Condução elétrica em metais

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1 Condução elétric em metis Elétrons livres no metl gás de e - em um poço 3D. Movimento letório dentro do poço. Cmino livre médio: λ. E externo plicdo celerção entre colisões velocidde de rrsto: v d ,77 v 0,77v -1 mv σ ρ ne λ ee λ tcolis vd tcolis m v FNC Físic Modern Aul 3 λ v eeλ mv Se tivermos n e - de condução por unidde de volume, e densidde de corrente for j, temos: F j eeλ ne λ vd j E Lei de Om: j σe ne mv mv σ Notem que nem v nem λ dependem do cmpo E plicdo. Cso do fio de Cu, com 4 mm e 10 A (ρ Cu 9 g/cm 3, M Cu 63 g/mol): 1 F 6 6 mv ρ Cu NA n M Cu 3 6E E EF v 5 5m , ,5 0,77 1,57 10 cm -3 1, 10 (considerndo 1 e - /átomo) m/s 1

2 v d ne j ) 8 8,5 10 1,6 10 ( 4 1, A/m 19 m C m/s Voltndo o modelo de condutividde elétric, podemos definir mobilidde: v eλ µ d e ssim, podemos escrever condutividde como: σ neµ E mv De form mis brngente, devemos definir condutividde como: nq nµ n pq pµ p onde n e p designm os portdores de crg negtiv e positiv, respectivmente. A determinção do tipo de portdor é feit por efeito Hll. σ + FNC Físic Modern Aul 3

3 Modelo quântico d condução elétric em metis A ocupção dos estdos de energi de um gás de e num poço qudrdo, é dd por: 3 1/ 1/ 8 V (m ) E de n( E) f ( E) g( E) de 3 ( E EF ) / kt e + 1 g(ε) g(ε) f(ε) f(ε) n(ε) n(ε) FNC Físic Modern Aul 3 3

4 ψ e Consideremos inicilmente um poço 1D:, com k >0 ou <0, conforme o e - estej em movimento pr direit ou pr esquerd. As utofunções têm nós ns extremiddes do poço nλ/ L onde L é lrgur do poço. Como energi dos e - é: E p /m, obtemos o resultdo conecido: E p m mλ 8mL ml n n Como temos N átomos igulmente espçdos de o longo do comprimento L N L/. Lembrndo que o número de níveis n bnd é igul o número de átomos do sólido, temos que o vlor máximo de n N. Dess form, energi máxim de um e - n bnd será: E máx N L 8mL 8mL m N verdde á um diminuição n densidde de níveis próximo do finl d bnd. ikx Não depende de N FNC Físic Modern Aul 3 4

5 ψ p k e ikx E m m Ms cbmos de ver que: E máx m k No cso de um metl D, teremos k x e k y, com s mesms limitções. Assim: E k m + k ( x y ) dg( k) FNC Físic Modern Aul 3 k m kdk Dí redução d densidde de estdos próximo o finl d bnd. Ess redução tmbém vle pr um sólido 3D rel. Qundo k pss de um certo vlor (π/), densidde de estdos começ diminuir. 5

6 g f g g g FNC Físic Modern Aul 3 6

7 g FNC Físic Modern Aul 3 7

8 Movimento em um rede periódic Ψ( x, t) u ( x) e k i( kx ωt) u ( x) u ( x + ) u ( x + n) k k k Função de ond do e - : ond progressiv. Em vez de mplitude constnte, temos um função. Função que modul mplitude d ond pel periodicidde d rede Os e - podem ser espldos pelos átomos d rede. Isso depende d relção entre o comprimento de ond de de Broglie e o espçmento dos átomos. Se E << V 0 e b é grnde, então temos o e - preso um poço, com estrutur de níveis já conecid. À medid que os poços se proximm, s funções de ond podem penetrr s brreirs níveis se trnsformm em bnds. FNC Físic Modern Aul 3 8

9 e - em um poço de potencil isoldo e - em sistem de poços periódicos, com b l/16 A eq. de Scrödinger pode ser resolvid pr o potencil de Kronig- Penney, de onde precem s bnds permitids e s proibids. É interessnte notr que intervlos proibidos precem pr determindos vlores de k. FNC Físic Modern Aul 3 9

10 Descontinuiddes em k π ±, ± π, Concordm com o resultdo obtido com bse no número de estdos d bnd! (trnsprênci 5) Rede unidimensionl de periodicidde : 3π ±,L Podemos entender os intervlos proibidos como resultdo d reflexão prcil d ond progressiv pels sucessivs brreirs. Onds refletids em fse λ, λ, 3λ,... FNC Físic Modern Aul 3 10

11 Pr entendermos melor como precem vlores de energi pr o mesmo k, vmos considerr situção em que mplitude d ond refletid é igul à d incidente: e ikx e iπx/ (incidente) e e ikx e iπx/ (refletid). A utofunção totl é um combinção liner de mbs, podendo ser: ψ + e i( / ) x + e i( / ) x cos x ou ψ e i( / ) x e i( / ) x sen x Em mbos os csos s ond incidente e refletid têm mesm mplitude e combinm-se formndo um ond estcionári. Esss onds estcionáris, no entnto, presentm densiddes de probbilidde muito diferentes em relção à posição dos íons d rede. Um tem máximo próximo às crgs positivs, enqunto outr tem probbilidde nul ness região. Dess form, um present energi mis bix que outr. FNC Físic Modern Aul 3 11

12 Mss efetiv: 1 1 d ε * m dk ε k m dε dk k m d ε dk m FNC Físic Modern Aul 3 1