Material Teórico - Módulo Triângulo Retângulo, Leis dos Cossenos e dos Senos, Poĺıgonos Regulares. Lei dos Senos e Lei dos Cossenos - Parte 2

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1 Mteril Teórico - Módulo Triângulo Retângulo, Leis dos ossenos e dos Senos, Poĺıgonos Regulres Lei dos Senos e Lei dos ossenos - Prte Nono no utor: Prof. Ulisses Lim Prente Revisor: Prof. ntonio minh M. Neto de junho de 018

2 1 Lei dos Senos O objetivo desse mteril é demonstrr e exibir lgums plicções do teorem, que é conhecido como Lei dos Senos. ntes, contudo, ssim como fizemos n primeir prte pr o cosseno, precismos estender definição de seno ângulos retos e obtusos. Pr fzê-lo, note que se α é um ângulo obtuso, então: 90 o < α < 180 o 180 o < α < 90 o 0 o < 180 o α < 90 o, ou sej, 180 o α é um ângulo gudo. ssim, pr 90 o < α < 180 o, definimos o seno de α pondo senα = sen(180 o α). Definimos, ind, sen90 o = 0. Exemplo 1. Grçs à definição cim, temos que sen10 = sen( ) = sen60 =. s rzões d extensão d definição de seno dd cim ficrão clrs qundo, nos módulos do primeiro no do Ensino Médio, começrmos estudr os conceitos de seno e o cosseno em situções mis geris, i.e., no âmbito d Trigonometri. Proenuncido d Lei dos Senos, recorde que o círculo circunscrito um triângulo é o único círculo que pss por seus vértices. Teorem. Sej um triângulo cujos ldos, e medem, respectivmente, c, b e. Se R denot medid do rio do círculo circunscrito, então: senâ = b sen = c = R. (1) senĉ Prov. Trtremos pens o cso em que o triângulo é cutângulo, pois os outros csos podem ser feitos de modo inteirmente nálogo. Sejm λ o círculo circunscrito e O o seu centro. onsidere o ponto sobre λ, tl que é um diâmetro (vej figur seguir). Note que e, pois cso contrário seri retângulo, já que um de seus ldos seri um diâmetro de λ. ssim, temos que é retângulo em e, desse modo: senâ = R = = R. senâ gor, vej que  = Â, pois, sendo ângulos inscritos em λ subentendendo o mesmo rco, temos  = 1 Ô = Â. Portnto, obtemos: O λ senâ = = R. senâ rgumentos nálogos o executdo cim pr o vértice, dest feit com o vértice ou o vértice, fornecem s outrs dus igulddes do enuncido. Por exemplo, considerndo o ponto sobre λ tl que o segmento é um diâmetro, obtemos o triângulo, retângulo em e tl que = (vej figur bixo). Então, e, dí, O b sen = b R = b sen = R b sen = b sen = R. D mesm form, tomndo o ponto sobre λ tl que é um diâmetro e repetindo os rgumentos nteriores (desenhe um figur pr esse cso e repsse os rgumentos correspondentes), chegmos à iguldde c senĉ = R. ntes de exminrmos lgums consequêncis importntes d Lei dos Senos, vejmos, em dois exemplos, como tl resultdo pode ser plicdo. λ 1 mtemtic@obmep.org.br

3 Exemplo. No triângulo d figur bixo, temos que ÂD = D = 0 o, D = 45 o e = + cm. lcule medid do segmento D. 0 o D 0 o 45o Solução. Observe inicilmente que, como som dos ângulos de todo triângulo é 180, temos e, dí, D = 180 o 0 o = 10 o D = 180 o D = 160 o 10 o = 60 o. ssim, plicndo Lei dos senos o triângulo D, juntmente com o resultdo do Exemplo 1, obtemos: D sen0 o = sen10 o = D 1 = + = D = + = D = + = D = ( 1+ ) = D = 1+. Note, gor, que o triângulo é isósceles, pois = 0 o +45 o = 75 o e (utilizndo novmente som dos ângulos igul 180 ) Ĉ = 180o (0 o +75 o ) = 180 o 105 o = 75 o. Portndo, fzendo D = x utilizndo o fto que isósceles implic =, obtemos: = = x+1+ = + = x = cm. Exemplo 4. N figur bixo, é um triângulo retângulo em, com ctetos = 6 cm e = 8 cm. Se D é um ponto sobre o cteto tl que ÂD = 0o e ÂD = α, qunto vle senα? α 0 o 6 cm D 8 cm Solução. omo n solução do exemplo nterior, clculmos e D = 180 o (0 o +90 o ) = 180 o 10 o = 60 o D = 180 o 60 o = 10 o. gor, o Teorem de Pitágors fornece = 6 +8 = = 100 = = 10. lém disso, olhndo pr o triângulo D, obtemos: D 6 = tg0o = = D = 6 =. Dí, segue que D = D = 8. Finlmente, plicndo Lei dos Senos o triângulo D e utilizndo novmente o resultdo do Exemplo 1, obtemos: D senα = 8 = sen D senα = 10 sen10 o = 8 senα = 10 = senα = = senα = segund prte do resultdo seguir trz um primeir plicção d Lei dos Senos o cálculo d áre de um triângulo. s igulddes em () são conhecids como s fórmuls do seno pr áre (de um triângulo). orolário 5. Sej um triângulo cujos ldos, e medem, respectivmente, c, b e. Se () denot áre de, então () = bcsenâ csen = = bsenĉ. () Se R denot o rio do círculo circunscrito, temos tmbém que () = bc 4R. () mtemtic@obmep.org.br

4 Prov. Pr primeir prte (isto é, pr s fórmuls ()), é suficiente estbelecermos primeir dels, um vez que s outrs dus podem ser obtids de modo nálogo. Primeirmente, se é retângulo em, podemos ver como bse e como ltur de (ou vice-vers), de sorte que () = bc. Recordndo que sen 90 = 1, obtemos () = bc = bcsenâ. Suponh, gor, que é cutângulo (vej figur bixo). Sendo H o pé d ltur reltiv o ldo e h = H, temos: Então, senâ = h c H h b c = h = csenâ. () = bh = bcsenâ. O cso em que é obtusângulo é inteirmente nálogo e, por isso, será deixdo o leitor. Pr (), observe que Lei dos Senos dá: senâ = R. Substituindo tl expressão n primeir iguldde em (), obtemos () = bc R = bc 4R. Os dois exemplos seguintes plicm s fórmuls do corolário nterior. Exemplo 6. lcule áre de um triângulo, sbendo que = = 10 cm e = 75 o. 75 o 75 o Solução. Inicimos clculndo Â, observndo que = implic = Ĉ = 75o : Â = 180 o (75 o +75 o ) = 180 o 150 o = 0 o. gor, plicmos fórmul do seno pr áre, obtendo: sen0o () = = = = 5 cm. O próximo exemplo é não trivil, e pode ser omitido num primeir leitur. Exemplo 7. Um triângulo é tl que = b e = c. Sbendo que su áre é igul b +c 4, clcule s medids de seus ângulos internos. Solução. Pondo = e plicndo fórmul do seno pr áre, obtemos: b +c = bcsenâ = senâ 4 = b +c. bc gor, um pouco de Álgebr elementr fornece b +c = b +c bc+bc bc bc = b +c bc + bc bc bc = (b c) bc lém disso, os pssos cim deixm clro que b +c = 1 (b c) = 0 b = c. bc bc Juntndo s dus informções cim, concluímos que senâ = b +c bc 1. (4) mtemtic@obmep.org.br

5 Ms, como senâ 1 por definição, segue que devemos ter senâ = 1, de modo que  = 90. Por outro ldo, sendo senâ = 1, s relções em (4) forçm termos b +c = 1, bc de mneir que b = c. Então, é retângulo em e isósceles de bse, de sorte que = Ĉ = 180o 90 o = 90o = 45o. Terminmos este mteril presentndo um outr fórmul útil pr o cálculo d áre de um triângulo qulquer, conhecid como fórmul de Herão. Tl fórmul express áre em função pens ds medids dos ldos do triângulo. orolário 8. Se é um triângulo de ldos, b, c e semiperímetro p, então () = p(p )(p b)(p c). Prov. Primeirmente, utilizndo o orolário 5 e relção sen  = 1 cos Â, obtemos: () = bcsenâ () = bcsenâ 4[()] = b c sen  4[()] = b c ( 1 cos  ). gor, plicndo Lei dos ossenos, temos = b +c bc cosâ = cosâ = b +c. bc Substituindo tl expressão pr cosâ no segundo membro d iguldde 4[()] b c = 1 cos  e plicndo s fórmuls pr o qudrdo d som de dois termos e pr diferenç de dois qudrdos, obtemos sucessivmente: 4[()] b c ) ( b +c = 1 bc = (1+ b +c )(1 b +c ) bc bc ( bc+b +c )( bc b c + ) = [ bc bc (b+c) ][ (b c) ] = 4b c = (b+c+)(b+c )(+b c)( b+c) 4b c. Recordndo que p = + b + c, temos b + c = p = (p ) e, nlogmente, +b c = (p c), b+c = (p b). Então, 4[()] b c = p (p ) (p c) (p b) 4b c = 16p(p (p b)(p c) 4b c = 4p(p )(p b)(p c) b c. Porfim, cncelndo 4 b c emmbososmembrosdiguldde ficmos com 4[()] b c = 4p(p )(p b)(p c) b c, [()] = p(p )(p b)(p c), e fórmul de Herão segue pós extrirmos rízes qudrds em mbos os membros dess últim iguldde. Exemplo 9. lcule áre do triângulo escleno cujos ldos medem 1 cm, 14 cm e 15 cm. Solução. Vmos usr fórmul de Herão, pr o que começmos clculndo o semiperímetro p do triângulo: gor, temos p = = 4 = 1. () = 1(1 1)(1 14)(1 15) = = 4 7 = 7 = 84. Dics pr o Professor Recomendmos que sejm utilizds pelo menos dus sessões de 50min pr expor o conteúdo deste mteril. Explique o cso em que o triângulo é obtusângulo tnto no Teorem qunto no orolário 5, pois, embor os rgumentos sejm nálogos, é importnte que os lunos compreendm o porquê dess nlogi. Recomendmos tmbém que, o expor os exemplos, sejm sempre ressltdos os momentos nos quis o Teorem ou os orolários 5 e 8 estão sendo utilizdos. s referêncis seguir contêm mis exemplos e problems de vridos grus de dificuldde, envolvendo Lei dos Senos. 4 mtemtic@obmep.org.br

6 Sugestões de Leitur omplementr 1.. minh. Tópicos de Mtemátic Elementr, Volume : Geometri Euclidin Pln. Rio de Jneiro, Editor S..M., 01.. G. Iezzi. Fundmentos de Mtemátic Elementr, Volume : Trigonometri. São pulo, Editor tul, mtemtic@obmep.org.br