Rresumos das aulas teóricas Cap Capítulo 4. Matrizes e Sistemas de Equações Lineares

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1 Rresumos ds uls teórics Cp Cpítulo. Mtrizes e Sistems de Equções ineres Sistems de Equções ineres Definições Um sistem de m equções lineres n incógnits, é um conjunto de equções n form m m n n mn n n b b n b m. Os ij, i =,..., m, Os j, j =,..., n, Os b i, i =,..., m, j =,..., n designm-se por coeficientes do sistem. designm-se por incógnits. designm-se por termos independentes. Se os termos independentes são todos nulos, o sistem diz-se homogéneo. Eemplos y 5 5 y 5 S : S : y 8 S : y 8 y 9

2 Rresumos ds uls teórics Cp Form Mtricil de um Sistem de Equções ineres O sistem nterior pode ser escrito n form mtricil: n b n b m m mn, n bm ou, num notção mis compct A = b. A mtriz dos coeficientes do sistem, A = [ ij ], diz-se mtriz do sistem. A mtriz [Ab], obtid crescentndo à direit mtriz A com colun b, diz-se mtriz umentd do sistem. O símbolo sinliz prtição n mtriz umentd. Eercício Represente n form mtricil os sistems do eemplo nterior.

3 Rresumos ds uls teórics Cp Solução Gerl de um Sistem de Equções ineres Definições m Sej A um mtriz do tipo m n. O vector s R diz-se um solução prticulr do sistem A = b, se e somente se As = b. Se b = então solução s = diz-se solução trivil do sistem. Se b =, então um solução s diz-se solução não trivil do sistem. O conjunto de tods s soluções do sistem diz-se solução gerl do sistem ou conjunto de soluções do sistem. Eercício Verifique que y 5 5 não é um solução do sistem S. Eercício Determine solução gerl do seguinte sistem de um equção três incógnits: + y + z - = Definição Os sistems A = b e H = c dizem-se equivlentes se possuem o mesmo conjunto de soluções.

4 Rresumos ds uls teórics Cp Obtenção d Solução Gerl de um Sistem de Equções ineres O sistem (dito n form esclond) e que tem form mtricil 5 5 8, tem fácil solução, como se mostr seguir. Solução por Rectro-substituição (isto é, começndo por determinr s incógnits de mior índice e pssndo sucessivmente às de índices inferiores) Usndo terceir equção temo. Substituindo este vlor de n segund equção e resolvendo em ordem : 5( ) Substituindo estes vlores de e n primeir equção e resolvendo em ordem : 5 5.

5 um e Rresumos ds uls teórics Cp A solução do sistem é. Como resolver um sistem A = b que não se encontre n form esclond? Do seguinte modo: efectu-se um conjunto de operções sobre s linhs d mtriz umentd [Ab], de modo obtermos um sistem equivlente (i.e., com o mesmo conjunto de soluções) n form esclond. As operções efectur sobre s linhs d mtriz umentd [Ab], designm-se por operções elementres sobre linhs. Vmos estudá-ls seguir. UOperções Elementres sobre s inhs de um Mtriz Definição Sej A um mtriz do tipo m n. Dizem-se operções elementres sobre s linhs d mtriz A, s seguintes operções: OB. BTroc de dus linhs quisquer, BiB i j Bj B, d mtriz. OB. BMultiplicção de um linh qulquer, Bi B, por um esclr, r, não nulo. r i OB. BTroc de um linh qulquer, Bi B, pel combinção liner Bi B+ rb j B, sendo BjB linh qulquer de A, distint de BiB, e r um esclr. i i rj i

6 Rresumos ds uls teórics Cp Eemplos OBB. OBB. OBB. Se um mtriz B se obtém de outr mtriz, A, efectundo um número finito de operções elementres sobre s linhs de A, então A e B dizemse mtrizes equivlentes por linhs. Eercício Mostre que se mtriz B se obtém d mtriz A por operções elementres sobre linhs, então A tmbém se obtém de B por operções elementres sobre linhs. O teorem seguinte utoriz-nos utilizr operções elementres sobre s linhs d mtriz umentd de um sistem, com o objectivo de trnsformr num mtriz umentd de um sistem esclondo. Porquê? Porque o teorem firm que efectundo operções elementres sobre s linhs d mtriz umentd [Ab] de um sistem A = b, se obtém um mtriz [Hc] cujo sistem correspondente, H = c, tem s mesms soluções do sistem inicil. Or nós podemos escolher s operções elementres sobre linhs de modo que o sistem H = c sej esclondo, e portnto de fácil solução.

7 e do Rresumos ds uls teórics Cp Teorem Sej o sistem A = b. Efectundo sobre mtriz umentd [Ab] qulquer um ds operções elementres sobre linhs, O BB, OBB, OBB, o sistem que corresponde à mtriz resultnte [Hc], H c, é equivlente o sistem A = b, i.e., os sistems têm o mesmo conjunto de soluções. Prov Consideremos o sistem S, A = b, com m equções e n incógnits, escrito n form A A S : A A i j m b b b i j b m, sendo que cd linh A k bk, represent de form brevid equção liner k k knn bk, k =,,..., m (dqui em dinte, s epressões linh e equção liner vão ser usds indiferencidmente, qundo tl não prejudique clrez d eposição). Podemos firmr o seguinte.. Se trocrmos dus linhs quisquer BiB obtemos o sistem S BjB sistem USU, (operção OBB),

8 do Rresumos ds uls teórics Cp S ': A A A A i j m b b b i b j m. É imedito concluir que tod solução do sistem S, n,,,, é tmbém solução do sistem S, e vice-vers [s equções stisfzer são s mesms em S e S ].. Se multiplicrmos um linh qulquer BiB sistem S, por um esclr r não nulo, (operção OBB), obtemos o sistem S S '' : A ra A A i j m b rb b j b m i. É imedito concluir que tod solução do sistem S, n,,,, é tmbém solução do sistem S, e vice-vers [ multiplicção por r de mbos os membros dum equção, não fect s sus soluções].

9 +rbjb, do um Rresumos ds uls teórics Cp Se trocrmos um linh qulquer BiB sistem S, por um combinção liner do tipo BiB sendo BjB linh qulquer do sistem S e r um esclr, (operção OBB), obtemos o sistem S. A b A ra b rb S''': A j b j Am Bm i j i j É imedito concluir que tod solução do sistem S, n,,,, é tmbém solução do sistem S, e vice-vers [porquê?] fim de prov. Eercício Mostre que um operção do tipo i si rj pode ser efectud usndo pens operções elementres. Definições Um mtriz diz-se n form esclond por linhs se e somente se:. Tods s linhs nuls se encontrm bio de tods s linhs não nuls.. O primeiro elemento não nulo de cd linh, prece num colun à esquerd do primeiro elemento não nulo d linh seguinte. Pr cd mtriz, o primeiro elemento não nulo de um linh design-se por pivot ou elemento redutor dess linh.

10 (considerndo e pr Rresumos ds uls teórics Cp Eercício Quis ds seguintes mtrizes se encontrm n form esclond? A B C 9 D 5 E UCondensção de Mtrizes (redução de um mtriz à Form Esclond por inhs) O lgoritmo seguinte permite reduzir um mtriz A, do tipo m n, à form esclond por linhs (ou condensd por linhs), usndo operções elementres sobre s linhs de A.. i = (linh); j = (colun).. Usr operção OBB pens linhs BkB, com k i ), pr colocr n posição ij d mtriz um elemento não nulo. Se tl não for possível, então incrementr sucessivmente j té que se poss colocr n posição ij um elemento não nulo; se chegr ser j n, então terminr eecução do lgoritmo pois mtriz já se encontr n form esclond.. Usr s operções B OB posições kj, com k i. OB B nulr todos os elementos ns então incrementr i e incrementr j e voltr o psso. Se não, terminr, pois mtriz já se encontr n form esclond).. Se i m e j n

11 Rresumos ds uls teórics Cp Eemplo Anulr o elemento n posição (i j) = ( ). Eemplo Reduzir mtriz seguinte à form esclond por linhs. A 9 Solução 9

12 Rresumos ds uls teórics Cp Este processo pode ser continudo de modo obter um mtriz n form dit esclond por linhs reduzid. Um mtriz nest form tem s crcterístics seguintes: - todos os pivots são iguis ; - os elementos cim e bio de cd pivot, n mesm colun, são nulos. Continundo deste modo o eemplo nterior, temos:

13 Rresumos ds uls teórics Cp UResolução de Sistems de Equções ineres: Algoritmo de UGuss-Jordn.. Considerr um sistem A = b, sendo A um mtriz do tipo m n.. Formr mtriz umentd do sistem, [Ab].. Obter correspondente mtriz esclond por linhs, n form reduzid, [Hc] (i.e., condensr mtriz).. Podemos então ter csos:. [Hc] Utem pelo menos um linhu do tipo d d, com. Neste cso o sistem não tem soluções e diz-se sistem impossível.. A mtriz [Hc] não tem linhs do tipo d d, com, e o número de linhs não nuls de [H] é igul o número de coluns de [H]. Neste cso o sistem tem um só solução e dizse sistem possível e determindo.. A mtriz [Hc] não tem linhs do tipo d d, com, ms o número de linhs não nuls de [H] é menor que o número de coluns de [H]. Neste cso o sistem tem infinits soluções e diz-se sistem possível e indetermindo. 5. Pr os csos em que eistem soluções (. e.), ests obtêm-se do seguinte modo:. Escrever o sistem correspondente à mtriz umentd resultnte, [Hc].

14 Rresumos ds uls teórics Cp b. Se o sistem é possível e determindo, então solução únic fic evidente no sistem d líne. c. Se o sistem é possível e indetermindo, com k linhs não nuls e n coluns não nuls correspondentes às vriáveis BB, BB, BnB, (k<n), então, em cd equção, pssr pr os segundos membros todos os termos ns vriáveis correspondentes às n-k coluns mis à direit n mtriz [H] (dits vriáveis livres), eprimindo-se s restntes vriáveis em função dests. Eemplo USistem impossível Form mtricil. Mtriz Aumentd

15 Rresumos ds uls teórics Cp Condensção d Mtriz Aumentd multiplicr linh por - pr fcilitr cálculos: o pivot d linh fic positivo

16 Rresumos ds uls teórics Cp Sistem equivlente o inicil Não eistem soluções pr o sistem, porque últim equção não tem soluções. Eemplo USistem Possível e Determindo Form mtricil. Mtriz Aumentd

17 Rresumos ds uls teórics Cp Condensção d Mtriz Aumentd

18 Rresumos ds uls teórics Cp

19 Rresumos ds uls teórics Cp Sistem Equivlente o Inicil A Uúnic soluçãou do sistem é ou,,,,

20 Rresumos ds uls teórics Cp Eercício Verifique que este é um vector-solução do sistem. Eemplo USistem Possível e Indetermindo Form mtricil. Mtriz Aumentd

21 Rresumos ds uls teórics Cp Condensção d Mtriz Aumentd 5

22 Rresumos ds uls teórics Cp Sistem Equivlente o Inicil 5 9

23 BB Rresumos ds uls teórics Cp ou 9 5, R. UO sistem tem infinits soluções U: pr cd vlor rel tribuido obtêm-se os vlores correspondentes às outrs vriáveis do vector solução do sistem. O conjunto de soluções do sistem, ou solução gerl, é constituido pelo conjunto de vectores seguinte: 9 5 R, ou

24 Rresumos ds uls teórics Cp R, r r r 5 r r 9 ou R. r r 5 9 Eercício Verifique que este é um conjunto de vectores-solução do sistem. Podemos reconhecer n últim iguldde equção de um rect em RP P. Cd ponto dess rect é um solução prticulr do sistem. BB diz-se vriável livre do sistem. As outrs vriáveis são escrits em função dest. A vriável livre podi ser qulquer um ds outrs. Bstv pr isso trocr coluns n mtriz do sistem. Definição Sej A um mtriz. O número de linhs não nuls n mtriz que result d condensção de A, diz-se crcterístic ou rnk d mtriz A.

25 Rresumos ds uls teórics Cp Eercício Sej [HC] mtriz umentd condensd ssocid um sistem de equções lineres. Demonstre os seguintes resultdos:. Se crcterístic de [H] for menor que crcterístic de [HC], então o sistem é impossível. b. Se s crcterístics de [H] e [HC] forem iguis, ms menores que o número de vriáveis do sistem, então o sistem é indetermindo. c. Se s crcterístics de [H] e [HC] forem iguis o número de vriáveis do sistem, então o sistem é possível e determindo. Eercício Verddeiro ou flso?. Um sistem com mis equções do que incógnits é sempre possível.. Um sistem possível e determindo tem tnts equções qunts s incógnits.. Um sistem com mis incógnits do que equções é sempre indetermindo.. Um sistem com pens um equção pode ser impossível.