Coordenadas cartesianas Triedro direto

Transcrição

1 Coordends crtesins Triedro direto

2 Coordends crtesins Loclizção de pontos (P e Q)

3 Coordends crtesins Elemento de volume diferencil

4 Coordends crtesins Componentes,, z do vetor r

5 Coordends crtesins Vetores unitários

6 Coordends crtesins Vetor diferenç entre P e Q

7 Produto esclr

8 Produto vetoril Regr do prfuso

9 Coordends cilíndrics circulres superfícies mutumente perpendiculres

10 Coordends cilíndrics circulres vetores unitários

11 Coordends cilíndrics circulres

12 Coordends cilíndrics circulres Volume diferencil

13 Relções entre coordends retngulres e cilíndrics circulres

14 Coordends esférics

15 Coordends esférics superfícies mutumente perpendiculres

16 Coordends esférics vetores unitários

17 Coordends esférics

18 Coordends esférics Elemento diferencil de volume

19 Comprção entre coordends retngulres, cilíndrics e esférics

20 Comprção entre vetores unitários de coordends retngulres, cilíndrics e esférics

21 Comprção entre elementos diferenciis de volumes em coordends retngulres, cilíndrics e esférics

22 Relções entre s coordends Retngulres Cilíndrics Esférics R e t ρ cos φ r sen θ cos φ ρ sen φ r sen θ sen φ z z rcos θ C i l E s f ρ φ z r θ φ rc cos + rc tn z rc tn z z + z

23 Produtos esclres entre os versores ρ φ z r θ φ cos φ sen φ 0 sen θ cos φ cos θ cos φ sen φ sen φ cos φ 0 sen θ sen φ cos θ sen φ cos θ z 0 0 cos θ sen φ 0

24 Relções entre os versores Retngulres Cilíndrics Esférics R e t cos φ ρ sen φ φ sen θ cos φ r + cos θ cos φ θ - sen φ φ sen φ ρ + cos φ φ sen θ sen φ r + cos θ sen φ θ + cos φ φ z z cos θ r - sen θ θ C i l ρ φ z cos φ + sen φ sen φ + cos φ z E s f r θ φ sen θ cos φ + sen θ sen φ + cos θ z cos θ cos φ + cos θ sen φ - sen θ z sen φ + cos φ

25 f F f ( F) ( fg) ( ) ( ff) Identiddes vetoriis diferenciis = = 0 = 0 = = F G = ( F ) G + F ( G) + ( G) F + G ( F) ( F G) ( ff) ( ) = = = f ( F) F ( f ) g + f ( g) ( f ) F + f F ( f ) F + f ( F) ( f ) F + f F F G = ( G) F ( F) G + ( G ) F ( F )G

26 Coordends curvilínes

27 Coordends curvilínes Um ponto P no espço pode ser loclizdo por coordends retngulres (,,z) ou por coordends curvilínes (u,u,u ). As equções que trnsformm um conjunto de coordends no outro são: = (u,u,u ) = (u,u,u ) = (u,u,u ) Se u e u forem constntes, então, à medid que u vrir, posição do ponto P, representd pelo vetor r = + + z z descreve curv coordend u. Similrmente são definids s curvs no espço u e u. Os vetores r, r, r representm os versores tngentes às curvs u u u coordends u,u,u.

28 Coordends curvilínes Fzendo,, os versores tngentes às curvs coordends, tem-se: r r r =, =, =, u u u em que r r r =, =, = u u u são denomindos ftores esclres. Se,, forem mutumente perpendiculres, o sistem de coordends curvilínes é dito ortogonl.

29 Coordends curvilínes em que ( z,, ) uuu O elemento diferencil de volume em coordends curvilínes será: = = ( ) ( ) ( ) dv = du du du = u u u = u u u z u z u z u dududu r r r dududu = u u u ( z,, ) du du du uuu é denomind Mtriz Jcobin d trnsformção.

30 + + = u f u u f u u f u f + + = u f u f u f f ( ) ( ) ( ) + + = u A u A u A A A A A u u u A = vetor qulquer esclr do vetor A Lplcino Grdiente Divergente Rotcionl u u u Crtesins z Cilíndrics ρ φ z ρ Esférics r r r sen θ Ftores de proporcionlidde Coordends curvilínes versores tngentes às curvs função lgébric qulquer f A θ φ A,,,

31 Eercícios Eercício E. Ddos os três pontos A(;-;), B(-4;-;6), e C(;5;-), determinr: ) O vetor que se etende de A té C; b) O vetor unitário dirigido de B pr A; c) A distânci entre B e C; d) O vetor que se etende de A té o ponto médio do segmento que une B C. Eercício E. Um cmpo vetoril é definido por W = Ddos os três pontos, B(-4;-;6), e C(;5;-), determinr: 4 (7 z) (4 z ) ) Qul é intensidde (ou módulo) d cmpo no ponto P(;-;4)? b) Determine o vetor unitário que indique direção d cmpo no ponto P? c) Em que ponto (ou pontos) do eio "z" intensidde de "W" é unitári? z Eercício E. Ddos F = e G = + 5, determine: z z ) FG i ; b) O ângulo entre F e G; c) A componente esclr de F n direção de G; c) A projeção de F n direção de G. Eercício E.4 Se F = e G = 4 +, determine: ) F G; b) ( F); c) ( ) F; z z c) Um vetor perpendiculr F e G.

32 Resposts dos eercícios ( ). 0,45 0,59 0,669 ) ; ) ; 45 ) ; )5.4.,4,55, ) )4,8; ; )0,8 7; ). 0,455. ) ; 0,50 0,4 0,899 ) )5,4;.. 0,5 4,5,5 ) ),45; ; 0,65 0,7 )0,76 ; 4 8 ). z z z z z z z d c b E d c b E c b E d c b E + ± + ±

33 Eercício E.5 Ddos os pontos P( ρ Eercícios o =6; =5 ;z=-) e Q(=;=-;z=4), determine distânci: φ ) De "P" té origem; b) De "Q" té o pé d perpendiculr que pss por este ponto, em relção o eio "z"; c) Entre P e Q; Eercício E.6 ) Epresse o cmpo de temperturs T = 40 + z em coordends cilíndrics; b) Determine densidde no ponto P(-;-5;), sendo mesm epress por e ( ρ φ z + cos ). Eercício E.7 ) Epresse o cmpo vetoril W = ( ) em coordends cilíndrics; b) Epresse o cmpo vetoril F = ρ cosφ ; ρ Eercício E.8 Ddos os pontos P( r=6; θ ) De "Q" à origem; b) De "P" té o plno = 0; c) Entre "P" e "Q"; o =0 ; =5) e Q(=;=-;z=4), determine dist φ ânci: Eercício E.9 ) Epresse o cmpo de temperturs T = 40 + z em coordends esférics; b) Determine densidde é epress por re r / ( 5 + cosθ + senθ cos φ), determine- no ponto P(-;-5;). Eercício E.0 ) Epresse o cmpo vetoril W = ( ) em coordends esférics; b) Epresse o cmpo vetoril F = r cosφ em coordends crtesins. r

34 E.5 Resposts dos eercícios )6,7; b),6; c),0. E.6 )40 + E.7 ) ρ E.0 ) b) z ( )( ) ( cos φ sen φ sen φ + cos φ ; b) + )( + ). E.8 )5,0; b)4,6; c)0,5. E.9 )40 + r ρ sen φ; b)8,66. ( cos θ sen φ sen θ ) ( cos φ sen φ ) sen φ ( sen θ + cos θ ) r sen θ [ ] r θ + cos φφ ( + )( + + z ) ρ z ; φ b),706. ;