Física III Escola Politécnica GABARITO DA P2 09 de maio de 2019

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1 Físic III Escol Politécnic GABARITO DA P2 09 de mio de 2019 Questão 1 Um esfer condutor de rio está no interior de um csc esféric fin condutor de rio 2. A esfer e csc esféric são concêntrics e o espço entre els está preenchido com um mteril de condutividde σ(r) = A r constnte, (A é um constnte positiv). Um corrente elétric I, uniformemente distribuíd trvés do mteril entre os condutores, flui d esfer intern pr csc esféric. O 2 () (0,5 ponto) Determine dimensão d constnte A no Sistem Interncionl de Uniddes. (b) (1,0 ponto) Clcule resistênci elétric entre os condutores. (c) (1,0 ponto) Dd um diferenç de potencil V plicd entre s dus supercícies, clcule o vetor densidde de corrente J(r) em função dos ddos do problem.

2 Solução d questão 1 () A condutividde possui dimensão de inverso de resistênci multiplicd por inverso de unidde de comprimento. Portnto, no SI, A deve ter dimensão de inverso de Ohm. (b) Utilizndo expressão pr resistênci de um cmd infinitesiml de espessur dr e áre 4πr 2, teremos dr = 1 dr σ(r) 4πr = A 4π Integrndo entre r = e r = 2, teremos dr r R = 1 2 dr 4πA r = ln(2) 4πA (c) A diferenç de potencil V produz um corrente I dd por I = V R = 4πAV ln(2). Ess corrente flui d superfície intern (mior potencil) pr extern (menor potencil). Por conservção de crg, devemos ter I = J d A, pr qulquer superfície fechd pssndo por pontos entre e 2. Usndo simetri rdil d densidde de corrente, podemos considerr um superfície esféric de rio r ( r 2) de modo que J(r) d A = J(r)ˆr 4πr 2ˆr = J(r)4πr 2 = I = 4πAV ln(2) Logo, J(r) = AV ln(2)r 2 ˆr.

3 Questão 2 A figur bixo mostr trechos de um fio condutor reto e um fit condutor de comprimentos 2c e L, respectivmente. A fit possui lrgur b e su espessur pode ser desconsiderd. Correntes I 1 e I 2 percorrem o fio e fit, respectivmente. A densidde liner de corrente n fit é uniforme ( J = I 2 /b)ˆx. y I 2 b c I 1 O c x 2c () (1,0 ponto) Usndo lei de Biot-Svrt, clcule o vetor cmpo mgnético B produzido pelo fio num ponto situdo o longo do eixo y. (b) (1,5 ponto) Considerndo que gor o fio é infinito, c, e fit é infinit o longo d direção x, clcule o vetor forç por unidde de comprimento L produzid pelo fio sobre fit.

4 Solução d questão 2 () De cordo com lei de Biot-Svrt, o elemento do fio d l = dxˆx trnsportnto um corrente I 1 produz o longo do eixo y o cmpo mgnético infinitesiml: d B = µ 0I 1 4π dxˆx (yŷ x x) (x 2 + y 2 ) 3/2. Integrndo equção cim entre c nd c, obtemos: B = µ 0 I 1 c 2πy c 2 + y 2 ẑ. (b) Tomndo c, expressão pr o cmpo do fio é dd por: B = µ 0I 1 2πy ẑ. A forç mgnétic sobre fit de lrgur dy e comprimento L é d F = (Jdy) L B = I 2 b Lµ 0I 1 2πy dy ˆx ẑ = I 2 b Lµ 0I 1 2πy dy ŷ Integrndo em y, obtemos expressão pr forç mgnétic: F L = µ 0I 1 I +b 2 dy 2πb y ŷ = µ 0I 1 I 2 log + b ŷ. 2πb

5 Questão 3 Um corrente estcionári I circul no sentido nti-horário de um espir con- y D. dutor qudrd, de ldo. A figur o ldo mostr espir em um sistem de coordends tl que o plno d espir I 1 coincide com o plno xy (z = 0). Considere o cmpo mgnético (no 2 4 mesmo sistem de coordends) [ ( B(x, y, z) = B 0 1 x ) ( î + 1 y ) ĵ + 2z ] ˆk. C. 3 x () (1,5 ponto) Clcule s forç mgnétics F i (i = 1, 2, 3, 4) que tum em cd um dos ldos d espir (como indicdos n figur). Clcule tmbém forç resultnte sobre espir. (b) (1,0 ponto) Suponh que o movimento d espir sej restrito rotções em torno de um eixo verticl fixo pssndo pelos pontos CD (vej figur). Clcule o torque em torno deste eixo em relção à origem. Sugestão pr os itens () e (b): Clcule primeirmente s forçs infinitesimis df i e em seguid obtenh F i, efetundo integrl correspondente.

6 Solução d questão 3 () O cmpo mgnético possui os seguintes vlores o longo de cd ldo: B 1 = B(x, (, 0) = B 0 1 x ) î, B2 = B(0, ( y, 0) = B 0 [î + 1 y ) ] ĵ, B 3 = B(x, [( 0, 0) = B 0 1 x ) ] î + ĵ e B4 = B(, ( y, 0) = B 0 1 y ) ĵ. Usndo d F i = Id L i B, com d L 1 = dxî, d L 2 = dyĵ, d L 3 = dxî e d L 4 = dyĵ, segue que d F 1 = d F 4 = 0 e portnto F 1 = F 4 = 0. Por outro ldo, s forçs d F 2 e d F 3 são dds por d F 2 = I(dyĵ) B 2 = I(dyĵ) Integrndo desde y = té y = 0, teremos F 2 = B 0ˆk d F 3 = I(dxî) B 3 = I(dxî) Integrndo desde x = 0 té x =, teremos F 3 = B 0ˆk A forç resultnte é F = F 1 + F 2 + F 3 + F 4 = 2IB 0ˆk. [ ( {B 0 î + 1 y ) ]} ĵ = IdyB 0ˆk [( {B 0 1 x ) ]} î + ĵ = IdxB 0ˆk (b) Como forç F 2 tu sobre o eixo y (de rotção) o torque correspondente será nulo. Usndo forç d F 3, que tu sobre um elemento de comprimento dx teremos pr o torque infinitesiml d τ 3 = r d F 3 = (xî) Integrndo desde x = 0 té x =, teremos ( ) IdxB 0ˆk = IB 0 xdxĵ. τ 3 = 2 IB 0 ĵ. 2

7 Questão 4 Um fio condutor muito longo e de seção cilíndric de rio está envolto por um csc cilíndric de rio b, formndo um cbo coxil. No fio há um densidde de corrente uniforme J = Jĵ e n csc um densidde de corrente superficil K = Kĵ, sendo J e K constntes positivs. Expresse sus resposts em termos dos prâmetros ddos: y b ԦJ K x z () (1,0 ponto) Clcule o cmpo mgnético nos pontos onde 0 r b (r é distânci do ponto té o eixo y). (b) (1,0 ponto) Clcule o cmpo mgnético n região exterior à csc cilíndric (r > b). (c) (0,5 ponto) Determine o vlor de J/K tl que o cmpo sej nulo n região r > b.

8 Solução d questão 4 () Um vez que corrente é percorrid o longo d direção y, s linhs de cmpo mgnético formm circunferêncis concêntrics, cujo vetor B(r) pont tngencilmente em cd ponto d linh, especificdos qui pelo versor θ. Portnto, o ldo esquerdo d lei de Ampére ( B d l = µ C 0 I int ) é ddo por B d l = B(r).2πr. C Como corrente elétric se distribui uniformemente o longo de 0 < r <, corrente englobd I int é dd por I int = Jπr 2, sendo r distânci entre linh mperin e o eixo y. Portnto, B(r) = µ 0J 2 r θ. Pr clculrmos o vetor cmpo mgnético entre < r < b, vemos que ldo esquerdo d relção C B d l = µ 0 I int é o mesmo que quele clculdo nteriormente. Neste cso, I int corresponde à tod corrente englobd entre 0 < r <, dd por I int = Jπ 2. Portnto, B(r) = µ 0J 2 θ. 2r (b) Pr r > b, corrente englobd é dd por I int B(r) = µ 0 2r (J2 2Kb) θ. = Jπ 2 2Kπb e portnto (c) O cmpo mgnético será nulo n região r > b qundo J K = 2b 2.

9 Formulário B V B V A = A E d l, E = V, dr = ρ dl A, V = RI, J = σ E = 1 ρ E, B d A = 0, d F = Id l B, µ = I A, d B = µ 0I 4π d l r r 2, d τ = r d F, τ = µ B, U = µ B, B d l = µ 0 I int. Algums integris dx (c + x 2 ) = log(x + dx c + x 2 ), 1/2 (c + x 2 ) = x 3/2 c (c + x 2 ), 1/2 x dx (c + x 2 ) = x dx c + x 2, 1/2 (c + x 2 ) = 1 3/2 (c + x 2 ), 1/2 dx 2 + x = 1 ( x ) x dx 2 tn 1, 2 + x = log(2 + x 2 ).