto Eeplo 5. Resolv o siste de equções seguir utilizndo o Método de Guss-Seidel co precisão,5, u áio de 5 iterções e = [ ] t. Solução A função de iterção é dd por: = = =,.(-.,5.(8- - -,.( fzendo os cálculos utilizndo 5.9, são obtidos os resultdos presentdos no qudro ) ) - ) - i - i ,,7,,,,,99,,997,996,, Qudro 5.: Resultdos obtidos Considerndo precisão estbelecid, o vetor = [,997,996,] t é u solução do siste de equções. É de se esperr que o Método de Guss-Seidel gere u seqüênci que converge is rápido pr solução do siste de equções do que quel gerd pelo Método de Jcobi, u vez que fz tulizção iedit dos ddos. Ebor isto ocorr co freqüênci, o fto não pode ser generlizdo. Há csos e que há convergênci qundo se utiliz u étodo e qundo se utiliz o outro não. Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Nuérico 7

38 Depto de Coputção Instituto de Ciêncis Ets e Biológics Universidde Federl de Ouro Preto 5.. Forulção tricil Pr obter est forulção, considere-se, inicilente, que 5. pode ser escrito d for dd por 5.. () ( -) ( -) ( -). b... n n () () ( -) ( -). b... n n ( ) () () () nn. n bn n n... nn n (5.) Considerndo s trizes 5. e 5. te-se: b b b n n ( -) () () n ( -) ( -) () n n nn Tendo e vist 5. e 5. pode-se escrever 5. n for: ( -) n ( -) n () n b -. - U. - (5.) D. = b. - U. (5.) De onde ve que D. +. = b - U. (D + ). = b - U. (5.) Multiplicndo bos os teros de 5. pel invers d triz (D + ) ve: Sendo ssi (D + ).(D + ). = (D + ).[b U. ] = (D + ).b (D + ).U. Portnto, forulção tricil do esque itertivo de Guss-Seidel é: = (D + ).U. + (D + ).b (5.5) Ou, então Onde = M. + c (5.6) M = (D + ).U (5.7) c = (D + ).b (5.8) Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Nuérico 8

39 Depto de Coputção Instituto de Ciêncis Ets e Biológics Universidde Federl de Ouro Preto N prátic, forulção 5.5 não é utilizd, u vez que eige deterinção d invers d triz (D + ). Ao invés, é utilizd u forulção obtid considerndo 5. e ultiplicndo os seus dois ebros pel invers d triz D. Te-se, então, que: D.D. = D.b D.. - D.U. (5.9) = D.. - D.U. + D.b (5.9) O resultdo presentdo por 5.9 é is siples de utilizr do que 5.5, u vez que requer invers d triz D, que é u triz digonl. É siples verificr que, pr obter invers de u triz digonl, bst inverter os seus eleentos digonis. Observe-se, ind, que forulção tricil dd por 5.9 lev à forulção lgébric presentd e 5.. Eeplo 5. Resolv o siste de equções seguir utilizndo o étodo de Guss-Seidel n forulção tricil dd por 5.5 co precisão,5; u áio de 5 iterções e = [ ] t.. + = 9 +. = + 5. = -6 Solução Te-se que: D - 5 U b - 6 Pode ser ostrdo que:,5 - (D ) -,8,,,67 -, Então Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Nuérico 9

40 Depto de Coputção Instituto de Ciêncis Ets e Biológics Universidde Federl de Ouro Preto - M - (D ).U,5-8, -,5,6, - c (D ).b,75,85,765 Sendo ssi, o esque itertivo é:,5 -,5,75-8,6. -,85,,,765 As iterções produze os resultdos seguir.,75,85,765,8 5,,979,986,96,997,997,,998 As diferençs entre s iterções consecutivs são dds pelos vetores:,8,89,96,7,7,6,7,, Portnto, pr precisão estbelecid, o vetor = [,997;,;,998] t é u solução. Proposição 5. O Método de Guss-Seidel, ddo por 5.5 é consistente. Prov Considerndo proposição 5., deve ser deonstrdo que (I M).A.b = c. Co efeito. (I M).A.b = [I + (D + ).U].A.b = [(D + ).(D + ) + (D + ).U].A.b = (D + ).( D + + U).A.b = (D + ).A.A.b = (D + ).b = c c.q.d. Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Nuérico

41 Depto de Coputção Instituto de Ciêncis Ets e Biológics Universidde Federl de Ouro Preto Convergênci dos étodos itertivos Ebor orde ds equções e u siste liner não eerç qulquer influênci co relção à eistênci de solução, qundo se trt d utilizção de u étodo itertivo el é relevnte u vez que define função de iterção. Pr ostrr este fto consider-se no eeplo 5.5 o siste de equções utilizdo nos eeplos 5. e 5., poré trocndo orde ds equções u e dois. Eeplo 5.5 Resolv o siste de equções seguir utilizndo o Método de Guss-Seidel. Fç os cálculos co dus css deciis e toe = [ ] t. Solução A função de iterção é: = = = ,.( ) (5.) Fzendo os cálculos utilizndo 5.9, são obtidos os resultdos presentdos no qudro i - i , 8, -.7,7 87,6.77,7-6., 8.5, -.75,7.778,6 Qudro 5.: Resultdos obtidos Observ-se, clrente, que não está ocorrendo convergênci. Ocorre que, co troc de posição entre s equções u e dois, função de iterção se odificou, bst coprr 5.9 e 5.. A função de iterção 5. ger u seqüênci que não é convergente. Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Nuérico

42 Depto de Coputção Instituto de Ciêncis Ets e Biológics Universidde Federl de Ouro Preto Critério de convergênci Pr os étodos itertivos de Jcobi e Guss-Seidel são válidos os critérios de convergênci seguir Critério ds linhs É condição suficiente pr que os étodos itertivos gere u seqüênci que converge pr solução de u siste de equções, qulquer que sej proição inicil, que n, i =,,..., n ii ij j Alé do is, qunto is prói de zero estiver relção convergênci. n j ii ij is rápid será Critério ds coluns É condição suficiente pr que os étodos itertivos gere u seqüênci que converge pr solução de u siste de equções, qulquer que sej proição inicil, que n, j =,,..., n jj ij i Alé do is, qunto is prói de zero estiver relção convergênci. n i jj ij is rápid será Observe-se que estes dois critérios envolve condições que são pens suficientes, se pelo enos u dels for stisfeit, então está ssegurd convergênci, entretnto se nenhu ds dus for stisfeit nd se pode firr. Os eeplos seguir present sistes de equções que pode ser resolvidos, soente, por eio de u dos dois étodos itertivos borddos. Eeplo 5. Este eeplo trt de u siste de equções lineres que pode ser resolvido, soente, por eio do Método de Jcobi. Sej o siste de equções seguir e = [ ] t. Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Nuérico

43 Depto de Coputção Instituto de Ciêncis Ets e Biológics Universidde Federl de Ouro Preto = + + = = Solução () Aplicndo o Método de Jcobi, te-se que função de iterção é: (5.) Fzendo os cálculos utilizndo 5., são obtidos os resultdos presentdos no qudro 5.. Observe-se que foi obtid solução et. - i - i Qudro 5.: Resultdos obtidos (b) Aplicndo, gor, o Método de Guss-Seidel (5.) Fzendo os cálculos utilizndo 5., são obtidos os resultdos presentdos no qudro i - i Qudro 5.5: Resultdos obtidos Neste cso, verific-se que o Método de Guss-Seidel ger u seqüênci que não converge pr solução do siste de equções. Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Nuérico

44 Depto de Coputção Instituto de Ciêncis Ets e Biológics Universidde Federl de Ouro Preto Eeplo 5.5 Este eeplo trt de u siste de equções lineres que pode ser resolvido, soente, por eio do Método de Guss-Seidel. Sej = [ ] t.,5 +,6. +,. =, + + =,. -,. + = -,6 Solução () Aplicndo o Método de Jcobi, te-se que função de iterção é: (5.) Fzendo os cálculos utilizndo 5., são obtidos os resultdos presentdos no qudro i - i ,, -,6,6,76, -,76,6,66, -,8,,89,8 -,86,78 5,658 -,8 -,875,56 6,98,6 -,88, 7,67 -, -,96,6 8,6,6 -,98,9 9,66 -,56 -,9,,6,7 -,97,85 Qudro 5.6: Resultdos obtidos Observe-se que não há convergênci. (b) Aplicndo, gor, o Método de Guss-Seidel. - -.(,-,6. -,. ) ,6 -,.,. -.(,-,6. -, ,6 -,.,. - ) (5.) Fzendo os cálculos utilizndo 5., são obtidos os resultdos presentdos no qudro 5.7. Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Nuérico

45 Depto de Coputção Instituto de Ciêncis Ets e Biológics Universidde Federl de Ouro Preto - i - i , -, -,9,9, -,5 -,78,,8 -,6 -,5,9,869 -,7 -,87,6 5,79 -, -,7,6 6,9 -,8 -,,9 7,87 -, -,, 8,, -,5,55 9,, -,,,977,7 -,98,5 Qudro 5.7: Resultdos obtidos Neste cso, verific-se que o Método de Guss-Seidel ger u seqüênci que, ebor uito lentente, converge pr solução do siste de equções Copleidde dos étodos itertivos A nálise d copleidde (quntidde de operções) requerids e u étodo itertivo, e cd iterção, é bstnte siples. O que não é trivil é deterinr o núero eto de operções relizds por u progr de resolução de sistes de equções lineres por eio de u étodo itertivo, pois este depende do critério de prd dotdo. Pr evitr que se entre e loop, relizndo operções qundo não ocorre convergênci, ou qundo não se lcnç precisão estbelecid, sepre deve ser dotdo coo critério de prd, lé d precisão desejd, u núero áio de iterções peritido. No pior cso, este será o núero de vezes que s iterções serão eecutds. Os étodos de Jcobi e Guss-Seidel reliz, por iterção, (n n) operções ritétics: (n ) ultiplicções de vriáveis por coeficientes, (n ) sos e u divisão pr cd vriável do siste, totlizndo, pr cd vriável, (n ) operções pr cd u ds n vriáveis. Pr vlores de n grndes, o tero de enor gru é doindo pelo tero de ior gru, e o custo dos étodos se torn n. Devido necessidde de verificr possível convergênci pr solução do siste, sob pen de não se chegr u resultdo válido e su resolução, os testes de convergênci torn-se prticente obrigtórios n resolução itertiv de sistes de equções lineres e, portnto, deve ser considerds no custo destes étodos. O critério ds linhs te u custo de (n n) operções ritétics, u vez que são relizds (n - ) sos, lé disto, são relizds n coprções pr verificr se - Prof. José Álvro Tdeu Ferreir - Nots de uls de Cálculo Nuérico 5