APONTAMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA

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1 UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA APONTAMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA (II Determinntes) ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL

2 Determinntes Índice 2 Determinntes 2 Introdução Permutções de subconjuntos de 23 Pridde de um permutção 2 24 Termos de um mtriz qudrd 3 25 Pridde de um termo 3 26 Determinnte de um mtriz 4 27 Teorem de Lplce 0 28 Mtriz djunt e mtriz invers 4

3 Determinntes 2 Determinntes 2 Introdução Estmos todos fmilirizdos com funções do tipo f ( x) = cos x ou f ( x) 2 = x Ests ssocim um número rel d vriável x um número rel y = f ( x), por isso são denominds funções reis de vriável rel (frvr), f : D f Neste cpítulo, estud-se função determinnte, que é um função rel de vriável mtricil no sentido que ssoci um mtriz qudrd um número rel y = f ( X ) O estudo dos determinntes tem plicções importntes, em prticulr, nos sistems de equções lineres e n inversão de mtrizes Permutções de subconjuntos de Um dos objectivos deste cpítulo é obtenção de fórmuls ou métodos pr o cálculo de determinntes, pr isso é necessário fzer referênci o conceito de permutção Definição: Chm-se permutção de um conjunto de números inteiros A = {, 2,, n} qulquer conjunto que se pode construir com os n elementos, diferindo uns dos outros pel ordem dos seus elementos Repre-se que cd permutção de um conjunto de números inteiros A = {, 2,, n} é um plicção bijectiv de A em A Obs: Um vez que o número de elementos do conjunto A = {, 2,, n} é # A = n, o número de permutções de A é ddo por n! = n ( n ) 2 Exemplo: Represente s permutções do conjunto A = {, 2,3} Resolução: Existem váris mneirs de se representr um permutção 2 3 domínio 3 2, {,3,2}, (,3, 2), contrdomínio Vmos doptr últim Neste exemplo, como # A = 3 temos 3! = 3 2 = 6 permutções distints no conjunto A, (, 2,3), (,3, 2), (2,,3), (2,3,), (3,, 2) e (3,2,) /5

4 Determinntes Um método conveniente pr sistemticmente listr s permutções de um ddo conjunto é trvés de um árvore de permutções, por exemplo pr A = {, 2,3} : Pridde de um permutção À permutção em que os elementos se dispõem n ordem nturl, dá-se o nome de permutção principl Se num permutção dois elementos não estão dispostos n ordem nturl, diz-se que constituem um inversão (por exemplo, n permutção (,3, 2) os elementos 3 e 2 constituem um inversão) O número totl de inversões pode ser clculdo d seguinte mneir: i) Fixr primeiro elemento d permutção e contr quntos elementos são mis pequenos que este; ii) Fixr o segundo elemento d permutção e contr quntos elementos à direit são mis pequenos que este; iii) Continur té o penúltimo elemento A som destes números será o número de inversões n permutção Um permutção será pr ou ímpr consonte for pr ou ímpr som ds sus inversões, reltivmente à sequênci nturl (té se obter sequênci nturl) Obs2: Com n elementos obtém-se n! permutções, sendo n! n! pres e 2 2 ímpres Teorem (teorem de Bézout): Trocndo entre si dois quisquer elementos de um permutção, mesm mud de pridde Exemplo2: Determine do número de inversões n permutção (6,,3,4,5,2) Resolução: O número de inversões é = 8 A permutção (6,,3,4,5,2) é pr Exemplo3: Represente s priddes ds permutções do conjunto A = {, 2,3} Resolução: Como já vimos temos 6 permutções pr este conjunto: 2/5

5 Determinntes (, 2,3) 0 inversões permutção pr (permutção principl); (,3, 2) inversões permutção ímpr; (2,,3) inversões permutção ímpr; (2,3,) 2 inversões permutção pr; (3,, 2) 2 inversões permutção pr; (3,2,) 3 inversões permutção ímpr 24 Termo de um mtriz qudrd Termo de um mtriz qudrd de ordem n é qulquer produto de n elementos d mtriz, onde estej envolvido pens um e um só elemento de cd linh e de cd colun Assim, por exemplo, num mtriz qudrd de ordem 3, podemos definir os seguintes termos: A= termo principl Num mtriz qudrd de ordem 2, pens podemos definir os seguintes termos e 2 2 Estes dois exemplos, ressltm o fcto de num mtriz de ordem n ter n! termos São todos os produtos d form 2, onde ( j, j2,, j ) é um permutção do conjunto A = {,2,, n} j j2 nj n n 25 Pridde de um termo Um termo, de um mtriz qudrd, será pr ou ímpr consonte for pr ou ímpr som ds inversões efectuds os índices ds linhs e os índices ds coluns Se tivermos o cuiddo de formr os termos de modo que os índices ds linhs fiquem ordendos, pens temos que nos preocupr com s inversões efectuds os índices ds coluns Como no cso d mtriz A nterior Por exemplo o termo: 23 inversões ds linhs = 0 inversões ds coluns = Totl = termo ímpr Se o termo for pr vem fectdo do sinl +, se for ímpr do sinl de Portnto, como 23 é ímpr, escreve-se 23 3/5

6 Exemplo4: Clcule os termos de cd um ds mtrizes: ) Resolução: ) b) 2 2 e b) Termos Permutção Pridde Pridde do termo ssocid (, 2) Pr + 2 (2,) Ímpr Termos Permutção Pridde Pridde do termo ssocid (, 2, 3) Pr (, 3, 2) Ímpr (2,, 3) Ímpr (2,3,) Pr (3,, 2) Pr 2 (3, 2,) Ímpr Determinntes Determinnte de um mtriz Estmos gor em posição de definir função determinnte, que é denotd por det Definição2: O número det A = A é chmdo determinnte d mtriz qudrd A e define-se como sendo som de todos os termos de A, fectdos do sinl (+) ou (-) consonte se trte de um termo pr ou de um termo ímpr Obs3: Pelo que foi dito, tod mtriz qudrd tem um determinnte ssocido Contudo, enqunto mtriz A pode ser representd por A = [ ij ]( n n) (não está implícito um cálculo) o determinnte é representdo por A = det( A) det([ ij ]) (n su representção está implícito um cálculo) e, se A for um mtriz rel, represent um nº rel Neste sentido, função determinnte, é um função rel de vriável mtricil um vez que ssoci um mtriz qudrd um número rel y = det( A) Obs4: Se mtriz A não for qudrd não se pode clculr det clculr determinntes de submtrizes qudrds de A A = A, qunto muito, podemos 4/5

7 Determinntes Portnto, consonte dimensão d mtriz, podemos ter: Mtrizes ( ); [ ] A = det A = A = ; Mtrizes (2 2); A 2 = 2 det A = A = ; Mtrizes (3 3); A = termos pres termos ímpres det A = A = + + ( + + ) Pr mtrizes (3 3) podemos usr um ds regrs prátics: ) Adicionr à direit s dus primeirs coluns ou inferiormente s dus primeirs linhs e formr os termos pres e ímpres de cordo com inclinção ds digonis A = ou 2 3 A = ( ) ( + ) Os termos positivos são o produto dos elementos d digonl principl e ds dus prlels est e os termos negtivos são o produto dos elementos d digonl secundári e ds dus prlels est b) Regr de Srrus Os termos positivos são o produto dos elementos d digonl principl e os produtos dos elementos que formm os triângulos de bses prlels à digonl principl Os termos negtivos são o produto dos elementos d digonl secundári e os produtos dos elementos que formm os triângulos de bses prlels à digonl principl 5/5

8 Determinntes Pr mtrizes de ordem superior à terceir não é viável usr definição de determinnte (por exemplo, no cso ( 4 4 ) temos 4! = 24 termos, 2 pres e 2 ímpres), e, tmbém não existem regrs prátics como s presentds pr determinntes de mtrizes de 3ª ordem Nestes csos, obtêm-se métodos mis eficientes como consequênci de lgums proprieddes que vmos estbelecer Proprieddes dos determinntes Vmos presentr, sem demonstrção, lgums proprieddes dos determinntes: O determinnte de um mtriz, qundo existe, é único; 2 O determinnte d mtriz identidde é um (det( I ) = ); 3 O vlor dos determinntes de um mtriz e d su trnspost são iguis, det( A) = det( A T ) ; 4 Se num mtriz s fils (linh ou colun) forem linermente dependentes então o seu determinnte é nulo Em prticulr, qundo mtriz tiver: um fil de zeros (todos os seus termos são nulos); dus fils iguis; dus fils proporcionis; um fil combinção liner de outrs fils; crcterístic inferior à su ordem ( r( A) < n det( A) = 0, A singulr); 5 Um mtriz A dmite invers se e só se o seu determinnte for diferente de zero Consequentemente: A regulr det( A) 0 ; A regulr r( A) = n ; r( A) = n det( A) 0 ; 6 Se mtriz A é regulr, então o seu determinnte é o inverso do determinnte d su invers Ou sej: det( A) A = det( ), A regulr; det( A ) =, det( A) A regulr; 7 Se multiplicrmos um fil de um mtriz por um número o seu determinnte vem multiplicdo por esse número (todos os termos do determinnte são multiplicdos por esse fctor) Est propriedde, diz que: 6/5

9 Determinntes Multiplic-se um determinnte por um fctor, multiplicndo esse número pelos elementos de um fil E ind que, se dividirmos um fil de um mtriz por um número diferente de zero o seu determinnte vem dividido por esse número; Se todos os elementos de um mtriz qudrd A forem multiplicdos por um n constnte k, então verific-se relção det( ka) = k det( A) ; 8 Um determinnte mud de sinl sempre que se trocm entre si dus fils prlels (o trocr dus fils prlels todos os termos mudm de pridde); 9 Se os elementos de um fil são soms lgébrics de n prcels, o determinnte decompõese n som dos n determinntes que se obtém substituindo os elementos dess fil sucessivmente pel primeir, segund,, prcels e deixndo s restntes fils inlterds Por exemplo, se cd elemento de um fil é som de dus prcels, então o determinnte é igul à som dos determinntes que dele se obtêm substituindo os elementos dess fil, num cso pels primeirs prcels e noutro pels segunds prcels; 0 Não de lter o vlor de um determinnte qundo: os elementos de um fil se dicion os elementos correspondentes de outr ou outrs fils prlel, multiplicd por constntes; se junt um fil um combinção liner de outrs fils prlels; O determinnte de um mtriz tringulr (superior, inferior ou digonl) é ddo pelo seu termo principl ( det( A) = nn ), visto que todos os outros termos são nulos 2 A crcterístic de um mtriz (não nul) pode ser indicdo pel mis lt ordem dos determinntes não nulos ds sus submtrizes qudrds; 3 O determinnte de um produto de mtrizes qudrds d mesm ordem é igul o produto dos determinntes ds mtrizes, det( A B) = det( A) det( B) ; 4 O determinnte d som de mtrizes qudrds d mesm ordem, de um mneir gerl, não é igul à som dos determinntes ds mtrizes, det( A + B) det( A) + det( B) Como foi referido, é inviável clculr, por definição, determinntes de ordem superior à terceir ( n > 3 ) Portnto, plicção ds proprieddes dos determinntes é, n prátic, fundmentl pr o cálculo de determinntes de ordem elevd Tl fcto, permite obter o vlor de um determinnte por um método nálogo o que seguimos pr obter crcterístic de um mtriz (condensção) Pr 7/5

10 Determinntes isso, por exemplo, combinm-se s proprieddes 7), 8), e 0) visndo obtenção de determinnte tringulr cujo vlor é ddo pel propriedde ) Obs5: Como se fl em condensção, é preciso ter em cont que nem tod operção elementr ds mtrizes deix inlterdo o vlor do determinnte De fcto, como se pode observr, s operções ds proprieddes 7) e 8) (que são elementres pr s mtrizes) lterm o vlor do determinnte Apens s operções referids n propriedde 0) deixm inlterdo o vlor do mesmo Pelo que foi dito, devemos ter em cont que, pesr ds operções elementres ds mtrizes não lterrem crcterístic desss (s mtrizes são equivlentes), dus mtrizes equivlentes não têm que ter o mesmo determinnte Quer dizer, condensr um mtriz e depois clculr o seu determinnte pode levr vlores errdos do mesmo Contudo, qundo condensmos um determinnte ficmos sber crcterístic d mtriz originl correspondente Exercício: Dê exemplos simples pr cd um ds proprieddes presentds em cim Exemplo5: Clcule o determinnte d mtriz qudrd A = Resolução: Vmos plicr lgums ds proprieddes em cim enuncids e trnsformr o determinnte em tringulr A = = 0 2 7, Por exemplo, como n 5ª linh figurvm 3 zeros, começmos por reduzir o elemento 54 = 3 zero (somámos 3ª colun à 4ª multiplicd por 3), no último psso, trocámos 3ª colun pel 5ª, o determinnte trocou de sinl Vmos, gor por em evidênci o vlor ( ) d 5ª linh, A = ( ) = 0 2 7, /5

11 Determinntes não multiplicámos os elementos d 5ª colun por ( ) porque est operção foi feit em termos d 5ª linh onde o resto dos elementos são nulos (como exercício, fecte 5ª colun do sinl negtivo e clcule o determinnte) Vmos, gor, nulr todos os elementos bixo de =, comecemos por reduzir zero 2 = 2, (sommos ª linh à 2ª multiplicd por 2 ), e ssim sucessivmente, result A = = = Como o nosso objectivo é trnsformr o determinnte em tringulr, vmos nulr os elementos bixo de = 6, troquemos 2ª linh pel 3ª, ficndo = A = = = multiplicámos 2ª linh por 3 e 4 respectivmente e somámos est linh às 3ª e 4ª linhs respectivmente Visndo nulr o elemento 43 = 26, vmos por em evidênci o 5 n 3 linh,, A = Finlmente, multiplicndo 3ª linh por 3 e somndo à 4ª, obtemos A = = 5( 2 2 ) = Neste exemplo, à semelhnç do que se fz com s mtrizes, condensámos o determinnte utilizndo s proprieddes 7), 8) e 0) às linhs (experimente fzer às coluns!), e depois, de obter o determinnte tringulr, plicámos propriedde ) A mtriz A tem crcterístic 5 (porquê?) 9/5

12 Determinntes Exemplo6: Sej A um mtriz regulr de ordem n Averigúe, com bse n teori dos determinntes, o sinl do determinnte d mtriz T A A Esse determinnte pode ser nulo? Resolução: Aplicndo s proprieddes dos determinntes, tem-se A A = A A = A A = A T T 2 0 pp3) pp 3) T T Ou sej, A A 0, como mtriz A é regulr A 0, e portnto A A 0 Em conclusão T A A > 0 27 Teorem de Lplce Pr plicr o teorem de Lplce é necessário compreender noção de complemento lgébrico Definição3: O menor de um determinnte é o determinnte que se obtém de um determinnte ddo suprimindo o mesmo número de linhs e de coluns Se um determinnte é de ordem n, suprimindo p linhs e p coluns, obtém-se um determinnte de ordem ( n p ) que é um menor do determinnte ddo Definição4: Dois menores dizem-se complementres sempre que em cd um deles estejm representds s linhs e coluns, do determinnte ddo, que não figurem no outro Obs6: Dois menores complementres têm sempre mesm pridde Definição5: Um menor de um determinnte, diz-se principl se su digonl principl é constituíd pens por elementos principis do determinnte ddo E representm-se por i =,, n é ordem do menor Obs7: Um menor principl é sempre pr Definição6: Chm-se menor complementr de um elemento i, de um determinnte, o determinnte que se obtém, suprimindo linh e colun que pertence esse elemento (se um determinnte é de ordem n, o menor complementr é de ordem ( n )) Vmos represent-se o menor complementr de por M Definição7: Chm-se complemento lgébrico de um elemento de um determinnte o determinnte que se obtém suprimindo linh i e colun k que pertence o elemento, fectdo do sinl (+) ou ( ) consonte som dos índices (i + k ) é pr ou ímpr 0/5

13 Determinntes Obs8 Se representrmos o complemento lgébrico de por C, então, C ( ) i + k = M, em que M é o menor complementr do elemento Ou sej, o complemento lgébrico de um elemento de um determinnte é igul o menor complementr ou o seu simétrico consonte som dos índices do elemento é pr ou ímpr Obs9: Os complementos lgébricos de elementos consecutivos, dispostos quer em linh, quer em colun, são lterndmente positivos e negtivos Por exemplo, consideremos mtriz A (3 3), os sinis dos elementos do determinnte ssocido são A = Exemplo7: Ddo o determinnte elementos d segund linh A = , clcule o complemento lgébrico dos Resolução: Genericmente, os elementos d segund linh são: 2,, 23 e 24 C ( ) 4 5 6, 2+ 2 C = 2 = ( ) ; 2+ 3 C23 = 3 2 ( ) = ( ) ; 2+ 4 C Teorem2 (teorem de Lplce): O vlor de um determinnte A é igul à som dos produtos que se obtêm multiplicndo os elementos de um fil (linh ou colun) pelos respectivos complementos lgébricos Consideremos um determinnte de ordem 3, obtemos o vlor do determinnte A = Aplicndo regr de Srrus ou sej, A = =, = ( ) ( ) + ( ) /5

14 Determinntes A = + = C C + C Obs0: Qulquer que fosse ordem do determinnte e qulquer que fosse linh ou colun proceder-se-i de igul modo Portnto, pelo teorem de Lplce, considerndo j-ésim colun n A = C considerndo i-ésim linh, ou j= ij ij A n = ij i= C ij Obs: A plicção do teorem de Lplce bix ordem do determinnte A plicção sucessiv do teorem de Lplce permite-nos determinr o vlor de um determinnte de qulquer ordem Trt-se porém de um processo bstnte moroso, bst tender que de um determinnte de 5ª ordem se obtém 5 determinntes de 4ª ordem e consequentemente 20 determinntes de 3ª ordem Este teorem é, contudo, muito útil qundo o determinnte contém um linh ou um colun com vários zeros, pois podemos minimizr o número de complementos lgébricos clculr, escolhendo convenientemente linh ou colun prtir d pel qul clculmos o determinnte Assim, ntes de plicr o teorem de Lplce um determinnte de ordem n, um hipótese é reduzir zero ( n ) elementos de um fil, de cordo com s proprieddes dos determinntes Exemplo8: Clcule do vlor do determinnte d mtriz A = Resolução: Aplicndo o teorem de Lplce, como n 5ª linh já figurm 3 zeros, comecemos por reduzir o elemento 54 = 3 zero (sommos 3ª colun à 4ª multiplicd por 3), A ( )( ) = = = Vmos, por exemplo, reduzir zero os elementos d ª colun bixo de = Fixemos ª linh e sommos à 2ª ª multiplicd por ( 2 ) e à 4ª ª multiplicd por ( 4 ), o que pels proprieddes dos determinntes não lter o seu vlor, 2/5

15 Determinntes A = = = ( ) Fixemos, gor 2 linh e vmos reduzir zero os restntes elementos d ª colun Sommos à ª linh 2ª multiplicd por 3, e à 3ª linh 2ª multiplicd por 4, A = = = = ( ) 2 2( ) 20 Exercício2: Considere mtriz: 2 3 A = 0 2 ) O teorem de Lplce b) As proprieddes dos determinntes 2 2 Clcule o seu determinnte utilizndo: 0 3 Corolário (do teorem de Lplce): Se num determinnte multiplicrmos os elementos de um fil pelos correspondentes complementos lgébricos de outr fil prlel, som obtid é nul Teorem3 (teorem de Lplce generlizdo): Todo determinnte é igul à som lgébric dos produtos que se obtêm multiplicndo todos os menores de ordem p, contidos em p fils prlels, pelos correspondentes complementos lgébricos Exercício3: Clcule o determinnte do exemplo7 utilizndo este resultdo Exemplo9: Sej mtriz A = ) O produto é um termo d mtriz A? Justifique Qul o seu sinl? b) Clcule A utilizndo o desenvolvimento de Lplce o longo d 2ª linh c) Sej B (4 4), com B = 2 Clcule justificndo, o determinnte d mtriz ( AB ) T 3/5

16 Determinntes Resolução: ) O produto é um termo d mtriz A porque é o produto de 4 elementos de A, com um e um só fctor em cd linh e em cd colun Como num termo é irrelevnte ordem dos fctores, vmos ordenr os fctores por linhs = O sinl do termo de um mtriz é ddo por ( ) α, onde α é o número de inversões dos índices ds coluns (como os índices ds linhs coincidem com permutção principl, o número de inversões dos índices ds linhs é α zero) No termo ddo α = e portnto ( ) = O termo é negtivo b) Aplicndo o teorem de Lplce o longo d 2ª linh, obtém-se A = = c) O determinnte d mtriz ( AB ) T é ddo por T AB = AB = A B = A B Como A = 60 (d líne nterior) e B = 2 (por hipótese), obtém-se AB = A B 60 = 5 2 T 28 Mtriz Adjunt e mtriz invers Apresent-se nest secção um fórmul que permite clculr invers de um mtriz regulr Definição8: Chm-se mtriz djunt, de um mtriz qudrd A, à trnspost que del se obtém substituindo cd elemento pelo respectivo complemento lgébrico e represent-se por dj( A) = Aˆ C C2 C n C Simbolicmente, A [ ]( ) dj( ) [ ] T 2 C C 2n = ij n n A = Cij ( n n) =, Cn Cn2 Cnn onde C ( ) i + = k M, sendo M o menor complementr do elemento T Vmos gor deduzir um fórmul que permite clculr invers de um mtriz trvés d su djunt Prov-se que A dj( A) = det( A) I, donde 4/5

17 Determinntes dj( ) = det( ) dj( ) = det( ) dj( ) = det( ) A A A A A I A A A A A A e consequentemente, invers de um mtriz regulr A é dd por: A = dj( A) det( A) Apesr d utilizção d mtriz djunt ser rzoável pr inverter mtrizes té ordem 3, o método d mtriz mplid é mis eficiente pr mtrizes de mior dimensão Contudo, este último é pens um procedimento, enqunto o método d mtriz djunt é um fórmul pr clculr invers de um mtriz Est fórmul é útil pr obtenção de lgums proprieddes d mtriz invers, tis como: i) Um mtriz tringulr dmite invers se e só se su digonl principl não incluir elementos nulos; ii) A invers de um mtriz regulr tringulr superior (inferior) é um mtriz tringulr superior (inferior) Exemplo0: Clcule invers d mtriz 3 2 A = Resolução: Vmos utilizr mtriz djunt pr clculr A Primeiro convém verificr se mtriz dmite invers, det( A) = 64 0 A é regulr Vmos, então, clculr djunt de A, Portnto, dj( A) = [ C ] T ij ( n n) T = = A = dj( A) = = det( A) Exercício4: Determine, cso exist, invers d mtriz ) Pelo método d mtriz djunt b) Pelo método d mtriz mplid 2 3 A = /5

18 Determinntes Índice 2 Determinntes 2 Introdução Permutções de subconjuntos de 23 Pridde de um permutção 2 24 Termos de um mtriz qudrd 3 25 Pridde de um termo 3 26 Determinnte de um mtriz 4 27 Teorem de Lplce 0 28 Mtriz djunt e mtriz invers 4