LΔz (b) ½RΔz ½LΔz ½RΔz ½LΔz

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1 LISTA DE EXERCÍCIOS Nº 3 Problems 1) Um ds possíveis forms de descrever quntittivmente um linh de trnsmissão é trvés d Teori de Circuitos prâmetros distribuídos. Pr tnto, segment- se um pequeno elemento d linh de trnsmissão e este se tribui um circuito equivlente, cujos prâmetros são especificdos por unidde de comprimento. Dest form, medinte Teori de Circuitos usul, pode- se obter um conjunto de equções que descrevem eletricmente tl elemento d linh de trnsmissão. O resultdo pode ser trivilmente estendido pr qulquer ponto d linh de trnsmissão tornndo o comprimento do elemento modeldo tão pequeno qunto possível. Além d topologi L já investigd, há s topologis Π e T de circuitos, s quis são respectivmente presentds n Figur 1() e Figur 1(b) e que podem ser possivelmente dotds como modelo o pequeno elemento d linh de trnsmissão. Suponh então um linh de trnsmissão plenmente homogêne dois condutores em um dielétrico imperfeito. Sendo z coordend espcil o longo d linh de trnsmissão e t o tempo, pr cd um ds topologis presentds, () determine o sistem de equções que descreve tensão v(z, t) e corrente i(z, t). (b) Obtenh s soluções pr tensão v(z, t) e pr corrente i(z, t). (c) As soluções possuem teor ondultório? Discorr. (d) As equções e soluções obtids pr cd um dos modelos de circuito equivlente são comptíveis com àquels obtids n topologi tipo L já investigd? Disserte. () RΔz LΔz (b) ½RΔz ½LΔz ½RΔz ½LΔz ½GΔz ½CΔz ½GΔz ½CΔz GΔz CΔz Figur 1: Circuitos equivlentes pr um elemento de comprimento Δz d linh ns topologis () tipo Π e (b) tipo T 2) Um linh de trnsmissão dois condutores imperfeitos encontr- se em um meio dielétrico com perds. Pr tl linh de trnsmissão, determine s equções diferenciis prciis de 2ª ordem ssocids () tensão v(z, t) e (b) corrente i(z, t). Tis equções são comumente denominds de Equções do Telegrfist. (c) Ests equções possuem mesm estrutur d Equção d Ond em dielétricos perfeitos? Discorr respeito de cd um dos termos que compõem ests equções. (d) Se os condutores d linh e o meio dielétrico são perfeitos, qul formto ssume s equções deduzids nos itens () e (b) nteriores? Explique. (e) Anlisndo s equções obtids no item (d), qul é velocidde de propgção ds onds de tensão v(z, t) e de corrente i(z, t)? Discorr. 3) Suponh um linh de trnsmissão dois condutores imperfeitos dispostos em um meio dielétrico com perds. Considere que linh sej plenmente não- homogêne. Sendo z coordend espcil o longo d linh de trnsmissão e t o tempo, determine () o sistem de equções que descreve tensão v(z) e 1

2 SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL corrente 𝚤(𝑧) o longo d linh de trnsmissão, sendo 𝑣 𝑧, 𝑡 = 𝑣 𝑧 𝑒!"# e 𝑖 𝑧, 𝑡 = 𝚤 𝑧 𝑒!"#. (b) As equções obtids diferem dquels pertinentes um linh de trnsmissão plenmente homogêne? Anlise em detlhe. 4) Por um linh de trnsmissão propg- se um ond eletromgnétic de frequênci ngulr 𝜔. A linh de trnsmissão em questão é compost por dois condutores constituídos em mteril imperfeito e dispostos em um dielétrico com perds. Sendo o coeficiente de propgção 𝛾 𝛼 + 𝑗𝛽, determine () 𝛼 e (b) 𝛽 pr tl linh de trnsmissão. (c) Qul o significdo físico de cd um ds quntiddes nteriores? Verse respeito do tem. Obtenh então (d) velocidde de fse 𝑣! e (e) velocidde de grupo 𝑣! ds onds eletromgnétics neste tipo de estrutur. (f) Tl estrutur é dispersiv? Disserte respeito e crcterize- qunto o seu gênero, cso necessário. (g) Clcule então o produto 𝑣! 𝑣!. Interprete fisicmente o resultdo obtido. Medinte nálise dos resultdos nteriores, qul condição pr linh de trnsmissão ser (h) sem perds e (i) sem distorção? Discorr. Por finl, prticulrize tods s quntiddes obtids nteriormente qundo linh de trnsmissão torn- se (j) sem perds e (k) sem distorção. Disserte. 5) Um linh de trnsmissão dois condutores está dispost em um meio dielétrico. As perds nos condutores que compõem linh bem como no dielétrico são pequens porém não- desprezíveis. Considere que linh sej plenmente homogêne. Sendo 𝑧 coordend espcil o longo d linh de trnsmissão e 𝑡 o tempo, determine () expressão proximd pr impedânci crcterístic 𝑍! d linh de trnsmissão nest situção. (b) A equção proximd pr constnte de propgção 𝛾 de um eventul ond nest linh de trnsmissão. (c) Expresse s onds de tensão 𝑣(𝑧, 𝑡) e corrente 𝑖(𝑧, 𝑡) em termos ds quntiddes recentemente obtids em () e (b). 6) Um linh de trnsmissão plenmente homogêne dois condutores está dispost em um meio dielétrico. Os condutores que compõem linh bem como o dielétrico do meio físico que envolve são imperfeitos. Tl linh está conectd um crg de impedânci 𝑍!. A coordend espcil o longo d linh de trnsmissão e o tempo são respectivmente designdos por 𝑧 e 𝑡. Sendo constnte de propgção 𝛾 𝛼 + 𝑗𝛽 e impedânci crcterístic d linh 𝑍!, () quntifique impedânci 𝑍 em um coordend espcil rbitrári 𝑧 d linh de trnsmissão explicitmente em termos de 𝛼 e 𝛽. (b) Determine impedânci de entrd 𝑍!"# dest linh de trnsmissão. Sendo 𝑍!"# 𝑅!"# + 𝑗𝑋!"#, obtenh então (c) resistênci 𝑅!"# e (d) e retânci 𝑋!"#. (e) Se 𝑍! 𝑍!, quis expressões se reduzem quels obtids nos itens (), (b), (c) e (d)? (f) Se 𝑍! 𝑍!, quis expressões se reduzem quels obtids nos itens (), (b), (c) e (d)? (g) Se linh de trnsmissão torn- se sem perds, quis formtos ssumem s expressões obtids em todos os itens nteriores? 7) Um linh de trnsmissão dois condutores é plenmente homogêne. A linh de trnsmissão em questão possui perds, tnto no dielétrico que circund qunto no mteril condutor que compõe. A impedânci crcterístic dest linh é 𝑍! e d crg est conectd 𝑍!. Sendo 𝑧 coordend espcil o longo d linh e 𝑡 o tempo, () determine potênci 𝑃 trnsportd por um eventul ond eletromgnétic o longo d linh. (b) Quntifique então potênci médi temporl 𝑃 trnsportd pel Disciplin ENG04404 Onds Eletromgnétics 2 Versão: 1 de gosto de 2014

3 ond o longo d linh. (c) Interprete fisicmente cd um dos termos que compõem s expressões obtids nos itens () e (b). (d) N entrd, quis formtos ssumem s potêncis obtids nos itens () e (b)? (e) E n crg, quis s expressões descrevem s potêncis obtids nos itens () e (b)? (f) Medinte nálise ds equções recentemente obtids, qul é condição pr máxim trnsferênci de potênci à crg? 8) Um linh dois condutores cilíndricos prlelos é presentd n Figur 2(). O meio físico que envolve linh possui permissividde elétric ε, permebilidde mgnétic μ e condutividde elétric σ!. Os condutores possuem condutividde elétric σ!. Determine () cpcitânci C, (b) indutânci L, (c) resistênci R e (d) condutânci G por unidde de comprimento. Determine então (e) velocidde fse, (f) velocidde de grupo e (g) impedânci crcterístic ssocids à estrutur. Se linh de trnsmissão bifilr em questão é do tipo sem perds, reobtenh (h) velocidde de fse, (i) velocidde de grupo e (j) impedânci crcterístic nest situção. Interprete os resultdos. 9) Um linh dois condutores coxiis é presentd n Figur 2(b). O meio físico que envolve linh possui permissividde elétric ε, permebilidde mgnétic μ e condutividde elétric σ!. Os condutores possuem condutividde elétric σ!. Determine () cpcitânci C, (b) indutânci L, (c) resistênci R e (d) condutânci G por unidde de comprimento. Determine então (e) velocidde fse, (f) velocidde de grupo e (g) impedânci crcterístic ssocids à estrutur. Se linh de trnsmissão coxil em questão é do tipo sem perds, reobtenh (h) velocidde de fse, (i) velocidde de grupo e (j) impedânci crcterístic nest situção. 10) Um linh compost por dus plcs condutors prlels é presentd n Figur 2(c). O meio físico que envolve linh possui permissividde elétric ε, permebilidde mgnétic μ e condutividde elétric σ!. Os condutores possuem condutividde elétric σ!. Determine () cpcitânci C, (b) indutânci L, (c) resistênci R e (d) condutânci G por unidde de comprimento. Determine então (e) velocidde fse, (f) velocidde de grupo e (g) impedânci crcterístic ssocids à estrutur. Se linh de trnsmissão de plcs prlels em questão é do tipo sem perds, reobtenh (h) velocidde de fse, (i) velocidde de grupo e (j) impedânci crcterístic nest situção. (k) Compre os resultdos imeditmente nteriores referentes à situção sem perds com os nálogos pertinentes estrutur bifilr e coxil respectivmente dos problems 8 e 9. Interprete fisicmente. () (b) (c) d d t Figur 2: Seções trnsversis de linhs de trnsmissões do tipo () bifilr, (b) coxil e (c) plcs prlels w t 3

4 11) Um gui de ond oco possui seção trnsversl retngulr e é preenchido por um dielétrico perfeito. As predes do gui de ond são confeccionds em mteril condutor perfeito. O gui de ond é excitdo de sorte que os modos de propgção sejm do tipo trnsversl elétrico (TE). Considere que o eixo coordendo z estej o longo do gui e que e b sejm respectivmente s dimensões horizontl o longo do eixo x e verticl o longo do eixo y do gui de ond, stisfzendo > b. Nest situção, determine os cmpos () indução mgnétic B e (b) elétrico E. (c) Obtenh relção de dispersão ds onds eletromgnétics n estrutur. (d) Há condições pr propgção de onds eletromgnétics neste tipo de sistem? Demonstre e se houver enuncie s condições pr tl. (e) O sistem em questão é dispersivo? Verse pormenorizdmente respeito do tem e, em cso firmtivo, clssifique- o neste quesito. Por finl, esboce grficmente os cmpos B e E pr (f) o modo TE 10 e (g) o modo TE ) Um gui de ond oco possui seção trnsversl retngulr e é preenchido por um dielétrico perfeito. As predes do gui de ond são confeccionds em mteril condutor perfeito. O gui de ond é excitdo de sorte que os modos de propgção sejm do tipo trnsversl mgnético (TM). Considere que o eixo coordendo z estej o longo do gui e que e b sejm respectivmente s dimensões horizontl o longo do eixo x e verticl o longo do eixo y do gui de ond, stisfzendo > b. Nest situção, determine os cmpos () elétrico E e (b) indução mgnétic B. (c) Obtenh relção de dispersão ds onds eletromgnétics n estrutur. (d) Há condições pr propgção de onds eletromgnétics neste tipo de sistem? Demonstre e se houver enuncie s condições pr tl. (e) O sistem em questão é dispersivo? Verse pormenorizdmente respeito do tem e, em cso firmtivo, clssifique- o neste quesito. Por finl, esboce grficmente os cmpos B e E pr (f) o modo TM 10, (g) o modo TM 01 e (h) o modo TM 11. (i) Há efetiv propgção de onds eletromgnétics no interior do gui cso n ou m sejm individulmente nulos? Discorr minuciosmente respeito. 13) Considere um sistem tl qul descrito no problem 11. Pr este sistem, determine () freqüênci ngulr de corte ω!, (b) o vetor de ond de corte β! e (c) o comprimento de ond de corte λ!. (d) Tis quntiddes dependem do modo de propgção? Disserte. Determine e esboce então (e) velocidde de fse v!, (f) velocidde de grupo v! e (g) impedânci trnsversl Z!. (h) Clcule então o produto v! v!. Interprete fisicmente o resultdo obtido. (i) Determine tods s quntiddes nteriores qundo o modo em propgção é o dominnte. Anlise e interprete os resultdos. 14) Considere um sistem tl qul descrito no problem 12. Pr este sistem, determine () freqüênci ngulr de corte ω!, (b) o vetor de ond de corte β! e (c) o comprimento de ond de corte λ!. (d) Tis quntiddes dependem do modo de propgção? Disserte. Determine e esboce então (e) velocidde de fse v!, (f) velocidde de grupo v! e (g) impedânci trnsversl Z!. (h) Clcule então o produto v! v!. Interprete fisicmente o resultdo obtido. (i) Há diferenç entre s quntiddes determinds pr o modo TM em questão e àquels pertinentes o modo TE do problem 13? Discorr. (j) Determine tods s quntiddes nteriores qundo o modo em propgção é o dominnte. Anlise e interprete os resultdos. (k) Clcule então rzão entre s frequêncis ngulres de corte dos modos dominntes TE e TM. Disserte respeito, identificndo o modo dominnte de fto no gui de onds em questão. Por qul motivo este 4

5 modo de propgção é o normlmente utilizdo? Explique detlhdmente. (l) Obtenh o produto Z!!" Z!!". Explique- o fisicmente. 15) Pr o sistem descrito no problem 11, determine () o vetor de Poynting médio S o longo do tempo e (b) densidde de energi eletromgnétic rmzend no cmpo W! médi o longo do tempo. (c) Integre mbs s quntiddes nteriores n seção trnsversl d estrutur. (d) Clcule então velocidde de energi v!" no interior do gui. Interprete fisicmente o resultdo, comprndo- com s velociddes de fse v! e grupo v! observds neste sistem. 16) Pr o sistem descrito no problem 12, determine () o vetor de Poynting médio S o longo do tempo e (b) densidde de energi eletromgnétic rmzend no cmpo W! médi o longo do tempo. (c) Integre mbs s quntiddes nteriores n seção trnsversl d estrutur. (d) Clcule então velocidde de energi v!" no interior do gui. Interprete fisicmente o resultdo, comprndo- com s velociddes de fse v! e grupo v! observds neste sistem. 17) N nálise de sistems que irrdim onds eletromgnétics, invrivelmente os seus termos fontes devem ser considerdos n obtenção d equção d ond. () Identifique quis são os termos fontes ssocidos o cmpo elétrico E e o cmpo mgnético H. Disserte respeito. (b) Pr que os cmpos elétricos E e mgnéticos H gerdos sejm propgntes (pertençm um ond eletromgnétic), que crcterístic peculir estes termos fontes devem possuir?. N existênci de tis termos fontes identificdos nteriormente, obtenh então equção d ond pr (c) o cmpo elétrico E e (d) o cmpo mgnético H, clssificndo- s. (e) Compre minuciosmente s equções resultntes com quels pertinentes o potencil esclr φ e vetor A no contexto do clibre de Lorentz. (f) Identifique então quis ds bordgens por cmpos ou por potenciis é mis conveniente pr descrever sistems que irrdim onds eletromgnétics. Explique. 18) A respeito do clibre de Lorentz. () Por qul motivo est relção de clibre é mis usulmente dotd pr descrever sistems que irrdim onds eletromgnétics? Disserte. (b) Este clibre stisfz equção d continuidde? Demonstre. OUTROS TANTOS PROBLEMAS PODERÃO SER AINDA PUBLICADOS!!! 5