Adriano Pedreira Cattai

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1 Adrino Pedreir Ctti Universidde Federl d Bhi UFBA, MAT A01, 006 Superfícies de Revolução 1 Introdução Podemos oter superfícies não somente por meio de um equção do tipo F(,, ), eistem muitos procedimentos pr otenção de um superfície, como vimos: () () (c) (Superfície Cônic) movendo-se um linh ret (gertri) por um curv pssndo por um ponto fio não pertencente el (Superfície Cilíndric) movendo-se um linh ret (gertri) por um curv fid (diretri) sempre prlelmente um outr linh ret fi (Superfície de Revolução) fendo um giro de 360 de um curv (gertri) em torno de um linh ret fid (eio de revolução) Conforme s figurs seguir Gertri Gertri Superfície Cônic Superfície Cilíndric Superfície de Revolução No entnto, podemos prtir destes procedimentos oter um equção so form F(,,)=0, como refere o segundo prolem fundmentl d Geometri Anlític É o que fremos prtir de gor, ms somente pr o item (iii) Esse enfoque nlítico prtir do enfoque geométrico é fundmentl n interpretção de muitos prolems mtemáticos, como ns disciplins Cálculo II e Cálculo IV Superfície de Revolução Definição (Superfície de Revolução): Um superfície gerd pel rotção de um curv pln (gertri) em torno de um linh ret fi dd (eio de revolução) é chmd de Superfície de Revolução Págin 1

2 Qulquer posição d gertri é chmd seção meridin e cd circunferênci descrit por um ponto sore gertri é denomind prlelo d superfície Dests definições temos de imedito os seguintes ftos: () Cd seção meridin é congruente com gertri e é intersecção d superfície com um plno que pss pelo eio () Cd prlelo tem seu centro sore o eio e se encontr sore um plno perpendiculr o eio Um eemplo já visto no estudo de Geogrfi é o d superfície terrestre que é considerd, proimdmente, um superfície esféric, e ssim, pode ser otid o girrmos um semicírculo em torno do seu diâmetro N determinção d equção de um superfície de revolução não há perd de generlidde em tomr gertri num plno coordendo e o eio de rotção com um eio coordendo fido, nquele plno Esse processo, lém disso, lev um resultdo muito simples, como veremos Antes, vejmos o conceito de um curv pln e curv no espço O conjunto C 1 de pontos no, cujs coordends stisfem um equção d form { } F(, ) é denomindo curv pln, ou sej, C ( ) F( ) O conjunto C de pontos no 1 =, ;, 3, cujs coordends stisfem, simultnemente, s dus equções retngulres independentes é denomind Curv no Espço, isto é, pln { 3 } C =,, ; F,, eg,, Às vees, denotremos ess curv C d seguinte mneir: C F,, : G,, Se eistir um plno que contiver totlmente est curv, el tmém é considerd como curv Sej S um superfície otid o girrmos um curv G (gertri) em torno d ret r:,, =,, + t,, c, t R Se considerrmos G como sendo um curv contid num dos plnos coordendos e r um dos eios coordendos contido no mesmo plno que contém curv, ssim teremos 6 csos nlisr: Vmos o 1º cso Págin

3 3 Cso 1: Sejm P { } G1 =,, ; F, e = 0 gertri d superfície de revolução S 1 contid no plno-, 1 P=,, S um ponto qulquer e O o eio de rotção Sej Q G1 o ponto que o prlelo pssndo por P intercept 1 Q, 1, 1 O centro deste prlelo é C = ( 0,0, ) Como P e Q estão num mesm circunferênci temos d( P, O) = d( Q, O), ou sej, C Q , G, ou sej, e 1 = (I), temos então Como Q G1, então 1 = ± + (II) F 1, 1 (III) 1 Usndo (I), (II) e (III) temos S F( ) 1: ± +, 1 1 Eemplo 1: Determine equção d superfície de revolução gerd rotção d práol = em torno do eio- Solução: Como vimos no desenvolvimento cim, temos F(, ) e logo fremos à mudnç de vriável ficndo com F ± +,, ou sej, sustituiremos por portnto equção d superfície será = ± + = + = + ± + em = e, {,, 3 ;, 0 0 } G = F = e = gertri d superfície de revolução S Cso : Sejm contid no plno-, (,, ) P = S um ponto qulquer e O o eio de rotção De mneir nálog, sej Q G o ponto que o prlelo pssndo por P intercept G, ou sej, = ( 0,, ) O centro deste prlelo é C ( ) Q,,0 Como P e Q estão num mesm circunferênci temos d P, O = d Q, O, ou sej, P Q O ( 0) ( ) ( 0) ( 0 0) ( ) ( 0) e + + = + +, = (IV), temos então = ± + (V) Como Q G ( ) F, (VI) então Págin 3

4 Usndo (IV), (V) e (VI) temos S F( ) 1:, ± + Eemplo : Encontre equção d superfície de revolução gerd rotção d práol = em torno do eio- Solução: novmente seguiremos como o desenvolvimento cim Temos F(, ) e logo fremos à mudnç de vriável ficndo com F, ± +, ou sej, sustituiremos por ± + em = e, portnto equção d superfície será = ± + = + Resultdos nálogos são otidos qundo gertri se encontr em cd um dos outros plnos coordendos e é gird em torno de um eio coordendo no referido plno Esses resultdos podem ser sintetidos no seguinte Teorem: Sej S superfície de revolução tendo à gertri G situd no plno coordendo π e o eio coordendo E em π como seu eio de revolução Então equção de S é otid sustituindo-se n equção d curv de G, ri qudrd dos qudrdos ds dus vriáveis não medids o longo de E em ve dquel ds dus vriáveis que precem n equção pr G A prov desse teorem, deimos como eercício Visto que um terço dess, já está feit nos csos um e dois, restndo somente formlir os outros qutro csos de mneir totlmente nálog os dois nteriores N seguinte tel, resumimos todos os seis csos: Plnos ds gertries O O O G F, F, F, ER O O O O O O Sus ± + ± + ± + ± + ± + ± + Págin 4

5 Eemplo 3: Determine equção que represent superfície gerd pel rotção d curv ( ) ( ) + + = G : = 0 em torno d ret = 0 r : 1 Solução: Note que gertri não está contid em lgum plno coordendo e que o eio de revolução não é lgum eio coordendo, ssim não podemos plicr o teorem Pr resolver esse prolem, fremos um mudnç de vriável d seguinte form: 1 = ', = ' e + = ', sustituindo ficmos com 9 ( ' ) + ( ' ) = 9 G ': ' e ' r ': ', onde ess últim represent o eio O, e í stisfem s hipóteses do teorem logo o longo do eio O não são medids s vriáveis e e portnto 9 ± ' + ' + ( ' ) = 9 concluímos que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ') ' + ' + = 1 Como 1 = ', = ' e + = ', 9 ( + ) = 1 á equção procurd 9 3 Aplicções Utiliremos esse recurso pr oter equções F(,, ) prtir de equções so form G (, ), H(, ) ou I(, ) de equções conhecids, s cônics Eemplo 4: (Elipsóide de revolução) A superfície gerd pel rotção de um elipse em torno de um de seus eios chm-se Elipsóide de revolução Vmos supor que equção d elipse, no plno-, sej + = 1 ( ) e que rotção se dê em torno do eio Aplicndo o teorem, s dus vriáveis não medids o longo do eio- são e, e logo sustituiremos em ( ) por ± +, ou sej, é equção que represent ess superfície ± + + = 1 e portnto + + = 1 Eemplo 5: (Hiperolóide de revolução) A superfície gerd pel rotção de um hipérole em torno de um de seus eios chm-se Hiperolóide de revolução (i) Vmos supor que equção d hipérole, no plno-, sej 1 torno do eio = Δ e que rotção se dê em Aplicndo o teorem, s dus vriáveis não medids o longo do eio- são e, e logo sustituiremos em ( Δ ) por ± +, ou sej, Págin 5

6 ± + = 1 e portnto + = 1 é equção que represent ess superfície Nesse cso, chmmos de Hiperolóide de um folh (ii) Vmos supor que equção d hipérole, no plno-, sej gor 1 dê em torno do eio = e que rotção se Aplicndo o teorem, s dus vriáveis não medids o longo do eio- são e, e logo sustituiremos em ( ) por ± +, ou sej, ( ± + ) = 1 e, portnto = 1 é equção que represent ess superfície Nesse cso, chmmos de Hiperolóide de dus folhs Eemplo 6: (Prolóide de revolução) A superfície gerd pel rotção de um práol em torno de um de seus eios chm-se Elipsóide de revolução Vimos nos eemplos 1 e dus superfícies gerds pel rotção de práols num dos plnos coordendos Aqui ssumiremos epressão gerl de um práol num desses plnos e tendo seu eio de simetri como sendo um dos eios coordendos contido nesse plno Considere equção d práol, no plno-, = + e que rotção se dê em torno do eio Aplicndo o teorem, s dus vriáveis não medids o longo do eio- são e, e logo sustituiremos em ( ) por ± +, ou sej, e, portnto = ± + + = + + é equção que represent ess superfície Págin 6