Unidade 2 Progressão Geométrica

Transcrição

1 Uidde Progressão Geométric Seuêci e defiição de PG Fórmul do termo gerl Fução expoecil e PG Juros compostos e PG Iterpolção geométric Som dos termos de um PG

2 Seuêci e defiição de PG Imgie ue você tem dus proposts pr um emprego. Em um dels, seu slário iicil será de R$3.500,00, ms sofrerá umetos uis de 0% em relção o slário do o terior. N outr propost, seu slário iicil será de R$4.000,00 e será umetdo um tx de 6% o o, em relção o o terior. Cosiderdo-se pes o vlor do slário o fil do urto o, ul é melhor propost de emprego?

3 Seuêci e defiição de PG Slários d propost Ao 0: R$ 3.500,00 Ao : R$ 3.500,00.,0 R$ 3.850,00 Ao : R$ 3.850,00.,0 R$ 4.35,00 Ao 3: R$ 4.35,00.,0 R$ 4.658,00 Ao 4: R$ 4.658,00.,0 R$ 5.4,35 Slários d propost Ao 0: R$ 4.000,00 Ao : R$ 4.000,00.,06 R$ 4.40,00 Ao : R$ 4.40,00.,06 R$ 4.494,00 Ao 3: R$ 4.494,00.,06 R$ 4.764,06 Ao 4: R$ 4.764,06.,06 R$ 5.049,90 Os vlores dos slários de cd propost umetm um mesmo percetul em relção o vlor terior. Por isso, o decorrer do tempo, tis vlores costituem um progressão geométric.

4 Defiição de PG Progressão Geométric (PG) é um seuêci de úmeros ou expressões em ue cd termo, prtir do segudo, é igul o terior multiplicdo por um costte. Ess costte é deomid rzão d PG e será represetd pel letr.

5 Exemplo: Pr esclrecer o coceito de PG, vmos cosiderr, por exemplo, seuêci defiid pel seguite expressão: 3., N * Vmos costruir seuêci : por Cd termo, prtir do segudo, é igul o termo terior multiplicdo Assim, tribuido - se vlores pr obtemos PG : (6,, 4, 48) (,, 3, 4,) O primeiro termo é 6 e 6 e, rzão é

6 Fórmul do termo gerl Em um PG, por meio d fórmul gerl, é possível ecotrr uluer termo d seuêci sem ecessidde de se clculrem todos os termos ue o precedem. Cosidere um PG (,,,..., A prtir do segudo termo, uluer outro é igul o, terior multiplicdo pel rzão, etão : M ,...) de rzão. Ess últim fórmul permite obter um termo uluer de ordem em fução do terior, de ordem -. Podemos relcior um termo uluer (de ordem ) com oº termo de um Tl relção pode ser represetd do seguite modo : PG.

7 Fórmul do termo gerl. ( ) ( ) ( 3 ) 4.. M ( - ) Sedo N*, fórmul do termo gerl d PG é dd por. :

8 Aplicção Cohecedo fórmul do termo gerl, podemos represetr uluer termo de um PG em fução do primeiro termo e d rzão. Observe lgus exemplos: 7º termo : 3º termo 48º termo : :

9 Ateção Um PG pode ser clssificd como crescete, decrescete, oscilte ou costte. Observe lgus exemplos: (5, 5, 5, 5,..) PG costte cuj rzão é (,, 4, 8,...) PG crescete cuj rzão é (7, 9, 3,,...) PG decrescete cuj rzão é /3 (, -3, 9, -7,...) PG oscilte cuj rzão é -3

10 Fução expoecil e Progressão geométric

11 Fução expoecil e Progressão geométric Observe s figurs seguir em um corpo de peso P está em euilíbrio pel plicção de um forç F por meio de um ssocição de polis: F.P F.P 4 F.P 8

12 Fução expoecil e Progressão geométric Em cd figur, primeir poli é fix e s demis são móveis. A forç F, utilizd pr mter o corpo em euilíbrio, depede d utidde de polis móveis d ssocição. Ess plicção é chmd de tlh expoecil.

13 Fução expoecil e Progressão geométric - Preste Ateção: A forç ue deve ser plicd em um ssocição de polis pr mter um corpo em repouso ou permitir ue ele relize um movimeto uiforme é igul o peso desse corpo dividido por, em ue é o úmero de polis móveis d ssocição.

14 Fução expoecil e Progressão geométric - Aplicção A relção existete etre o úmero de polis móveis d ssocição e forç F pode ser descrit por meio d seguite fução expoecil: F ( ) P., em ue N Supoh ue o corpo suspeso teh peso igul 00N. Vmos tribuir lgus vlores e observr seuêci formd pelos vlores d forç:

15 Fução expoecil e Progressão geométric - Aplicção ( ) ( ) ( ) ( ) N P F N P F N P F N P F, N e rzão igul igul PG de primeiro termo d forç costituem um vlores A seuêci uméric correspodete os

16 Fução expoecil e Progressão geométric - Aplicção Esse exemplo mostr ue um progressão geométric é um cso prticulr de fução expoecil cujo domíio ssume pes vlores iteiros cosecutivos.

17 Fução expoecil e Progressão geométric - Aplicção É possível represetr grficmete relção etre forç plicd F e o úmero de polis móveis : Em gerl, pr uluer fução expoecil d form f(x). b x,cujo o domíio sej formdo pes por úmeros iteiros cosecutivos, os vlores de f correspoderão termos de um PG cuj rzão é b.

18 Fução expoecil e Progressão geométric - Aplicção

19 Juros Compostos e Progressões Geométrics

20 Juros Compostos e Progressões Geométrics A miori ds operções ficeirs efetuds os dis de hoje utiliz juros compostos pr remuerr um cpitl. Pr ilustrr, supoh, por exemplo, ue um pesso plicou R$.000,00 em red fix um tx de 0% o o. O motte M, obtido pós um o de plicção, é clculdo diciodo-se o cpitl plicdo os juros do período, ou sej:

21 Juros Compostos e Progressões Geométrics M ,0.000,00 M.000. ( + 0,0) M.000. (,0) M.00,00 Observe ue, pr umetr um uti em 0%, bst multiplicálo por,0. Dess form, o motte pós os é igul o vlor do motte pós um o multiplicdo por,0: M M.,0 M.00,00.,0 M.440,00 O motte pós 3 os é igul o motte pós os multiplicdo por,0: M 3 M.,0 M 3.440,00.,0 M 3.78,00

22 Juros Compostos e Progressões Geométrics Com isso, temos: M (t) C. ( + i ) t

23 Iterpolção Geométric

24 Iterpolção Geométric É possível supor ue utidde de pessos presetes um eveto público correspode, cd hor, o termos de um progressão geométric em um determido período do di. Iicilmete, existim 8 pessos, ms, pós 5 hors, o úmero totl er igul Como evolui o úmero totl de pessos por hor?

25 Iterpolção Geométric Esse problem pode ser represetdo do seguite modo: (8,,,,,5 000) Utilizdo os coceitos estuddos de PG, podemos escrever: +? Logo, cd hor, o úmero de pessos presetes o eveto uituplicv, ou sej, er multiplicdo por 5.

26 Iterpolção Geométric N situção terior, fizemos o uso de um iterpolção geométric. Nesse cso, plvr iterpolção sigific iserção de elemetos seuêci. Os termos iseridos são chmdos de meios geométricos. Fiue teto à defiição de iterpolção geométric:

27 Iterpolção Geométric - Coceito Iterpolr ou iserir k meios geométricos etre os úmeros e b sigific costruir um PG com k + termos, ode é o primeiro termo e b é o último. (,,,...,,,b) PG ode k + termos k meios geométricos b

28 Som dos termos de um PG: ifiito ou fiit Expressão d som de PG; Expressão d som dos primeiros termos; Som ifiitos termos;

29 Som dos termos de um PG: ifiito ou fiit Cosidere PG fiit cuj rzão 5, formd pelos seis seguites úmeros: (8, 40, 00, 000,5000, 5 000) S () Agor outr form de somr ess seuêci: Multipliue eução () pel rzão, membro membro; S () 5.S S ()

30 Som dos termos de um PG: ifiito ou fiit Subtri um eução d outr: () () 5.S S ( ) ( ) S S S S S 6 8 Geerlizdo: S 5000 ( ) ; ode 6 S temos :S som de PG

31 Som de PG x termo gerl ;. por podemos substituir,. S fórmul Dd. S.. S +. S. S ( ). S ) S.( 348 S 5 ) 8.(5 S ).( :S Exemplo 6 6 6

32 PG geometri 5 S 5. S 5. S m 3 9 9

33 PG geometri S S m S S S S m S S S

34 PG geometri Escrev seuêci formd pels áres dos udrdos: 5,, 9 5 9, 5 9 3, L cuj rzão é igul 5 9 Você deve ter observdo ue, á medid ue seuêci vç, os termos torm-se cd vez meores, ou sej, os vlores dos termos tedem zero. Isso ocorre porue ll <. Nesses csos, é possível clculr um vlor limite pr som ds áres.

35 Som dos Ifiitos termos

36 Expressão do vlor limite d som dos termos de uluer PG.. 0. S ; 0 S [.( ) ] [ ) ] S ; <.( S

37 Restrições

38 Resolução de tividdes Pági 4 Trblho pr Not Livre: pági 5