Resolução de sistemas lineares SME 0200 Cálculo Numérico I

Transcrição

1 Resolução de sistems lieres SME Cálculo Numérico I Docete: Prof. Dr. Mrcos Areles Estgiário PAE: Pedro Muri [reles@icmc.usp.br, muri@icmc.usp.br]

2 Itrodução Sistems lieres são de grde importâci pr descrição e resolução de problems que surgem s mis diverss áres d ciêci e egehri. Geometri Redes elétrics, hidráulics, de tráfego,... Distribuição de clor Químic Ecoomi Otimizção lier Esttístic Jogos... (

3 Itrodução Por que utilizr um método? m m m m b b b K K K K

4 Itrodução Notção A b m m m m b b b K K K K m m m A K M O M M K K M b m b b b M, R, m A R. m b R

5 Número de soluções Ddo um sistem lier, pes um ds situções bio pode ocorrer: O sistem tem solução úic O sistem tem ifiits soluções O sistem ão dmite solução

6 Número de soluções Solução úic -

7 Número de soluções Ifiits soluções -6

8 Número de soluções Não dmite solução

9 Número de soluções Grficmete... Solução úic: Rets cocorretes. A solução é o poto ode s rets se cruzm. Ifiits soluções: Rets coicidetes. Todos os potos sobre ret são soluções do sistem. O sistem ão dmite solução: Rets prlels. As rets ão se cruzm e, portto, ão eiste ehum poto que estej sobre s dus o mesmo tempo.

10 Número de soluções No cso gerl... A b, m m A R R, b R. Precismos lisr o Posto e Imgem d mtriz A, de cordo com sus dimesões m e.

11 Número de soluções posto( A) Im( A) R Solução úic -

12 Número de soluções b Im(A) As colus de A são Liermete Idepedetes e formm um bse do R. b pode ser escrito como combição lier ds colus de A. Sistem comptível determido

13 Número de soluções 6 6 posto( A) Im( A) R Ifiits soluções -6

14 Número de soluções 6 b Im(A) As colus de A são Liermete Depedetes e ão formm um bse do R. Bst um colu de A pr escrever b. Sistem comptível idetermido

15 Número de soluções posto( A) Im( A) R Não dmite solução

16 Número de soluções b Im(A) As colus de A são Liermete Depedetes e ão formm um bse do R. b ão pode ser escrito como combição ds colus de A. Sistem icompt comptível

17 Número de soluções Esss situções se estedem pr o cso gerl, sempre que m. Qudo m, temos: posto(a) mi{m, } se m < o sistem uc pode ter solução úic, pois posto(a) < se m > o sistem pode ão ter solução

18 Métodos de resolução

19 Métodos de resolução Veremos qui métodos pr resolução de sistems com lihs e vriáveis ( mtriz A deve ter posto completo). Os métodos de resolução podem ser divididos em dois grupos: Métodos Etos (ou Diretos) Métodos Itertivos

20 Elimição de Guss

21 m m d c d c c d c c c O K K () Elimição de Guss Qul sistem é mis fácil de ser resolvido? m m m m b b b K K K K ()

22 Resolução de sistem trigulr Algoritmo: [] : b[]/a[][]; Pr i - té, fç iício som : ; Pr j i té, fç som : som A[i][j] * [j]; [i] : (b[i] - som) / A[i][i]; fim

23 Elimição de Guss Cosiste em trsformr o sistem ser resolvido em um sistem trigulr equivlete, por meio de operções elemetres. A solução do sistem origil é obtid pel resolução desse sistem trigulr.

24 Elimição de Guss Operções elemetres: Multiplicr um equção por um costte ão-ul; Adicior um múltiplo de um equção um outr equção; Trocr dus equções de posição. O sistem resultte tem s mesms soluções que sistem o origil

25 Elimição de Guss b b b M K M O M M K K

26 Elimição de Guss () () () () () () () () () () () () b b b M K M O M M K K

27 Elimição de Guss () () () () () () () () () () () () b b b M K M O M M K K Zerr esses elemetos utilizdo operções elemetres

28 Elimição de Guss () () () () () () () () () () () () b b b M K M O M M K K pivô Zerr esses elemetos utilizdo operções elemetres

29 Elimição de Guss () () () () () () () () () () b b b M K M O M M K K

30 Elimição de Guss () () () () () () () () () () b b b M K M O M M K K Zerr esses elemetos utilizdo operções elemetres pivô

31 Elimição de Guss Ao fim do processo:

32 Elimição de Guss () () () () () () () () () () () () b b b M K M O M M K K () () m i i Multiplicdor L m L L m L L L... Psso

33 Elimição de Guss () () () () () () () () () () b b b M K M O M M K K () () () () () () b m b b m i i i j i ij ij

34 Elimição de Guss Algoritmo Pr k té -, fç iício Pr i k té, fç iício mult : A[i][k] / A[k][k]; A[i][k] : ; Pr j k té, fç A[i][j] : A[i][j] - mult * A[k][j]; b[i] : b[i] - mult * b[k]; fim_pr (i) fim_pr (k) Resolv o sistem trigulr resultte;

35 Elimição de Guss Eemplo Resolv o sistem lier 9 6

36 Elimição de Guss Eemplo Notção mtricil 6 9

37 Elimição de Guss Eemplo Psso k 6 9

38 Elimição de Guss Eemplo Psso k i 6 9 L m L ml 6

39 Elimição de Guss Eemplo Psso k i 6 9 m 6 * L m L ml 6

40 Elimição de Guss Eemplo Psso k i 9 m 6 * m 9 * L m ( ) L ml 6

41 Elimição de Guss Eemplo Psso k i m 6 * m 9 * L m ( ) m * L ml 6

42 Elimição de Guss Eemplo Psso k i b b mb * L m L ml 6

43 Elimição de Guss Eemplo Psso k

44 Elimição de Guss Eemplo Psso k i L L ml m

45 Elimição de Guss Eemplo Psso k i m * L L ml m

46 Elimição de Guss Eemplo Psso k i *( ) m L L ml m

47 Elimição de Guss Eemplo Psso k i *() m L L ml m

48 Elimição de Guss Eemplo Psso k i b b mb * L L ml m

49 Elimição de Guss Eemplo Psso k

50 Elimição de Guss Eemplo Psso k

51 Elimição de Guss Eemplo Psso k i L L ml m

52 Elimição de Guss Eemplo Psso k i m *( ) L L ml m

53 Elimição de Guss Eemplo Psso k i m * 9 L L ml m

54 Elimição de Guss Eemplo Psso k i 9 b b mb * 7 L L ml m

55 Elimição de Guss Eemplo Psso k Sistem trigulr obtido: 9 7

56 Elimição de Guss Eemplo Resolução do sistem trigulr

57 Elimição de Guss Eemplo Resolução do sistem trigulr b 9 * 7 7 9

58 Elimição de Guss Eemplo Resolução do sistem trigulr b 9 * 7 b ( ) 7 9 (( )*( ) *)

59 Elimição de Guss Eemplo Logo, é solução do sistem: 9 6

60 Elimição de Guss Eemplo Resolv o sistem lier:

61 Elimição de Guss Eemplo Notção mtricil:

62 Elimição de Guss Eemplo Psso k :

63 Elimição de Guss Eemplo Psso k : i L m L ml 6

64 Elimição de Guss Eemplo Psso k : i L m L ml

65 Elimição de Guss Eemplo Psso k : i L L ml m

66 Elimição de Guss Eemplo Psso k :

67 Elimição de Guss Eemplo Psso k :

68 Elimição de Guss Eemplo Psso k : O pivô é ulo!

69 Estrtégis de pivotmeto O que cotece se o pivô for ulo? Pivô próimo de zero pode levr resultdos icorretos. Pr cotorr esses dois problems deve-se dotr um estrtégi pr escolh de um bom pivô.

70 Estrtégis de pivotmeto Pivotmeto prcil Escolher pr pivô o elemeto de mior módulo colu, detre os que id irão tur o processo de elimição. Pivotmeto completo Escolher pr pivô o elemeto de mior módulo detre todos os elemetos que id irão tur o processo de elimição.

71 Elimição de Guss Eemplo Resolv o sistem lier seguir, utilizdo pivotmeto prcil:

72 Elimição de Guss Eemplo Notção mtricil:

73 Elimição de Guss Eemplo Psso k :

74 Elimição de Guss Eemplo Psso k : Qul o mior elemeto (em módulo)?

75 Elimição de Guss Eemplo Psso k : Qul o mior elemeto (em módulo)? Troc de lihs (permutção)

76 Elimição de Guss Eemplo Psso k : O pivô é o mior elemeto d colu!

77 Elimição de Guss Eemplo Psso k : i L m L ml 6

78 Elimição de Guss Eemplo Psso k : i L m L ml 6

79 Elimição de Guss Eemplo Psso k : i L L ml m 6

80 Elimição de Guss Eemplo Psso k :

81 Elimição de Guss Eemplo Psso k :

82 Elimição de Guss Eemplo Psso k : Qul o mior elemeto (em módulo)?

83 Elimição de Guss Eemplo Psso k : Qul o mior elemeto (em módulo)? Troc de lihs (permutção)

84 Elimição de Guss Eemplo Psso k : O pivô é o mior elemeto d colu!

85 Elimição de Guss Eemplo Psso k : i

86 Elimição de Guss Eemplo Psso k : i

87 Elimição de Guss Eemplo Psso k :

88 Elimição de Guss Eemplo Psso k : O pivô é o mior elemeto d colu!

89 Elimição de Guss Eemplo Psso k : i

90 Elimição de Guss Eemplo Psso k : Sistem trigulr obtido:

91 Elimição de Guss Eemplo Resolução do sistem trigulr:

92 Elimição de Guss Eemplo Resolução do sistem trigulr: b *( ) 6

93 Elimição de Guss Eemplo Resolução do sistem trigulr: b ( ) 6 (( 8)* *( ))

94 Elimição de Guss Eemplo Resolução do sistem trigulr: b ( ) (6 6 ) 6 6 6

95 Elimição de Guss Eemplo Solução:

96 Decomposição LU

97 Decomposição LU Decompor mtriz A em um produto de dois ftores: L: mtriz trigulr iferior U: mtriz trigulr superior A LU A b LU b

98 Decomposição LU U é mtriz trigulr resultte elimição de Guss. Quem é L etão? Por que utilizr decomposição LU se vmos obter mesm mtriz d elimição de Guss?