Recordando produtos notáveis

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1 Recordndo produtos notáveis A UUL AL A Desde ul 3 estmos usndo letrs pr representr números desconhecidos. Hoje você sbe, por exemplo, que solução d equção 2x + 3 = 19 é x = 8, ou sej, o número 8 é o único vlor que, colocdo no lugr de x, torn iguldde verddeir. Vmos gor mplir o uso ds letrs. Pssremos empregr s letrs, b, c etc. pr representr números quisquer. Assim, + b represent som de dois números quisquer, b represent o produto de dois números quisquer, e ssim por dinte. A iguldde = é corret? É clro que sim. Ms o fto de que ordem ds prcels não lter som não vle somente pr os números 2 e 5. Isso vle pr números quisquer. É propriedde comuttiv d dição e escreve-se ssim: + b = b + Temos í um exemplo de um identidde. Em mtemátic, um identidde é um iguldde que permnece verddeir quisquer que sejm os vlores que sejm tribuídos às letrs. Nest ul, vmos rever lgums proprieddes d ul 1 (gor usndo letrs) e tmbém vmos conhecer lgums identiddes muito fmoss d mtemátic. Introdução Comutr quer dizer trocr. Um propriedde se chm comuttiv qundo permite que dois números quisquer troquem de posição. Pr ilustrr s proprieddes que veremos é preciso recordr como se clcul áre de um retângulo. A áre de um figur é medid de su superfice. No cso do retângulo, áre é o produto de sus dus dimensões. Então, chmndo de A áre de um retângulo de dimensões e b, temos: Noss ul Retângulo Áre b A = b

2 A U L A Observe que b represent o produto de dois números quisquer. Entretnto, qundo s letrs forem substituíds por números, é preciso colocr um ponto (ou sinl de ) entre eles pr evitr confusões. Assim, se s medids de certo retângulo forem = 5 e b = 2, 2 su áre será: A = b = 5 2 = 10 É clro que se s medids e b forem iguis, o retângulo trnsform-se num qudrdo, ms form de clculr su áre continu igul. Qudrdo Áre A = = ² O simbolo ² lê-se o qudrdo e signific o produto de um número por ele mesmo. Por exemplo: 4² = 4 4 = 16. Por enqunto, necessitmos pens disso. O conceito de áre, s uniddes e s fórmuls que clculm s áres ds diverss figurs serão vists n ul 15. A multiplicção e propriedde distributiv A figur seguir mostr dois retângulos coldos. Ambos têm bse e s lturs são b e c. b c O retângulo totl tem bse e ltur b + c. Então su áre é (b + c). Por outro ldo, áre do retângulo de bixo é b e áre do de cim é c. Somndo esss dus áres temos áre totl. Logo: (b + c) = b + c Est é propriedde distributiv d multiplicção. El tem esse nome por que letr foi distribuíd pels outrs que estvm dentro do prênteses. Vmos gor clculr lgo ligeirmente mis complicdo.

3 EXEMPLO 1 Desenvolver ( + b)(c + d). Vmos dr um sugestão pr que você tente fzer ess cont sozinho ntes de ver respost: represente + b com um nov letr e use propriedde que cbmos de ver. Representremos som + b pel letr m. A U L A ( + b)(c + d) = m (c + d) { m = mc + md Agor, substituímos letr m pel som + b: ( + b)(c + d) = mc + md = ( + b)c + ( + b)d = c + bc + d + bd Concluímos, então, que: ( + b)(c + d) = c + d + bc + bd Observe figur seguir pr visulizr o que foi demonstrdo. O ldo esquerdo de noss iguldde represent áre de um retângulo cujs medids são + b e c + d. Repre que este retângulo é som de qutro retângulos menores cujs áres são s qutro prcels que precem no ldo direito d iguldde. d bd d c + d c bc c + b b O qudrdo de um som e de um diferenç O exemplo que cbmos de ver é bse pr demonstrção de um ds mis úteis identiddes d mtemátic: ( + b)² = ² + 2b + b² (fórmul 1)

4 A U L A Ess fórmul quer dizer que o qudrdo de um som de dois números é igul o qudrdo do primeiro, mis dus vezes o produto do primeiro pelo segundo, mis o qudrdo do segundo. Vej demonstrção. ( + b)² = ( + b)( + b) = + b + b + bb = ² + b + b + b² = ² + 2b + b² A interpretção desse resultdo utilizndo s áres dos retângulos poder ser vist n figur seguir. ² b b b² b A outr identidde, irmã d que cbmos de ver é seguinte : ( - b)² = ² - 2b + b² (fórmul 2) El nos diz que o qudrdo de um diferenç de dois números é igul o qudrdo do primeiro, menos dus vezes o produto do primeiro pelo segundo, mis o qudrdo do segundo. Um ds forms de demonstrr esse resultdo é escrever - b como + (-b) e plicr o qudrdo d som. Vej: (-b)² = ( + - (b))² = = ² + 2(- b) + (- b)² = ² - 2b + b² EXEMPLO 2 Clcule 29². Or, se temos um máquin de clculr, não tem grç. Se não, é clro que sbemos clculr com lápis e ppel. Fç cont. Vmos dr o resultdo de mneir bem rápid e simples. Escrevemos 29 como 30-1 e usmos fórmul 2. Vej: 29² = (30-1)² = 30² ² = = 841

5 A diferenç de qudrdos A terceir identidde que vmos prender é seguinte: ² - b² = ( + b)( - b) A U L A (fórmul 3) El nos diz que diferenç entre os qudrdos de dois números é igul o produto d som pel diferenç desses números. Pr demonstrr isso, bst desenvolver o ldo direito d iguldde. Vej: ( + b)( - b) = + b - b - bb = ² - b² Est identidde nos será útil em diversos momentos do nosso curso. Por or, vej como el pode simplificr certos cálculos. EXEMPLO 3 Em um lotemento, cd qudr de terreno é um qudrdo com 61 metros de ldo. O utor do projeto resolveu então umentr lrgur d clçd e, com isso, cd qudr pssou ser um qudrdo de 59 metros de ldo. Que áre os terrenos perderm? Pense um pouco ntes de ver solução. Um form simples de responder est questão é clculr áre ntig, áre nov e depois subtrir. Inicilmente áre d qudr er 61². Depois áre d qudr pssou ser 59². Então áre perdid foi 61² - 59² É clro que sbemos fzer ests conts. Ms, vej como fic simples o cálculo se utilizmos fórmul 3. 61² - 59² = ( )(61-59) = = 240 Os terrenos perderm, então, 240 metros qudrdos. Exercício 1 Desenvolv: ) x ( + b - c) b) (x + )(x + b) Exercícios Exercício 2 Resolv equção: 2(x-5) + 3(x + 1) = 23

6 A U L A Exercício 3 Desenvolv: (x + 3)² Exercício 4 Desenvolv: (x - 1)² Exercício 5 Resolv equção: (x - 3)² = x² - 33 Exercício 6 Clcule: 173² - 172² Exercício 7 Simplifique expressão: ( + 2)( - 2) - ( - 3)² Exercício 8 Resolv equção: (x - 5)(x + 5) = (x - 1)² Exercício 9 Clcule: ) 82² usndo fórmul 1 b) 99² usndo fórmul 2 c) usndo fórmul 3