Física IV Escola Politécnica GABARITO DA P1 28 de agosto de 2012

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1 Físic IV Escol Politécnic - 01 GABARITO DA P1 8 de gosto de 01 Questão 1 Considere o circuito RLC em série com um fonte de tensão lternd esquemtizdo n figur. A fonte fornece um tensão que vri no tempo conforme equção v(t) = 10 cos(1000t) volts. Ω R L 3 mh C 1 mf b () (1,0 ponto) Obtenh mplitude d corrente e defsgem d corrente em relção à tensão d fonte. Escrev, então, expressão que descreve vrição d corrente no circuito com o tempo. (b) (0,5 ponto) Obtenh mplitude d tensão n resistênci e mplitude d tensão no indutor. Qul é defsgem d tensão no indutor em relção à tensão no resistor? (c) (1,0 ponto) Um voltímetro mede tensão eficz (qudrátic médi). Qul seri indicção de um voltímetro pr tensão entre os pontos e b d figur? 1

2 Solução d questão 1 () As retâncis indutiv e cpcitiv e impedânci são dds respectivmente por X L = ωl = 3 Ω; X C = 1 ωc = 1 Ω; Z = R +(X L X C ) = 8 = Ω. A prtir dels clculmos corrente máxim e o ângulo de fse I m = V m Z = 10 = 5A; tnφ = X L X C R = 1 = φ = π 4. O circuito é indutivo e corrente i(t) é i(t) = I m cos(ωt φ) = 5cos(1000t π/4). (b) As mplitudes d tensão no resistor e no cpcitor são V R = RI m = 10V, V L = X L I m = 15V. A voltgem no indutor está dintd de 90 em relção à corrente. Por outro ldo, corrente está em fse com voltgem no resistor. Assim, φ = 90. (c) A mplitude d voltgem V b é V b = I m X b = I m R +X L = V. O voltímetro mede V qm = V b = ,7V.

3 Questão Considere um circuito RLC em série com um fonte de tensão lternd, com R = 10Ω e C = 1µF. A indutânci do circuito é desconhecid. A fonte tem mplitude de tensão de 10 V e frequênci que pode ser vrid pelo operdor. O operdor vri frequênci d fonte e not mplitude de corrente obtid (esperndo um tempo suficiente pr desprezr corrente trnsitóri), obtendo figur bixo, n qul esse operdor esqueceu de indicr escl d corrente. Corrente w (rd/s) Bsedo nestes resultdos: () (1,0 ponto) Clcule o vlor d indutânci do circuito. (b) (0,5 ponto) Clcule o vlor máximo d mplitude de corrente que foi medid pelo operdor. (c) (0,5 ponto) Qul é impedânci do circuito pr ω = 4000 rd/s? 3

4 Solução d questão () D figur obtemos frequênci de ressonânci do circuito: ω 0 = 000 rd/s. Ms, ω 0 = 1 LC = L = 1 ω 0C = = L = 1 4 = 0,5 H. (b) O vlor máximo d corrente é obtido n ressonânci. Neste cso, impedânci Z do circuito é igul R e I m = V m Z = V m R = 1 A. (c) A impedânci do circuito é Z = R + Z 750,07 Ω ( ωl 1 ) ( ) 1 = 10 ωc ,5 =

5 Questão 3 Um ond eletromgnétic pln e monocromátic propg-se num meio mteril com permebilidde mgnétic igul µ 0. No instnte t = 0, os cmpos elétrico e mgnético são descritos por E = E k e B = B j, onde E e B são funções de x presentds n figur bixo. São ddos: c = e ǫ 0 = C / Nm E (N/C) 0-5 B (10-8 T) x (10-6 m) () (0,5 ponto) Qul é direção de propgção dess ond? Justifique. (b) (0,5 ponto) Quis são velocidde dess ond e o índice de refrção do meio? (c) (0,5 ponto) Qul é o vlor d permissividde desse meio? (d) (0,5 ponto) Qul é frequênci dess ond? (e) (0,5 ponto) Em relção est ond, qul é médi temporl d energi contid num volume correspondente um metro cúbico? 5

6 Solução d questão 3 () Num ond pln monocromátic o cmpo elétrico, o cmpo mgnético e direção de propgção formm um triedro destrógiro. Assim, ond se propg n direção e sentido do versor ı = k j. (b) A velocidde de propgção d ond v e o índice de refrção n são ddos por v = E B = = 1,5 108 m/s, n = c v = , =. (c) Lembrndo que velocidde de propgção d ond é dd por v = 1/ ǫµ obtemos n = c ǫµ ǫ v = = = ǫ = n ǫ 0 = C / Nm. ǫ 0 µ 0 ǫ 0 (d) D figur obtemos λ = m. Portnto, f = v λ = 1, = f = Hz. (e) A densidde médi de energi é < u >= ǫ < E > + 1 µ < B >= ǫ 4 E m + 1 4µ B m = ǫ E m, onde usmos B m = E m /v e v = 1/µǫ. Portnto, energi médi U num volume V = 1m 3 é U = ǫ E m V = 1 ( )9 = U 1, J. 6

7 Questão 4 Um ond eletromgnétic propg-se num região do espço delimitd por dois plnos condutores prlelos com equções y = 0 e y =. Nest região, o cmpo elétrico d ond é E = E x x = E 0 sen ( ) πy cos(kz ωt) x com 0 < y <. () (1,0 ponto) Determine relção que deve hver entre, k e ω pr que o cmpo elétrico stisfç equção de onds tridimensionl. (b) (1,0 ponto) A prtir d form diferencil d lei de Frdy determine o cmpo mgnético ssocido o cmpo elétrico ddo. (c) (1,0 ponto) Determine o vetor de Poynting no instnte t = 0 em um ponto com coordends x = 0, y = / e z = 0. Formulário Z = R +(X L X C ), X L = ωl, X C = 1 ωc, tnφ = X L X C, V m = ZI m, R P med = 1 V mi m cosφ, V qm = Vm, I qm = Im, C E d l = d dt S B d A; E = B t V 1 N 1 = V N. E = µ0 ǫ 0 E t, B = µ0 ǫ 0 B t, c = 1 µ0 ǫ 0, E = c B. E = E m cos(kx ωt+φ)ê y, B = Bm cos(kx ωt+φ)ê z, k = π λ, ω = π. kc = ω. T S = 1 µ 0 E B, S = uc, u = ue +u m = ǫ 0E + B µ 0. Num meio dielétrico vlem s mesms fórmuls com s substituições µ 0 µ, ǫ 0 ǫ e c v; n = c/v. Pr um cmpo vetoril R(x,y,z,t) = Rx (x,y,z,t) ı+r y (x,y,z,t) j+r z (x,y,z,t) k temos R = ı j k x y z R x R y R z ; R = R x + R y + R z. 7

8 Solução d questão 4 () Substituindo E = E x x n equção de onds tridimensionl obtemos [ ( ) π ( ) k ] ω Ex ( ) π ( ) ω. E x = = +k = c c (b) Com E = E x ı, temos d lei de Frdy Integrndo em t, Logo, B y t B z t ( )[ E0 B = ksen ω = E x z = E 0ksen = + E x y = E 0 ( π ( πy ) cos ) sen(kz ωt) ( ) πy cos(kz ωt). ( ) ( ) k πy B y = E 0 sen cos(kz ωt) ω ( ) π B z = E 0 cos ω ( πy ( ) ( πy π cos(kz ωt) ŷ cos ) ) sen(kz ωt). ( ) ] πy sen(kz ωt) ẑ (c) Como E = E x x e B = B y ŷ +B z ẑ, o vetor de Poynting fic S = 1 µ 0 E B = 1 µ 0 ( E x B z ŷ +E x B y ẑ) Em t = 0 no ponto P com coordends (0,/,0) temos S P = 1 µ 0 E x B y ẑ = E 0 k µ 0 ω ẑ. 8