SISTEMAS LINEARES. Sendo x e y, respectivamente, o número de pontos que cada jogador marcou, temos uma equação com duas incógnitas:

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1 SISTEMAS LINEARES Do grego system ( Sy sigific juto e st, permecer, sistem, em mtemátic,é o cojuto de equções que devem ser resolvids juts,ou sej, os resultdos devem stisfzêlos simultemete. Já há muito tempo cohecemos (e resolvemos) sistems lieres. Agor estederemos osso cohecimeto umetdo o úmero de equções e de icógits,que ão ecessrimete será o mesmo.bst que hj mis do que um vriável pr que um problem sej represetdo por um sistem de equções. INTRODUÇÃO Vejmos os seguites problems: ) Em um prtid de bsquete, dois jogdores mrcrm jutos 4 potos. Qutos potos mrcou cd um? Sedo e y, respectivmete, o úmero de potos que cd jogdor mrcou, temos um equção com dus icógits:. Ness equção: Se y 4 y 4 y, etão y costituem um solução d equção, que idicmos por, Logo, e Se 0, etão 0 y 4 y Logo, 0 e. 0. y costituem outr solução d equção, que idicmos por, N verdde, ess equção dmite váris soluções: pode ssumir um vlor qulquer turl de 0 4, e será igul à difereç etre 4 e o vlor tribuído. y Verificmos ssim que os ddos do problem ão são suficietes pr determir o úmero de potos mrcdos por jogdor. ) Um terreo de 8000 m deve ser dividido em dois lotes. O lote mior deverá ter 000 m mis do que o lote meor. Clcule áre que cd um deverá ter. Sedo e y, respectivmete, s áres destids o lote mior e o lote meor do terreo temos um sistem de dus equções com dus icógits: y 8000 y 000 Resolvedo esse sistem por qulquer método, obtemos 4500, y 500 que é úic solução do sistem do sistem e que idicmos por 4500,500. Logo, o mior lote terá um áre de 4500 m e o meor terá um áre de 500 m. Esses dois problems mostrm que seus ddos podem resultr em mis de um solução e em um úic solução. Veremos tmbém que há csos em que ão há ehum solução. O estudo dos sistems lieres é de fudmetl importci em Mtemátic e s ciêcis em gerl. Você provvelmete já resolveu sistems do primeiro gru, mis precismete queles com dus equções e dus icógits. Vmos plicr esse cohecimeto desevolvedo metodos que permitm resolver, qudo possivel, sistems de equções do primeiro gru com qulquer úmero de equções e icógits.

2 Esses métodos os permitirão ão só resolver sistems, ms tmbém clssificá-los quto o úmero de soluções. EQUAÇÕES LINEARES DEFINIÇÕES: A equção 5 ode Lier dus icógits., são icógits é um eemplo de equção Note que os epoetes ds icógits são iguis um. A equção 0 é lier, três icógits. Num equção lier ão precem termos d form ou os epoetes ds icógits são iguis um, e em cd termo d equção prece o máimo um icógit, um equção como: 4 0 ão é lier. De um modo gerl, um equção d form: b,,,,, são icógits e,,, qul e b são úmeros cohecidos, deomi se equção lier icógits. Os úmeros,,,, deomim se coeficietes d equção e b é o termo costte. SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR Sej equção lier: 6 (I),, Se em (I) fizermos substituição A seteç : ( ) 6 é verddeir. Etão, diremos que o cojuto de vlores:,, é um solução d equção lier. O cojuto de vlores,, ão é solução d equção (I) pois seteç. 6 é fls. De modo gerl, o cojuto de vlores:,,,,. É um solução d equção lier. b é se seteç b verddeir. Se ão houver dúvids quto à posição d icógit equção, ess solução pode ser represetd por:,,,,. SITUAÇÕES PARTICULARES Sej equção lier icógits: b

3 º) Se b 0 equção escreve-se Etão, qulquer cojuto de vlores,,, d equção. e º) Se 0 cojuto de vlores,,,, b 0, é solução equção ão dmite soluções, pois pr qulquer 0 seteç: b é fls. - SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES sistem: m m É um cojuto de equções lieres s icógits,,,,.assim, o S b b m m m m b m é lier. Os úmeros ij e b i, i m e j são cohecidos. Lembrdo defiição de produtos de mtrizes, otemos que o sistem lier S pode ser escrito form mtricil. b b. b b OBSERVAÇÕES: - É comum substituir-se deomição sistem de equções lieres, simplesmete por sistem lier. - Resolver um sistem lier é determir tods s sus soluções. Eemplo: O sistem lier: S y 4 y Pode ser escrito form mtricil: 4. y

4 4 - SISTEMAS LINEARES HOMOGÊNEOS E NÃO HOMOGENEOS Se um sistem de equções lieres os termos costtes ds equções ão são todos ulos, ele é chmdo ão homogêeo. Por eemplo, o sistem: ão homogêeo CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES os termos costtes ão são todos ulos, é lier Iremos discutir gor, quis são s possibiliddes de soluções pr um sistem lier. No sistem lier, com dus equções, s equções represetm rets o Plo Crtesio, etão teremos s seguites possibiliddes, pr iterseção ds rets. RETAS PARALELAS E DISTINTAS y Neste cso, dizemos que o sistem ão tem solução ou simplesmete, sistem Impossível. RETAS PARALELAS E IGUAIS y Neste cso, dizemos que o sistem tem solução e o úmero de soluções é ifiito ou simplesmete, sistem possível e idetermido.

5 RETAS NÃO PARALELAS (OU CONCORRENTES) y Neste cso, dizemos que o sistem tem solução e solução é úic ou simplesmete, sistem possível e determido. Observe que s possibiliddes e são sistems com soluções e possibilidde ão tem solução. 6 CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR Sej (S) um sistem lier. Segudo o úmero de soluções podemos clssificr como segue: (S) cosistete se possui pelo meos um solução (S) icosistete se ão possui soluções. Se (S) é cosistete e dmite um e um só solução ele é determido; Se (S) é icosistete e dmite mis do que um solução ele é idetermido. SISTEMAS (S) CONSISTENTE: DETERMINADO: Solução úic INDETERMINADO: Mis do que um solução. INCONSISTENTE: Não há solução.(impossível) CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR X Já vimos que os sistems podem ser clssificdos de cordo com su solução d seguite meir: Em um sistem lier, é simples fzer ess clssificção pes observdo sus equções. Vejmos lgums codições: Se há proporciolidde etre os coeficietes ds mesms icógits e ess proporciolidde se mtém os termos idepedetes o sistem é possível e idetermido (SPI), equções ssim são chmds equivletes.

6 Se há proporciolidde etre os coeficietes dos mesmos icógits e ess proporciolidde ão se mtém os termos idepedetes, o sistem é impossível (SI) 7 TEOREMA DE CRAMER Cosideremos um sistem lier em que o úmero de equções é igul o úmero de icógits (isto é m = ).Nests codições, A é mtriz qudrd; Sej D = det (A). Propriedde: Um sistem de Crmer é cosistete e determido. Teorem: Sej S um sistem lier com úmero de equções igul o úmero de icógits. Se,,,, D 0, etão o sistem será possível e terá solução úic D i i, em que, i,,, D D i tl que é o determite d mtriz obtid de A, substituido-se i-ésim colu pel colu dos termos idepedetes d equção do sistem. Eemplo: O sistem 4 S é de Crmer. O úmero de equções é igul o úmero de icógits: três; e, lém disso, o determite d mtriz icomplet. det A.É diferete de zero. No qul: det A det A 4 4 det A det A 4 6 det A det A 4 8 4

7 A úic solução do sistem é (,,4). 8 RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES: O ESCALONAMENTO Defiição: Sej (S) um sistem de equções lieres. Diz-se que (S) é um sistem esclodo, ou id, que está form esclod qudo: Em cd equção eiste pelo meos um coeficiete ão ulo. O úmero de coeficietes ulos, tes do primeiro coeficiete ão ulo, cresce d esquerd pr direit, de equção pr equção. Eemplo: São esclodos os sistems: y z z 6 S y z 4 S y z t 4 z t 5 9 RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA NA FORMA ESCALONADA Há dois tipos de sistems esclodos cosiderr: º Número de equções igul o úmero de icógits Sej o sistem esclodo y z 5 y z z 6 Prtido d últim equção, obtemos z.substituido esse vlor equção terior obtemos y.por fim, substituido y e z º equção, obtemos. Dess form: (III) z 6 z (II) y. y (I). 5 Assim, solução do sistem é (-,,-).Esse tipo de sistem preset sempre um úic solução.temos, etão, um sistem possível e determido (SPD). º Número de equções meor que o úmero de vriáveis Sej o sistem esclodo y z 5 y z ) Devemos idetificr vriável que ão prece o iício de ehum ds equções, chmd vriável livre.a úic vriável livre desse sistem é z. b) Trspomos vriável livre z pr o º membro em cd equção e obtemos y 5 z y z * c) Se tribuirmos um vlor pr z, obteremos um sistem do º tipo;portto, determido.resolvedo-se, ecotrremos um solução do sistem.se tribuirmos outro

8 vlor pr z, obteremos outro sistem, tmbém determido, que resolvido, forecerá outr solução do sistem.e ssim por dite. Como podemos tribuir qulquer vlor rel z, cocluímos que o sistem ddo tem ifiits soluções. Fçmos, etão, ( é um úmero rel qulquer) e em (*) teremos y 5 y II I d) Substituímos (II) em (I): z e) Por fim, s soluções do sistem podem ser represetds pels tripls ordeds do tipo 6,,, em que Esse tipo de sistem preset sempre ifiits soluções, sedo, etão um sistem possível e idetermido (SPI). Eemplo: Vmos resolver o sistem y z t z t 0 As vriáveis livres do sistem são y e t. Trpodo-s pr o º membro vem: z y t z t y temos um sistem do º tipo:.fzedo ;t, I z z II. Assim:,,,,, S.. De (II) vem: 0 SISTEMAS EQUIVALENTES E ESCALONAMENTO z.em (I) temos: DEFINIÇÃO: Dois sistems lieres, S,S, são equivletes qudo tod solução de S é solução de S, e vice-vers. Os sistems pes o pr y y 5, 4 4 S e como solução. y 5 y 4 S Poe eemplo, são equivletes e dmitem Ddo um sistem lier qulquer, osso objetivo é trsformá-lo em outro equivlete, porém form esclod.procederemos dess meir, pois, como vimos, é fácil resolver um

9 sistem form esclod.pr isso, vmos utilizr dois teorems, (omitiremos s demostrções) que os permitirão costruir sistems equivletes. ESCALONAMENTO DE UM SISTEMA Pr esclor um sistem lier qulquer, vmos seguir o roteiro bio, bsedo os teorems teriores: º psso: Escolhemos pr º equção quel em que o coeficiete d º icógit sej ão ulo.se possível, fzemos escolh fim de que esse coeficiete sej igul ou, pois os cálculos ficm, em gerl, mis simples. º psso: Aulmos o coeficiete d º icógit ds demis equções, usdo os teorems e. º psso: Desprezmos º equção e plicmos os dois primeiros pssos com s equções resttes. 4º psso: Desprezmos º e º equções e plicmos os dois primeiros pssos s equções resttes, té o sistem ficr esclodo. Eemplo: Vmos esclor e depois resolver o sistem: y z 9 y z 6 y z OBSERVAÇÕES: i) Qudo, durte o esclometo, ecotrmos dus equções com coeficietes ordedmete iguis ou proporciois, podemos retirr um dels do sistem. ii) Qudo, durte o esclometo, ecotrmos dus equções icomptíveis etre si ou um seteç fls, já podemos cocluir que se trt de um sistem impossível. DISCUSSÃO DE UM SISTEMA Cosideremos o sistem by e c dy f, cuj form esclod é: by e d bc. y f ce sistem. em que b D é o determite d mtriz icomplet do c d Já vimos que se D 0, o sistem é possível e determido e solução pode ser obtid trvés d regr de Crmer. Se D 0, o º membro de (*) se ul. Depededo do ulmeto, ou ão, do º membro de (*), temos: D 0 SPD D 0 SPD; SI Esse resultdo é válido pr qulquer sistem lier de equções e icógits,.

10 De modo gerl, discutir um sistem lier em fução de um ou mis prâmetros sigific dizer pr quis vlores do(s) prâmetro(s) temos SPD,SPI ou SI.Discutiremos qui pes sistems com úmero de equções igul o úmero de icógits. Eemplo: Vmos discutir em fução de m, o sistem y my