As funções exponencial e logarítmica

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1 As fuções epoecil e logrítmic. Potêcis em Sej um úmero rel positivo, isto é, * +. Pr todo, potêci, de bse e epoete é defiid como o produto de ftores iguis o úmero rel : vezes Pr, estbelece-se 0, por defiição. Tmbém por defiição tem-se. Decorrem d defiição s seguites proprieddes (já provds pr ): P), m + tem-se. m m Est propriedde pode ser estedid pr epoetes m, m, m,..., mk : m + m + m mk m m m mk P) m, k tem-se ( ) m k m. k Est propriedde pode ser vist como um cso prticulr d propriedde pr epoetes m m m... mk. P) Sej * +. Se >, etão... < < < < < < + <... Se 0 < <, etão... > > > > > > + >... Em outrs plvrs, est propriedde diz que seqüêci ds potêcis do úmero positivo é crescete qudo > e decrescete qudo <. A demostrção pode ser feit multiplicdo mbos os membros ds desigulddes > e < pelo úmero positivo. Potêcis de epoete egtivo Qudo * + e, etão potêcis iteirs de um úmero positivo. Eemplos é defiido como ( ). Ficm ssim defiids s ) 9 4

2 ) Potêcis de epoete rciol Qudo * + e p q, com q > 0, p q é defiido como p q q p. q p < fzemos ( ) q Se 0 Eemplos p p e utilizmos defiição de potêci iteir egtiv. ) 4) ) ( ) ( ) Podemos tmbém utilizr defiição de potêci egtiv diretmete e fzer: Observção. Fido o úmero rel positivo, com, em todo itervlo de + eiste r lgum potêci, com r. Por eemplo, se fimos e escolhemos o itervlo ( 0, ), o úmero rel deste fto será feit discipli de Itrodução à Aálise. pertece o itervlo ( 0, ). A demostrção Pergut: pr * k +, como defiir pr k um úmero irrciol? Como foi estuddo o Cpítulo, podemos proimr um úmero irrciol por um seqüêci de úmeros rciois. Est idéi, que evolve o coceito de limite e será detlhd discipli de Cálculo I, permite-os defiir s potêcis de epoete irrciol.

3 Tomemos como eemplo o úmero 4. A seqüêci,,4,,4,,44,,44,... forece proimções cd vez mis próims de. Logo, seqüêci,4,4,44,44 4, 4, 4, 4, 4,... forece proimções cd vez melhores de 4. Com oção de limite, este úmero pode ser defiido precismete. Por or, bst-os sber que ele eiste e pode ser clculdo. Com isso podemos cocluir que s proprieddes ds potêcis cotium vledo tmbém pr epoetes que são úmeros reis:, b,, y tem-se (i). + y y. (ii) ( ) y (iii) ( b ) y.. b. A fução epoecil Sej um úmero rel positivo e diferete de. A fução epoecil de bse é defiid como f :, f ( ). Observção. O domíio e o cotrdomíio d fução epoecil é o cojuto. A imgem d fução é +. Observção. Cosidermos bse diferete de pois cso cotrário terímos fução costte f ( ), pr todo úmero rel. Eemplos: 6) f ( ) Algus vlores de f são: 0 f (0), f ( ), f 7) f ( ) Clcule você os vlores f (5), f ( ), f.

4 Proprieddes d fução epoecil As proprieddes seguir serão muito úteis resolução de problems que evolvem fução epoecil, ssim como resolução de equções epoeciis. Algums serão justificds, outrs serão demostrds em disciplis posteriores. Cosiderremos sempre que bse é um úmero rel positivo e diferete de, e que f é fução f ( ). FE) f ( + y) f ( ). f ( y),, y + y y Justifictiv: f ( + y). f ( ). f ( y),, y FE) f é um fução crescete pr >. FE) f é um fução decrescete pr <. FE4) f ( ) > 0,. Justifictiv: iicilmete vmos mostrr que f ( ) 0 (fremos por cotrdição). Supohmos que eist um 0 tl que f ( 0) 0. Etão, pr qulquer temos f ( ) f ( + 0) f ( + ( )) f ( + ( )) f ( ). f ( ) 0. f ( ) Assim, temos f ( ) 0 pr todo rel, o que é um cotrdição pois f () 0 (lembre-se que é positivo). Logo, tl 0 ão eiste e temos f ( ) 0, (). Agor vmos mostrr que f ( ) > 0, : Sej ( um úmero rel qulquer). Etão f ( ) f + f. f f > 0, pois f 0 por (). Logo, podemos cocluir que f ( ) > 0,. Observção 4 : A propriedde 4 os diz que Im f (0, + ), um vez que os vlores de f() são positivos. É possível provr tmbém que (0, + ) Im f, isto é, todo úmero positivo é lgum potêci rel do úmero. Logo, podemos cocluir que Im f (0, + ). k FE5) f ( k) [ f ( )],, k. Justifictiv: pr todos k ( ) [ ] k f ( k) f ( ) FE6) f é ijetor. e k temos k Justifictiv: provremos que pr quisquer e y reis, se y etão f ( ) f ( y).

5 De fto: sejm e y reis tis que y. Podemos supor sem perd de geerlidde que < y (lgo mud se supusermos y <? Eperimete!). Vmos estudr os dois csos, pr > e pr < : (i) pr > temos pel propriedde que f é crescete, isto é, f ( ) < f ( y). Logo, temos f ( ) f ( y) e f é ijetor. (ii) pr < temos pel propriedde que f é decrescete, isto é, f ( ) > f ( y). Logo, tmbém temos f ( ) f ( y) e f é ijetor. Observção 5: d Observção 4 e d propriedde 6 podemos cocluir que f : (0, + ) é um fução bijetor, e, coseqüetemete, iversível. Gráfico d fução epoecil Cosideremos fução f : (0, + ), f ( ). Devemos distiguir dois csos: qudo > e qudo <. Fremos um eemplo de cd cso. I) Gráfico de f ( ) Como bse é mior do que, sbemos que f é crescete. Vmos loclizr lgus potos e fzer o gráfico.

6 Observe que: () À medid que o vlor umet, tmbém umet e seu vlor ultrpss qulquer úmero rel pré-fido, desde que se tome suficietemete grde. (b) À medid que umet em módulo, ms é egtivo, dimiui, proimdo-se cd vez mis de zero. Observção 6: Tod fução epoecil de bse mior do que tem um gráfico semelhte este. II) Gráfico d fução f ( ) Neste cso bse é meor do que e fução é decrescete. As observções são álogs às que form feits pr o cso terior. Eercícios propostos ) Fç o gráfico ds fuções epoeciis: ) f ( ) b) 5 f ( ) 4 c) f ( ) d) f ( ) 5

7 Sugestão: use clculdor. Equções epoeciis Equções epoeciis são equções s quis icógit prece o epoete, como por eemplo 5 64 ou Equções epoeciis com potêcis de mesm bse podem ser resolvids utilizdo s proprieddes d fução epoecil que cbmos de estudr. Vmos fzer lgus eemplos de resolução. Eemplos 8) 8 Resolução 5 Note que 8 e são potêcis de : 8 e. Etão podemos escrever ( ) 5 Pels proprieddes ds potêcis, temos 5 Podemos olhr pr est equção como imges iguis d fução epoecil f de bse, isto é, f ( ) f ( 5). Como fução epoecil é ijetor, podemos cocluir que 5, isto é, 5. Assim, o cojuto solução d equção é 5 S. 9) ( ) 8 Resolução Utilizdo s proprieddes ds potêcis, escrevemos 4 4

8 Tmbém este cso podemos olhr pr est equção como imges iguis d fução epoecil f de bse, isto é, 4 f f. Como fução epoecil é ijetor, podemos cocluir que 8 S. 0) 8 Resolução 4 4, isto é, 8. Assim, o cojuto solução d equção é Note que 8, e 4 são potêcis de ; utilizdo este fto e s proprieddes ds potêcis temos ( ) 5 ( ) ( ) Etão podemos cocluir que O cojuto solução d equção é S 4.

9 ) 4 56 Resolução Podemos escrever equção como 56 0 ( ) 56 0 Neste cso utilizmos um mudç de vriável, recurso que os permite escrever equção dd como um equção já cohecid; fzemos pel vriável y ) e ficmos com equção y y y (mudmos vriável Resolvedo equção qudrátic obtemos os vlores y 8 ou y 7. Observe que y 7 ão os covém pois y > 0 pr qulquer vlor. Pr y 8 obtemos 8 Logo, o cojuto solução é S {}. ) Resolução Resolvemos est equção colocdo em evidêci; escolhemos potêci por ser meor etre s potêcis ds prcels (ote que s potêcis estão em ordem crescete!). 4 ( ) Logo, e 4. O cojuto solução d equção é S {4}. Eercícios propostos ) Resolv s equções epoeciis: ),5 b) c) d) e) O úmero e + f)

10 Eiste um úmero irrciol, cuj proimção té quit cs deciml é,788, que é usdo tão freqüetemete como bse pr fução epoecil (e tmbém logrítmic) em plicções físic, ecoomi, biologi e outrs ciêcis, que merece um otção especil. É represetdo pel letr e. Ele é o limite (você vi preder os detlhes s disciplis de Cálculo) de um seqüêci de úmeros reis dd por +, o seguite setido: pr cd vlor turl prtir de, o úmero ecotrdo se proim cd vez mis do úmero e. Vej lgus cálculos pr vlores crescetes de : Vlores de +,5, , ,488 0, , , , , , , , , , , , , À medid que umetmos os vlores, o úmero + se proim cd vez mis do úmero irrciol, Fç o gráfico d fução f ( ) e, usdo pr o vlor e proimção,7. O specto do gráfico é semelhte o do gráfico d fução epoecil de bse mior do que. Atividde de pesquis

11 Pesquise sobre históri do úmero e e elbore um teto.