EN2607 Transformadas em Sinais e Sistemas Lineares Lista de Exercícios Suplementares 2 3 quadrimestre 2012

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1 EN607 Trnsformds em Sinis e Sistems Lineres List de Exercícios Suplementres 3 qudrimestre 0. (0N) (LATHI, 007, p. 593) Pr o sinl mostrdo n figur seguir, obtenh os coeficientes d série de Fourier e esboce o espectro correspondente. Dic: t t e te dt = ( t ) 0, = 0 = π π j πcos sin, 0 π. (0N) (OPPPENHEIM; WILLSKY, 00, p. 50) Considere um filtro S pssbixs idel, cuj respost em frequênci é, ω 00 H( jω). 0, ω > 00 Qundo entrd deste filtro é um sinl xt () com período fundmentl d série de Fourier, encontr-se que T π = e coeficientes 6 Pr que vlores de é grntido que = 0? = 0, pr > 8. S xt () yt () = xt (). 3. (003N) (HSU, 004, p. 07) O sistem mostrdo n figur seguir é formdo pel conexão de dois sistems em prlelo. As resposts o impulso dos sistems são dds por t ( ) = ( ) e h ( t) e u( t) h t e u t =. t () Encontre respost o impulso h( t ) do sistem totl; (b) O sistem totl é estável?

2 t t () ( ) ht () = e + e ut (); (b) estável. 4. (003N) (OPPENHEIM; WILLSKY, 00, p. 49) Um sinl periódico de tempo contínuo x( t ) tem vlor rel e período fundmentl T = 8. Os coeficientes diferentes de zero d série de Fourier de x( t ) são Expresse x( t ) n form * 3 3 = =, = = 4j () ( ) = cos( ω + φ ). () x t A t = 0 π 3π π xt () = 4cos t 8cos t (003N) (LATHI, 007, p. 593) Pr o sinl periódico d figur seguir, obtenh os coeficientes d série de Fourier e trce o espectro correspondente., = 0 5 π sin 5, 0 π 6. (003D) (LATHI, 007, p. 593) Pr o sinl periódico d figur seguir, obtenh os coeficientes d série de Fourier e trce o espectro correspondente.

3 n u n u n n u Dic: ue du = ue u e du., = 0 j, 0 π. 7. (00N) (HSU, 004, p. 7) Encontre os coeficientes espectris e fç um gráfico de pr o sinl periódico ( ) T0 x t mostrdo n figur seguir pr d =. 4 x(t) A -T 0 d T T t A, = 0 8 A π 8 π. π j sin e 8, 0 8. (00N) (HAYKIN; VEEN, 00, p. 65) O sistem mecânico mostrdo n figur seguir tem forç plicd x( t ) como su entrd e posição y( t ) como su síd. A relção entre x( t ) e y( t ) é regid pel equção diferencil d d m y t f y t y t x t dt dt ( ) + ( ) + ( ) = ( ) () Encontre função de sistem H( s) deste sistem; (b) Encontre respost em frequênci H( jω) deste sistem; (3) (c) Pr qul vlor de frequênci w c o módulo d respost em frequênci tinge seu máximo? 3

4 H s = H jω = ; (c) m + + jfω () ( ) ms + fs + ; (b) ( ) ( ω ) ω = c m 9. (OPPENHEIM et l., 997, p. 40) Quis ds seguintes resposts o impulso correspondem sistems LIT estáveis? ( jt ) t () h ( t) = e u( t) (b) h ( t) = e ( t) u( t) Resposts: no livro. cos 0. (OPPENHEIM et l., 997, p. 5) Use equção de nálise d série de Fourier pr clculr os coeficientes do sinl periódico de tempo contínuo: ( ) x t.5, 0 t <.5, t < (4) com frequênci fundmentl ω = π. 0 Resposts: no livro.. (OPPENHEIM et l., 997, p. 5) Suponh que sejm dds s seguintes informções sobre um sinl x( t ):. x( t ) é rel e pr. x( t ) é periódico com período T = e tem coeficientes de Fourier. 3. = 0 pr >. x t dt = ( ) Especifique dois diferentes sinis que stisfzem ests condições. Resposts: no livro. 4

5 . (OPPENHEIM et l., 997, p. 54) Considere um sistem LIT cusl implementdo como o circuito RLC mostrdo n figur seguir. Neste circuito, x( t ) é tensão de entrd. A tensão y( t ) sobre o cpcitor é considerd síd do sistem. () Encontre equção diferencil relcionndo x( t ) e y( t ). (b) Determine respost em frequênci deste sistem considerndo síd do sistem j t entrds d form x( t) = e ω. (c) Determine síd y( t ) se x( t) sin( t) Resposts: no livro. =. 3. (0N) (HSU, 004, p. 38) Encontre trnsformd de Fourier d função signum sgn( t ), que é definid como jω. sgn ( t), t > 0, t < 0 4. (003D) (HAYKIN, 00, p. 49) Use equção de definição d TF pr obter representção no domínio d frequênci do sinl seguinte. Esboce os espectros de mgnitude e fse. 5

6 jω X( jω) = ( cos( ω) ) 5. (003D) (HSU, 004, p. 64) Usndo s proprieddes d trnsformd de Fourier e s tbels em nexo, encontre trnsformd de Fourier do sinl de pulso tringulr mostrdo n figur seguir. 4A sin ωd dω. 6. (003N) (HAYKIN, 00, p. 49) Use equção de definição d TF pr obter representção no domínio d frequênci do sinl seguinte. Esboce os espectros de mgnitude e fse. 3t ( ) ( ) x t = e u t (5) X( jω) = 3 jω e jω (003N) (HSU, 004, p. 64) Encontre trnsformd de Fourier invers de: t t xt () = e e ut () = (6) ω + j3ω ( ω) X j 8. (00D) (OPPENHEIM et l., 00, p. 95) Considere o sinl: 6

7 0, t < x( t) t +, t, t >. (7) () Use s proprieddes de diferencição e integrção d Tbel 4. e o pr trnsformdo de Fourier do pulso retngulr d Tbel 4. pr encontrr um expressão fechd pr X( jω ). =? (b) Qul é trnsformd de Fourier de g( t) x( t) ω sin Resposts: () X( jω) = + πδ( ω) ; (b) G( jω) jω ω sin =. jω 9. (00D) (HSU, 004, p. 38) Encontre trnsformd de Fourier do sinl seguir e esboce o seu espectro. X jω = + ω. ( ) t ( ), 0 x t = e > (8) 0. (OPPENHEIM et l., 997, p. 334) Use equção d nálise d trnsformd de Fourier pr clculr s trnsformds de Fourier de: ( ) ( ) t () e u t (b) t e Resposts: no livro.. (OPPENHEIM et l., 997, p. 334) Determine trnsformd de Fourier de cd um dos seguintes sinis periódicos: () sin πt π + 4 π (b) + cos 6πt + 8 Resposts: no livro. 7

8 . (OPPENHEIM et l., 997, p. 483) Considere um sistem LIT de tempo contínuo com j H( jω) respost em frequênci H( jω) = H( jω) e e respost o impulso rel h( t ). Suponh que sej plicd um entrd x( t) cos( ωt φ ) = + este sistem. Pode-se mostrr que síd resultnte é d form 0 0 y( t) = Ax( t t 0 ) (9) em que A é um número rel não negtivo representndo um ftor de escl em mplitude e t é um trso. 0 () Expresse A em termos de H( jω 0) (b) Expresse 0 Resposts: no livro. t em termos de ( ) H jω 0 3. (OPPENHEIM et l., 997, p. 334) Usndo equção de nálise d trnsformd de Fourier, clcule trnsformd de Fourier de: () δ( t + ) + δ( t ) d u dt (b) { ( t ) + u ( t ) } Resposts: no livro. 4. (OPPENHEIM et l., 997, p. 335) Ddo que x( t ) tem trnsformd de Fourier X( jω ), expresse s trnsformds de Fourier dos sinis listdos seguir em termos de X( jω ). Use tbel de proprieddes d trnsformd de Fourier. () x ( t) = x( t) + x( t) (b) x ( t) = x( t ) 3 6 d dt (c) x ( t) = x( t ) 3 Resposts: no livro. 8