MATEMÁTICA FINANCEIRA

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1 VICE-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO E CORPO DISCENTE COORDENAÇÃO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA MATEMÁTICA FINANCEIRA Rio de Jeiro / 007 TODOS OS DIREITOS RESERVADOS À UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO

2 UNIDADE I PROGRESSÕES ARITMÉTICAS..Progressão Aritmétic: Progressão Aritmétic é um sucessão de termos em que difereç de cd termo e seu precedete, prtir do segudo é sempre costte, chmd de rzão d progressão ritmétic. Se seqüêci (,, 3,..., -, ) é P.A r Portto, - r, Ν, Exemplos: ) (3, 5, 7, 9, ) é um P.A. ode 3 e r b) (5,, -,...) é um P.A. ode 5 e r Clssificção: Um P.A. pode ser clssificd em ) Fiit ou limitd, se tiver um úmero fiito de termos. Ex.: (3, 5, 7, 9) b) Ifiit ou ilimitd se tiver um úmero ifiito de termos: Ex (3, 5, 7, 9,...) Quto o vlor d rzão, um P. A. pode ser: ) Crescete, se r > 0: Ex.: (, 6,, 6,, 6) r 5 b) Decrescete, se r < 0: Ex.: (7,, -3, -8) r -5 c) Costte, se r 0: Ex.: (5, 5, 5, 5, 5) r 0

3 .3. Termo gerl d P.A.: D defiição, temos: r 3 r r 4 3 r 3r... - r ( )r Portto: ( )r, ode eésimo termo º termo º de termos r rzão Exemplos: ) Clcule o 0º termo d P.A. (3, 8, 3,...) (0 ). 5 r ) Clcule o primeiro termo d P.A. ode rzão é 8 e o décimo termo vle (0 ). 8 r ) N P.A. ode o º termo vle e o 7 º termo vle 0. Clcule rzão. 0 (7 ). r r 7 r 3 4) Determie qutos múltiplos de 4 existem etre 6 e 0? ( ) r

4 .4 Proprieddes: Num P. A. qulquer, de termos e rzão r, podemos observr s seguites proprieddes: Qulquer termo de um P. A., prtir do segudo, é médi ritmétic etre o terior e o posterior. k k k Ex.: P.A. (, 3, 5, 7, 9, ), temos: ; 5 A som de dois termos eqüidisttes dos extremos é igul à som dos extremos.,, 3, 4,..., - 3, -, -, Ex.: N P. A. (, 3, 5, 7, 9, ) Num P.A. cujo úmero de termos é ímpr, existe um termo cetrl que é médi ritmétic dos extremos. EX.: (, 4, 7, 0, 3, 6, 9) 9 0 4

5 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO ) Qul o 5º termo d P.A. (-5, -,, 4,...)? ) Qul o primeiro termo d P.A. em que rzão é 6 e o décimo primeiro termo é 33? 3) Qutos termos têm P.A. (, 7, 3,..., )? 4) Qul o 7º termo d P.A. ode 0 e r -0. 5) Qul rzão d P.A. ode -6 e 36 4? 6) Qutos termos têm P.A. de rzão 3 cujos extremos são -3 e 39? 7) Qutos múltiplos de 9 existem etre os úmeros 05 e 000? 8) Ecotre o primeiro termo e rzão d P.A. em que e ) N P.A. em que e 8 58, ecotre 0 0) Escrev P.A. crescete de seis termos qul som dos termos de ordem ímpr é 7 e som dos termos de ordem pr 36. ) Iterpolr oito meios ritméticos etre -3 e 5. ) O slário iicil mesl de um homem é R$ 400,00. Se recebe umetos mesis de R$ 45,00, qudo seu slário será de 985,00? 3) Se seqüêci (x, x 4, x 3) é um P.A. Clcule x e rzão r. 5

6 6.5 Som dos Termos de um P.A. A som dos termos de um P.A. limitd é dd pel fórmul: ) ( S Vej porque: ) ( ) (... ) ( ) ( S S S Pel propriedde d som dos termos eqüidisttes dos extremos ser igul à som dos extremos, vem: vezes S ) ( ) (... ) ( ) ( S ( ) ) ( S, ode: S som dos termos; º termo; Eésimo termo; Número de termos. Exemplo: Determir som dos 0 primeiros termos d P.A. (3, 7,,...) 3 ( ).r r ).0 (3 ) ( S S S

7 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO ) Determir som dos trit primeiros termos d P.A. (-4, -, 0,, 4, 6,...) ) Clcule som dos 50 primeiros termos d P.A. de 7 e r 4 3) Determir som dos termos d P.A. (, 3, 5,..., 5ª) 4) Clculr som dos 00 primeiros múltiplos de 3, miores que 00. 5) Ecotrr som dos sete primeiros termos de um P.A., ode o 5º termo é 7 e 3º é. 6) Determie o vlor de x equção: (x ) (x 4) (x 7)... (x 6) 75 7) Qul é som dos úmeros ímpres compreedidos etre 50 e 500? 7 7

8 EXERCÍCIOS DE AUTO AVALIAÇÃO )Verifique se cd um ds seguites sucessões é um P.A. e, em cd cso firmtivo, determie rzão: ) (-,, 4, 7, 0, 3,...) 7 3 b),,, 5, c) (, 4, 9, 6, 5) d) ( x, x, 3x, 4x,...) e) ( 3, 3 3, 3 3, 3 3 3) ) Dd P.A. (-9, -5, -, 3, 7,...), Clcule o 5º termo. 3) Clculr o 00º úmero ímpr positivo. 4) Determie o º termo de um P.A. sbedo que 5 8 e r -3. 5) Qutos múltiplos de existem etre 00 e 000? 6) Determir posição do úmero 48 P.A. (, 4, 7, 0,...) 7) Clculr de um P.A. sbedo que 5 4 e ) Iserir qutro meios ritméticos etre 5 e 0. 9) Clculr som dos dez primeiros termos d P.A. (-3, -,,...). 0) Um progressão ritmétic tem quize termos. O º termo é ½ e som de todos os termos é 60. Clcule rzão dess PA.. ) Qul é som dos 80 primeiros úmeros iteiros positivos? ) Resolver equção x 560, sbedo que os termos do º membro estão em P.A.. 8

9 UNIDADE II PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS.. Progressão Geométric Progressão Geométric (P.G.) é um sucessão de termos ão ulos em que o quociete de cd termo e seu precedete, prtir do segudo é sempre costte, chmdo de rzão d progressão geométric. Se seqüêci 3 (,, 3,..., -, ) é P.G.... q Portto, - q, Ν, Exemplos: ) (,, 4, 8, 6) é um P.G. ode e q. b) (, -8, 3,...) é um P.G. ode e q -4 c) (7, 9, 3,,,...) é um P.G. ode 7 e q Clssificção Um P.G. pode ser clssificd em: ) Fiit ou Limitd, se tiver um úmero fiito de termos. Ex.: (,, 4, 8) b) Ifiit ou Ilimitd, se tiver um úmero ifiito de termos. Ex.: (,, 4, 8,...) 9

10 Quto o vlor d rzão, um P.G. pode ser: ) Crescete: Se > 0 e q > Ex.: (,, 4, 8, 6) q Se < 0 e 0 < q < Ex.: (-7, -9, -3, -) q b) Decrescete Se > 0 e 0 < q < Ex.: (8, 4,, ) q ½ Se < 0 e q > Ex.: (-, -3, -9, -7) q 3 c) Oscilte: Se q < 0 3 Ex.: (, -6, 8, -54) q -3 d) Estcioári Se q Ex.: (5, 5, 5, 5,...) q.3 Termo Gerl d P.G. D defiição, temos:. q 3. q. q² 4 3. q. q³ q. q - Portto:. q -, ode: eésimo termo º termo úmero de termos q rzão d P.G. 0

11 Exemplos: ) Clcule o 6º termo d PG (3, 6,,...) 3. q - q ) Um P.G. tem 6 termos, sedo o último termo e ¼ rzão. Qul é o primeiro termo dess P.G.? 6. q - 6- q ¼ ) Determie qutos termos tem P.G. (6, 8,..., 458)? 6. q - q ) Num P.G. de 6 termos, o primeiro termo é e o último termo é 486. Clculr rzão dess P.G.. q q q q 5 43 q 3

12 EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO ) Clcule o 0º termo d P.G. em que e q 8 ) Clcule o primeiro termo d P.G. em que o sexto termo vle rzão ½. 5 e 8 3) Qul é o vlor d rzão d P.G. oscilte de sétimo termo vledo 64 e primeiro termo vledo? 4) Num P.G. de úmeros reis, 5 3 e Determie o primeiro termo e rzão q dess P.G. 5) Num P.G. de úmeros reis, 3 4 e 8 ¾. Determie o primeiro termo e rzão q dess P.G. 6) Iserir três meios geométricos etre 3 e 48. 7) Qutos meios geométricos devem iserir etre 6 e 64 de modo que seqüêci obtid teh um rzão 4? 8) Num P.G., o primeiro termo é 4 e o qurto termo é Qul é rzão dess P.G.? 9) Determie x, de modo que (x 5, x 9, x 0) sej um P.G. 0) No primeiro semestre de 005, produção mesl de um idústri está em P.G. crescete. Em jeiro, produção foi de 500 uiddes e em juho, el foi de 4800 uiddes. Qul foi produção dess idústri os meses de fevereiro, mrço, bril e mio?

13 .4. Som dos Termos de um P.G. Limitd Vem Sej P.G. (,, 3, 4,..., -, ) Represetdo por S som de seus termos, S () Multiplicdo mbos os membros por q, obtemos: q. S q. q. 3 q q. q. 3 4 Etão: q. S q. () Ecotrdo difereç etre () e (), vem: q. S S.q S (q ).q S q, q q Substituido. q -, temos: S. q S. q q. q q.( q ) S, q q Observção: Se q, etão Logo: S... prcels S. 3

14 Exemplo: Dd P.G. (-3, 6, -, 4,...), determie S q - 0 S ( q ) q 0 3.(( ) ) S (04 / 3/ ).5 Som dos Termos de um P.G. Ifiit Dd P.G. (,,,,,, soms:...), vmos clculr cd um ds seguites S S,5 S 3,75 S 4,875 S 5,9375 S 6,96875 Observe que, o cosiderrmos um úmero mior de termos, o termo se tor mis próximo de zero. Logo, qudo tede pr o ifiito ( ), tede pr zero ( 0) e som S tede pr (S ). Dizemos, etão, que som dos termos dess P.G. é, isto é, S. <. Cosideremos gor P.G. (,, 3,...), com q <, ou sej, - < q A Som dos primeiros termos dess P.G. é dd por S q q Sbemos que, qudo, 0. Logo: 0.q - S S q - q q 4

15 Assim: A som dos termos de um P.G. ifiit cuj rzão em vlor bsoluto é meor que é dd por: S q Exemplo: Clculr som dos termos d P.G. ifiit (8, 4,,,...). 8 S q ½ q 8 8 S 6 5

16 EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO ) É dd um P.G. de termos em que, q 3 e 656 Clcule: ) O úmero de termos; b) A som dos termos. ) Clcule som dos 8 primeiros termos d P.G., sedo 3 e q. 3) Clcule o primeiro termo d P.G. cuj rzão é 6, o último termo é 96 e som dos termos ) Qutos termos devem tomr P.G. (3, 6,,...) pr que som sej 38? 5) Num P.G. cohecemos S e q. Clcule e 5 6) Clculr o vlor de x iguldde 0x 0x x 6450, sbedo-se que os termos do membro formm um P.G. 7) Clcule som dos sete primeiros termos d seqüêci (,,,...) 8 4 8) Determie o primeiro termo, rzão e som dos seis primeiros termos 5 d P.G. que tem 3 5 e 6 9 9) O terceiro termo de um P.G. é 9 e o sexto termo é 43. Determie som dos 6 primeiros termos. 0) Clculr som termos P.G. (8; 7,9;... ) ) Clculr som dos ifiitos termos d série

17 EXECÍCIO DE AUTO-AVALIAÇÃO ) Verifique se cd um ds seqüêcis é P.G., determido, em cso firmtivo, rzão q: ) ( -8, -4, -, -, - ½) b),,, 3,6 8 4 c) (6, 54, 8, 9, 3) d),,, 3, ) Determie o 7 termo d P.G. (5, 5, 45,...) 3) Clcule rzão d P.G. qul 7 e ) Determir posição do úmero 64 P.G.,,, ) Isir qutro meios geométricos etre e ) Clcule o 8 termo de um progressão geométric em que se tem 3 6 e ) Qul som dos 8 primeiros termos d P.G. (4,, 36,...)? 8) Determie o 6 termo de um P.G. qul 6, q 4 e S ) Qul o úmero de termos d P.G. ode 3, q e S 38? 0) Clcule o primeiro termo de um P.G., sbedo que som dos ifiitos termos é 6 e rzão é ½. 7

18 UNIDADE III JUROS SIMPLES 3.. Itrodução: Em um di ouvimos, frses como ests: Vou depositr meu diheiro pr ele reder juros Vou emprestr meu diheiro, pois ele rederá juros. No cálculo ficeiro podemos dizer que juro é um compesção em diheiro pelo uso de um cpitl ficeiro, por determido tempo, um tx previmete combid. 3.. Regime de Cpitlizção Etedemos por regime de cpitlizção o processo de formção de juro. Há dois regimes de cpitlizção: juro simples e juro composto Cálculo de Juro Simples: O Juro é chmdo de simples qudo é produzido uicmete pelo cpitl iicil. Vej fórmul: J C i ou 00 J r r C, i Logo: J C. i., ode: C cpitl iicil ou pricipl; J juros simples; tempo de plicção ou período; r tx percetul; i tx uitári. 8

19 Exemplo () Um ivestidor plic R$.000,00 juros simples durte 5 meses, à tx de % o mês, teremos em cd mês R$ 0,00 de juros ( 0) ( 0) 3 ( 0) 4 ( 0) 5 ( 0) J C. i., J? C R$.000,00 r 3%. m. i 0,0.m. 5 meses J ,0. 5 J 00 O totl será R$ 00,00 É importte Observr: Ess fórmul só pode ser plicd se o przo d plicção é expresso mesm uidde de tempo que se refere tx i cosiderd. O comportmeto lier em relção o crescimeto do cpitl, ou sej, icorporção dos juros o pricipl ocorre em progressão ritmétic. Exemplo () Qul o juro produzido pelo cpitl de R$ 5.000,00, durte os, um tx de 4% o o? J C. i., J? C R$ 5.000,00 J ,04. r 4%. m. i 0,04.. J 400 os O totl será R$ 400,00 9

20 EXECÍCIO DE FIXAÇÃO ) Clcule o juro produzido por R$ ,00, durte 5 meses, um tx de 6% o mês. ) Aplic-se importâci de R$.50,00, pelo przo de 4 meses, à tx de % o mês. Qul o vlor de juro receber? 3) Clcule os juros serem pgos por um empréstimo de R$. 500,00, à tx de 3% o trimestre, durte 3 trimestres. 4) Um cpitl de R$ ,00,foi empregdo, à tx de 0,75% o mês, durte,5 meses. Clcule o juro produzido. 5) Um cpitl de R$ ,00 plicdo durte 0 meses rede juro de R$ 6.000,00. Determie tx correspodete. 6) Sbedo que o juro de R$ ,00 foi obtido com plicção de R$ ,00 à tx de 8% o trimestre, clcule o przo. 0

21 3.4. Txs Equivletes: Dus txs são equivletes qudo, plicds um mesmo cpitl, durte o mesmo período, produzem o mesmo juro. Exemplo : Clculr os juros produzidos pelo cpitl R$ 500,00: ) tx de % o mês, durte 6 meses. b) tx de 5% o trimestre, durte trimestre. ) J C. i. J? C R$ 500,00 J , meses J 60 r %. m. i 0,04.m. Juros produzidos: R$ 60,00 b) J C. i. J? C R$ 500,00 J ,06. trimestres J 60 r 6%. t. i 0,06.t. Juros produzidos: R$ 60,00 Juros produzidos iguis, logo %.m. e 6%.t. são txs equivletes. Observção: Em regime de juro simples, dus txs proporciois são equivletes.

22 EXECÍCIO DE FIXAÇÃO ) Clcule o juro resultte de um plicção de R$.500,00, à tx de 4% o o, durte 0 meses. ) Clcule o juro correspodete um cpitl de R$.850,00, plicdo durte os 4 meses 0 dis, à tx de 36% o o. 3) Um plicção de R$ 8.000,00, pelo przo de 6 meses, obteve um redimeto de R$.680,00.Qul tx ul correspodete? 4) Clcule o juro resultte de um plicção de R$ 4.500,00 à tx de 9% o o, durte 5 meses.

23 3.5. Determição do Número exto de dis etre dus dts: Pelo uso d tbel pr cotgem de dis Di do Mês JAN. FEV. 3 MAR. 4 ABR. 5 MAI. 6 JUN. 7 JUL. 8 AGO. 9 SET. 0 OUT. NOV. DEZ. Di do Mês Not: Se o o for bissexto e se 9 de fevereiro estiver evolvido etre s dus dts, som-se di o resultdo fil. Exemplo: Um empréstimo de R$ 8.500,00 foi relizdo em 0/07/03 e foi pgo em 5//03. Sbedo-se que tx foi de 45% o o, pergut-se: qul o juro totl ser pgo? 5//03 39 dis 0/07/03 0 dis dis J? C R$ 8.500,00 8 dis 3

24 r 45%.. ( 45% 360) %.d. 0,5%.d. i 0,005.d J , J 360 Juros pgos: R$ 360,00 4

25 EXECÍCIO DE FIXAÇÃO ) Que motte receberá um plicdor que teh ivestido R$ 3.500,00 durte 5 meses, à tx de % o mês? ) Um pesso plicou R$ 6.00,00 o mercdo ficeiro e pós 5 os recebeu o motte de R$.400,00. Qul foi tx ul? 3) Por quto tempo deve ser plicdo o cpitl de R$ 8.000,00, à tx de juro de 8% o o, pr obtermos um motte de R$ 8.30,00? 4) Qul o przo pr que um plicção de R$ ,00,5% o mês red um motte de R$ ,00? 5