Vetores CAPÍTULO. Descrição do capítulo

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1 CAPÍTULO 1 Vetores Descrição do cpítulo 1.1 Vetores em dus dimensões 1.2 Vetores em três dimensões 1.3 Produto esclr 1.4 Produto vetoril 1.5 Rets e plnos em três dimensões 1.6 Espços vetoriis 1.7 Processo de ortogonlizção de Grm-Schmidt Eercícios de revisão Sem dúvid você já se deprou com notção de vetores em seus estudos de cálculo, ssim como n físic e n engenhri. Pr miori de vocês, então, este cpítulo é um revisão de tópicos fmilires, como os produtos esclr e vetoril. Entretnto, n Seção 1.6, considerremos um strção do conceito de vetores.

2 20 CAPÍTULO 1 Vetores 1.1 Vetores em dus dimensões B D CD CD = 3 AB AB = 3 A C Figur 1.2 Os vetores são iguis. Introdução Em ciêncis, n mtemátic e n engenhri, distinguimos dus quntiddes importntes: esclres e vetores. Um esclr é simplesmente um quntidde ou um número rel que tem mgnitude. Por eemplo, comprimento, tempertur e pressão sngüíne são representdos por números tis como 80 m, 20 o C e rzão sistólic/distólic 120/80. Um vetor, por outro ldo, é usulmente descrito como um quntidde que tem tnto mgnitude como direção. Vetores geométricos Geometricmente, um vetor pode ser representdo por um segmento de ret direciondo isto é, por um set sendo denotdo por um símolo em negrito ou um símolo com um set sore ele, por eemplo, v, ou. Eemplos de quntiddes vetoriis mostrds n Figur 1.1 são o peso w, velocidde v e forç de trito F f. v w w AB 3 2 AB 1 AB AB 4 F f () () (c) Figur 1.3 Vetores prlelos. Figur 1.1 Eemplos de quntiddes vetoriis. A AB AB A B AC B AC () () C C D AD = AB + AC Notção e terminologi Um vetor cujo ponto inicil (ou etremidde) for A e cujo ponto terminl (ou pont) for B é escrito como. A mgnitude do vetor é. Dois vetores com mesm mgnitude e mesm direção são ditos ser iguis. Portnto, n Figur 1.2, temos. Vetores são livres, o que signific que um vetor pode ser movido de um posição pr outr desde que su mgnitude e direção não sejm modificds. O negtivo de um vetor, escrito, é um vetor que tem mesm mgnitude que, porém tem direção opost. Se k 0 for um esclr, o múltiplo esclr de um vetor, k, é um vetor k vezes mior que. Se k 0, então k tem mesm direção que o vetor ; se k 0, então k tem direção opost à de. Qundo k 0, dizemos 0 0, que é o vetor zero.* Dois vetores são prlelos se e somente se eles forem múltiplos esclres não-nulos um do outro. Vej Figur 1.3. Adição e sutrção Dois vetores podem ser considerdos como tendo um ponto inicil comum, como A n Figur 1.4(). Dess form, se os vetores não-prlelos e forem os ldos de um prlelogrmo como indic Figur 1.4(), dizemos que o vetor que é digonl principl, ou, é som de e. Escrevemos A diferenç entre dois vetores e é definid como Figur 1.4 Vetor e. é som de * A questão sore qul é direção de 0 é usulmente respondid dizendo que o vetor zero pode ssumir qulquer direção. Mis ojetivmente, 0 é necessário pr que hj álger vetoril.

3 1.1 Vetores em Dus Dimensões 21 Como pode ser visto n Figur 1.5(), diferenç pode ser interpretd como digonl principl do prlelogrmo com ldos e. Entretnto, como ilustrdo n Figur 1.5(), podemos tmém interpretr mesm diferenç vetoril como o terceiro ldo de um triângulo com ldos e. Ness segund interpretção, oserve que diferenç vetoril pont em direção o ponto terminl do vetor prtir do qul estmos sutrindo o segundo vetor. Se, então AB + ( AC) AC () A AC B C B Vetores em um plno coordendo Pr descrever um vetor nliticmente, vmos supor pr o restnte dess seção que os vetores que estmos considerndo se estendem em um plno coordendo de dus dimensões ou idimensionl. Representremos o conjunto de todos os vetores no plno por R 2. O vetor indicdo n Figur 1.6, com ponto inicil origem O e ponto terminl P( 1, 1 ), é denomindo vetor posição do ponto P, sendo escrito Componentes Em gerl, um vetor em R 2 é qulquer pr ordendo de números reis, Os números 1 e 2 são ditos ser s componentes do vetor. Conforme veremos no primeiro eemplo, o vetor não é necessrimente um vetor posição. Eemplo 1 Vetor posição O deslocmento entre o ponto (,) e ( 4, 3) n Figur 1.7() é escrito 4,3. Como se vê n Figur 1.7(), o vetor posição de 4,3 é o vetor que provém d origem e termin no ponto P(4,3). A dição e sutrção de vetores, multiplicção de vetores por esclres, e ssim por dinte, são definids em termos de sus componentes. DEFINIÇÃO 1.1 Adição, multiplicção esclr e iguldde Considere 1, 2 e 1, 2 vetores em R 2. (i) Adição: 1 1, 2 2 (1) (ii) Multiplicção esclr: k k 1, k 2 (2) (iii) Iguldde: se e somente se 1 1, 2 2 (3) Sutrção Utilizndo (2), definimos o negtivo de um vetor como A AB AC () CB = AB AC Figur 1.5 Vetor é diferenç de e. P( 1, 1 ) Figur 1.6 O O OP C Vetor posição. ( + 4, + 3) (, ) () P(4, 3) () Figur 1.7 Vetores em () e () são iguis. Podemos definir sutrção, ou diferenç, de dois vetores como (4)

4 22 CAPÍTULO 1 Vetores P 2 ( 2, 2 ) OP 2 O P( 1 + 2, ) OP 1 + OP 2 OP 1 P 1 ( 1, 1 ) () N Figur 1.8(), mostrmos som de dois vetores e. N Figur 1.8(), o vetor, com ponto inicil P 1 e ponto terminl P 2, é diferenç dos vetores posição Conforme ilustrdo n Figur 1.8(), o vetor pode ser desenhdo começndo do ponto terminl de e terminndo no ponto terminl de, ou como o vetor posição cujs coordends do ponto terminl ( 2 1, 2 1 ). Relemre, e são considerdos iguis, pois eles têm mesm mgnitude e mesm direção. P( 2 1, 2 1 ) OP O P 2 ( 2, 2 ) OP 2 () OP 1 P 1 P 2 Figur 1.8 Em (), e são o mesmo vetor. P 1 ( 1, 1 ) Eemplo 2 Adição e sutrção de dois vetores Se 1,4 e 6,3, clcule, e 2 3. Solução Utilizmos (1), (2) e (4). Proprieddes A definição de componente de um vetor pode ser utilizd pr verificr cd um ds seguintes proprieddes dos vetores em R 2. Proprieddes dos vetores (i) (ii) ( c) ( ) c (iii) 0 (iv) ( ) 0 (v) k( ) k k, k um esclr (vi) (k 1 k 2 ) k 1 k 2, k 1 e k 2 esclres (vii) k 1 (k 2 ) (k 1 k 2 ), (viii) 1 (i) 0 0 O vetor zero 0 ns proprieddes (iii), (iv) e (i) é definido como (Lei comuttiv) (Lei ssocitiv) (Identidde ditiv) (Inversão ditiv) k 1 e k 2 esclres (Vetor zero) 2 1 Figur 1.9 Um triângulo reto. Mgnitude A mgnitude, comprimento ou norm de um vetor é representd por. Motivdos pelo Teorem de Pitágors e pel Figur 1.9, definimos mgnitude de um vetor como sendo Evidentemente, 0 pr qulquer vetor, e 0 se e somente se 0. Por eemplo, se 6, 2, então Vetores unitários Um vetor que tem mgnitude 1 é denomindo vetor unitário. Podemos oter um vetor unitário u n mesm direção de um vetor não-nulo multiplicndo pelo recíproco d su mgnitude. O vetor u (1/ ) é um vetor unitário, pois

5 1.1 Vetores em Dus Dimensões 23 Eemplo 3 Vetores unitários Ddo 2, 1, forme um vetor unitário n mesm direção de e um vetor unitário n direção opost de. Solução A mgnitude do vetor é. Logo, um vetor unitário n mesm direção de é o múltiplo esclr Um vetor unitário n direção opost de é o negtivo de u: Se e forem vetores e c 1 e c 2 forem esclres, então epressão c 1 c 2 é denomind cominção liner de e. Conforme será visto seguir, qulquer vetor em R 2 pode ser escrito como um cominção liner de dois vetores especiis. Os vetores i e j So o ponto de vist de (1) e (2), qulquer vetor 1, 2, pode ser escrito como um som: (5) Aos vetores unitários 1,0 e 0,1 são ddos usulmente os símolos i e j. Vej Figur 1.10(). Assim, se j i () então (5) se torn (6) Os vetores unitários i e j são ditos formr um se pr o sistem de vetores de dus dimensões, pois qulquer vetor pode ser escrito unicmente como um cominção liner de i e j. Se 1 i 2 j for um vetor posição, então Figur 1.10() mostr que é som dos vetores 1 i e 2 j, que têm origem como um ponto inicil comum e que se estendem nos eios e, respectivmente. O esclr 1 é chmdo de componente horizontl de, e o esclr 2 é chmdo de componente verticl de. 1 j 1 i () Figur 1.10 i e j formm um se pr R 2. Eemplo 4 Operções vetoriis utilizndo i e j () 4,7 4i 7j () (2i 5j) (8i 13j) 10i 8j (c) i j (d) 10(3i j) 30i 10j (e) 6i 4j e 9i 6j são prlelos, pois é um múltiplo esclr de. Vemos que. Eemplo 5 Gráficos de som vetoril / diferenç vetoril Considere 4i 2j e 2i 5j. Fç o gráfico de e.

6 24 CAPÍTULO 1 Vetores Solução Os gráficos de 2i 7j e 6i 3j estão indicdos ns Figurs 1.11() e 1.11(), respectivmente. + () () Figur 1.11 Som em (); diferenç em (). EXERCÍCIOS 1.1 As resposts de prolems ímpres seleciondos estão n págin 285. Nos Prolems 1-8, clcule () 3, (), (c), (d) e (e) Nos Prolems 9-14, clcule () 4 2 e () Nos Prolems 15-18, otenh os vetores e do seu vetor posição correspondente Fç o gráfico de 19. Otenh o ponto terminl do vetor 4i 8j considerndo que o seu ponto inicil sej ( 3,10). 20. Otenh o ponto terminl do vetor 5, 1 considerndo que o seu ponto inicil sej 4, Determine quis dos seguintes vetores são prlelos 4i 6j. () (c) (e) 22. Determine um esclr c de modo que 3i cj e i 9j sejm prlelos. Nos Prolems 23 e 24, clcule ( c) pr os vetores indicdos Nos Prolems 25-28, otenh um vetor unitário () n mesm direção de, e () n direção opost de Nos Prolems 29 e 30, 2,8 e 3,4. Otenh um vetor unitário n mesm direção dos vetores indicdos Nos Prolems 31 e 32, determine um vetor que sej prlelo o vetor especificdo e tenh mgnitude indicd Determine um vetor n direção opost de 4,10, porém mior. 34. Considerndo 1,1 e 1,0, determine um vetor n mesm direção de, porém 5 vezes mior. () (d) (f)

7 1.1 Vetores em Dus Dimensões 25 Nos Prolems 35 e 36, utilize figur dd pr ilustrr o vetor indicdo () Use o fto que F f F n, onde μ é o coeficiente de trito, pr mostrr que tg. O pé não deslizrá pr ângulos menores ou iguis. () Ddo que 0,6 pr um slto de orrch em contto com um clçd de sflto, otenh o ângulo de não-deslizmento. c Figur 1.12 Vetores pr o Prolem 35. Figur 1.13 Vetores pr o Prolem 36. Nos Prolems 37 e 38, epresse o vetor em termos dos vetores e F f F n θ F g F Figur 1.14 Vetor no Prolem 37. ponto médio de Figur 1.15 Vetor no Prolem 38. Nos Prolems 39 e 40, utilize figur dd pr demonstrr o resultdo indicdo. 39. c c d 0 Figur 1.18 Vetor F no Prolem Um semáforo de 600 N sustentdo por dois cos está em equilírio. Conforme ilustrdo n Figur 1.19(), sej o peso do semáforo representdo por w e s forçs nos dois cos indicds por F 1 e F 2. A prtir d Figur 1.19(c), temos que um condição de equilírio é Vej o Prolem 39. Se (6) c d c use (7) pr determinr s mgnitudes de F 1 e F 2. [Sugestão: Relei (iii) d Definição 1.1.] Figur 1.16 Vetores pr o Prolem 39. Figur 1.17 Vetores pr o Prolem Nos Prolems 41 e 42, epresse o vetor 2i 3j como um cominção liner dos vetores e c indicdos F 2 () O F 1 Um vetor é dito ser tngente um curv em um ponto se ele for prlelo à ret tngente no ponto. Nos Prolems 43 e 44, triu um vetor tngente unitário à curv dd no ponto indicdo Enqunto cminh, o pé de um pesso tinge o solo com um forç F em um ângulo em relção à verticl. N Figur 1.18, o vetor F está dividido em componentes vetoriis F g, prlel o solo, e F n, perpendiculr o solo. Pr que o pé não deslize, forç F g tem que ser contrlnçd pel forç de oposição F f do trito, ou sej, F f F g. w () F 2 F 1 w (c) Figur 1.19 Três vetores forçs no Prolem 46.

8 26 CAPÍTULO 1 Vetores 47. Um crg elétric Q está uniformemente distriuíd o longo do eio entre e.vej Figur A forç totl eercid sore crg q no eio pel crg Q é F F i F j, onde e Determine F. Q L q 49. Utilizndo vetores, mostre que o segmento de ret entre os pontos médios de dois ldos de um triângulo é prlelo o terceiro ldo e tem metde do comprimento. 50. Um vião começ o vôo prtir de um eroporto loclizdo n origem O e vo 150 km n direção 20 o do norte leste pr cidde A. A prtir de A, o vião então vo 200 km n direção 23 o oeste norte pr cidde B. A prtir de B, o vião vo 240 km n direção 10 o sul oeste pr cidde C. Epresse loclizção d cidde C como um vetor r conforme indicdo n Figur Determine distânci de O pr C. C 10 O B N S L r 23 Figur 1.20 Crg no eio no Prolem Utilizndo vetores, mostre que s digonis de um prlelogrmo dividem ums às outrs o meio. [Sugestão: Sej M o ponto médio de um digonl e N o ponto médio d outr.] 20 O Figur 1.21 Avião no Prolem 50. A 1.2 Vetores em três dimensões = O = P(, ) Figur 1.22 Coordends retngulres em dus dimensões. Introdução No plno, ou espço de dus dimensões, um form de se descrever posição de um ponto P é designr ele coordends reltivs dois eios mutumente ortogonis ou perpendiculres, eios denomindos e. Se P for o ponto de interseção d ret (perpendiculr o eio ) e d ret (perpendiculr o eio ), então o pr ordendo (, ) é dito ser s coordends retngulres ou crtesins do ponto. Vej Figur Ness seção, estenderemos s noções de coordends crtesins e vetores pr três dimensões. Sistem de coordends retngulres em três dimensões Em três dimensões ou 3D, um sistem de coordends retngulres é construído utilizndo-se três eios mutumente ortogonis. O ponto no qul esses eios se cruzm é chmdo de origem O. Esses eios, presentdos n Figur 1.23(), são rotuldos de cordo com chmd z z plno z = c P(,, c) O () mão direit plno = () c plno = Figur 1.23 Coordends retngulres em três dimensões.

9 1.2 Vetores em Três Dimensões 27 regr d mão direit: se os dedos d mão direit, pontndo n direção do eio positivo, forem curvdos em direção o eio positivo, então o dedo polegr pontrá n direção de um novo eio perpendiculr o plno dos eios e. Esse novo eio é rotuldo como eio z. As linhs trcejds n Figur 1.23() representm os eios negtivos. Agor, se forem plnos perpendiculres os eios, e z, respectivmente, então o ponto P no qul esses plnos se cruzm podem ser representdos por um triplo ordendo de números (,, c) que são s coordends retngulres ou crtesins do ponto. Os números, e c são, respectivmente, s coordends, e z de P(,, c). Vej Figur 1.23(). Octntes Cd pr de eios coordendos determin um plno coordendo. Conforme indicdo n Figur 1.24, os eios e determinm o plno, os eios z e z determinm o plno z, e ssim por dinte. Os plnos coordendos dividem s três dimensões em oito prtes conhecids como octntes. O octnte no qul tods s três coordends de um ponto são positivs é denomindo primeiro octnte. Não eiste nenhum convenção pr nomer os outros sete octntes. A tel seguir resume s coordends de um ponto em um eio coordendo ou em um plno coordendo. Como pode ser visto n tel, podemos tmém descrever, por eemplo, o plno pel equção simples z 0. De modo similr, o plno z é 0 e o plno z é 0. z plno z plno z plno Figur 1.24 Octntes. z Eios Coordends Plno Coordends (, 0, 0) (,, 0) (0,, 0) z (, 0, c) z (0, 0, c) z (0,, c) ( 2, 2, 0) (4, 5, 6) Eemplo 1 Gráficos de três pontos Trce o gráfico dos pontos (4, 5, 6), (3, 3, 1) e ( 2, 2, 0). Solução Dos três pontos presentdos n Figur 1.25, somente (4, 5, 6) está no primeiro octnte. O ponto ( 2, 2, 0) está no plno. Fórmul d distânci Pr oter distânci entre dois pontos P 1 ( 1, 1, z 1 ) e P 2 ( 2, 2, z 2 ) em três dimensões, considerremos primeiro sus projeções no plno. Conforme visto n Figur 1.26, distânci entre ( 1, 1, 0) e ( 2, 2, 0) decorre d fórmul d distânci usul no plno, sendo. Se s coordends de P 3 forem ( 2, 2, z 1 ), então o Teorem de Pitágors plicdo o triângulo reto P 1 P 2 P 3 result em ou (1) (3, 3, 1) Figur 1.25 Pontos no Eemplo 1. z P 2 d P z 2 z 1 1 P 3 ( 2 1 ) 2 + ( 2 1 ) 2 Figur 1.26 Distânci d entre dois pontos em três dimensões. Eemplo 2 Distânci entre dois pontos Determine distânci entre (2, 3, 6) e ( 1, 7, 4). Solução Escolhendo P 2 como sendo (2, 3, 6) e P 1 como ( 1, 7, 4), fórmul (1) nos dá Fórmul do ponto médio A fórmul pr otenção do ponto médio de um segmento de ret entre dois pontos em dus dimensões se plic de modo nálogo às

10 28 CAPÍTULO 1 Vetores três dimensões. Se P 1 ( 1, 1, z 1 ) e P 2 ( 2, 2, z 2 ) forem dois pontos distintos, então s coordends do ponto médio do segmento de ret entre eles são (2) Eemplo 3 Coordends de um ponto médio Determine s coordends do ponto médio de um segmento de ret entre os dois pontos no Eemplo 2. Solução A prtir de (2), otemos z P( 1, 1, z 1 ) OP Vetores em três dimensões Um vetor em três dimensões em qulquer triplo ordendo de números reis O Figur 1.27 Vetor posição. onde 1, 2 e 3 são s componentes do vetor. O conjunto de todos os vetores em três dimensões será representdo pelo símolo R 3. O vetor posição de um ponto P( 1, 1, z 1 ) no espço é o vetor 1, 1, z 1 cujo ponto inicil é origem O e cujo ponto terminl é P. Vej Figur As definições ds componentes de dição, sutrção, multiplicção esclr e ssim por dinte são generlizções nturis dquels dds pr os vetores em R 2. DEFINIÇÃO 1.2 Definições ds componentes em três dimensões Sejm 1, 2, 3 e 1, 2, 3 vetores em R 3. (i) Adição: 1 1, 2 2, 3 3 (ii) Multiplicção esclr: k k 1, k 2, k 3 z P 1 ( 1, 1, z 1 ) P 1 P 2 OP 1 O OP P 2 ( 2, 2, z 2 ) OP 2 P Figur 1.28 e são o mesmo vetor. (iii) Iguldde: se e somente se 1 1, 2 2, 3 3 (iv) Negtivo: ( 1) 1, 2, 3 (v) Sutrção: ( ) 1 1, 2 2, 3 3 (vi) Vetor zero: 0 0, 0, 0 (vii) Mgnitude: Se e forem os vetores posição dos pontos P 1 ( 1, 1, z 1 ) e P 2 ( 2, 2, z 2 ), então o vetor é ddo por Como em dus dimensões, podem ser trçdos como um vetor cujo ponto inicil é P 1 e cujo ponto terminl é P 2, ou como um vetor posição com ponto terminl Vej Figur (2) Eemplo 4 Vetor entre dois pontos Determine o vetor considerndo que os pontos P 1 e P 2 são ddos por P 1 (4, 6, 2) e P 2 (1, 8, 3).

11 1.2 Vetores em Três Dimensões 29 Solução Se os vetores posição dos pontos são 4, 6, 2 e 1, 8, 3, então prtir de (3) temos Eemplo 5 Mgnitude de um vetor A prtir do item (vii) d Definição 1.2, temos que pois é um vetor unitário, z Os vetores i, j, k Vimos n seção nterior que os vetores unitários i 1, 0 e j 0, 1 são um se pr o sistem de vetores de dus dimensões em que qulquer vetor em dus dimensões pode ser escrito como um cominção liner de i e j: 1 i 2 j. Um se pr o sistem de vetores de três dimensões é dd pelo conjunto de vetores unitários z i k j () Qulquer vetor 1, 2, 3 em três dimensões pode ser escrito como um cominção liner de i, j e k: 1 i 3 k 2 j isto é, Os vetores i, j e k são ilustrdos n Figur 1.29(). N Figur 1.29(), vemos que um vetor posição 1 i 2 j 3 k é som dos vetores 1 i, 2 j e 3 k que se estendem o longo dos eios coordendos e têm origem como um ponto inicil comum. () Figur 1.29 i, j e k formm um se pr R 3. Eemplo 6 Vetor epressdo em termos de i, j e k O vetor 7, 5, 13 é o mesmo que 7i 5j 13k. Qundo terceir dimensão é considerd, qulquer vetor no plno é descrito equivlentemente como um vetor tridimensionl que se estende no plno coordendo z 0. Apesr dos vetores 1, 2 e 1, 2, 0 serem tecnicmente diferentes, ignorremos distinção. Por isso, por eemplo, indicremos 1, 0 e 1, 0, 0 pelo mesmo símolo i. Porém, pr evitr qulquer confusão possível, dqui em dinte sempre considerremos um vetor como um vetor tridimensionl, e os símolos i e j representrão somente 1, 0, 0 e 0, 1, 0, respectivmente. De modo similr, um vetor no plno ou no plno z tem que ter um componente zero. No plno z, um vetor No plno z, um vetor Eemplo 7 Vetor no plno z () O vetor 5i 3k está no plno coordendo z. ()

12 30 CAPÍTULO 1 Vetores Eemplo 8 Cominção liner Se 3i 4j 8k e i 4k, otenh 5 2. Solução Trtmos como um vetor tridimensionl e escrevemos, pr enftizr, i 0j 4k. De otemos EXERCÍCIOS 1.2 As resposts de prolems ímpres seleciondos estão n págin 285. Nos Prolems 1-6, fç o gráfico do ponto indicdo. Use os mesmos eios coordendos Nos Prolems 7-10, descrev geometricmente todos os pontos P(,, z) que stisfzem condição indicd Determine s coordends dos vértices do prlelepípedo retngulr cujos ldos são os plnos coordendos e os plnos 2, 5, z N Figur 1.30, dois vértices de um prlelepípedo retngulr com ldos prlelos os plnos coordendos estão indicdos. Determine s coordends dos seis vértices restntes. z (3, 3, 4) ( 1, 6, 7) Figur 1.30 Prlelepípedo retngulr no Prolem Considere o ponto P( 2, 5, 4). () Se rets forem trçds prtir de P perpendiculres os plnos coordendos, quis são s coordends do ponto n se de cd ret perpendiculr? () Se um ret for trçd prtir de P pr o plno z 2, quis são s coordends do ponto n se d ret perpendiculr? (c) Otenh o ponto no plno 3 que está mis próimo de P. 14. Determine um equção de um plno prlelo um plno coordendo que contenh os pres de pontos indicdos. () () (c) Nos Prolems 15-20, descrev o locl dos pontos P(,, z) que stisfzem (s) equção(ões) dds Nos Prolems 21 e 22, otenh distânci entre os pontos indicdos Determine distânci do ponto (7, 3, 4) pr () o plno z e () o eio. 24. Determine distânci do ponto ( 6, 2, 3) pr () o plno z e () origem. Nos Prolems 25-28, os três pontos indicdos formm triângulos. Determine quis triângulos são isósceles e quis são triângulos retos Nos Prolems 29 e 30, use fórmul d distânci pr demonstrr que os pontos indicdos são colineres Nos Prolems 31 e 32, resolv em relção à incógnit

13 1.3 Produto Esclr 31 Nos Prolems 33 e 34, determine s coordends do ponto médio do segmento de ret entre os pontos indicdos As coordends do ponto médio do segmento de ret entre P 1 ( 1, 1, z 1 ) e P 2 (2, 3, 6) são ( 1, 4, 8). Determine s coordends de P Sej P 3 o ponto médio do segmento de ret entre P 1 ( 3, 4, 1) e P 2 ( 5, 8, 3). Determine s coordends do ponto médio do segmento de ret () entre P 1 e P 3 e () entre P 3 e P 2. Nos Prolems 37-40, determine o vetor Nos Prolems 41-48, 1, 3, 2, 1, 1, 1 e c 2, 6, 9. Determine o vetor ou esclr indicdo Determine um vetor unitário n direção opost de 10, 5, Determine um vetor unitário n mesm direção de i 3j 2k. 51. Determine um vetor que tenh comprimento 4 vezes mior que i j k n mesm direção de. 52. Determine um vetor no qul que sej prlelo 6, 3, 2 ms que tenh direção opost. 53. Utilizndo os vetores e mostrdos n Figur 1.31, esoce o vetor médio. z Figur 1.31 Vetores pr o Prolem Produto esclr Introdução Nest e n próim seção, considerremos dois tipos de produtos entre vetores que se originrm do estudo de mecânic, eletricidde e mgnetismo. O primeiro desses produtos é conhecido como produto esclr ou produto interno. Um definição O produto esclr entre dois vetores e result em um esclr e é comumente representdo por. θ () DEFINIÇÃO 1.3 Produto esclr de dois vetores O produto esclr de dois vetores e é o esclr (1) onde é o ângulo entre os vetores de modo que 0. A Figur 1.32 ilustr o ângulo em três csos. Se os vetores e não forem prlelos, então é o menor dos dois possíveis ângulos entre eles. Eemplo 1 Produto esclr utilizndo (1) A prtir de (1), otemos θ () θ (c) Figur 1.32 Ângulo em (1). (2) pois i j k 1, e em cd cso cos 1.

14 32 CAPÍTULO 1 Vetores θ Figur 1.33 Vetor c utilizdo pr oter (4). c Form em componentes do produto esclr O produto esclr pode ser escrito em termos ds componentes de dois vetores. Suponh que sej o ângulo entre os vetores 1 i 2 j 3 k e 1 i 2 j 3 k. Então o vetor é o terceiro ldo do triângulo indicdo n Figur Pel lei dos co-senos, podemos escrever (3) Utilizndo ( 2 2 ) 2 ( 3 3 ) 2, podemos simplificr o ldo direito d segund equção em (3) pr Como o ldo esquerdo dess equção é definição do produto esclr, otemos um form lterntiv do produto esclr: (4) Em outrs plvrs, o produto esclr de dois vetores é som dos produtos ds sus componentes correspondentes. Eemplo 2 Produto Esclr Utilizndo (4) Se 10i 2j 6k e 4j 3k, então decorre de (4) que Proprieddes O produto esclr possui s seguintes proprieddes. (i) se ou (ii) (iii) (iv) (v) (vi) Proprieddes do produto esclr (lei comuttiv) (lei distriutiv) k um esclr Cd um desss proprieddes, com possível eceção de (iii), deve ser óvi prtir de (1). Oserve que (vi) diz que mgnitude de um vetor pode ser escrit em termos do produto esclr: Podemos utilizr (4) pr demonstrr (iii). Se 1 i 2 j 3 k, 1 i 2 j 3 k, e c c 1 i c 2 j c 3 k, então prtir de (4) temos Vetores ortogonis Se e forem vetores não-zero, então Definição 1.3 implic que (i) 0 se e somente se for gudo, (ii) 0 se e somente se for otuso, e (iii) 0 se e somente se cos 0.

15 1.3 Produto Esclr 33 Porém, no último cso, o único número em [0, ] pr o qul cos 0 é /2. Qundo /2, dizemos que os vetores são perpendiculres ou ortogonis. Assim, somos levdos o seguinte resultdo: TEOREMA 1.1 Critério pr vetores ortogonis Dois vetores não-zero e são ortogonis se e somente se 0. Como 0 0 pr todo vetor, o vetor zero é ortogonl em relção todo vetor. Eemplo 3 i, j e k são vetores ortogonis Decorre imeditmente do Teorem 1.1 e do fto do produto esclr ser comuttivo que (5) Eemplo 4 Vetores ortogonis Se 3i j 4k e 2i 14j 5k, então A prtir do Teorem 1.1, concluímos que e são ortogonis. Ângulo entre dois vetores Igulndo s dus forms do produto esclr, (1) e (4), podemos determinr o ângulo entre dois vetores prtir de (6) Eemplo 5 Ângulos entre dois vetores Determine o ângulo entre 2i 3j k e i 5j k. Solução De, vemos de (6) que e ssim 0,77 rdinos ou 44,9 o. Co-senos direcionis Pr um vetor não-zero 1 i 2 j 3 k em três dimensões, os ângulos, e entre e os vetores unitários i, j e k, respectivmente, são denomindos ângulos direcionis de. Vej Figur Agor, de (6), z k i γ β α j que se simplific pr Figur 1.34 e. Ângulos direcionis,

16 34 CAPÍTULO 1 Vetores Dizemos que cos, cos e cos são os co-senos direcionis de. Os co-senos direcionis de um vetor não-zero são simplesmente s componentes do vetor unitário (1/ ): Como mgnitude de (1/ ) é 1, segue-se d últim equção que Eemplo 6 Ângulos/co-senos direcionis Otenh os co-senos direcionis e ângulos direcionis do vetor 2i 5j 4k. Solução A prtir de, temos que os cosenos direcionis são Os ângulos direcionis são rdinos ou rdino ou rdino ou Oserve no Eemplo 6 que Componente de em A lei distriutiv e (5) nos permitem epressr s componentes de um vetor 1 i 2 j 3 k em termos do produto esclr: θ Simolicmente, escrevemos s componentes de como (7) (8) cos θ () Veremos gor que os resultdos indicdos em (8) nos levm oter componente de em um vetor ritrário. Oserve que em pelo menos um dos dois csos ilustrdos n Figur 1.35, (9) θ N Figur 1.35(), comp 0, pois /2. Agor, escrevendo (9) como cos θ () Figur 1.35 Componente de em. vemos que (10) Em outrs plvrs, pr oter componente de em um vetor, fzemos o produto esclr de n direção de. Eemplo 7 Componente de um vetor em outro vetor Considere 2i 3j 4k e i j 2k. Determine comp e comp.

17 1.3 Produto Esclr 35 Solução Primeiro formmos um vetor unitário n direção de : Assim, prtir de (10) temos Modificndo (10), temos Portnto, F e θ Interpretção físic do produto esclr Qundo um forç constnte de mgnitude F move um ojeto por um distânci d n mesm direção d forç, o trlho relizdo é simplesmente W Fd. Entretnto, se um forç constnte F plicd em um corpo tu em um ângulo em relção à direção do movimento, então o trlho feito por F é definido como sendo o produto d componente de F n direção do deslocmento e distânci d deslocd pelo corpo: F cos θ Figur 1.36 Trlho relizdo por um forç F. d Vej Figur Decorre d Definição 1.3 que se F cusr um deslocmento d de um corpo, então o trlho relizdo será Eemplo 8 Trlho relizdo por um forç constnte Determine o trlho relizdo por um forç constnte F 2i 4j considerndo que o seu ponto de plicção em um loco se move de P 1 (1,1) pr P 2 (4,6). Considere que F sej medid em newtons e d sej medido em metros. (11) proj k z Solução O deslocmento do loco é ddo por Decorre de (11) que o trlho relizdo é Projeção de sore Conforme ilustrdo n Figur 1.37, projeção de um vetor em qulquer um ds direções determinds por i, j, k é simplesmente o vetor formdo pel multiplicção d componente de n direção especificd pelo vetor unitário nquel direção; por eemplo, proj i Figur 1.37 e k. proj j k j i Projeção de sore i, j e ssim por dinte. A Figur 1.38 mostr o cso gerl d projeção de sore : (12) Eemplo 9 Projeção de um vetor em outro vetor Determine projeção de 4i j sore o vetor 2i 3j. Fç o gráfico. vetor unitário 1 proj Figur 1.38 Projeção de sore.

18 36 CAPÍTULO 1 Vetores Solução Primeiro, determinmos componente de e. Como, otemos prtir de (10) que i j Assim, de (11), Figur 1.39 Projeção de sore no Eemplo 9. O gráfico desse vetor está indicdo n Figur EXERCÍCIOS 1.3 As resposts de prolems ímpres seleciondos estão n págin 286. Nos Prolems 1 e 2, determine considerndo que o menor ângulo entre e sej conforme indicdo Nos Prolems 3-14, 2, 3, 4, 1, 2, 5 e c 3, 6, 1. Otenh o esclr ou vetor indicdo Determine quis pres dos seguintes vetores são ortogonis: () () (c) (d) (e) (f) 16. Determine um esclr c de modo que os vetores indicdos sejm ortogonis. () () 17. Determine um vetor v 1, 1, 1 que sej ortogonl tnto 3, 1, 1 qunto 3, 2, Um romo é um prlelogrmo com ângulo olíquo com todos os qutro ldos iguis. Utilize o produto esclr pr mostrr que s digonis de um romo são perpendiculres. 19. Verifique que o vetor 20. Determine um esclr c de modo que o ângulo entre i cj e i j sej 45 o. Nos Prolems 21-24, determine o ângulo entre os vetores indicdos Nos Prolems 25-28, determine os co-senos direcionis e os ângulos direcionis do vetor indicdo Determine o ângulo entre digonl do cuo ilustrdo n Figur 1.40 e rest AB. Otenh o ângulo entre digonl AD do cuo e digonl. D C z Figur 1.40 Digonl no Prolem Mostre que se dois vetores não-zero e são ortogonis, então seus co-senos direcionis stisfzem B A é ortogonl em relção o vetor. 31. Um vião está 4 km de ltur, 5 km o sul e 7 km leste de um eroporto. Vej Figur Determine os ângulos direcionis do vião.

19 1.3 Produto Esclr 37 pr cim F eroporto 5 4 E S 7 Figur 1.41 Avião no Prolem Determine um vetor unitário cujos ângulos direcionis, reltivos os três eios coordendos, são iguis. Nos Prolems 33-36, 1, 1, 3 e 2, 6, 3. Determine o número indicdo Nos Prolems 37 e 38, otenh componente do vetor indicdo n direção prtir d origem té o ponto indicdo Nos Prolems 39-42, otenh proj Nos Prolems 43 e 44, 4i 3j e i j. Determine o vetor indicdo Um trenó é pudo verticlmente sore o gelo por um cord conectd à su prte dinteir. Um forç de 20 N tundo com um ângulo de 60 o em relção à horizontl desloc o trenó 100 m. Clcule o trlho relizdo. 46. Determine o trlho relizdo considerndo que o ponto no qul forç constnte F 4i 3j 5k é plicd em um ojeto se desloc de P 1 (3, 1, 2) pr P 2 (2, 4, 6). Considere que F sej medido em newtons e d sej medido em metros. 47. Um loco com peso w é pudo o longo de um superfície horizontl sem trito por um forç constnte F de mgnitude 30 N n direção dd por um vetor d. Vej Figur Considere que d sej medido em metros. Figur 1.43 Bloco no Prolem N molécul de metno CH 4, os átomos de hidrogênio estão posiciondos nos qutro vértices de um tetredro retngulr. Vej Figur A distânci entre o centro de um átomo de hidrogênio e o centro de um átomo de crono é 1,10 ngstroms (1 ngstrom metros), e o ângulo d ligção hidrogênio-crono-hidrogênio é 109,5 o. Utilizndo pens métodos vetoriis, determine distânci entre dois átomos de hidrogênio. Figur 1.44 Molécul no Prolem 49. H 50. Utilize o produto esclr pr demonstrr desiguldde de Cuch-Schwrz:. 51. Utilize o produto esclr pr demonstrr desiguldde do triângulo:. [Sugestão: Considere propriedde (vi) do produto esclr.] 52. Prove que o vetor n i j é perpendiculr à ret cuj equção é c 0. [Sugestão: Considere P 1 ( 1, 1 ) e P 2 ( 2, 2 ) pontos distintos n ret.] 53. Utilize o resultdo do Prolem 52 e Figur 1.45 pr mostrr que distânci d prtir de um ponto P 1 ( 1, 1 ) té um ret c 0 é. θ H C H H F P 1 ( 1, 1 ) w d d Figur 1.42 Bloco no Prolem 47. () Qul é o trlho relizdo pelo peso w? () Qul é o trlho relizdo pel forç F se d 4i 3j? 48. Um forç constnte F de mgnitude 3 N é plicd o loco ilustrdo n Figur F tem mesm direção do vetor 3i 4j. Determine o trlho relizdo n direção do movimento considerndo que o loco se mov de P 1 (3,1) pr P 2 (9,3). Considere que distânci sej medid em metros. n P 2 ( 2, 2 ) + + c = 0 Figur 1.45 Distânci d no Prolem 53.

20 38 CAPÍTULO 1 Vetores 1.4 Produto vetoril Introdução Ao contrário do produto esclr, que tem como resultdo um esclr ou um número, o próimo produto especil de dois vetores e é outro vetor, sendo chmdo de produto vetoril. Um definição O produto vetoril dos vetores e é denotdo por. DEFINIÇÃO 1.4 O produto vetoril de dois vetores e em R 3 é o vetor Produto vetoril de dois vetores onde é o ângulo eistente entre os vetores de modo que 0, e n é um vetor unitário perpendiculr o plno de e com direção indicd pel regr d mão direit. (1) Conforme visto n Figur 1.46(), se os dedos d mão direit pontrem o longo do vetor e então se curvrem em direção o vetor, o dedo polegr drá direção de n, e conseqüentemente. N Figur 1.46(), regr d mão direit mostr direção. mão direit n θ mão direit n () () Figur 1.46 Regr d mão direit. F F sen θ θ r Figur 1.47 Vetores no Eemplo 1. P r F Figur 1.48 Vetores no Eemplo 1. Eemplo 1 Torque como produto vetoril Em físic, forç F que tu n etremidde de um vetor posição r, como ilustrdo n Figur 1.47, é dit produzir um torque definido por r F. Por eemplo, se F 20 N, r 3,5 m e 30 o, então prtir de (1) (3,5)(20)sen 30 o 35 N.m. Se F e r estiverem no plno d págin, regr d mão direit implic em que direção de sej pr for e perpendiculr à págin (em direção o leitor). Conforme pode ser visto n Figur 1.48, qundo um forç F é plicd um chve de prfuso, mgnitude do torque é um medid do efeito de rotção sore o ponto do eio P, e o vetor está direciondo o longo do eio do prfuso. Nesse cso, pont pr dentro d págin. Proprieddes O produto vetoril tem s seguintes proprieddes. (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) Proprieddes do produto vetoril (Leis distriutivs) k um esclr

21 1.4 Produto Vetoril 39 (vii) (viii) A propriedde (vi) decorre de (1), pois 0. As proprieddes (vii) e (viii) estão relcionds o fto de que é perpendiculr o plno contendo e. A propriedde (ii) deve ser intuitivmente clr com se n Figur Vetores prlelos Qundo o ângulo entre dois vetores não-zero é 0 ou, então sen 0, e ssim temos que ter 0. Isso é enuncido formlmente no próimo teorem. TEOREMA 1.2 Critério pr vetores prlelos Dois vetores não-zero e são prlelos se e somente se 0. Eemplo 2 Vetores prlelos () A prtir d propriedde (vi) temos (2) () Se 2i j k e 6i 3j 3k 3, então e são prlelos. Portnto, do Teorem 1.2, 0. Oserve que esse resultdo tmém decorre d cominção ds proprieddes (v) e (vi). A prtir de (1), se i, j, então Porém, como um vetor unitário perpendiculr o plno que contém i e j com direção dd pel regr d mão direit é k, segue-se de (3) que n k. Em outrs plvrs, i j k. Eemplo 3 Um mnemônico Os produtos vetoriis de qulquer pr de vetores no conjunto i, j, k podem ser otidos pelo mnemônico circulr ilustrdo n Figur 1.49, isto é, (3) z k j i Figur 1.49 Mnemônico no Eemplo 3. (4) Definição lterntiv do produto vetoril Como fizemos pr o produto esclr, podemos utilizr lei distriutiv (iii) pr oter um form lterntiv do produto vetoril: A prtir dos resultdos em (2) e (4), (5) se simplific pr (5) (6)

22 40 CAPÍTULO 1 Vetores Oservmos que s componentes do vetor em (6) podem ser escrits como determinntes de ordem 2: (7) Por su vez, (7) pode ser escrit como um determinnte de ordem 3: (8) A epressão no ldo direito de (8) não é relmente um determinnte, pois sus entrds não são tods esclres; (8) é simplesmente um form de lemrr complicd epressão em (6). Eemplo 4 Produto vetoril Considere 4i 2j 5k e 3i j k. Determine. Solução A prtir de (8), temos A form do produto vetoril dd em (7) nos permite demonstrr lgums ds proprieddes (i) (viii). Por eemplo, pr demonstrr (ii) escrevemos Deimos demonstrção d propriedde (iii) como um eercício. Produtos especiis O chmdo produto esclr triplo de vetores, e c é ( c). Agor, Conseqüentemente, temos (9) Além disso, prtir ds proprieddes dos determinntes, temos

23 1.4 Produto Vetoril 41 O produto vetoril triplo de três vetores, e c é ( c). Dei-se como um eercício mostrr que Áres e volume Dois vetores não-zero e não-prlelos e podem ser considerdos como sendo os ldos de um prlelogrmo. A áre A de um prlelogrmo é A (se)(ltur). A prtir d Figur 1.50(), vemos que A ( sen ) sen. (10) θ h = sen θ () ou (11) D mesm form, prtir d Figur 1.50(), vemos que áre de um triângulo com ldos e é () De modo similr, se os vetores, e c não se estenderem no mesmo plno, então o volume do prlelepípedo com rests, e c indicdo n Figur 1.51 é (12) Figur 1.50 Áre de um prlelogrmo em (); áre de um triângulo em (). c ou (13) Em decorrênci do último resultdo, o produto esclr triplo é lgums vezes denotdo como produto ci de, e c. Eemplo 5 Áre de um triângulo Clcule áre de um triângulo determindo pelos pontos P 1 (1, 1, 1), P 2 (2, 3, 4) e P 3 (3, 0, 1). comp c Figur 1.51 Volume de um prlelepípedo. c Solução Os vetores e podem ser tomdos como dois ldos de um triângulo. Como i 2j 3k e i 3j 5k, temos A prtir de (12), vemos que áre é Vetores coplnres Vetores que se estendem no mesmo plno são ditos ser coplnres. Vimos que se os vetores, e c não forem coplnres, então necessrimente ( c) 0, pois o volume de um prlelepípedo com rests, e c tem volume diferente de zero. De modo equivlente, isso signific que se ( c) 0, então os vetores, e c são coplnres. Como o oposto dess últim firmtiv tmém é verddeiro, temos se e somente se, e c forem coplnres

24 42 CAPÍTULO 1 Vetores Oservções Ao se trlhr com vetores, deve-se ter cuiddo pr não misturr os símolos e com os símolos pr multiplicção ordinári, e ser especilmente cuiddoso com o uso ou flt de uso dos prênteses. Por eemplo, epressões tis como não são significtivs ou em-definids. EXERCÍCIOS 1.4 As resposts de prolems ímpres seleciondos estão n págin 286. Nos Prolems 1-10, determine Nos Prolems 11 e 12, determine Nos Prolems 13 e 14, determine um vetor que sej perpendiculr mos e Nos Prolems 15 e 16, verifique que ( ) 0 e ( ) Nos Prolems 17 e 18, () clcule c seguido de ( c). () Verifique os resultdos do item () por meio de (10) dess seção Nos Prolems 19-36, otenh o esclr ou vetor indicdos sem utilizr (8), (9) ou (10) Nos Prolems 37-44, 4i 3j 6k e c 2i 4j k. Determine o esclr ou vetor indicdos Nos Prolems 45 e 46, () verifique que o qudrilátero ddo é um prlelogrmo e () determine áre do prlelogrmo. 45. z (1, 3, 4) (2, 0, 0) (0, 0, 4) (1, 3, 0) Figur 1.52 Prlelogrmo no Prolem z ( 2, 0, 3) (2, 0, 2) (3, 4, 1) ( 1, 4, 2) Figur 1.53 Prlelogrmo no Prolem 46. Nos Prolems 47-50, clcule áre do triângulo determindo pelos pontos indicdos. 47.

25 1.5 Rets e Plnos em Três Dimensões Nos Prolems 51 e 52, clcule o volume do prlelepípedo pr o qul os vetores indicdos têm três rests Determine se os vetores 4i 6j, 2i 6j 6k e são coplnres. 54. Determine se os qutro pontos P 1 (1, 1, 2), P 2 (4, 0, 3), P 3 (1, 5, 10) e P 4 ( 7, 2, 4) se estendem no mesmo plno. 55. Conforme presentdo n Figur 1.54, o vetor se estende no plno e o vetor se estende o longo do eio z positivo. Sus mgnitudes são 6,4 e 5. () Use Definição 1.4 pr determinr. () Utilize regr d mão direit pr oter direção de. (c) Utilize o item () pr epressr em termos dos vetores unitários i, j, k. z 60 Figur 1.54 Vetores pr o Prolem Dois vetores e se estendem no plno z de modo que o ângulo entre eles é 120 o. Se e 8, determine todos os vlores possíveis de. 57. Um reticuldo tridimensionl é um coleção de cominções inteirs de três ses de vetores não-coplnres, e c. Em cristlogrfi, um reticuldo pode especificr loclizção de átomos em um cristl. Estudos de difrção por rios-x de cristis utilizm o reticuldo recíproco que tem ses () Um determindo reticuldo tem ses de vetores i, j e. Determine ses de vetores pr o reticuldo recíproco. () A célul unitári do reticuldo recíproco é o prlelepípedo com rests A, B e C, enqunto célul unitári do reticuldo originl é o prlelepípedo com rests, e c. Mostre que o volume d célul unitári do reticuldo recíproco é o recíproco do volume d célul unitári do reticuldo originl. [Sugestão: Comece com B C e utilize (10).] 58. Use (7) pr demonstrr propriedde (iii) do produto vetoril. 59. Prove ( c) ( c) ( )c. 60. Prove que ( c) ( ) c é válido ou não. 61. Prove ( c) ( ) c 62. Prove ( c) (c ) c ( ) Prove identidde de Lgrnge: 64. c implic c? 65. Mostre que ( ) ( ) Rets e plnos em três dimensões Introdução Ness seção, discutiremos como oter diverss equções de rets e plnos em três dimensões. Rets: equção vetoril Como no plno, quisquer dois pontos distintos em três dimensões determinm somente um ret entre eles. Pr oter um equção trvés de P 1 ( 1, 1, z 1 ) e P 1 ( 2, 2, z 2 ), vmos ssumir que P(,, z) é qulquer ponto n ret. N Figur 1.55, se r, r 1 e r 2, vemos que o vetor r 2 r 1 é prlelo o vetor r r 2. Assim, Se escrevermos então (1) implic um equção vetoril pr ret igul (1) (2) P 1 ( 1, 1, z 1 ) r 1 z O P 2 ( 2, 2, z 2 ) r r 2 r 2 r P(,, z) Figur 1.55 Ret trvés de pontos distintos em três dimensões. O vetor é denomindo vetor direção d linh. Como r r 1 é tmém prlelo, um equção vetoril lterntiv pr ret é r r 1 t. De fto, r r 1 t( ) e r r 1 t(k), k um esclr não-zero, são tmém equções pr. Form lterntiv d equção vetoril

26 44 CAPÍTULO 1 Vetores Eemplo 1 Equção vetoril de um ret Determine um equção vetoril pr ret trvés de (2, 1, 8) e (5, 6, 3). Solução Definimos 2 5, 1 6, 8 ( 3) 3, 7, 11. As equções seguir são três possíveis equções vetoriis pr linh: (3) (4) (5) Equções prmétrics Escrevendo (2) como e igulndo os componentes, otemos As equções em (6) são denominds equções prmétrics pr linh trvés de P 1 e P 2. Como o prâmetro t ument de, podemos imginr o ponto P(,, z) trçndo ret inteir. Se o prâmetro t estiver restrito um intervlo fechdo[t 0, t 1 ], então P(,, z) trç um segmento de ret inicindo no ponto correspondente t 0 e terminndo no ponto correspondente t 1. Por eemplo, n Figur 1.55, se 1 t 0, então P(,, z) trç o segmento de ret inicindo em P 1 ( 1, 1, z 1 ) e terminndo em P 2 ( 2, 2, z 2 ). (6) Eemplo 2 Equções prmétrics de um ret Otenh equções prmétrics pr ret no Eemplo 1. Solução De (3), segue-se que Um conjunto lterntivo de equções prmétrics pode ser otido prtir de (5): (8) Note que o vlor t 0 em (7) result em (2, 1, 8), enqunto que em (8) t 1 tem que ser utilizdo pr oter o mesmo ponto. (7) Eemplo 3 Vetor prlelo um ret Determine um vetor que sej prlelo à linh 4 9t, 14 5t, z 1 3t. cujs equções prmétrics são Solução Os coeficientes (ou um múltiplo constnte não-zero dos coeficientes) do prâmetro em cd equção são s componentes de um vetor que é prlelo ret. Assim, 9i 5j 3k é prlelo, sendo portnto um vetor direção d ret. Equções simétrics De (6), oserve que podemos evidencir o prâmetro escrevendo desde que os três números 1, 2 e 3 sejm não-zero. As equções resultntes são dits ser equções simétrics pr ret trvés de P 1 e P 2. (9)

27 1.5 Rets e Plnos em Três Dimensões 45 Eemplo 4 Equções simétrics de um ret Determine equções simétrics pr ret trvés de (4, 10, 6) e (7, 9, 2). Solução Definimos , e 3 2 ( 6) 8. Decorre de (9) que s equções simétrics pr ret são Se um dos números 1, 2 e 3 for zero em (6), utilizmos s dus equções restntes pr eliminr o prâmetro t. Por eemplo, se 1 0, 2 0, 3 0, então (6) result em Nesse cso, são equções simétrics pr ret. Eemplo 5 Equções simétrics de um ret Determine equções simétrics pr ret trvés de (5, 3, 1) e (2, 1, 1). Solução Definimos , e A prtir d discussão nterior, decorre que s equções simétrics pr ret são P 1 ( 1, 1, z 1 ) z P(,, z) Em outrs plvrs, s equções simétrics descrevem um ret no plno z 1. Um ret no espço é tmém determind especificndo-se um ponto P 1 ( 1, 1, z 1 ) e um vetor direção não-zero. Atrvés do ponto P 1, pss somente um ret prlel o vetor indicdo. Se P(,, z) for um ponto n ret presentd n Figur 1.56, então, como ntes, O Figur 1.56 Ret determind por um ponto P e um vetor. Eemplo 6 Ret prlel um vetor Escrev equções simétrics, prmétrics e vetoriis pr ret trvés de (4, 6, 3) e prlel 5i 10j 2k. Solução Com 1 5, 2 10 e 3 2, temos imeditmente Plnos: equção vetoril A Figur 1.57() ilustr o fto de que trvés de um ddo ponto P 1 ( 1, 1, z 1 ) pss um número infinito de plnos. Entretnto, como indicdo n Figur 1.57(), se um ponto P 1 e um vetor n forem especificdos, eiste somente um plno contendo P 1 com n norml ou perpendiculr o plno. Além disso, se P(,, z) for qulquer ponto em, e, então,

28 46 CAPÍTULO 1 Vetores como indicdo n Figur 1.57(c), r r 1 está no plno. Segue-se que um equção vetoril do plno é (10) n n P 1 n P 1 ( 1, 1, z 1 )r r 1 P(,, z) () Figur 1.57 () Vetor n é perpendiculr o plno. (c) Equção crtesin Especificmente, se o vetor norml for n i j ck, então (10) result em um equção crtesin do plno contendo P 1 ( 1, 1, z 1 ): (11) Eemplo 7 Plno perpendiculr um vetor Determine um equção do plno que contenh o ponto (4, 1, 3) e sej perpendiculr o vetor n 2i 8j 5k. Solução Decorre imeditmente de (11) que equção é A equção (11) pode sempre ser escrit como cz d 0 identificndo-se d 1 1 cz 1. De modo oposto, demonstrremos gor que qulquer equção liner nem todos zero (12) é um plno. TEOREMA 1.3 Plno com vetor norml O gráfico de qulquer equção cz d 0,,, c nem todos zero, é um plno com o vetor norml n i j ck. Demonstrção Suponh que 0, 0 e z 0 sejm números que stisfçm equção dd. Assim, 0 0 cz 0 d 0 implic d 0 0 cz 0. Sustituir esse último vlor de d n equção originl result, pós simplificção, em ( 0 ) ( 0 ) c(z z 0 ) 0 ou, em termos de vetores, Ess últim equção implic que i j ck é norml o plno contendo o ponto ( 0, 0, z 0 ) e o vetor ( 0 )i ( 0 )j (z z 0 )k. Eemplo 8 Um vetor norml um plno Um vetor norml o plno z 8 0 é n 3i 4j 10k. É clro, um múltiplo esclr não-zero de um vetor norml é ind perpendiculr o plno.

29 1.5 Rets e Plnos em Três Dimensões 47 Três pontos não-colineres P 1, P 2 e P 3 tmém determinm um plno.* Pr oter um equção do plno, necessitmos pens formr dois vetores entre dois pres de pontos. Conforme destcdo n Figur 1.58, o produto vetoril dos vetores é um vetor norml o plno contendo esses vetores. Se P(,, z) representr qulquer ponto no plno e r, r 1, r 2, r 3, então r r 1 (ou r r 2 ou r r 3 ) está no plno. Portnto, (13) é um equção vetoril do plno. Não memorize últim fórmul. O procedimento é o mesmo que em (10) com eceção de que o vetor n norml o plno é otido por meio do produto vetoril. (r 2 r 1 ) (r 3 r 1 ) r 3 r 1 P 1 P 2 r r 1 r 2 r 1 P P 3 Eemplo 9 Três pontos que determinm um plno Determine um equção do plno que contém (1, 0, 1), (3, 1, 4) e (2, 2, 0). Figur 1.58 Vetores r 2 r 1 e r 3 r 1 estão no plno, e o produto vetoril deles é norml o plno. Solução Precismos de três vetores. Juntndo-se os pontos d esquerd result nos vetores d direit. A ordem n qul sutrímos é irrelevnte. Agor, é um vetor norml o plno contendo os pontos ddos. Conseqüentemente, um equção vetoril do plno é (u v) w 0. A últim equção result em Gráficos O gráfico de (12) com um ou mesmo dus vriáveis usentes é ind um plno. Por eemplo, vimos n Seção 1.2 que os gráficos de onde 0, 0, z 0 são constntes, são plnos perpendiculres em relção os eios, e z, respectivmente. Em gerl, pr trçr o gráfico de um plno, devemos tentr determinr (i) s interseções, e z e, se necessário, (ii) o trço do plno em cd plno coordendo. Um trço de um plno em um plno coordendo é ret de interseção do plno com um plno coordendo. Eemplo 10 Gráfico de um plno Trce o gráfico d equção 2 3 6z 18. Solução z = 18 z As interseções, e z são 9, 6 e 3, respectivmente. Como presentdo n Figur 1.59, utilizmos os pontos (9, 0, 0), (0, 6, 0) e (0, 0, 3) pr trçr o gráfico do plno no primeiro octnte. Figur 1.59 Plno no Eemplo 10. * Se você já se sentou em um mes de qutro perns que lnç, você poderi considerr sustituíl por um mes de três perns.

30 48 CAPÍTULO 1 Vetores z = 12 Figur 1.60 Plno no Eemplo 11. z + z = 0 Figur 1.61 Plno no Eemplo Eemplo 11 Gráfico de um plno Trce o gráfico d equção Solução Em dus dimensões, o gráfico d equção é um ret com interseção de em 2 e interseção de em 3. Entretnto, em três dimensões, ess ret é o trço de um plno no plno coordendo. Como z não é especificdo, ele pode ser qulquer número rel. Em outrs plvrs, (,, z) é um ponto no plno desde que e estejm relciondos pel equção indicd. Conforme mostrdo n Figur 1.60, o gráfico é um plno prlelo o eio z. Eemplo 12 Gráfico de um plno Trce o gráfico d equção z 0. Solução Oserve primeiro que o plno pss pel origem (0, 0, 0). Agor, o trço do plno no plno z ( 0) é z, enqunto seu trço no plno z ( 0) é z. Trçr esss dus rets result no gráfico indicdo n Figur Dois plnos e que não são prlelos tem que se interceptr em um rel. Vej Figur O Eemplo 13 ilustrrá um form de se oter equções prmétrics pr ret de interseção. No Eemplo 14, veremos como determinr um ponto de interseção ( 0, 0, z 0 ) de um plno e um ret. Vej Figur Figur 1.62 Plnos se interceptm em um ret. Eemplo 13 Ret de interseção de dois plnos Determine equções prmétrics pr ret de interseção de ( 0, 0, z 0 ) Solução Em um sistem de dus equções e três incógnits, escolhemos um vriável ritrrimente, por eemplo, z t, e resolvemos em relção e prtir de Figur 1.63 Ponto de interseção de um plno e um ret. Prosseguindo, otemos 14 7t, 9 6t, z t. Esss são equções prmétrics pr ret de interseção dos plnos ddos. Eemplo 14 Ponto de interseção de um ret e um plno Determine o ponto de interseção do plno 3 2 z 5 e ret 1 t, 2 2t, z 4t. Solução Se ( 0, 0, z 0 ) represent o ponto de interseção, então temos que ter z 0 5 e 0 1 t 0, 0 2 2t 0, z 0 4t 0, pr lgum número t 0. Sustituindo s últims equções n equção do plno, temos A prtir ds equções prmétrics pr ret, otemos então 0 3, 0 10 e z O ponto de interseção é ( 3, 10, 16).

31 1.5 Rets e Plnos em Três Dimensões 49 EXERCÍCIOS 1.5 As resposts de prolems ímpres seleciondos estão n págin 286. Nos Prolems 1-6, determine um equção vetoril pr ret trvés dos pontos indicdos Nos Prolems 7-12, determine equções prmétrics pr ret trvés dos pontos indicdos Nos Prolems 13-18, determine equções simétrics pr ret trvés dos pontos indicdos Nos Prolems 19-22, determine equções prmétrics e simétrics pr ret trvés do ponto indicdo prlelo o vetor ddo Determine equções prmétrics pr ret trvés de (6, 4, 2) que sej prlel à ret /2 (1 )/3 (z 5)/ Determine equções simétrics pr ret trvés de (4, 11, 7) que sej prlel à ret 2 5t, 1, z 9 2t. 25. Determine equções prmétrics pr ret trvés de (2, 2, 15) que sej prlel o plno z e o plno. 26. Determine equções prmétrics pr ret trvés de (1, 2, 8) que sej () prlel o eio e () perpendiculr o plno. 27. Mostre que s rets dds por r t 1, 1, 1 e r 6, 6, 6 t 3, 3, 3 são s mesms. 28. Considere e rets com vetores direção e, respectivmente. e serão ortogonis se e forem ortogonis, e prlels se e forem prlels. Determine quis ds seguintes rets são ortogonis e quis são prlels. () () (c) (d) (e) (f) Nos Prolems 29 e 30, determine os pontos de interseção d ret indicd e os três plnos coordendos Nos Prolems 31-34, determine se s rets dds se interceptm. Em cso positivo, clcule o ponto de interseção O ângulo entre dus rets e é o ângulo entre seus vetores direção e. Nos Prolems 35 e 36, determine o ângulo entre s rets indicds Nos Prolems 37 e 38, s rets dds se estendem no mesmo plno. Determine equções prmétrics pr ret trvés do ponto indicdo que sej perpendiculr esse plno Nos Prolems 39-44, determine um equção do plno que contenh o ponto indicdo e sej perpendiculr o vetor ddo Nos Prolems 45-50, determine, se possível, um equção de um plno que contenh os pontos indicdos

32 50 CAPÍTULO 1 Vetores Nos Prolems 51-60, determine um equção do plno que stisfç s seguintes condições. 51. Contenh (2, 3, 5) e sej prlelo 4z Contenh origem e sej prlelo 5 z Contenh (3, 6, 12) e sej prlelo o plno 54. Contenh ( 7, 5, 18) e sej perpendiculr o eio 55. Contenh s rets 1 3t, 1 t, z 2 t; 4 4s, 2s, z 3 s 56. Contenh s rets 57. Contenh s rets prlels: 1 t, 1 2t, z 3 t; 3 s, 2s, z 2 s 58. Contenh o ponto (4, 0, 6) e ret 3t, 2t, z 2t 59. Contenh (2, 4, 8) e sej perpendiculr à ret 10 3t, 5 t, z Contenh (1, 1, 1) e sej perpendiculr à ret trvés de (2, 6, 3) e (1, 0, 2) 61. Considere e plnos com vetores normis n 1 e n 2, respectivmente. e serão ortogonis se n 1 e n 2 forem ortogonis, e prlelos se n 1 e n 2 forem prlelos. Determine quis dos seguintes plnos são ortogonis e quis são prlelos. () (c) (e) 62. Determine equções prmétrics pr ret que contém ( 4, 1, 7) e sej perpendiculr o plno 7 2 3z Determine quis dos seguintes plnos são perpendiculres à ret 4 6t, 1 9t, z 2 3t. () (c) () (d) (f) () (d) 64. Determine quis dos seguintes plnos são prlelos à ret (1 )/2 ( 2)/4 z 5. () (c) Nos Prolems 65-68, otenh equções prmétrics pr ret de interseção dos plnos indicdos Nos Prolems 69-72, otenh o ponto de interseção do plno e d ret indicdos Nos Prolems 73 e 74, otenh equções prmétrics pr ret trvés do ponto indicdo que sej prlelo os plnos ddos Nos Prolems 75 e 76, otenh um equção do plno que contém ret dd e sej ortogonl o plno indicdo Nos Prolems 77-82, trce o gráfico d equção indicd () (d) 1.6 Espços vetoriis Introdução Ns seções nteriores, trlhmos com pontos e vetores em espços de dus e três dimensões. Mtemáticos no século dezenove, de form especil os mtemáticos ingleses Arthur Cle ( ) e Jmes Joseph Slvester ( ) e o mtemático irlndês Willim Rown Hmilton ( ), perceerm que os conceitos de ponto e vetor poderim ser generlizdos. Mostrou-se que os vetores poderim ser descritos ou definidos por proprieddes nlítics o invés de proprieddes geométrics. Tl fto se constituiu em um vnço verddeirmente significtivo n históri d mtemátic. Não há necessidde de prrmos em três dimensões; quádruplos 1, 2, 3, 4, quíntuplos 1, 2, 3, 4, 5 e enupls 1, 2,..., n ordendos de números reis podem ser pensdos tnto como vetores qunto pres ordendos 1, 2 e triplos ordendos 1, 2, 3, únic diferenç estndo no fto de perdermos noss hilidde de visulizr diretmente segmentos de ret ou sets em espços de 4, 5 ou n dimensões. Espço n Em termos formis, um vetor em um espço n é qulquer enupl 1, 2,..., n de números reis denomindos de componentes de. O conjunto

33 1.6 Espços Vetoriis 51 de todos vetores em um espço n é representdo por R n. Os conceitos de dição vetoril, multiplicção esclr, iguldde e ssim por dinte, listdos n Definição 1.2, se plicm R n de modo nturl. Por eemplo, se 1, 2,..., n e 1, 2,..., n, então dição e multiplicção esclr no espço n são definids por (1) O vetor zero em R n é 0, 0...,0. O conceito de comprimento de um vetor 1, 2,..., n no espço n é pens um etensão dquele conceito em dus e três dimensões: O comprimento de um vetor é tmém denomindo de norm. Um vetor unitário é um vetor cuj norm é 1. Pr um vetor não-zero, o processo de construção de um vetor unitário u multiplicndo-se pelo recíproco d su norm, isto é,, é referido como normlizção de. Por eemplo, se 3, 1, 2, 1, então, e um vetor unitário é O produto interno pdrão, tmém conhecido como produto interno euclidino ou produto esclr, de dois vetores de ordem n 1, 2,..., n e 1, 2,..., n é o número rel definido por (2) Dois vetores não-zero e em R n são ditos ser ortogonis se e somente se 0. Por eemplo, 3, 4, 1, 6 e são ortogonis em R 4 pois ( 6) 1 0. Espço vetoril Podemos ir lém d notção de um vetor como um enupl ordend em R n. Um vetor pode ser definido como qulquer cois que queirmos que sej: um enupl ordend, um número, um conjunto de números ou mesmo um função. Porém, estmos prticulrmente interessdos em vetores que sejm elementos em um tipo especil de conjunto chmdo espço vetoril. Dois tipos de ojetos, vetores e esclres, e dus operções lgérics nálogs àquels indicds em (1) são fundmentis à notção do espço vetoril. Pr um conjunto de vetores, queremos ser cpzes de dicionr dois vetores nesse conjunto e oter outro vetor no mesmo conjunto, e queremos multiplicr um vetor por um esclr e oter um vetor no mesmo conjunto. Pr que um conjunto de ojetos estej em um espço vetoril, é necessário que o conjunto possu esss dus operções lgérics junto com determinds outrs proprieddes. Esss proprieddes, os ioms de um espço vetoril, são presentds seguir. DEFINIÇÃO 1.5 Espço vetoril Considere V como sendo um conjunto de elementos no qul dus operções denominds dição vetoril e multiplicção esclr estão definids. Assim, V é dito ser um espço vetoril se s dez proprieddes seguir são stisfeits. Aioms pr dição vetoril: (i) Se e estão em V, então está em V. (ii) Pr todo, em V,. (Lei comuttiv) (iii) Pr todo,, z em V, ( z) ( ) z. (Lei ssocitiv) (iv) Eiste um único vetor 0 em V tl que (vetor zero) (v) Pr cd em V, eiste um vetor tl que ( ) ( ) 0. (Negtivo de um vetor)

34 52 CAPÍTULO 1 Vetores Aioms pr multiplicção esclr: (vi) Se k for qulquer esclr e estiver em V, então k estrá em V (vii) k( ) k k (Lei distriutiv) (viii) (k 1 k 2 ) k 1 k 2 (Lei distriutiv) (i) k 1 (k 2 ) (k 1 k 2 ) () 1 Nest reve introdução pr simplificção de vetores, tomremos os esclres n Definição 1.5 como sendo números reis. Nesse cso, V é referido como um espço vetoril rel, pesr de não insistirmos nesse termo. Qundo se permite que os esclres sejm números compleos, otemos um espço vetoril compleo. Como s proprieddes (i)-(viii) n págin 22 são os protótipos pr os ioms n Definição 1.5, é clro que R 2 é um espço vetoril. Além disso, como os vetores em R 3 e R n têm esss mesms proprieddes, concluímos que R 3 e R n são tmém espços vetoriis. Os ioms (i) e (vi) são chmdos de ioms de fechmento, e dizemos que um espço vetoril V está fechdo so dição vetoril e multiplicção esclr. Oserve, tmém, que conceitos tis como comprimento e produto interno não são prte d estrutur iomátic de um espço vetoril. Eemplo 1 Checgem dos ioms de fechmento Determine se os conjuntos () V {1} e () V {0} so dição e multiplicção ordináris por números reis são espços vetoriis. Solução () Pr esse sistem constituído por um elemento, muitos dos ioms ddos n Definição 1.5 são violdos. Em prticulr, os ioms (i) e (vi) de fechmento não são stisfeitos. Nem som 1 1 2, nem o múltiplo esclr k 1 k, pr k 1, estão em V. Portnto, V não é um espço vetoril. () Nesse cso, os ioms de fechmento são stisfeitos, pois e k 0 0 pr qulquer número rel k. Os ioms comuttivo e ssocitivo são stisfeitos, pois e 0 (0 0) (0 0) 0. Dess mneir, e fácil verificr que os ioms restntes são tmém stisfeitos. Portnto, V é um espço vetoril. O espço vetoril V {0} é muits vezes chmdo de espço vetoril trivil ou zero. Se ess for su primeir eperiênci com o conceito de um vetor simplificdo, então conselhmos que você não leve os nomes dição vetoril e multiplicção esclr tão o pé d letr. Esss operções são definids e você tem que ceitá-ls pesr de els não serem semelhntes à compreensão usul de dição e multiplicção ordináris em, digmos, R, R 2, R 3 ou R n. Por eemplo, dição de dois vetores e poderi ser. Com esse viso prévio, considere o próimo eemplo. Eemplo 2 Um eemplo de um espço vetoril Considere o conjunto V de números reis positivos. Se e denotrem números reis positivos, então escrevemos vetores em V como e. Agor dição de vetores é definid por e multiplicção esclr é definid por Determine se V é um espço vetoril.

35 1.6 Espços Vetoriis 53 Solução Avliremos todos os dez ioms. (i) Pr 0 e 0, 0. Assim, som está em V; V está fechdo so dição. (ii) Como multiplicção de números reis positivos é comuttiv, temos pr todo e em V,. Assim, dição é comuttiv. (iii) Pr todo,, z z em V, ( z) (z) ()z ( ) z. Dess form, dição é ssocitiv. (iv) Como 1 1 e 1 1, o vetor zero 0 é 1 1. (v) Se definirmos, então Portnto, o negtivo de um vetor é seu recíproco. (vi) Se k for qulquer esclr e 0 for qulquer vetor, então k k 0. Conseqüentemente, V está fechdo so multiplicção esclr. (vii) Se k for qulquer esclr, então (viii) Pr esclres k 1 e k 2, (i) Pr esclres k 1 e k 2, () 1 1. Como todos os ioms d Definição 1.5 form stisfeitos, concluímos que V é um espço vetoril. A seguir são indicdos lguns espços vetoriis importntes mencionmos lguns deles nteriormente. As operções de dição vetoril e multiplicção esclr são s operções usuis ssocids com o conjunto. O conjunto R de números reis O conjunto R 2 de pres ordendos O conjunto R 3 de triplos ordendos O conjunto R n de enupls ordends O conjunto P n de polinômios de gru menor ou igul n O conjunto P de todos os polinômios O conjunto de funções reis f definids por todo o eio rel O conjunto C[, ] de funções reis f contínus no intervlo fechdo O conjunto C(, ) de funções reis f contínus por todo o eio rel O conjunto C n [, ] de tods s funções reis f pr s quis f, f, f,..., f (n) eistem e são contínus no intervlo [, ] Suespço Pode ocorrer de um suconjunto de vetores W de um espço vetoril V ser por si só um espço vetoril. DEFINIÇÃO 1.6 Suespço Se um suconjunto W de um espço vetoril V for por si só um espço vetoril sujeito às operções de dição vetoril e multiplicção esclr definids em V, então W é denomindo um suespço de V.

36 54 CAPÍTULO 1 Vetores Todo espço vetoril V tem o menos dois suespços: o próprio V e o suespço zero{0}; {0}é um suespço, pois o vetor zero tem que ser um elemento em todo espço vetoril. Pr mostrr que um suconjunto W de um espço vetoril V é um suespço, não é necessário demonstrr que todos os dez ioms d Definição 1.5 são stisfeitos. Como todos os vetores em W estão tmém em V, esses vetores tem que stisfzer ioms tis como (ii) e (iii). Em outrs plvrs, W herd miori ds proprieddes de um espço vetoril prtir de V. Como indic o próimo teorem, precismos somente checr os dois ioms de fechmento pr demonstrr que um suconjunto W é um suespço de V. TEOREMA 1.4 Critério pr um suespço Um suconjunto não-vzio W de um espço vetoril V é um suconjunto de V se e somente se W for fechdo so dição vetoril e multiplicção esclr definids em V: (i) Se e estiverem em W, então estrá em W. (ii) Se estiver em W e k for qulquer esclr, então k estrá em W. Eemplo 3 Um suespço Suponh f e g funções reis contínus definids por todo o eio rel. Então semos do cálculo que f g e kf, pr qulquer número rel k, são funções contínus e reis. A prtir disso, podemos concluir que C(, ) é um suespço do espço vetoril de funções reis definids por todo o eio rel. Eemplo 4 Um suespço O conjunto P n de polinômios de gru menor ou igul n é um suespço de C(, ), o conjunto de funções reis contínus por todo o eio rel. É sempre um o idéi ter visulizções concrets de espços e suespços vetoriis. Os suespços do espço vetoril R 3 de vetores tridimensionis podem ser fcilmente visulizdos pensndo-se o vetor como um ponto ( 1, 2, 3 ). Ovimente, {0} e R 3 por si só são suespços; outros suespços são tods s rets pssndo pel origem e todos os plnos pssndo pel origem. As rets e plnos tem que pssr trvés d origem, pois o vetor zero 0 (0, 0, 0) tem que ser um elemento em cd suespço. DEFINIÇÃO 1.7 Independênci liner Um conjunto de vetores { 1, 2,..., n } é dito ser linermente independente se s únics constntes que stisfzem equção (3) forem k 1 k 2... k n 0. Se o conjunto de vetores não for linermente independente, então ele é dito ser linermente dependente. Em R 3, os vetores i 1, 0, 0, j 0, 1, 0 e k 0, 0, 1 são linermente independentes, pois equção k 1 i k 2 j k 3 k 0 é igul Pel iguldde de vetores, (ii) d Definição 1.2, concluímos que k 1 0, k 2 0 e k 3 0. N Definição 1.7, dependênci liner signific que eistem constntes k 1, k 2,..., k n nem tods zero, de modo que k 1 1 k k n n 0. Por eemplo, em R 3 os

37 1.6 Espços Vetoriis 55 vetores 1,1,1, 2, 1,4 e c 5,2,7 são linermente dependentes, pois (3) é stisfeito qundo k 1 k 2 1 e k 3 1: Oservmos que dois vetores são linermente independentes se nenhum deles for um múltiplo constnte do outro. Bse Qulquer vetor em R 3 pode ser escrito como um cominção liner dos vetores linermente independentes i, j e k. N Seção 1.2, dizemos que esses vetores formm um se pr o sistem de vetores tridimensionis. DEFINIÇÃO 1.8 Bse pr um espço vetoril Considere um conjunto de vetores B { 1, 2,..., n } em um espço vetoril V. Se o conjunto B for linermente independente e se todo vetor em V puder ser escrito como um cominção liner desses vetores, então B é dito ser um se pr V. Bses pdrão Apesr de não sermos cpzes de demonstrr isso nesse curso, todo espço vetoril possui um se. O espço vetoril P n de todos os polinômios de gru menor ou igul n tem se {1,, 2,..., n }, pois qulquer vetor (polinômio) p() de gru n ou menor pode ser escrito como cominção liner p() c n n... c 2 2 c 1 c 0. Um espço vetoril pode ter muits ses. Mencionmos nteriormente que o conjunto de vetores {i, j, k} é um se pr R 3. Porém, pode-se demonstrr que {u 1, u 2, u 3 }, onde é um conjunto linermente independente (vej o Prolem 23 nos Eercícios 1.6) e, lém disso, mesmo o vetor 1, 2, 3 pode ser escrito como um cominção liner c 1 u 1 c 2 u 2 c 3 u 3. Portnto, o conjunto de vetores é outr se pr R 3. De fto, qulquer conjunto de três vetores linermente independentes é um se pr quele espço. Entretnto, o conjunto {i, j, k} é referido como se pdrão pr R 3. A se pdrão pr o espço P n é, ovimente, {1,, 2,..., n }. Pr o espço vetoril R n, se pdrão consiste dos n vetores Se B for um se pr um espço vetoril V, então pr todo vetor v em V eistem esclres c i, i 1, 2,..., n de modo que (4) (5) Os esclres c i, i 1, 2,..., n n cominção liner (5) são chmdos de coordends de v reltivs à se B. Em R n, notção d enupl 1, 2,..., n pr um vetor signific que números reis 1, 2,..., n são s coordends de reltivs à se pdrão com e i s n ordem et indicd em (4). Lei diverss vezes últim sentenç. Dimensão Se um espço vetoril V tem um se B constituíd por n vetores, então pode-se demonstrr que tod se pr quele espço tem que conter n vetores. Isso nos lev à próim definição. DEFINIÇÃO 1.9 Dimensão de um espço vetoril O número de vetores em um se B pr um espço vetoril V é dito ser dimensão do espço. Eemplo 5 Dimensões de lguns espços vetoriis () Em concordânci com noss intuição, s dimensões dos espços vetoriis R, R 2, R 3 e R n são, respectivmente, 1, 2, 3 e n.

38 56 CAPÍTULO 1 Vetores () Como eistem n 1 vetores n se pdrão B {1,, 2,..., n }, s dimensões do espço vetoril P n de polinômios de gru menor ou igul n é n 1. (c) Ao espço vetoril zero {0} é dd considerção especil. Esse espço contém somente 0, e como {0} é um conjunto linermente dependente, ele não é um se. Nesse cso, é comum tomrmos o conjunto vzio como se e definirmos dimensão de {0} como zero. Se se de um espço vetoril contiver um número finito de vetores, então dizemos que o espço vetoril é de dimensão finit, do contrário é de dimensão infinit. A função espço C n (I) de n vezes funções diferenciáveis contínus em um intervlo I é um eemplo de um espço vetoril de dimensão infinit. Equções diferenciis lineres Considere equção diferencil liner homogêne de ordem n em um intervlo I no qul os coeficientes sejm contínuos e n () 0 pr todo no intervlo. Um solução 1 de (6) é necessrimente um vetor no espço vetoril C n (I). Além disso, que se 1 e 2 são soluções de (6), então som 1 2 e qulquer múltiplo constnte k 1 são tmém soluções. Como o conjunto solução é fechdo so dição e multiplicção esclr, decorre do Teorem 1.4 que o conjunto solução de (6) é um suespço de C n (I). Por conseguinte, o conjunto solução de (6) merece ser chmdo de espço solução d equção diferencil. Semos tmém que se { 1, 2,..., n } são soluções linermente independentes de (6), então su solução gerl d equção diferencil é cominção liner (6) Relemre que qulquer solução d equção pode ser determind prtir dess solução gerl pel especilizção ds constntes c 1, c 2,..., c n. Portnto, o conjunto de soluções linermente independente { 1, 2,..., n } é um se pr o espço solução. A dimensão desse espço solução é n. Eemplo 6 Dimensão de um espço solução A solução gerl d equção diferencil liner homogêne de segund ordem 25 0 é c 1 cos 5 c 2 sen 5. Um se pr o espço solução é constituíd pelos vetores linermente independentes {cos 5, sen 5}. O espço solução é idimensionl. O conjunto de soluções de um equção diferencil liner não-homogêne não é um espço vetoril. Diversos ioms de um espço vetoril não são stisfeitos; principlmente, o conjunto de soluções não contém um vetor zero. Em outrs plvrs, 0 não é um solução de um equção diferencil liner não-homogêne. Spn Considerndo que S represent qulquer conjunto de vetores { 1, 2,..., n } em um espço vetoril V, então o conjunto de tods s cominções lineres dos vetores 1, 2,..., n em S, onde os k i, i 1, 2,..., n são esclres, é chmdo de spn dos vetores e escrito Spn(S) ou Spn( 1, 2,..., n ). Dei-se como um eercício demonstrr que o Spn(S) é um suespço do espço vetoril V. Vej o Prolem 33 nos Eercícios 1.6. Spn(S) é dito ser um suespço gerdo pelos vetores 1, 2,..., n. Se V Spn(S), então dizemos que S é um conjunto de spn (ou conjunto gerdor) pr o espço vetoril V, ou que S ger (spns) V. Por eemplo, cd um dos três conjuntos

39 1.6 Espços Vetoriis 57 são conjuntos gerdores pr o espço vetoril R 3. Oserve, porém, que os primeiros dois conjuntos são linermente dependentes, enqunto o terceiro conjunto é dependente. Com esses novos conceitos, podemos reformulr s Definições 1.8 e 1.9 d seguinte mneir: Um conjunto S de vetores { 1, 2,..., n } em um espço vetoril V é um se pr V se S for linermente independente e for um conjunto de spn pr V. O número de vetores nesse conjunto de spn S é dimensão do espço V. Oservções (i) Suponh que V sej um espço vetoril rel ritrário. Se eistir um produto interno definido em V, não é necessário que ele se ssemelhe o produto interno pdrão ou euclidino definido em R n. Representremos um produto interno que não sej o produto interno euclidino pelo símolo (u, v). Vej os Prolems 30, 31 e 38() nos Eercícios 1.6. (ii) Um espço vetoril V no qul um produto interno foi definido é denomindo um espço produto interno. Um espço vetoril V pode ter mis do que um produto interno definido nele. Por eemplo, um produto interno não-euclidino definido em R 2 é (u, v) u 1 v 1 4u 2 v 2, onde u u 1, u 2 e v v 1, v 2. Vej os Prolems 37 e 38() nos Eercícios 1.6. (iii) Grnde prte do nosso trlho nos últimos cpítulos desse teto ocorreu em um espço vetoril de dimensão infinit. Como tl, precismos estender definição de independênci liner de um conjunto finito de vetores S { 1, 2,..., n } ddo n Definição 1.7 pr um conjunto infinito: Um conjunto infinito de vetores S { 1, 2,...} é dito ser linermente independente se todo suconjunto finito do conjunto S for linermente independente. Se o conjunto S não for linermente independente, então ele é linermente dependente. Notmos que se S contiver um suconjunto linermente dependente, então todo o conjunto S é linermente dependente. O espço vetoril P de todos os polinômios tem se pdrão B {1,, 2,...}. O conjunto infinito B é linermente independente. EXERCÍCIOS 1.6 As resposts de prolems ímpres seleciondos estão ns págins Nos Prolems 1-10, determine se o conjunto indicdo é um espço vetoril. Se não for, presente pelo menos um iom que não sej stisfeito. A menos que sej dito o contrário, considere que dição vetoril e multiplicção esclr são s operções ordináris definids no conjunto. 1. O conjunto de vetores 1, 2, onde 1 0, O conjunto de vetores 1, 2, onde O conjunto de vetores 1, 2, multiplicção esclr definid por k 1, 2 k 1, 0 4. O conjunto de vetores 1, 2, onde O conjunto de vetores 1, 2, 0 6. O conjunto de vetores 1, 2, dição e multiplicção esclr definids por 7. O conjunto de números reis, dição definid por 8. O conjunto de números compleos i, onde i 2 1, dição e multiplicção esclr definids por 9. O conjunto de números reis, dição e multiplicção esclr definids por 10. O conjunto de todos os polinômios de gru 2

40 58 CAPÍTULO 1 Vetores Nos Prolems 11-16, determine se o conjunto indicdo é ou não é um suespço do espço vetoril C(, ). 11. Tods s funções f de modo que f(1) Tods s funções f de modo que f(0) Tods s funções não-negtivs f 14. Tods s funções f de modo que f( ) f() 15. Tods s funções diferenciáveis f 16. Tods s funções f d form f() c 1 e c 2 e Em C[0, 2 ], clcule (, sen ). 31. A norm de um vetor é um espço produto interno definido em termos do produto interno. Pr o produto interno indicdo no Prolem 30, norm de um vetor é definid por. Em C[0, 2 ], clcule e sen. 32. Determine um se pr o espço solução de Nos Prolems 17-20, determine se o conjunto indicdo é ou não é um suespço do espço vetoril indicdo. 17. Polinômios d form p() c 3 3 c 1 ; P Polinômios p que são divisíveis por 2; P Todos os vetores unitários; R Funções f de modo que Em três dimensões, um ret trvés d origem pode ser escrit como S {(,, z) t, t, z ct,,, c números reis}. Com dição e multiplicção esclr igul pr os vetores,, z, mostre que S é um suespço de R Em três dimensões, um plno trvés d origem pode ser escrito como S {(,, z) cz 0,,, c números reis}. Mostre que S é um suespço de R Os vetores u 1 1, 0, 0, u 2 1, 1, 0 e u 3 1, 1, 1 formm um se pr o espço vetoril R 3. () Mostre que u 1, u 2 e u 3 são linermente independentes. () Escrev o vetor 3, 4, 8 como um cominção liner de u 1, u 2 e u Os vetores p 1 () 1, p 2 () 1 formm um se pr o espço vetoril P 1. () Mostre que p 1 () e p 2 () são linermente independentes. () Escrev o vetor p() 5 2 como um cominção liner de p 1 () e p 2 (). Nos Prolems 25-28, determine se os vetores indicdos são linermente independentes ou linermente dependentes Eplique por que é um vetor em C[0,3] ms não um vetor em C[ 3,0]. 30. Um espço vetoril V no qul um produto esclr ou interno foi definido é chmdo um espço produto interno. Um produto interno pr o espço vetoril C[,] é ddo por 33. Sej { 1, 2,..., n }qulquer conjunto de vetores em um espço vetoril V. Mostre que Spn( 1, 2,..., n ) é um suespço de V. Prolems pr discussão 34. Discut: R 2 é um suespço de R 3? R 2 e R 3 são suespços de R 4? 35. No Prolem 9, você deve ter demonstrdo que o conjunto M 22 de números reis 2 2 ou mtrizes, é um espço vetoril com dição vetoril e multiplicção esclr definids nquele prolem. Determine um se pr M 22. Qul é dimensão de M 22? 36. Considere um conjunto ortogonl finito de vetores não-zero {v 1, v 2,..., v k } em R n. Discut: esse conjunto é linermente independente ou dependente? 37. Se u, v e w são vetores em um espço vetoril V, então os ioms de um produto interno (u, v) são: (i) (ii) k um esclr (iii) se e se (iv) Mostre que (u, v) u 1 v 1 4u 2 v 2, onde u u 1, u 2 e v v 1, v 2, é um produto interno em R () Determine um pr de vetores não-zero u e v em R 2 que não sej ortogonl em relção o produto interno pdrão ou euclidino u v, ms sej ortogonl em relção o produto interno (u, v) no Prolem 37. () Determine um pr de funções não-zero f e g em C[0, 2 ] que sejm ortogonis em relção o produto interno (f, g) indicdo no Prolem 30.

41 1.7 Processo de Ortogonlizção de Grm-Schmidt Processo de ortogonlizção de Grm-Schmidt Introdução N Seção 1.6, vimos que um espço vetoril V pode ter diferentes ses. Relemrndo, s crcterístics definidors de qulquer se B { 1, 2,..., n } de um espço vetoril V são: o conjunto B é linermente independente, e o conjunto B ger (spns) o espço. Nesse conteto, plvr spn signific que todo vetor no espço pode ser escrito como um cominção liner dos vetores 1, 2,..., n. Por eemplo, todo vetor u em R n pode ser escrito como um cominção liner dos vetores n se pdrão B {e 1, e 2,..., e n }onde Ess se pdrão B {e 1, e 2,..., e n } é tmém um eemplo de um se ortonorml, isto é, os e i, i 1, 2,..., n são mutumente ortogonis e vetores unitários, ou sej, Ness seção, focremos ses ortonormis pr R n e eminremos um procedimento no qul poderemos trnsformr ou converter qulquer se B de R n em um se ortonorml. Eemplo 1 Bse ortonorml pr R 3 O conjunto de três vetores (1) é linermente independente em R 3. Portnto, B {w 1, w 2, w 3 } é um se pr R 3. Utilizndo o produto interno pdrão ou o produto esclr definidos em R 3, oservmos que Conseqüentemente, B é um se ortonorml. Um se B pr R n não precis ser ortogonl, nem os vetores d se precism ser vetores unitários. N verdde, qulquer conjunto linermente independente de n vetores pode servir como um se pr o espço vetoril n dimensionl R n. Por eemplo, é um tref rápid demonstrr que os vetores em R 3 são linermente independentes e, portnto, B {u 1, u 2, u 3 }é se pr R 3. Note que B não é um se ortogonl. Gerlmente, um se ortonorml pr um espço vetoril V se revel se mis conveniente pr V. Um ds vntgens que um se ortonorml tem sore outrs ses pr R n está n fcilidde com qul podemos oter s coordends de um vetor u reltivo àquel se.

42 60 CAPÍTULO 1 Vetores TEOREMA 1.5 Coordends reltivs um se ortonorml Considere B { w 1, w 2,..., w n } sendo um se ortonorml pr R n. Se u for qulquer vetor em R n, então Demonstrção O vetor u está em R n, e ssim é um elemento do conjunto Spn(B). Em outrs plvrs, eistem esclres reis k i, i 1, 2,..., n tis que u pode ser escrito como cominção liner Os esclres k i são s coordends de u reltivs à se B. Esss coordends podem ser otids tomndo-se o produto esclr de u com cd um dos vetores d se: (2) Como B é ortonorml, w i é ortogonl todos os vetores em B com eceção do próprio w i. Isto é, w i w j 0, i j e w i w i w i 2 1.Portnto, prtir de (2), otemos k i (u w i ) pr i 1, 2,..., n. Eemplo 2 Coordends de um vetor em R 3 Determine s coordends do vetor u 3, 2, 9 reltivo à se ortonorml B pr R 3 indicd em (1) do Eemplo 1. Escrev u em termos d se B. Solução A prtir do Teorem 1.5, s coordends de u reltivs à se B em (1) do Eemplo 1 são simplesmente Logo, podemos escrever Processo de ortogonlizção de Grm-Schmidt O procedimento conhecido como processo de ortogonlizção de Grm-Schmidt é um lgoritmo direto pr gerção de um se ortogonl B {v 1, v 2,..., v n } prtir de qulquer se dd B {u 1, u 2,..., u n } pr R n. Produzimos ssim um se ortonorml B {w 1, w 2,..., w n } normlizndo os vetores n se ortogonl B. A idéi principl no processo de ortogonlizção é projeção vetoril, e portnto sugerimos que você revise esse conceito n Seção 1.3. Além disso, pr otermos lgum percepção geométric do processo, iniciremos em R 2 e R 3. Construindo um se ortogonl pr R 2 O processo de ortogonlizção de Grm-Schmidt pr R n consiste em um seqüênci de pssos; em cd psso construímos um vetor v i que sej ortogonl o vetor do psso nterior. A trnsformção de um se B {u 1, u 2 } pr R 2 em um se ortogonl B {v 1, v 2 } consiste em dois pssos. Vej Figur 1.64(). O primeiro psso é simples: simplesmente escolhemos um dos vetores em B, por eemplo, u 1, e renomemos esse vetor pr v 1. A seguir,

43 1.7 Processo de Ortogonlizção de Grm-Schmidt 61 como mostrdo n Figur 1.64(), projetmos o vetor remnescente u 2 em B no vetor v 1 e definimos um segundo vetor como sendo. Relemre de (12) d Seção 1.3 que. Conforme visto n Figur 1.64(c), os vetores u 2 u 1 (3) () Vetores u 1 e u 2 linermente independentes são ortogonis. Se você não estiver convencido disso, sugerimos que você verifique ortogonlidde de v 1 e v 2 demonstrndo que v 1 v 2 0. u 2 Eemplo 3 Processo de Grm-Schmidt em R 2 O conjunto B {u 1, u 2 }, onde u 1 3,1, u 2 1,1, é um se pr R 2. Trnsforme B em um se ortonorml B {w 1, w 2 }. proj v1 u 2 () Projeção de u 2 em v 1 v 1 = u 1 Solução Escolhemos v 1 como u 1 :v 1 3,1. Logo, prtir d segund equção em (3), com u 2 v 1 4 e v 1 v 1 10, otemos v 2 = u 2 proj v 1 u 2 u 2 é um se ortogonl pr R 2. Finli- O conjunto zmos normlizndo os vetores v 1 e v 2 : (c) v 1 e v 2 são ortogonis proj v1 u 2 v 1 = u 1 Figur 1.64 Os vetores ortogonis v 1 e v 2 são definidos em termos de u 1 e u 2. A se B é presentd n Figur 1.65(), e nov se ortonorml B {w 1, w 2 } está indicd em colorido n Figur 1.65(). No Eemplo 3, estávmos livres pr escolher qulquer vetor em B {u 1, u 2 } como o vetor v 1. Entretnto, escolhendo v 1 u 2 1, 1 otemos um se ortonorml diferente, ou sej, B {w 1, w 2 }, onde e. Vej os Prolems 5-8 nos Eercícios 1.7. Construindo um se ortogonl pr R 3 Considere gor B {u 1, u 2, u 3 } como um se pr R 3. Assim, o conjunto B {v 1, v 2, v 3 }, onde, (4) 1 u w 2 1 () Bse B w 1 () Bse B Figur 1.65 As dus ses no Eemplo 3. u 1 é um se ortogonl pr R 3. Novmente, se você não vê isso, clcule então v 1 v 2, v 1 v 3 e v 2 v 3. Como os vetores v 1 e v 2 n list (4) são ortogonis por construção, o conjunto {v 1, v 2 } tem que ser linermente independente (vej o Prolem 36 nos Eercícios 1.6). Dess form, W 2 Spn(v 1, v 2 ) é necessrimente um suespço idimensionl

44 62 CAPÍTULO 1 Vetores de R 3. Agor o vetor é um vetor em W 2, pois ele é suespço W 2 v3 u 3 v 2 v 3 um cominção liner de v 1 e v 2. O vetor é chmdo de projeção ortogonl de u 3 no suespço W 2, sendo usulmente representdo por. N Figur 1.66, é o vetor em preto. Oserve tmém que é som de dus projeções. Utilizndo (12) d Seção 1.3, podemos escrever v 3 = u 1 Figur 1.66 Os vetores v 1, v 2, v 3 (em colorido) otidos pelo processo de Grm- Schmidt. A diferenç v 3 u 3 é ortogonl em relção. De fto, v 3 é ortogonl em relção v 1 e v 2 e todo vetor em W 2. Est é precismente mesm idéi em (3). Nquele conteto, v 2 u 2, onde er projeção de u 2 no suespço unidimensionl W 1 Spn(v 1 ) de R 2. Análogo (5), temos (5) (6) Eemplo 4 Processo de Grm-Schmidt em R 3 O conjunto B {u 1, u 2, u 3 }, onde é um se pr R 3. Trnsforme B em um se ortonorml B. Solução Escolhemos v 1 como u 1 : v 1 1, 1, 1. Logo, prtir d segund equção em (4), com u 2 v 1 5 e v 1 v 1 3, otemos Agor com e, terceir equção em (4) result em O conjunto é um se ortogonl pr R 3. Como no Eemplo 3, finlizmos o trlho pel normlizção de cd vetor em B. Utilizndo e, temos que um se ortonorml pr R 3 é B {w 1, w 2, w 3 }, onde O conjunto B é reconhecido como se ortonorml pr R 3 emind no Eemplo 1.

45 1.7 Processo de Ortogonlizção de Grm-Schmidt 63 Concluímos ess seção com um teorem que resume o cso mis gerl do processo de Grm-Schmidt pr R n. O processo de ortogonlizção pode ser plicdo em qulquer conjunto linermente independente S e, portnto, podemos utilizá-lo pr oter ses ortonormis pr suespços de R n. TEOREMA 1.6 Processo de ortogonlizção de Grm-Schmidt Sej B {u 1, u 2,..., u m }, m n, um se pr um suespço W m de R n. Logo, {v 1, v 2,..., v m }, onde é um se ortogonl pr W m. Um se ortonorml pr W m é Oservções Apesr de termos focdo discussão nterior em R n, o processo de ortogonlizção descrito em (7) do Teorem 1.6 se plic todos os espços vetoriis V nos quis um produto interno (u, v) está definido. Nesse cso, sustituímos o símolo R n em (7) pels plvrs um espço produto interno em V, e cd símolo de produto esclr u v por (u, v). Vej os Prolems 17 e 18 nos Eercícios 1.7. EXERCÍCIOS 1.7 As resposts de prolems ímpres seleciondos estão n págin 287. Nos Prolems 1 e 2, verifique que se B pr o espço vetoril indicdo é ortonorml. Utilize o Teorem 1.5 pr oter s coordends do vetor u reltivo à se B. Escrev então u como um cominção liner dos vetores d se Nos Prolems 3 e 4, verifique que se B pr o espço vetoril indicdo é ortogonl. Utilize o Teorem 1.5 como um uílio pr oter s coordends do vetor u reltivo à se B. Escrev então u como um cominção liner dos vetores d se Nos Prolems 5-8, utilize o processo de ortogonlizção de Grm-Schmidt (3) pr trnsformr se indicd B {u 1, u 2 } pr R 2 em um se ortogonl B {v 1, v 2 }. Forme então um se ortonorml B {w 1, w 2 }. () Primeiro constru B utilizndo v 1, u 1. () Constru então B utilizndo v 1, u 2. (c) Esoce B e cd se B

46 64 CAPÍTULO 1 Vetores Nos Prolems 9-12, utilize o processo de ortogonlizção de Grm-Schmidt (4) pr trnsformr se indicd B {u 1, u 2, u 3 } pr R 3 em um se ortogonl B {v 1, v 2, v 3 }. Forme então um se ortonorml B {w 1, w 2, w 3 } Nos Prolems 13 e 14, os vetores indicdos germ um suespço W de R 3. Aplique o processo de ortogonlizção de Grm- Schmidt pr construir um se ortonorml pr o suespço Nos Prolems 15 e 16, os vetores indicdos germ um suespço W de R 4. Aplique o processo de ortogonlizção de Grm- Schmidt pr construir um se ortonorml pr o suespço Nos Prolems 17 e 18, um produto interno definido no espço vetoril P 2 de todos os polinômios de gru menor ou igul 2 é ddo por 18. Pr o produto interno (p, q) definido em P 2 nos Prolems 17 e 18, norm p() de um polinômio p é definid por Utilize ess norm nos Prolems 19 e Constru um se ortonorml B prtir de B otid no Prolem Constru um se ortonorml B prtir de B otid no Prolem 18. Nos Prolems 21 e 22, sej p() um vetor em P 2. Aplique o Teorem 1.5 e se ortonorml indicd B pr oter s coordends p() reltivs B. Escrev então p() como um cominção liner dos vetores d se. 21. B no Prolem B no Prolem 20 Prolems pr discussão 23. O conjunto de vetores {u 1, u 2, u 3 }, onde Utilize o processo de ortogonlizção de Grm-Schmidt pr trnsformr se indicd pr P 2 em um se ortogonl B. 17. é linermente dependente em R 3 pois u 3 2u 1 3u 2. Discut sore o que se esper qundo o processo de Grm- Schmidt em (4) é plicdo esses vetores. Relize então o processo de ortogonlizção. CAPÍTULO 1 EXERCÍCIOS DE REVISÃO As resposts de prolems ímpres seleciondos estão n págin 287. Respond os Prolems 1-30 sem consultr o teto. Preench os espços em rnco ou respond verddeiro/flso. 1. Os vetores 4, 6, 10 e 10, 15, 25 são prlelos. 2. Em três dimensões, três pontos distintos quisquer determinm um plno. 3. A ret 1 5t, 1 2t, z 4 t e o plno 2 3 4z 1 são perpendiculres. 4. Vetores não-zero e são prlelos se Se 0, o ângulo entre e é otuso. 6. Se for um vetor unitário, então O produto vetoril de dois vetores não é comuttivo. 8. O ponto terminl do vetor está no ponto terminl de. 9. ( ) c ( c) 10. Se,, c e d forem vetores coplnres não-zero, então ( ) (c d) A som de 3i 4j 5k e 6i 2j 3k é 12. Se 0, os vetores não-zero e são 13. ( k) (5j) 14. i (i j) i 4j 6k Um vetor que sej norml o plno 6 7z 10 0 é 18. O plno 3 z 5 contém o ponto (1, 2, ). 19. O ponto de interseção d ret 1 ( 2)/3 (z 1)/2 e o plno 2 z 13 é 20. Um vetor unitário que tenh direção opost de 4i 3j 5k é 21. Se e P 1 tiver coordends (2, 1, 7), então s coordends de P 2 são 22. O ponto centrl do segmento de ret entre P 1 (4, 3, 10) e P 2 (6, 2, 5) tem coordends

47 Eercícios de Revisão Se 7,2, 10 e o ângulo entre e for 135 o, então 24. Se 3, 1, 0, 1, 2, 1 e c 0, 2, 2, então (2 4c) 25. Os pontos, e z que interceptm o plno 2 3 4z 24 são, respectivmente, 26. O ângulo entre os vetores i j e i k é 27. A áre de um triângulo com dois ldos ddos por 1, 3, 1 e 2, 1, 2 é 28. Um equção do plno que contém (3, 6, 2) e com vetor norml n 3i k é 29. A distânci do plno 5 pr o ponto (4, 3, 1) é 30. Os vetores 1, 3, c e 2, 6, 5 são prlelos pr c e ortogonis pr c 31. Determine um vetor unitário que sej perpendiculr tnto i j como pr i 2j k. 32. Otenh os co-senos direcionis e os ângulos direcionis do vetor. Nos Prolems 33-36, considere 1, 2, 2 e 4, 3, 0. Determine o número ou vetor indicdos. 33. comp 34. proj 35. proj ( ) 36. proj ( ) 37. Sej r o vetor posição de um ponto vriável P(,, z) no espço, e considere um vetor constnte. Determine superfície descrit por () (r ) r 0 e () (r ) Aplique o produto esclr pr determinr se os pontos (4, 2, 2), (2, 4, 3) e (6, 7, 5) são vértices de um triângulo reto. 39. Determine equções simétrics pr ret trvés do ponto (7, 3, 5) que sej prlel ( 3)/4 ( 4)/( 2) (z 9)/ Determine equções prmétrics pr ret trvés do ponto (5, 9, 3) que sej perpendiculr o plno 8 3 4z Mostre que s rets 1 2t, 3t, z 1 t e 1 2s, 4 s, z 1 s se interceptm ortogonlmente. 42. Otenh um equção do plno contendo os pontos (0, 0, 0), (2, 3, 1), (1, 0, 2). 43. Otenh um equção do plno contendo s rets t, 4t, z 2t e 1 t, 1 4t, z 3 2t. 44. Determine um equção do plno contendo (1, 7, 1) que sej perpendiculr à ret d interseção de 8z 4 e 3 2z Um forç constnte de 10 N n direção de i j desloc um loco em um superfície sem trito de P 1 (4, 1, 0) pr P 2 (7, 4, 0). Suponh que distânci sej medid em metros. Determine o trlho relizdo. 46. No Prolem 45, determine o trlho relizdo pr mover o loco entre os mesmo pontos considerndo que outr forç constnte de 50 N n direção de i tue simultnemente com forç originl. 47. A águ que si de um mngueir de incêndio eerce um forç horizontl F 1 de mgnitude 200 N. Vej Figur Qul é mgnitude d forç F 3 que um omeiro tem que eercer pr segurr mngueir com um ângulo de 45 o em relção à horizontl? 45 F 2 F 1 = 200i Figur 1.67 Mngueir de incêndio no Prolem Um ol uniforme com 50 N de peso está poid por dois plnos sem trito conforme ilustrdo n Figur Considere forç eercid pelo plno de poio 1 sore ol como sendo F 1 e forç eercid pelo plno de poio 2 sore ol como sendo F 2. Como ol é mntid em equilírio, temos que ter w F 1 F 2 0, onde w 50j. Determine s mgnitudes ds forçs F 1 e F 2. [Sugestão: Assum que s forçs F 1 e F 2 sejm normis os plnos 1 e 2, respectivmente, e tuem o longo ds rets trvés do centro C d ol. Posicione origem de um sistem de coordends de dus dimensões em C.] 1 C F 1 F 2 w Figur 1.68 Bol poid no Prolem Determine se o conjunto de vetores 1, 0, 3 so dição e multiplicção esclr definids por é um espço vetoril. 50. Determine se os vetores 1, 1, 2, 0, 2, 3 e 0, 1, 1 são linermente independentes em R Determine se o conjunto de polinômios em P n stisfzendo condição d 2 p/d 2 0 é um suespço de P n. Se for, determine um se pr o suespço. 52. Relemre que interseção de dois conjuntos W 1 e W 2 é o conjunto de todos os elementos comuns mos os conjuntos, e união de W 1 e W 2 é o conjunto de elementos que estão ou em W 1, ou em W 2. Suponh que W 1 e W 2 sejm suespços de um espço vetoril V. Prove ou refute, por eemplificção, s seguintes proposições: () W 1 W 2 é um suespço de V. () W 1 W 2 é um suespço de V. 2 F 3