Unidade 2 Progressão Geométrica
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- Thomaz Cabreira Prada
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1 Uidde Progressão Geométric Seuêci e defiição de PG Fórmul do termo gerl Fução expoecil e PG Juros compostos e PG Iterpolção geométric Som dos termos de um PG
2 Seuêci e defiição de PG Imgie ue você tem dus proposts pr um emprego. Em um dels, seu slário iicil será de R$3.500,00, ms sofrerá umetos uis de 0% em relção o slário do o terior. N outr propost, seu slário iicil será de R$4.000,00 e será umetdo um tx de 6% o o, em relção o o terior. Cosiderdo-se pes o vlor do slário o fil do urto o, ul é melhor propost de emprego?
3 Seuêci e defiição de PG Slários d propost Ao 0: R$ 3.500,00 Ao : R$ 3.500,00.,0 R$ 3.850,00 Ao : R$ 3.850,00.,0 R$ 4.35,00 Ao 3: R$ 4.35,00.,0 R$ 4.658,00 Ao 4: R$ 4.658,00.,0 R$ 5.4,35 Slários d propost Ao 0: R$ 4.000,00 Ao : R$ 4.000,00.,06 R$ 4.40,00 Ao : R$ 4.40,00.,06 R$ 4.494,00 Ao 3: R$ 4.494,00.,06 R$ 4.764,06 Ao 4: R$ 4.764,06.,06 R$ 5.049,90 Os vlores dos slários de cd propost umetm um mesmo percetul em relção o vlor terior. Por isso, o decorrer do tempo, tis vlores costituem um progressão geométric.
4 Defiição de PG Progressão Geométric (PG) é um seuêci de úmeros ou expressões em ue cd termo, prtir do segudo, é igul o terior multiplicdo por um costte. Ess costte é deomid rzão d PG e será represetd pel letr.
5 Exemplo: Pr esclrecer o coceito de PG, vmos cosiderr, por exemplo, seuêci defiid pel seguite expressão: 3., N * Vmos costruir seuêci : por Cd termo, prtir do segudo, é igul o termo terior multiplicdo Assim, tribuido - se vlores pr obtemos PG : (6,, 4, 48) (,, 3, 4,) O primeiro termo é 6 e 6 e, rzão é
6 Fórmul do termo gerl Em um PG, por meio d fórmul gerl, é possível ecotrr uluer termo d seuêci sem ecessidde de se clculrem todos os termos ue o precedem. Cosidere um PG (,,,..., A prtir do segudo termo, uluer outro é igul o, terior multiplicdo pel rzão, etão : M ,...) de rzão. Ess últim fórmul permite obter um termo uluer de ordem em fução do terior, de ordem -. Podemos relcior um termo uluer (de ordem ) com oº termo de um Tl relção pode ser represetd do seguite modo : PG.
7 Fórmul do termo gerl. ( ) ( ) ( 3 ) 4.. M ( - ) Sedo N*, fórmul do termo gerl d PG é dd por. :
8 Aplicção Cohecedo fórmul do termo gerl, podemos represetr uluer termo de um PG em fução do primeiro termo e d rzão. Observe lgus exemplos: 7º termo : 3º termo 48º termo : :
9 Ateção Um PG pode ser clssificd como crescete, decrescete, oscilte ou costte. Observe lgus exemplos: (5, 5, 5, 5,..) PG costte cuj rzão é (,, 4, 8,...) PG crescete cuj rzão é (7, 9, 3,,...) PG decrescete cuj rzão é /3 (, -3, 9, -7,...) PG oscilte cuj rzão é -3
10 Fução expoecil e Progressão geométric
11 Fução expoecil e Progressão geométric Observe s figurs seguir em um corpo de peso P está em euilíbrio pel plicção de um forç F por meio de um ssocição de polis: F.P F.P 4 F.P 8
12 Fução expoecil e Progressão geométric Em cd figur, primeir poli é fix e s demis são móveis. A forç F, utilizd pr mter o corpo em euilíbrio, depede d utidde de polis móveis d ssocição. Ess plicção é chmd de tlh expoecil.
13 Fução expoecil e Progressão geométric - Preste Ateção: A forç ue deve ser plicd em um ssocição de polis pr mter um corpo em repouso ou permitir ue ele relize um movimeto uiforme é igul o peso desse corpo dividido por, em ue é o úmero de polis móveis d ssocição.
14 Fução expoecil e Progressão geométric - Aplicção A relção existete etre o úmero de polis móveis d ssocição e forç F pode ser descrit por meio d seguite fução expoecil: F ( ) P., em ue N Supoh ue o corpo suspeso teh peso igul 00N. Vmos tribuir lgus vlores e observr seuêci formd pelos vlores d forç:
15 Fução expoecil e Progressão geométric - Aplicção ( ) ( ) ( ) ( ) N P F N P F N P F N P F, N e rzão igul igul PG de primeiro termo d forç costituem um vlores A seuêci uméric correspodete os
16 Fução expoecil e Progressão geométric - Aplicção Esse exemplo mostr ue um progressão geométric é um cso prticulr de fução expoecil cujo domíio ssume pes vlores iteiros cosecutivos.
17 Fução expoecil e Progressão geométric - Aplicção É possível represetr grficmete relção etre forç plicd F e o úmero de polis móveis : Em gerl, pr uluer fução expoecil d form f(x). b x,cujo o domíio sej formdo pes por úmeros iteiros cosecutivos, os vlores de f correspoderão termos de um PG cuj rzão é b.
18 Fução expoecil e Progressão geométric - Aplicção
19 Juros Compostos e Progressões Geométrics
20 Juros Compostos e Progressões Geométrics A miori ds operções ficeirs efetuds os dis de hoje utiliz juros compostos pr remuerr um cpitl. Pr ilustrr, supoh, por exemplo, ue um pesso plicou R$.000,00 em red fix um tx de 0% o o. O motte M, obtido pós um o de plicção, é clculdo diciodo-se o cpitl plicdo os juros do período, ou sej:
21 Juros Compostos e Progressões Geométrics M ,0.000,00 M.000. ( + 0,0) M.000. (,0) M.00,00 Observe ue, pr umetr um uti em 0%, bst multiplicálo por,0. Dess form, o motte pós os é igul o vlor do motte pós um o multiplicdo por,0: M M.,0 M.00,00.,0 M.440,00 O motte pós 3 os é igul o motte pós os multiplicdo por,0: M 3 M.,0 M 3.440,00.,0 M 3.78,00
22 Juros Compostos e Progressões Geométrics Com isso, temos: M (t) C. ( + i ) t
23 Iterpolção Geométric
24 Iterpolção Geométric É possível supor ue utidde de pessos presetes um eveto público correspode, cd hor, o termos de um progressão geométric em um determido período do di. Iicilmete, existim 8 pessos, ms, pós 5 hors, o úmero totl er igul Como evolui o úmero totl de pessos por hor?
25 Iterpolção Geométric Esse problem pode ser represetdo do seguite modo: (8,,,,,5 000) Utilizdo os coceitos estuddos de PG, podemos escrever: +? Logo, cd hor, o úmero de pessos presetes o eveto uituplicv, ou sej, er multiplicdo por 5.
26 Iterpolção Geométric N situção terior, fizemos o uso de um iterpolção geométric. Nesse cso, plvr iterpolção sigific iserção de elemetos seuêci. Os termos iseridos são chmdos de meios geométricos. Fiue teto à defiição de iterpolção geométric:
27 Iterpolção Geométric - Coceito Iterpolr ou iserir k meios geométricos etre os úmeros e b sigific costruir um PG com k + termos, ode é o primeiro termo e b é o último. (,,,...,,,b) PG ode k + termos k meios geométricos b
28 Som dos termos de um PG: ifiito ou fiit Expressão d som de PG; Expressão d som dos primeiros termos; Som ifiitos termos;
29 Som dos termos de um PG: ifiito ou fiit Cosidere PG fiit cuj rzão 5, formd pelos seis seguites úmeros: (8, 40, 00, 000,5000, 5 000) S () Agor outr form de somr ess seuêci: Multipliue eução () pel rzão, membro membro; S () 5.S S ()
30 Som dos termos de um PG: ifiito ou fiit Subtri um eução d outr: () () 5.S S ( ) ( ) S S S S S 6 8 Geerlizdo: S 5000 ( ) ; ode 6 S temos :S som de PG
31 Som de PG x termo gerl ;. por podemos substituir,. S fórmul Dd. S.. S +. S. S ( ). S ) S.( 348 S 5 ) 8.(5 S ).( :S Exemplo 6 6 6
32 PG geometri 5 S 5. S 5. S m 3 9 9
33 PG geometri S S m S S S S m S S S
34 PG geometri Escrev seuêci formd pels áres dos udrdos: 5,, 9 5 9, 5 9 3, L cuj rzão é igul 5 9 Você deve ter observdo ue, á medid ue seuêci vç, os termos torm-se cd vez meores, ou sej, os vlores dos termos tedem zero. Isso ocorre porue ll <. Nesses csos, é possível clculr um vlor limite pr som ds áres.
35 Som dos Ifiitos termos
36 Expressão do vlor limite d som dos termos de uluer PG.. 0. S ; 0 S [.( ) ] [ ) ] S ; <.( S
37 Restrições
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º (0 / 4) Nº Nome 4º Teste de Avlição de MATEMÁTICA A º o 4 Fevereiro 04 durção 90 mi. Pro. Josué Bptist Clssiicção:, O Pro.:, Grupo I Os sete ites deste rupo são de escolh múltipl. Em cd um deles, são
Notas de Aula de Cálculo Diferencial e Integral II
Uiversidde Federl de Cmpi Grde Cetro de Ciêcis e Tecoologi Agroetr Nots de Aul de Cálculo Diferecil e Itegrl II Prof. Ms. Hllyso Gustvo G. de M. Lim Pombl - PB Coteúdo Métodos de Itegrção 3. Método ds
LIMITES. Introdução Antes de iniciar os estudos sobre Limites, vamos observar um exemplo prático do nosso cotidiano.
LIMITES O estudo dos ites objetiv coceitur ituitivmete limite, deiir limites lteris, plicr s proprieddes, clculr limites de uções e veriicr cotiuidde de um ução. Itrodução Ates de iicir os estudos sobre
FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano Versão 4
FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 0.º Ao Versão Apresete o seu rciocíio de form clr, idicdo todos os cálculos que tiver de efetur e tods s justificções ecessáris. Qudo, pr um resultdo, ão é pedid um proimção,
0,01. Qual a resposta correta à pergunta de Chiquinho, considerandose os valores atribuídos às variáveis pelo professor?
GABARIO Questão: Chiquiho ergutou o rofessor qul o vlor umérico d eressão + y+ z. Este resodeu-lhe com cert iroi: como queres sber o vlor umérico de um eressão, sem tribuir vlores às vriáveis? Agor, eu
a é dita potência do número real a e representa a
IFSC / Mteátic Básic Prof. Júlio Césr TOMIO POTENCIAÇÃO [ou Expoecição] # Potêci co Expoete Nturl: Defiição: Ddo u úero iteiro positivo, expressão ultiplicção do úero rel e questão vezes. é dit potêci
Somas de Riemann e Integração Numérica. Cálculo 2 Prof. Aline Paliga
Soms de Riem e Itegrção Numéric Cálculo 2 Prof. Alie Plig Itrodução Problems de tgete e de velocidde Problems de áre e distâci Derivd Itegrl Defiid 1.1 Áres e distâcis 1.2 Itegrl Defiid 1.1 Áres e distâcis
Transformada z. A transformada z é a TFTD da sequência r -n x[n] e a ROC é determinada pelo intervalo de valores de r para os quais.
![Transformada z. A transformada z é a TFTD da sequência r -n x[n] e a ROC é determinada pelo intervalo de valores de r para os quais.](/thumbs/84/89187131.jpg "Transformada z. A transformada z é a TFTD da sequência r -n x[n] e a ROC é determinada pelo intervalo de valores de r para os quais.")
Trsformd A TFTD de um sequêci é: Pr covergir série deve ser solutmete somável. Ifelimete muitos siis ão podem ser trtdos: A trsformd é um geerlição d TFTD que permite o trtmeto desses siis: Ζ Defiição: