CPV conquista 70% das vagas do ibmec (junho/2007)

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1 conquist 70% ds vgs do ibmec (junho/007) IBME 08/Junho /008 NÁLISE QUNTITTIV E LÓGI DISURSIV 0. Num lv-rápido de crros trblhm três funcionários. tbel bio mostr qunto tempo cd um deles lev sozinho pr lvr um crro. Jorge Teo Rubens 0 min 0 min min omo há pens dois boes pr lvr crros, dois deles devem trblhr juntos e um sozinho. No entnto, qundo dois deles trblhm juntos eficiênci d dupl é 0% menor do que som ds eficiêncis individuis, sendo eficiênci individul igul o número médio de crros por hor que pesso consegue lvr sozinh. ) Determine quem deve trblhr sozinho e quem deve trblhr em dupl, pr que o número de crros lvdos por hor sej o mior possível. b) Sej p o percentul de eficiênci que se perde cso os três optem por trblhr juntos num único bo, em relção à som ds eficiêncis individuis. Determine o mior vlor de p pr o qul os três lvdores trblhndo juntos num único bo não rendem menos do que um dupl num bo e o outro lvdor sozinho no outro. ) Temos que s eficiêncis em crros por hor são: Jorge Teo Rubens 5 ssim, testndo os csos, temos: Rendimento só dupl só dupl totl (crros/h) Jorge Teo + Rubens crros/h + 0,8 (7) crro/h 8,6 Teo Jorge + Rubens crros/h + 0,8 (8) crro/h 8, Rubens Teo + Jorge 5 crros/h + 0,8 (5) crro/h 9 omo queremos que o número de crros/h sej máimo, Rubens deve trblhr sozinho e Teo e Jorge formndo um dupl. 0. onsidere que um número inteiro de dois lgrismos sej representdo por, em que é o lgrismo ds dezens e o ds uniddes. onsidere os números inteiros b e b do sistem de numerção deciml, sendo < b. Sbe-se que: o resto d divisão de b por é igul ; o resto d divisão de b por tmbém é igul. Nesss condições, determine os lgrismos e b. b 0 + b 0 + b q + b 0b + 0b + q + (I) (II) De (I) e (II) temos que e b são números ímpres. De (II) (I) temos que:9b 9 (q q) 9 (b ) (q q) Devemos ter b k (ou sej, um múltiplo positivo de ) b 5 não convém 9 não convém 7 e b não convém b) omo queremos obter o máimo rendimento no trblho em três, devemos fzer comprção com o cso de eficiênci máim do item nterior, ssim: ( + + 5). ( p) 9 p 0% ssim, p má 0%. ibmecjun008

2 IBME 08/06/008 Seu pé direito ns melhores Fculddes 0. N figur o ldo está representd um circunferênci de rio. onsidere que O é o ponto (, 0) e G é um ponto qulquer sobre ess circunferênci, distinto de O; é o comprimento do rco d circunferênci delimitdo por O e G, obtido prtindo-se de O pr G no sentido nti-horário (indicdo pel flech n figur). ) Se s coordends do ponto G, em termos de, são dds por (f(), g()), clcule π π f + g 6 6 b) Determine o menor vlor de pr o qul f ()g(). g() ) No G: [f ()] + [g()] {[f ()] + [g()] } {} 6 pr todo. b) Sendo α o vlor do ângulo em rdinos, temos que o comprimento do rco OG é ddo por α. R. Portnto: ) α G f() O 0. onsidere função ( ) f ) Determine o menor e o mior vlor que f () ssume, ou sej, determine o vlor mínimo e o vlor máimo do conjunto imgem de f (). b) Sendo um elemento qulquer do domínio de f (), qul dos dois é mior: sen (f()) ou cos (f())? π Dic: lembre-se de que como π >, então > 6 ) Sendo um função g, tl que g (), podemos reescrever função f como: f () g( ) Percebemos que o máimo de f () ocorre no máimo de g (), e mesm correspondênci ocorre qundo os mínimos, dentro do domínio d função. O máimo de g () ocorre no seu vértice, pr 0, e o mínimo pr ±. Sendo ssim temos: f má f mín 0 b) Pelo item, temos que: f( ) π π f( ) 6 6. α α D figur temos: cos α sen α f( ) g ( ) f(). cos α f(). cos g(). sen α g(). sen Logo: f(). g(). cos.. sen. sen. cos sen sen( ) Pr tl condição, o menor vlor de será 6 π e Nesse intervlo, pr qulquer vlor de f (), cos (f ()) > sen (f ()) ibmecjun008

3 Seu pé direito ns melhores Fculddes IBME 08/06/ No progrm gnhe su cs, dois prticipntes são epostos dois grupos de três ports. trás de um ds ports do primeiro conjunto está o tão sonhdo prêmio, s outrs dus estão vzis. Há tmbém outro prêmio dos sonhos trás de um ds ports do outro conjunto e s outrs dus ports do outro conjunto tmbém estão vzis. O esquem bio represent situção. 06. É ddo seguir o gráfico d função f (). P P P P P P onjunto onjunto B ndré e Binc prticiprm desse jogo. ndré escolheu port P do conjunto. O presentdor do progrm permitiu então que Binc escolhesse qulquer port do conjunto B ou um ds ports restntes do conjunto. Binc escolheu port P do conjunto. Pr pimentr brincdeir, o presentdor em seguid mostrou os dois que port P do conjunto estv vzi. Depois, perguntou Binc se el queri trocr su port por um ds três do conjunto B. ) Trocr ou não trocr: determine probbilidde de Binc gnhr o prêmio pr cd um desss dus possibiliddes que form oferecids el. b) onsidere gor que Binc escolheu trocr port P do conjunto pel port P do conjunto B. O presentdor oferece ndré possibilidde de trocr su port pel port que er de Binc, ou sej, pel port P do conjunto. Qul probbilidde de ndré gnhr o prêmio se ele fizer troc? Justifique su respost. ) Se Binc não trocr de port, probbilidde de gnhr o prêmio será. Se el trocr de port, probbilidde será. lcule o vlor numérico d epressão + + pr 008. Temos do gráfico que é riz d função. plicndo o dispositivo prático de Briot-Ruffini, temos: 0 Logo, f () ( + + ) b) omo há pens um port premid no conjunto, probbilidde de ndré começr com port premid é. No entnto, se ele começr escolhendo port premid, o trocr de port ele irá escolher não-premid e, se ele começr escolhendo port não-premid, o trocr de port ele irá pr premid. Portnto, trocndo de port, probbilidde de gnhr o prêmio é probbilidde de começr escolhendo port errd, ou sej,. ( ) Pr 008, epressão vlerá 00. ibmecjun008

4 IBME 08/06/008 Seu pé direito ns melhores Fculddes 07. Ddo um número rel α, considere ret e circunferênci do plno crtesino dds pels equções seguir. 08. Observe figur bio, formd por números inteiros de 7 escritos váris vezes α 0 ) Determine o intervlo de vlores de α pr os quis ret e circunferênci têm dois pontos distintos em comum. b) Determine o vlor de α pr o qul distânci entre os dois pontos comuns à ret e à circunferênci é mior possível α 0 ) pr α temos: + (α) (α) α α + 0 ( + α ) ( + α) + 0 > 0 ( + α) 6 ( + α ) > 0 α > 0 b) onsiderndo que mior distânci possível entre dois pontos de um circunferênci é o diâmetro, temos: (,) s B sendo s: α 0 e s temos: α 0 α Observção: se necessário, utilize s relções bio. Som dos n primeiros números inteiros positivos: n( n + ) n. Som dos qudrdos dos n primeiros números inteiros positivos: n n( n + )( n + ). 6 ) Quntos números, no totl, form utilizdos pr formr ess figur? b) Qul é som de todos os números presentes n figur? ) 7 número 6 7 números números números números 7 7+ N ( ) N 6 números ( )( ) b) S. ( ) 7( 7+ )(. 7+ ) S S 70 6 ibmecjun008

5 Seu pé direito ns melhores Fculddes IBME 08/06/ Pr elborr os desenhos reltivos o projeto de um novo shopping center, os rquitetos responsáveis utilizrm um progrm de computdor que locliz os pontos do prédio em relção um sistem de coordends crtesins tridimensionl, sendo s dimensões considerds em metros. Nesse sistem de coordends, os rquitetos definirm que um ds escds rolntes do shopping deverá ligr os pontos (0, 0, 0) e B(, 0, 5), como mostrdo n figur bio. ) De cordo com o projeto, qul será o comprimento dess escd rolnte? b) No ponto P(, 0, 0) será colocdo um foco de iluminção pr ressltr estrutur d escd. lcule distânci que esse foco estrá d escd (ou sej, distânci do ponto P té o segmento B). 0. Vinte árbitros de futebol form pré-seleciondos pr prticipr de um torneio. Desses vinte, pens N turão de fto no torneio, sendo ess definição feit por sorteio. tbel seguir mostr região de origem dos vinte árbitros. Região méric do Sul mérics do Norte ou entrl Europ Ási ou Oceni Áfric TOTL Quntidde 0 ) onsiderndo neste item que N 0, determine todos os possíveis vlores de e pr os quis, independente do resultdo do sorteio, tuem no torneio árbitros de, pelo menos, três regiões diferentes. Justifique su respost. b) Suponh nesse item que e 6. lcule o menor vlor possível de N pr que, independente do resultdo do sorteio, hj pelo menos um árbitro de cd região tundo no torneio. ) Pr que três regiões diferentes sejm escolhids, não poderemos ter dus regiões junts somndo dez árbitros. Portnto, como temos dus regiões com qutro árbitros, e terão que ser menores que seis. lém disso, pel tbel sbemos que + 9. D 0 5 Logo, temos 5 e ou e 5. b) Pr ter o menos um, vmos supor que tods s regiões com mis árbitros (méric do Norte, Europ e Ási) mndem os seus representntes. Teremos então árbitros, restndo dus regiões (Áfric e méric do Sul) com três árbitros cd. Sendo ssim, precismos pegr o máimo de um (três árbitros), o que então nos obrigri pegr mis um d outr região. Sendo ssim: ) No D temos: ( ) + 0 Logo no B m b) No triângulo retângulo, B, usndo s relções métrics, temos: z B N OMENTÁRIO D PROV prov de nálise quntittiv e lógic discursiv mostrou-se dequd como sempre, eigindo do luno não só o conhecimento do conteúdo, ms tmbém o rciocínio lógico e clrez n interpretção ds questões. ibmecjun008