Marcus Vinícius Dionísio da Silva (Angra dos Reis) 9ª série Grupo 1

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1 Mrcus Vinícius Dionísio d Silv (Angr dos Reis) 9ª série Grupo 1 Tutor: Emílio Ruem Btist Júnior 1. Introdução: Este plno de ul tem o ojetivo gerl de mostrr os lunos um processo geométrico pr resolução d equção do 2 Gru, tendo em vist dificuldde dos mesmos nesse ssunto. É importnte construir junto com os lunos solução d equção polinomil do 2 Gru e mostrr que geometri pode ser útil pr resolução d mesm, trvés do processo do complemento de qudrdos. 1.1 Pré-requisitos: Antes de desenvolver o plno, relemrr com os lunos lguns conteúdos como: operções com números inteiros e rcionis; riz qudrd e áre de figurs plns. 1.2 Tempo de durção: 100 minutos 2. Desenvolvimento: 2.1 Ações: (Método Al-Khowrizmi) 1 Análise do Astrto: Mostrr os lunos um qudrdo de ldo e dois retângulos de ldos e, e questionr os lunos se juntrmos s figurs, o que ficri fltndo pr completr o qudrdo. 2? 2 Análise do Concreto: Um qudrdo e dois retângulos feitos de ppel crtão.

2 3. Entendimento: A prendizgem otid pode usr questões dos livros didáticos, pois será possível o entendimento de situções complets e tmém visulizções ds mesms. Ness etp é possível já compreender que devemos crescentr um qudrdo de ldo, pr formr um qudrdo de ldo +. 2 z 2 4. Cálculos: Pel figur, vemos que: (+) 2 = Equção Polinomil do 2 Gru é tod equção escrit n form x²+x+c=0, com diferente de 0. Aplicndo interpretção geométric cim, vmos resolver equção de 2º gru com um incógnit: X 2 + 6x + 8 = 0 Considerndo expressão X 2 + 6x, temos: x 3 X 2 + 6x = X 2 + 2(3x) x x 2 3 x Áre de um retângulo cujo os ldos medem 3 e x 3 3 (3) 2 3 Áre de um qudrdo cujo o ldo mede x x 3 Pel figur, oservmos que é necessário crescentr (3) 2 à expressão dd, ou sej, 9, pr oter um qudrdo. Descoerto geometricmente o vlor que devemos crescentr expressão x 2 + 6x, voltmos equção dd: x 2 + 6x + 8 = 0 x 2 + 6x = -8 Principio ditivo x 2 + 6x + 9 = Principio de equivlênci ds equções Trinômio qudrdo perfeito

3 Ftorndo o trinômio qudrdo prefeito do primeiro memro, temos: (x + 3) 2 = 1 Dí: (x+3) = + 1 (x+3) = - 1 x + 3 = +1 x = Logo, x = - 2 ou x + 3 = -1 x = x = - 4 Logo, S = {- 4 2 } e os números 4 e 2 são s rízes d equção. Denominção: Denomin-se equção do segundo gru, tod equção do tipo x²+x+c, com coeficientes numéricos. e c com. Exemplos: Clssificção: Equção c x²+2x x-2x² Incomplets: Se um dos coeficientes ( ou c ) for nulo, temos um equção do 2º gru incomplet. 1º cso: =0 Considere equção do 2º gru incomplet: x²-9=0» x²=9» x=» x= 2º cso: c=0 Considere equção do 2º gru incomplet: x²-9x=0» Bst ftorr o ftor comum x x(x-9)=0» x=0,9 3º cso: =c=0 2x²=0» x=0

4 4.1 Resolução de equções do 2º gru: (Método de Bháskr) A resolução de equções do 2º gru incomplets já foi explicd cim, vmos gor resolver equções do 2º gru complets, ou sej, do tipo x²+x+c=0 com, e c diferentes de zero. Um equção do 2º gru pode ter té 2 rízes reis, que podem ser determinds pel fórmul de Bháskr. Como Bháskr chegou té fórmul de resolução de equções do 2º gru? Considerndo equção: x²+x+c=0, vmos determinr fórmul de Bháskr: Multiplicmos os dois memros por 4: 4²x²+4x+4c=0 4²x²+4x=-4c Sommos ² os dois memros: 4²x²+4x+²=²-4c Ftormos o ldo esquerdo e chmmos de (delt) ²-4c: (2x+)²= 2x+= Logo: 2x=- ou Fórmul de Bháskr:

5 Utilizndo fórmul de Bháskr, vmos resolver lguns exercícios: 1) 3x²-7x+2=0 =3, =-7 e c=2 Sustituindo n fórmul: = (-7)² = = 25 = e Logo, o conjunto verdde ou solução d equção é: 2) -x²+4x-4=0 =-1, =4 e c=-4 = 4² = = 0 Sustituindo n fórmul de Bháskr:» x=2 Neste cso, tivemos um equção do 2º gru com dus rízes reis e iguis. ( ) 3) 5x²-6x+5=0 =5 =-6 c=5 = (-6)² = = -64 Note que <0 e não existe riz qudrd de um número negtivo. Assim, equção não possui nenhum riz rel.

6 Logo:» vzio Proprieddes: Dus rízes reis e diferentes Dus rízes reis e iguis Nenhum riz rel 4.2 Relções entre coeficientes e rízes Vmos provr s relções descrits cim: Ddo equção x²+x+c=0, com e, sus rízes são: A som ds rízes será: e Logo, som ds rízes de um equção do 2º gru é dd por: O produto ds rízes será:

7 Logo, o produto ds rízes de um equção do 2º gru é dd por: Podemos trvés d equção x²+x+c=0, dividir por. Otendo: Sustituindo por e : Otendo Som e Produto de um equção do 2º gru: x² - Sx + P = 0 Exemplos: 1) Determine som e o produto ds seguintes equções: ) x² - 4x + 3=0 [Sol] Sendo =1, =-4 e c=3: ) 2x² - 6x -8 =0 Sendo =2, =-6 e c=-8 c) 4-x² = 0 Sendo =-1, =0 e c=4:

8 5. Atividdes: 1) Solicitr que os próprios lunos descrevm com sus plvrs o que entenderm sore ul. 2) Montgem: ) Atrvés de um qudrdo de ldo x e dois retângulos de ldos: 3 e x formr um polígono e completr um qudrdo de ldo x+3. x 3 3 ) Achr áre de cd figur. c) Ach um produto notável trvés do qudrdo otido. d) Usndo o processo de complemento de qudrdo, determinr o conjunto solução d seguinte equção do 2 Gru, no conjunto R: x²-6x+8=0 Jogo ds Equções

9 Atrvés do jogo ds Equções os lunos desenvolvem o conhecimento dquirido ns etps cim, de um form dinâmic e significtiv. 6. Avlição: Medinte os procedimentos e prticipção dos lunos ns tividdes os indicdores pr vlição poderão ser: O luno soue identificr um equção? O luno que teve mis fcilidde no jogo? Descritores vlidos: H57 resolver prolems envolvendo função do 2º gru; H62 reconhecer representção lgéric ou gráfic d função polinomil do 2º gru. 7. Referêncis Biliográfics: CASTRUCCI; GIOVANNI; JR. Giovnni. A conquist d mtemátic. São Pulo: Editor FTD, ª Série. Endereços eletrônicos cessdos entre 06/05 e 13/05:

10 Roteiros de ção e textos Números reis e rdicição Curso de Formção Continud. FUNDAÇÃO CICIERJ - 9º Ano do Ensino Fundmentl 2º imestre Disponível em 8. Recursos: Livro didático, qudro, uls expositivs, régu e compsso.