Física III Escola Politécnica GABARITO DA P2 25 de maio de 2017

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1 Físic Escol Politécnic GABARTO DA P2 25 de mio de 2017 Questão 1 Um esfer condutor de rio está no interior de um csc esféric fin condutor de rio. A esfer e csc esféric são concêntrics e o espço entre els está preenchido com um mteril de resistividde ρ constnte, conforme figur. Um corrente elétric, uniformemente distriuíd trvés do mteril entre os condutores, flui d esfer intern pr csc esféric ρ () (0,5 ponto) Determine o vetor densidde de corrente J n região entre os condutores ( < r < ). () (1,0 ponto) Clcule diferenç de potencil entre os condutores. (c) (0,5 ponto) Clcule resistênci elétric entre os condutores. (d) (0,5 ponto) Clcule resistênci entre os condutores no limite em que.

2 Solução d questão 1 () Devido à conservção d crg, corrente trvés de qulquer superfície esféric S de rio r n região entre os condutores é mesm. = J(r)4πr 2 = J(r) = 4πr 2 r S = J(r) = 4πr 2 r () O cmpo elétrico entre os condutores é otido com lei de Ohm. A diferenç de potencil é J = 1 ρ E = E = ρ J = E = ρ 4πr 2 r. V () V () = E(r)dr = ρ 4π dr r = ρ 2 4π 1 r = ρ( ) 4π O módulo V V () V () é V = ρ( ) 4π (c) A resistênci elétric entre os condutores é R = V = ρ( ) 4π. Solução lterntiv: região entre os condutores pode ser considerd como um superposição de cscs esférics de espessur dr pr s quis vle lei de Ohm. dr = ρ dr A(r) = ρ dr 4πr 2. A resistênci totl é R = ρ dr 4πr = ρ 2 4π 1 r = ρ( ) 4π. (d) No limite em que, R = ρ/4π.

3 Questão 2 Um espir qudrd de ldo, contid no plno x, é percorrid por um corrente no sentido horário, conforme figur. N região onde se encontr espir existe um cmpo mgnético B() = C k, onde C > 0 é um constnte z 1 x () (1,0 ponto) Clcule forç mgnétic sore os ldos 1 e 3 d espir. () (1,0 ponto) Clcule forç mgnétic sore os ldos 2 e 4 d espir. (c) (0,5 ponto) Clcule forç resultnte sore espir.

4 Solução d questão 2 () Sore os ldos 1 e 3 d espir B é constnte portnto F = l B. F 1 = ( î ) ( C k ) = C ĵ. C F 3 = ( î ) ( + k ) = C + ĵ. () Sore os ldos 2 e 4 d espir B é vriável. d F 2 = (d ĵ ) ( C k ) = Cd î = F 2 = C + d F 4 = ( d ĵ ) ( C k ) = Cd d ( ) + î = C ln î. ( ) î = df 2 = F + 4 = C ln î. (c) A forç totl sore espir é F = F 1 + F 3 + F 2 + F 4 = C ĵ C + ĵ = C2 ( + ) ĵ.

5 Questão 3 Um resistor circulr de rio contido no plno x e centrdo n origem é feito de dus metdes com resistêncis R 1 e R 2. O resistor está ligdo um pr de fios semi-infinitos que se estendem o longo do eixo x e que são percorridos por um corrente, conforme figur. R 1, 1 x R 2, 2 () (1,0 ponto) Clcule o vlor ds correntes 1 e 2 que trvessm respectivmente os resistores R 1 e R 2 em função de, R 1 e R 2. ndique o sentido de cd um ds correntes. () (1,5 ponto) Clcule o vetor cmpo mgnético B no centro do resistor circulr.

6 Solução d questão 3 () Cálculo ds correntes O 1 As ddps entre os extremos do resistor R 1 (semicírculo superior) e do resistor R 2 (semi-círculo inferior) são iguis = R 1 1 = R A conservção d crg fz com que = Como ddp ci o longo dos resistores, s correntes têm o sentido indicdo n figur. Usndo s dus equções cim otemos = R 1 1 R 2 2 = 0 = 1 = R 2 R 1 + R 2 2 = R 1 R 1 + R 2 () O cmpo no centro do resistor é clculdo trvés d lei de Biot-Svrt: d B = µ 0 4π d l r r 2. A contriuição dos trechos retilíneos do fio é nul porque nestes trechos d l = dx î r = î. Contriuição do resistor R 1. Neste cso, d l r = dl k = B 1 = µ 0 1 4π 2 dl k = µ 0 1 4π 2 π k = µ k. Contriuição do resistor R 2. Neste cso, d l r = dl k = B 2 = µ 0 2 4π 2 dl k = µ 0 2 4π 2 π k = µ k. Cmpo totl em O B O = µ 0( 2 1 ) 4 k = µ 0 4 ( ) R1 R 2 k. R 1 + R 2

7 Questão 4 () (1,0 ponto) Clcule o módulo do cmpo mgnético produzido por um solenóide muito longo com n espirs por unidde de comprimento, percorrido por um corrente. Despreze efeitos de ord. () Dois solenóides muito longos, coxiis, cujos eixos coincidem com o eixo z, trnsportm, cd um, um corrente porém com sentidos opostos, como mostr figur. O solenóide de rio tem n 1 espirs por unidde de comprimento e o de rio tem n 2 espirs por unidde de comprimento. Despreze efeitos de ord. z () (0,5 ponto) Determine o vetor B pr 0 < r <. () (0,5 ponto) Determine o vetor B pr < r <. (c) (0,5 ponto) Determine o vetor B pr r >.

8 Solução d questão 4 () Cmpo mgnético de um solenóide. O cmpo mgnético for do solenóide é zero. Dentro, o cmpo é uniforme, tem direção do eixo do solenóide e o sentido ddo pel regr d mão direit. Usndo lei de Ampère com o cminho C otemos B C C B d l = µ 0 int Bh = µ 0 nh B = µ 0 n. h () Cmpo mgnético dos dois solenóides. Usndo regr d mão direit e o resultdo do item () otemos o vetor cmpo mgnético no solenóide com rio : B 1 = µ 0 n 1 k pr 0 < r < e nulo pr r >. O vetor cmpo mgnético do solenóide com rio é B 2 = µ 0 n 2 k pr 0 < r < e nulo pr r >. Pelo princípio de superposição, o cmpo devido os dois solenóides é som vetoril do cmpo de cd um deles. () Vetor B pr 0 < r <. B = µ 0 n 1 k + µ 0 n 2 k = µ 0 (n 2 n 1 ) k. () Vetor B pr < r <. (c) Vetor B pr r >. B = µ 0 n 2 k. B = 0.

9 Formulário B V B V A = A E d l, E = V, dr = ρ dl A, V = R, J = σ E = 1 ρ E, B d A = 0, d F = d l B, µ = A, d B = µ 0 4π d l r r 2, B d l = µ 0 int.