PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

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1 Professor Muricio Lutz PROGREÃO GEOMÉTRICA DEFINIÇÃO Progressão geométric (P.G.) é um seüêci de úmeros ão ulos em ue cd termo posterior, prtir do segudo, é igul o terior multiplicdo por um úmero fixo, chmdo rzão d progressão. Exemplos: ) (,8,,,) 8. ü 8. ï ý.ï.ï þ Nest seüêci, o úmero fixo é rzão d P.G. REPREENTAÇÃO DE UMA P.G. Exemplo: A represetção mtemátic de um progressão geométric (P.G.) é: (,,...,,,...), + Logo : +... ou. + * " ÎN e ÎÂ Escrev um P.G. de cico termos em ue e A P.G. pedid é (,,8,, ) Observção: rzão () termo uluer dividido pelo termo terior IFFrroupilh - Cmpus Alegrete R 77 km 7 Psso Novo Alegrete - R Foe/Fx: ()

2 Professor Muricio Lutz CLAIFICAÇÃO DE UMA P.G. Podemos clssificr um progressão geométric em crescete, decrescete, costte ou lterd. Pr isso dividiremos em três csos. º cso: > 0 ej s seguites P.G. (,,8,,...). Nest P.G. temos: > 0ü ýþ P.G. é crescete > þ (,,,,...). Nest P.G. temos: > 0ü ýþ þ P.G. é costte (,,,...). Nest P.G. temos: > 0 ü ï ýþ, istoé, 0< < ï þ P.G. é decrescete º cso: < 0 ej s seguites P.G. (,, -0,-0,...) -. Nest P.G. temos: -< > 0ü ýþ þ (, -,-,-,... ) P.G. é decrescete -. Nest P.G. temos: -< 0ü ýþ þ ( 0, -0,-0,...) P.G. é costte -. Nest P.G. temos: -0> 0 ü ï ýþ P.G. é crescete, istoé, 0< < ï þ IFFrroupilh - Cmpus Alegrete R 77 km 7 Psso Novo Alegrete - R Foe/Fx: ()

3 Professor Muricio Lutz º cso: < 0 ej s seguites P.G. (,,8, -,...) -. Nest P.G. temos: > 0ü ýþ P.G. é lterd -> þ (,8, -,,...) -. Nest P.G. temos: -< 0ü ýþ -< 0 þ P.G. é lterd Exemplo: e seüêci (, x+,0x + ) x é um P.G., pede-se: ) Clcule o vlor de x; ( x, x+,0x + ) x; x+ ; 0x+ x+ 0x+ Þ Þ 9x + x+ Þ x \ x± x x+ Exercícios b) Escrev ess progressão. e x, temos: ( x, x+,0x + ) Þ(,+,0+ ) \(,8,) e x -, temos: ( x, x+,0x + ) Þ( -, -+, -0+ ) \(-, -,-8). Determie rzão de cd um ds seguites P.G.: ) (,,8,...) b)(,,...) d) ( 0,0,...) 0 c) (,,...) - e)( b, b,... ) æ x ö f) ç, x,... è ø. A seüêci, -,9-8, é um progressão geométric. Clcule.. Determie o vlor de x, de modo ue os úmeros x +, x+, x+ 0 formem, est ordem, um P.G. IFFrroupilh - Cmpus Alegrete R 77 km 7 Psso Novo Alegrete - R Foe/Fx: ()

4 Professor Muricio Lutz Gbrito. ); b) ½; c) ; d) 00; e) b ; f).... x. FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.G. D mesm form como fizemos pr progressão ritmétic, vmos demostrr fórmul do temo gerl de um P.G., ue permite ecotrr uluer termo sem precisr escreve-l itegrlmete. ej P.A. (,,...,, ) M. 0. M......, - de rzão. ( -) M M. ( -) Ode:. ( -) é o eésimo termo (termo gerl); Exemplos: é o primeiro termo; é rzão; é o úmero de termos. ) Num P.G. de termos, rzão é e o último termo é 7. Clculr o primeiro termo dest P.G. ; ; 7 ( -) 7. Þ 7. Þ \ b) Num P.G. de termos, o primeiro termo é e o último termo é 8. Clculr rzão dest P.G. IFFrroupilh - Cmpus Alegrete R 77 km 7 Psso Novo Alegrete - R Foe/Fx: ()

5 Professor Muricio Lutz ;. ; ( -) 8 Þ 8. Þ 8 Þ \ c) Num P.G. de rzão, o primeiro termo é 8 e o último é termos tem ess P.G. ;. + 8; ( -) ( -) Þ 8. Þ. ( -) Þ + Þ 0 \. Qutos Exercícios. Qul é o º termo d P.G.(,,...)?. Num P.G., tem-se:,. Clcule 7.. Determie o úmero de termos de P.G.(,,...,).. be-se ue um P.G. rzão é 9, o primeiro termo é /9 e o último termo é 79. Qul é o úmero de termos dess P.G.?. Qul é o primeiro termo de um P.G. ul o º termo é 07 e rzão é? Gbrito INTERPOLAÇÃO GEOMÉTRICA Vmos preder iterclr úmeros reis etre dois úmeros ddos, de tl form ue todos pssem costituir um P.G. Exemplo: Iterpolr ou iserir três meios geométricos etre e 8. ; 8; + (,,,,8) Devemos, etão, clculr rzão: ( -). Þ 8. Þ 8Þ Þ ± \ ±. Etão, teremos: Pr Þ(,,,,8) ; Pr -Þ(, -,,-,8). IFFrroupilh - Cmpus Alegrete R 77 km 7 Psso Novo Alegrete - R Foe/Fx: ()

6 Professor Muricio Lutz Exercícios. Isir meios geométricos etre e.. Etre os úmeros 8 e b form iseridos termos, obtedo-se um P.G. de rzão. Qul é o vlor de b? Gbrito. (,,9,7,8,) e. b8 FÓRMULA DA OMA DO TERMO DE UMA P.G. FINITA ( -),,...,,.,.,..., de rzão ej P.G. fiit ( ), e de som dos termos. º Cso:, ou (. ) ( -) Ode: º Cso: ¹. é som dos termos; é o úmero de termos; é o primeiro termo ( -) Þ ( -) +. Þ -Þ. - - ( -) ( +. -) ( -) ( -) Ode: é som dos termos; é o primeiro termo; é rzão; é o úmero de termos. IFFrroupilh - Cmpus Alegrete R 77 km 7 Psso Novo Alegrete - R Foe/Fx: ()

7 Professor Muricio Lutz 7 Exemplos: ) Dd progressão geométric (,,9,7,...), clculr: - A som dos primeiros termos. ; ; ( -) ( -) 79- Þ Þ \ ( -) - - O vlor de pr ue som dos primeiros termos sej 9. ( -) ( -) 0 Þ 9 Þ - 908Þ \ 0 ( -) - b) Dr o vlor de x iguldde x + x x, sbedo-se ue os termos do º membro formm um P.G. Exercícios x x; ; 79x; x Clculo de :. - ( -) Þ 79x x Þ -\ 7 7 ( -) x( -) x(87-) Þ Þ x\ x - Þ 79. Qul será som dos 0 primeiros termos de um P.G. ode e?. Num P.G., som dos termos é 78. bedo-se ue 8 e, clcule o primeiro termo dess P.G.. Qutos termos devemos cosiderr P.G. (,,...) pr obter um som de 7?. Num P.G., e. Ache som dos primeiros termos. Gbrito ou - - IFFrroupilh - Cmpus Alegrete R 77 km 7 Psso Novo Alegrete - R Foe/Fx: ()

8 Professor Muricio Lutz 8 7 FÓRMULA DA OMA DO TERMO DE UMA P.G. INFINITA æ ö ej P.G. ç,,,... e um udrdo de ldo igul (um) de áre è 8 ø totl.. Vmos efetur s seguites operções: Pite metde do udrdo. teriormete. Pite metde do ue sobrou e some com prte pitd teriormete. Pite metde do ue sobrou e some com s prtes pitds e prosseguir com o método idefiidmete, você terá um som ue é igul à áre totl do udrdo, isto é: Observe ue o º membro represet som dos termos de um P.G. ifiit e decrescete. Note tmbém ue em P.G. possui um som ue é um úmero fiito, isto é, igul (um). Em gerl temos: º Cso: - < < isto é: Qudo cresce idefiidmete, tede cd vez mis zero, Þ 0, e ( -) se proxim de ( -) IFFrroupilh - Cmpus Alegrete R 77 km 7 Psso Novo Alegrete - R Foe/Fx: ()

9 Professor Muricio Lutz 9 Logo: lim - Observção: Ode: é som dos termos; é o primeiro termo; é rzão. Qudo P.G. possui som, dizemos ue seüêci é covergete. Exemplo: Exemplo: º Cso: > e > 0 e > Þ lim + P.G. (,,8,...) e < 0 e > Þ lim - P.G. (-, -8,-,...) Exemplos: Observção: Exemplos: e <- e ¹ 0Þ ão existe lim ) P.G. (,,8, -,...) -. b) P.G. (,, -,...) -. Qudo P.G. ão possui som, dizemos ue seüêci é divergete. æ ö ) Clculr som dos termos d P.G. ç,,,.... è ø Nest P.G., temos: ; Vmos clculr som : Þ - Þ - \ IFFrroupilh - Cmpus Alegrete R 77 km 7 Psso Novo Alegrete - R Foe/Fx: ()

10 Professor Muricio Lutz 0 Exercícios b) Clculr frção gertriz d dízim 0,... 0,... 0,+ 0, ; A frção gertriz é /99.. Clcule som dos termos de cd um ds seguites P.G.: æ ö ) ç,,,... è ø b) (,0,,...) 99 æ 0 ö 0 c) ç- 0,-0,-,... è ø. Obteh frção gertriz ds seguites dízims periódics: ) 0, b) 0,... c),... Gbrito. ) / b) 0 c) -. ) b) 7/00 c) 8/ Exercícios. Num P.G., o º termo é 8 e o 7º termo é. O º termo d P.G. é ) 08 b) 8 c) d) e) 0. Em um progressão geométric de rzão positiv, o º termo é 8 e o 8º termo é /8. A som dos dois primeiros termos é ) b) c) d) 8 e). O primeiro termo de um P.G. em ue e 9 é ) /7 b) /9 c) / d) e) 0 IFFrroupilh - Cmpus Alegrete R 77 km 7 Psso Novo Alegrete - R Foe/Fx: ()

11 Professor Muricio Lutz. e cd rtz de um colôi ger três rts, etão o úmero de rts de 7º gerção ue serão descedetes de um úic rtz é ) b) 87 c) 79 d) e). Num P.G. de rzão, o primeiro termo é 8. O termo ue vle 8 é o: ) º b) º c) º d) 7º e) 8º. A som dos termos d P.G. (,,,...,8) é ) 8 b) 7 c) 9 d) 0 e) æ ö æ ö 7. O limite d som ç ç é igul è 8 ø è 9 7 ø ) + b) c) ½ d) 7/ e) 8. Ddos um udrdo de ldo, ue-se os potos médios dos ldos, obtedo um ovo udrdo. Após, ue-se os potos médios deste ovo udrdo, obtedo-se um outro udrdo, e ssim sucessivmete. A som ds áres dos ifiitos udrdos ssim obtidos é: ) b) c) 8 d) e) 8 9. Num P.G. decrescete ilimitd, o º termo é e som é /. O º termo d progressão é ) ½ b) / c) d) e) / 0. A rzão d progressão geométric (,, -, 8) + é: ) b) c) d) e). N progressão geométric ode o primeiro termo é rzão é ( b ) -, o úmero de termos é: ) 9 b) 0 c) d) e) b, o último é ( b ) - e IFFrroupilh - Cmpus Alegrete R 77 km 7 Psso Novo Alegrete - R Foe/Fx: ()

12 Professor Muricio Lutz. Em um P.G., o primeiro termo é e o urto termo é. O uito termo dess P.G. é: ) b) 8 c) d) 8 e) 8 æ ö. A som dos termos d seüêci ifiit ç,,,... é: è 9 ø ) b) c) d) e) Gbrito ) E ) A ) B ) B ) B ) B 7) D 8) C 9) D 0) B ) B ) C ) E IFFrroupilh - Cmpus Alegrete R 77 km 7 Psso Novo Alegrete - R Foe/Fx: ()