Escola Politécnica FGE GABARITO DA P2 14 de maio de 2009

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1 P2 Físic III Escol Politécnic FGE GABARITO DA P2 14 de mio de 2009 Questão 1 Considere um cpcitor cilíndrico de rio interno, rio externo e comprimento L >>, conforme figur. L Sejm +Q e Q s crgs livres nos cilindros de rios e, respectivmente. O espço entre os cilindros é inteirmente preenchido com um mteril de constnte dielétric κ. Ignorndo-se região ds ords, cmpo elétrico entre os cilindros n usênci do dielétrico é ddo por E 0 = Q 2πǫ 0 Lr êr. () (0,5 ponto) Determine o vetor cmpo elétrico dentro do dielétrico ( < r < ). () (1,0 ponto) Clcule, prtir d definição, cpcitânci n usênci do dielétrico e com o dielétrico. (c) (1,0 ponto) Determine s densiddes superficiis de crg induzids σ i no dielétrico devido à polrizção em r = e em r =. 1

2 Solução d questão 1 () N presenç do dielétrico o cmpo é reduzido por um ftor igul κ. E = 1 κ E 0 = Q 2πǫ 0 κlr êr. () A cpcitânci C = Q/ V, ssim flt pens clculr ddp entre s dus plcs. (I) Sem dielétrico, V = E d l = = C 0 = Q V = Q Q 2πǫ 0 L ln Q 2πǫ 0 Lr dr = Q 2πǫ 0 L ln ( ) = 2πǫ 0L ( ) ln ( ) (II) Com dielétrico o cmpo é reduzido por um ftor κ. Dest form diferenç de potencil é reduzid pelo mesmo ftor e cpcitânci é multiplicd por κ. C = κc 0 = 2πǫ 0κL ( ) ln (c) A crg induzid σ i n superfície dos dielétricos é dd por σ i = σ ( 1 1 ), κ onde σ é densidde superficil de crg ns plcs do cpcitor. Logo, (I) Em r =, (II) Em r =, ( σ i = σ r= 1 1 ) = Q ( 1 1 ) κ 2πL κ ( σ i = σ r= 1 1 ) = Q ( 1 1 ) κ 2πL κ 2

3 Questão 2 A região entre dus cscs esférics condutors concêntrics de rios R 1 e R 2 com R 2 > R 1 é preenchid com um mteril de resistividde elétric ρ. Um diferenç de potencil V 0 é mntid entre os condutores. A csc esféric intern está num potencil mis lto do que csc esféric extern. Um mperímetro mede pssgem de um corrente I 0 entre esses condutores. () (1,0 ponto) Clcule o vetor densidde de corrente J n região onde R 1 < r < R 2 () (0,5 ponto) Assumindo que o condutor oedece lei de Ohm, determine o vetor cmpo elétrico entre s esfers. (c) (1,0 ponto) Clcule resistênci desse sistem em função de ρ, R 1 e R 2. 3

4 Solução d questão 2 () A corrente flui rdilmente, logo J = J(r)ê r. A corrente que pss por um superfície esféric S de rio r concêntric com s dus esfers é I 0 (conservção d crg). Assim, I 0 = S J da = S J(r)dA = J(r) S da = J(r)4πr 2 = J(r) = I 0 4πr 2 êr. () Pel lei de Ohm, J = σ E = E/ρ. Logo, E = ρ J(r) = ρi 0 4πr 2 êr. (c) Podemos clculr R trvés d expressão V = RI, onde V = E d R 2 l = ρi 0 4πr 2dr R 1 = R = V I 0 = ρ(r 2 R 1 ) 4 π R 2 R 1. A mesm solução pode ser otid diretmente trvés de R = R 2 R 1 ρ A(r) dr = R 2 R 1 = ρi 0(R 2 R 1 ) 4 π R 2 R 1 ρ 4πr 2dr = ρ(r 2 R 1 ). 4 π R 2 R 1 4

5 Questão 3 N figur ixo o cmpo mgnético B = B k é uniforme e perpendiculr o plno d figur, pontndo pr for. A espir é formd por um semi-circunferênci de rio R e por um segmento retilíneo de comprimento 2R, situdo sore o eixo Ox. Pel espir circul um corrente I no sentido nti-horário. y B I R O x () (1,0 ponto) Prtindo d equção df = Id l B, clcule forç mgnétic resultnte sore o segmento reto d espir. () (1,0 ponto) Prtindo d equção df = Id l B, clcule forç mgnétic resultnte sore o segmento semi-circulr d espir. (c) (0,5 ponto) Clcule forç totl sore espir e o torque que ge sore el. 5

6 Solução d questão 3 () No trecho reto, d l B = dl B j ou F 1 = I d l B = IB dl j = IB2R j, F 1 = I d l B = I B = IB2R j. () No trecho semi-circulr, d l = dl θ. Assim, d l B k = Bdl r, onde r = cos θ ı + senθ j. ou F 2 = I d l B = IB rdl = IB π (cos θ ı + senθ j)rdθ = IB2R j, 0 F 2 = I d l B = I B = IB2R j. (c) Somndo os resultdos dos itens () e () otemos F = 0. Ou F = I ( O torque pode ser clculdo com equção d ) l B = 0. τ = µ B = (I πr2 2 k) (B k) = 0. 6

7 Questão 4 Considere um fio retilíneo de comprimento 2L, delgdo, com um corrente constnte I, esticdo o logo do eixo y, como mostr figur ixo. y L L I P x () (1,5 ponto) Usndo lei de Biot-Svrt clcule o cmpo B gerdo pelo fio num ponto P do eixo x um distânci do fio. () (1,0 ponto) Suponh gor que o fio sej infinitmente longo, ou sej, que L. Clcule o cmpo B gerdo pelo fio no ponto P usndo lei de Ampère. Compre o resultdo com o otido fzendo o limite L n expressão do item (). Formulário E d A = q int ǫ 0, C = Q / V, C eq = C 1 + C , B V B V A = A E d l, u = ǫ ( 2 E2, σ i = σ 1 1 κ J = nq v d, J = σe, dl dr = ρ U = Q2 2C = CV 2 2 ), ǫ 0 κe da = q int liv, 1 C eq = 1 C C = QV 2, ǫ ǫ 0 = κ, u = ǫ 0 2 E2, E = E 0 κ, I = dq dt = nqv da, A, V = RI, V = E Ir, P = V I = I2 R = V 2 R, F = qe + q v B, Φ B = B da, B da = 0, df = Id l B, µ = IA, τ = µ B, U = µ B, d B = µ 0I 4π d l r r 2, F l = µ 0I 1 I 2 2πr, B d l = µ0 I int. Algums integris dx (c + x 2 ) = log(x + c + x 2 ), 1/2 xdx (c + x 2 ) = c + x 2, 1/2 dx (c + x 2 ) = x 3/2 c (c + x 2 ) 1/2, xdx (c + x 2 ) = 1 3/2 (c + x 2 ) 1/2, 7

8 Solução d questão 4 () O cmpo mgnético produzido no ponto P pelo pedço d l do fio é ddo por d B = µ 0 I 4π d l r r 3, onde d l = dy j e r = y D figur otemos d l r = dy r senφ k e senφ = / y Assim, L dl L y φ I r k P x d B = µ 0 I 4π dy k (y ) = B = µ 0 I 3/2 4π B = µ 0 I L k 2 π L2 + 2 L L dy (y ) 3/2 k () A lei de Ampère fornece B d l = µ0 I Como B é prlelo d l e B = B(r) podemos escrever B dl = B(r) No ponto P, r = e dl = B2πr = µ 0 I = B(r) = µ 0 I 2πr B() = µ 0 I 2π k B r I Este é extmente o resultdo que encontrmos tomndo o limite L n expressão encontrd no item (). 8

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