Resolução Numérica de Sistemas Lineares Parte I

Transcrição

1 Cálculo Numérico Resolução Numéric de Sistems ineres Prte I Prof. Jorge Cvlcnti jorge.cvlcnti@univsf.edu.br MATERIA ADAPTADO DOS SIDES DA DISCIPINA CÁCUO NUMÉRICO DA UFCG -

2 Sistems ineres Muitos problems de mtemátic numéric são modeldos em termos de um sistem de equções lineres. Ess representção é vntjos, pois sepr o problem em prtes menores e possui vários métodos de resolução Eemplos de plicções de sistems lineres são encontrdos em váris áres d engenhri, como por eemplo: Análise de circuitos elétricos; Análise de vibrções em um sistem mecânico; Distribuição d forç-peso n estrutur de um edifício.

3 Sistems ineres Form Gerl onde: ij i coeficientes vriáveis

4 Sistems ineres Eemplo, 4, -5, 4,, -5,, 4 e 5 coeficientes, e vriáveis 4

5 Sistems ineres Form Mtricil onde: A = b 5

6 Sistems ineres Eemplo Form Gerl Form Mtricil 6

7 Sistems ineres Clssificção I Impossível Não possui solução Eemplo 7

8 Sistems ineres Clssificção II Possível Possui ou mis soluções Determindo Solução únic Eemplo 4 8

9 Sistems ineres Clssificção III Possível Possui ou mis soluções Indetermindo Eemplo 5 Mis de um solução 9

10 Sistems ineres Clssificção IV Possível Possui ou mis soluções Homogêneo Vetor b= Eemplo 6

11 Sistems ineres Sistems Tringulres: Possibilidde de resolução de form Retrotiv Inferior ( ij =, se j >i; i, j =,, n)

12 Sistems ineres Sistems Tringulres: Possibilidde de resolução de form Retrotiv Superior ( ij =, se j<i; i, j =,, n) A n n n nn

13 Solução Retrotiv Eemplo 7: Ddo o sistem: Primeiro psso pr su resolução:

14 Solução Retrotiv Eemplo 7: Segundo psso: Terceiro psso: 4

15 Solução Retrotiv Eemplo 7: Último psso: 5

16 Métodos Numéricos Diretos Solução pode ser encontrd trvés de um número finito de pssos Método de Guss Método d Eliminção de Jordn Ftorção U 6

17 Métodos Numéricos Itertivos Solução prtir de um seqüênci de proimções pr o vlor do vetor solução, té que sej obtido um vlor que stisfç à precisão pré-estbelecid Método de Jcobi Método de Guss Siedel 7

18 Método de Guss Propósito Trnsformção do sistem liner ser resolvido em um sistem liner tringulr; Resolução do sistem liner tringulr de form retrotiv 8

19 Método de Guss Trnsformção do Sistem iner Troc d ordem ds linhs; Multiplicção de um ds equções por um número rel não nulo; Substituição de um ds equções por um combinção liner del mesm com outr equção. 9

20 Método de Guss Pssos do Método de Guss Construção d mtriz umentd Ab

21 Método de Guss Pssos do Método de Guss Psso : Eliminr os coeficientes de presentes ns linhs,,...,n - sendo =, =... = n =, sendo chmdo de pivô d colun Substituir linh,, pel combinção liner m, o nd e : m

22 Método de Guss Pssos do Método de Guss Substituir linh,, pel combinção liner:

23 Método de Guss Pssos do Método de Guss Deve-se continur substituição té linh n; Cso lgum elemento pp =, chr outr linh k onde kp e trocr tis linhs. Cso linh k não eist, o sistem liner não possui solução.

24 Método de Guss Pssos do Método de Guss Eliminr os coeficientes de ns linhs, 4,..., n (fzer = 4 =...= n = ); Eliminr os coeficientes de ns linhs 4, 5,..., n (fzer 4 = 5 =...= n = ) e ssim sucessivmente. 4

25 Método de Guss Eemplo 8: Resolver o sistem: Mtriz umentd Ab Pivô 5

26 Método de Guss Eemplo 8: Fz-se: Assim: 6

27 Método de Guss Eemplo 8: Fz-se: Assim: 7

28 Método de Guss Eemplo 8: Obtém-se mtriz: Novo Pivô 8

29 Método de Guss Eemplo 8: Substituindo linh por: Têm-se: 9

30 Método de Guss Eemplo 8: A mtriz [Ab] fic ssim com os seguintes vlores:

31 Método de Guss Eemplo 8: Us-se solução retrotiv:

32 Método de Guss Eemplo 9: Resolver o sistem. Representndo o sistem pel mtriz umentd: M = / = / M = / = 4/

33 Método de Guss Eemplo 9: Escolhendo primeir linh como pivô, obtém-se:

34 Método de Guss Eemplo 9: Representndo o sistem pel mtriz umentd: M = / = (/)/(/) = 4

35 Método de Guss Eemplo 9: Escolhendo gor segund linh como pivô, têm-se: Obtêm-se seguinte mtriz mplid: 5

36 6 Método de Guss Eemplo 9: O que termin com tringulção: 8 5 4

37 Método de Guss Eemplo 9: Com solução: = = 5/ * = 5 = -9/ = - 7

38 Método do Pivotemento Prcil Semelhnte o método de Guss; Usdo qundo o pivô é nulo ou próimo de zero. Minimiz mplificção de erros de rredondmento durnte s eliminções; Consiste em escolher o elemento de mior módulo em cd colun pr ser o pivô. 8

39 9 Método do Pivotemento Prcil Eemplo : Resolver o sistem bio: [Ab]

40 Método do Pivotemento Prcil Eemplo : Mtriz umentd originl deve ser justd: O mior coeficiente (módulo) n primeir colun é o elemento =. Esse coeficiente será considerdo o pivô e deverá ocupr posição digonl n primeir colun. Portnto, devemos trocr ª linh pel ª linh, fzendo ocupr posição (,). [Ab] 4 4 [Ab] 4 4 4

41 4 Método do Pivotemento Prcil Eemplo : Aplicndo o Método de Guss no pivô =: Encontrr nov linh: ] / / [ ] / [ ] [ ] [ ) / ( ] [ m M = / = / Ab / / ] [ O mior coeficiente (módulo) n segund colun é o elemento =; Esse elemento ocuprá posição digonl, então troc-se ª linh pel ª linh..

42 4 Método do Pivotemento Prcil Eemplo : A mtriz justd será: Aplicndo o Método de Guss no pivô = Encontrr nov linh: ] / [ ] / / / [ ] / / [ ] [ ) / ( ] / / [ m M = / = 5/ Ab / / ] [.

43 Método do Pivotemento Prcil Eemplo : A mtriz mplid resultnte fic: 4 [ Ab] 4 7 / 9 Resolvendo o sistem tringulr superior: = + 4 = ; =; = + = 4; = ; = 4

44 Método de Jordn Consiste em efetur operções sobre s equções do sistem, com finlidde de obter um sistem digonl equivlente; Um sistem digonl é quele em que os elementos ij d mtriz coeficiente [A] são iguis zero, pr i j, i, j =,,...,n. 44

45 Método de Jordn Sistem digonl equivlente: [A] n n n nn M = / M = / M =? M =? M nm =? 45

46 46 Método de Jordn Eemplo : A prtir do sistem: Com mtriz umentd: 4 4 Ab M = / =/ = M = / =/ =

47 47 Método de Jordn Eemplo : Substituindo linh por: Substituindo linh por : 8 5, 4 () m 5, 4 () m

48 48 Método de Jordn Eemplo : A mtriz mplid result em: Substituindo linh por: Ab M = / =-/-=/ / / / 6 / ( / ) 5 m Novo Pivô

49 Método de Jordn Eemplo : A mtriz mplid result em: 4 Ab 5 8 / / Substituindo linh por M = / =- / Pivô m 4 ( / ) / 8 / / 4 / 49

50 Método de Jordn Eemplo : Mtriz mplid result em: Ab / 5 / 4 / 8 / Substituindo s linhs e por m m [ [ / 5 4 / ] 8] M = / = M = / =-5/(/) = -5 () ( 5) Novo Pivô / / / / 5

51 Método de Jordn Eemplo : A mtriz mplid fic d seguinte form: Ab / / Produzindo o seguinte vetor resultdo: Qul vntgem do método em relção o de Guss? 5

52 Decomposição em U O objetivo é ftorr mtriz dos coeficientes A em um produto de dus mtrizes e U. Sej: U l l l n l l n l n u u u u u u u u u u n n n nn 5

53 5 Decomposição em U E mtriz coeficiente A: Têm-se: nn n n n n n A nn n n n n n n nn n n n n n u u u u u u u u u u l l l l l l [U] A

54 Decomposição em U Resumo de Pssos: Sej um sistem A = b de ordem n. Então, o sistem A = b pode ser escrito como: U = b 54

55 Decomposição em U Resumo dos Pssos: Fzendo U = y, equção nterior reduzse y = b. Resolvendo o sistem tringulr inferior y = b, obtém-se o vetor y. 55

56 Decomposição em U Resumo dos Pssos: Substituição do vlor de y no sistem U = y Obtenção de um sistem tringulr superior cuj solução é o vetor procurdo; Aplicção d ftorção U n resolução de sistems lineres Necessidde de solução de dois sistems tringulres 56

57 Decomposição em U Pr se obter os elementos d mtriz e d mtriz U, deve-se clculr lterndmente os elementos ds linhs de U e os elementos d coluns de como segue. u l ij ij ( ij ij i k j k l l ik ik u u kj kj, ) / u jj, i i j. j, 57

58 58 Decomposição em U Eemplo : A prtir do sistem: Encontrr s mtrizes U e chr o vetor solução *

59 Decomposição em U Eemplo : Mtriz A A 5.inh de U u j = j, j=,, u =5, u =, u =.Colun de 4 [ U ] l l l i = i /u, i=, l =/5 l = /u l =/5 l u. u u u u u [ U ] / 5 / 5 5. u l u u 59

60 Decomposição em U Eemplo : Seguindo: 5 A 4.inh de U [ U ] / 5 / 5 5. u l u u u j = j -l.u j, j=, u = -l.u u =-/5* = -/5 u = -l.u =4-/5* = 7/5.Colun de l i = ( i -l i.u )/u, i= l = ( -l.u )/u l =(-/5*)/-/5, l =- 6

61 6 Decomposição em U Eemplo : Seguindo:.inh de U u = -l.u -l.u u =-/5*- (-) * 7/5 =. 7 / 5 / 5 5. / 5 / 5 ] [ 4 5 u U A 7 / 5 / 5 5. / 5 / 5 ] [ 4 5 U A

62 6 Decomposição em U Eemplo : Pr obter solução do sistem A = b, devemos resolver dois sistems tringulres: y = b e U = y. embrndo A=b: Assim y=b, isto é: 5 7. / 5 / 5 y y y y = y = -7 y = -6

63 Decomposição em U Eemplo : De U = y: 5 / 5 7 / = -6 = - -/5 + 7/5 = -7 = = = = = = - 6

64 Sistems ineres - Bibliogrfi Ruggiero, M. A. Gomes & opes, V.. d R. Cálculo Numérico: Aspectos teóricos e computcionis. MAKRON Books, 996, ª ed. Brroso,. C. et l. Cálculo Numérico com plicções. Hrbr, 987, ª ed. Arenles, S. & Drezzo, A. Cálculo Numérico- Aprendizgem com poio de softwre. Thomson, 8, ª ed. Burin, R., im, A. C. & Junior, A. H. - Cálculo Numérico. TC, 7, ª ed. 64