1. Prove a chamada identidade de Lagrange. u 1,u 3 u 2,u 3. u 1 u 2,u 3 u 4 = u 1,u 4 u 2,u 4. onde u 1,u 2,u 3 e u 4 são vetores em R 3.

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1 Universidde Federl de Uberlândi Fculdde de Mtemátic Disciplin : Geometri Diferencil Assunto: Cálculo no Espço Euclidino e Curvs Diferenciáveis Prof. Sto 1 List de exercícios 1. Prove chmd identidde de Lgrnge u 1 u 2,u 3 u 4 = onde u 1,u 2,u 3 e u 4 são vetores em R 3. u 1,u 3 u 2,u 3 u 1,u 4 u 2,u 4, 2. Considere os plnos de R 3 determindos pels equções p p 0,u 1 = 0 e p p 0,u 2 = 0, onde u 1 e u 2 não são prlelos e sej u = u 1 u 2. ) Verifique que ret determind por p = p 0 +tu, t R, está contid nos dois plnos. b) Prove que se p é um ponto que pertence mbos os plnos, então p é d form p = p + t 0 u, pr lgum t Se u 1,u 2,...u n são vetores ortonormis num espço vetoril com produto interno, e w = n α i u i, então α i = w, u i i = 1, 2,...,n. i=1 4. Sej B o conjunto de tods s bses de R 3. Mostre que relção ter mesm orientção é um relção de equivlênci em B. Conclu que dus bses ortonormis {u 1,u 2,u 3 }, {v 1,v 2,v 3 } têm mesm orientção se, e só se, u 1,u 2 u 3 = v 1,v 2 v 3. E possuem orientções oposts se, e só se, u 1,u 2 u 3 = v 1,v 2 v Sej A um mtriz n m cujs linhs são os vetores R 1,R 2,...,R n e cujs coluns são os vetores C 1,C 2,...C m. Mostre que: i) O elemento ij d mtriz AA é ij = R i,r j ; ii) O elemento b ij d mtriz A A é b ij = C i,c j. 6. Sejm {u 1,u 2,...,u n } e {v 1,v 2,...,v n }dus bses ortonormis de R n. Prove que existe um únic plicção liner T : R n R n tl que T(u i ) = v i. Verifique que T é bijetor e que preserv produto interno, isto é, T(u),T(v) = u,v, pr todo u,v R n. 7. Considere em R m e R n s norms Euclidins. As seguintes firmções respeito de um trnsformção liner C : R m R n são equivlentes : ) C(x) = x pr todo x R m ; b) C(x) C(y) = x y pr quisquer x,y R m ; 1

2 c) C(x),C(y) = x,y pr quisquer x,y R m ; d) Todo conjunto ortonorml de R m é trnsformdo por C num conjunto ortonorml em R n ; e) As coluns d mtriz de C formm um conjunto ortonorml de R m (Use o Ex. 5). Qundo m = n s linhs de C tmbém formm um conjunto ortonorml, neste cso tem-se CC = I e C é chmd de trnsformção ortogonl (Use o Ex. 5). 8. Considere em R m norm euclidin. Dd um isometri F : R m R m, existem um único vetor R m e um únic trnsformção ortogonl C : R m R m tis que F = T C, onde T represent trnslção pel vetor. 9. Verifique se s seguintes plicções são isometris de R 3. Em cd cso firmtivo obtenh isometri como compost de um trnslção e um trnsformção ortogonl. ) F(x,y,z) = (2 y,z 3,x + 1), pr todo (x,y,z) R 3 ; b) F(x,y,z) = 2 2 (x z, 2y,x + z), pr todo (x,y,z) R Sej α(t) = (x(t),y(t),z(t)), t I, um curv prmetrizd com α (t) = 1, t I. Fixemos t 0 em I e consideremos os vetores tngentes α (t 0 ) e α (t 0 + h), com t 0 + h I. Sej φ(h) o ângulo formdo por α (t 0 ) e α (t 0 +h). Mostre que α (t 0 ) indic velocidde com que s rets tngentes mudm de direção. 11. Sej t(r) um função vetoril diferenciável em R 3 com t(r) = 1 e t (r) não nulo pr todo r I R. Defin s funções n(r) = t (r) t (r) e b(r) = t(r) n(r). Mostre que n(r) é ortogonl t(r) e que b (r) é prlelo n(r). 12. Sej X : U R 2 R 3 um plicção diferenciável e dx p su diferencil num ponto p = (u, v) U. Mostre que s seguintes firmções são equivlentes: ) dx p é um trnsformção liner injetiv; b) A mtriz jcobin JX(p) tem posto dois; c) Os vetores X u e X v são linermente independentes; d) X u X v. 13. Considere função f : R 3 R definid por f(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2. Prove que f é diferenciável e que diferencil de f em p R 3 é ddo por df p (w) = 2 p,w pr todo w R 3. Conclu que todo número rel positivo é um vlor regulr pr f. 2

3 14. Sej, o produto interno cnônico em R n. Ddos um vetor v R n e um função vetoril integrvél f : [,b] R n, mostre que v,f(t) dt = v, f(t)dt. 15. Sej o produto vetoril em R 3. Ddos um vetor v R 3 e um função vetoril integrvél f : [,b] R 3, mostre que (v f(t))dt = v f(t)dt. 16. Sej α : [,b] R n um curv diferenciável. Então l(α) α(b) α(), e iguldde ocorre, se e somente se, o trço de α for um seguinte de ret. Sugestão: Use o seguinte resultdo: α(b) α() 2 = α (t),α(b) α() dt. 17. Considere s seguintes curvs prmetrizds regulres: ) α(t) = (e t cos(t),e t sen (t),e t ), t R b) α(t) = (e t,e t, 2t), t R Reprmetrize ests curvs pelo comprimento de rco, obtenh o triedro de Frenet, curvtur e torção. 18. Sej α : I R 3 um curv regulr. Prove que se tods s rets tngentes α têm um ponto em comun, então o trço de α é um segmento de ret. 19. Prove que se dus curvs são simétrics em relção à origem, então els têm mesm curvtur e torção difere de sinl. 20. Sej α(s) = (x(s), y(s)) um curv regulr, não necessrimente p.c.. Demonstre cd um ds seguintes fórmuls pr curvtur de α : k = t (s),n(s) α (t) = α (s),n(s) α (t) 2 = x (s)y (s) x (s)y (s) α (t) 3 onde t(s) e n(s) são, repectivmente, os vetores tngentes e normis α. 21. Sej α : I R 2 um curv regulr, com curvtur k(s). Mostre que se k(s 0 ) > 0, então, pr todo s suficientemente próximo de s 0, α(s) está no semi-plno determindo pel ret tngente á curv α, em s 0, pr o qul pont o vetor n(s 0 ). Sugestão: Identifique o significdo geométrico d função f(s) = α(s) α(s 0 ),n(s 0 ) e estude o seu comportmento n vizinhnç de s 0. 3

4 22. A trctriz é curv pln obtid do seguinte modo: fixemos um ret (sej el o eixo y); distânci de qulquer ponto p d curv o ponto de interseção q d tngente à curv em p com ret fixd é constnte, igul 1. ) Prmetrize trtriz usndo o ângulo t entre o vetor (0, 1) e tngente à curv como prâmetro. b) Fç um esboço d trctrix. c) Mostre tmbém que curvtur d trctrix é proporcionl o comprimento do segmento d ret norml à trctrix, compreendido entre α(t) e o eixo y. 23. Considere um curv α(t) = ( cos(t), sen (t), f (t) ). Determine f(t) pr que: ) os vetores normis α sejm ortogonis o eixo oz; b) α sej um curv pln. 24. Sej α : I R 3 um curv regulr. Mostre que o trço de α está contído em um circunferênci de rio > 0 se, e só se, τ = 0 e κ = Verifique que curv α(t) = (sen 2 (t),sen (t) cos(t), cos(t)), t R, tem o trço contido em um esfer. Além disso, todos os plnos normis α pssm pel origem. 26. Sej α : I R 3 um hélice e u o vetor fixo que form um ângulo constnte θ com α (t). Sej s(t) função comprimento de rco de α prtir de t = 0. Considere curv β(t) = α(t) [s(t) cosθ] u e prove que ) β(i) está contid no plno que pss por α(0) e é ortogonl u. k b) curvtur de β é igul, onde k é curvtur d curv α. sen 2 θ 27. Sejm α,α : I R 3 curvs regulres prmetrizds pel comprimento de rco s tl que pr cd s I, curvtur e torção desss curvs não se nulm. Prove que se os vetores binormis ds dus curvs coincidem, isto é, b(s) = b(s), então s curvs α e α são congruentes. 28. Verifique que s curvs α(t) = (2 cos(t), 2sen (t),2t), t R e β(t) = (t+ 3sen (t),2 cos(t), 3t sen (t)), t R, são congruentes. Obtenh isometri F tl que F α = β. 29. Sej α : I R 2 um curv regulr prmetrizd pelo comprimento de rco s. A evolut de α é curv definid por β(s) = α(s) + ρ(s)n(s), onde ρ(s) é o inverso d curvtur de α em s (rio de curvtur) e n(s) é o vetor norml de α. Prove que ) β é um curv diferenciável se k(s) 0, s. b) Suponh que k(s) 0, s, então β é regulr se k (s) 0, s. 4

5 c) Ns condições do item b) o vetor tngente à evolut em s é prlelo o vetor norml α em s. 30. Determine s curvs de R 2 que têm seguinte propriedde: o comprimento d prte ds rets normis à curv comprendid entre mesm e o eixo dos x tem comprimento constnte. 31. Crcterize tods s curvs regulres plns que têm curvtur constnte. 32. Determine s curvs regulres do plno cujs rets normis se intersectm em um ponto fixo. 5