1.1 PLANO COORDENADO P(2,3)

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1 UFPEL - Universidde Federl de Pelots IFM Instituto de Físic e Mtemátic DME Deprtmento de Mtemátic e Esttístic MAT5 Álger Liner e Geometri Anlític Prof Vldecir Botteg Semestre 6/ FUNDAMENTOS PLANO COORDENADO Assim como os números reis são utilizdos como coordends pr pontos de um ret, pres de números reis podem ser utilizdos como coordends pr pontos de um plno Com este propósito se estelece um sistem de coordends retngulres no plno chmdo de plno coordendo Desenhmos dus rets perpendiculres no plno, um horizontl e outr verticl Ests rets são chmds de eio (sciss) e eio (ordend), respectivmente, e seu ponto de intersecção chm-se origem As coordends são ssinlds com origem como ponto zero em mos os eios e mesm distânci unitári em mos os eios O semi-eio positivo dos está à direit d origem, semi-eio negtivo dos está à esquerd; o semi-eio positivo dos está cim d origem e o semi-eio negtivo dos está io P(,) 5 Consideremos um ponto P qulquer do plno Desenhmos um ret por P prlel o eio dos, e sej coordend do ponto em que curv cort o eio dos Anlogmente, desenhmos um ret por P prlel o eio dos, e sej coordend do ponto em que ess ret cort o eio dos Os números e ssim determindos chmm-se coordend (sciss do ponto P) e coordend (ordend do ponto P) As coordends de P são escrits como um pr ordendo (, ) Historicmente, coue Glileu Glilei (56-6) o mérito de ter sido o primeiro demonstrr importânci dos sistems de referênci n formulção ds leis que regem descrição dos fenômenos físicos (por eemplo, movimentos uniformes e movimentos reltivos), estelecendo desse modo, um relção mensurável entre leis e grndezs físics O mundo não se present com um sistem de coordends fio ele, ms podemos loclizr um sistem físico em um sistem de coordends imginário como sendo um grde rtificilmente sorepost de modo que você se loclize em um prolem, fim de relizr medições quntittivs Os eios crtesinos são usdos pr loclizr e medir lgums grndezs como: posição, celerção, velociddes ou cmpos grvitcionis Podemos usr diferentes sistems de coordends pr resolução de prolems, ms gerlmente é utilizd representção gráfic envolvendo coordends crtesins, que se trt de um sistem de coordends com eios mutumente perpendiculres Em dus dimensões usmos os sistems de coordends e, em três dimensões, o z A loclizção dos eios não é inteirmente

2 ritrári Por convenção, o semi-eio positivo de está posiciondo 9º em sentido nti-horário do o semi-eio positivo de, conforme figur io Eemplo : Loclize os pontos A(,), B(,), C(-, ) e D(-, -) no plno coordendo DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS A distânci d entre dois pontos P (, ) e P (, ) no plno é dd por: d Eemplo : Determine distânci entre os pontos (-,) e (,-) Respost: d= Eemplo : Determine s coordends do ponto equidistnte dos pontos A(5,), B(-,) e C(-,) Respost: D(,) PONTO MÉDIO Muits vezes é útil conhecer s coordends do ponto médio do segmento que une dois pontos distintos ddos Se os pontos ddos são P (, ) e P (, ), e se P (, ) é o ponto médio, então s coordends de P serão dds por: Eemplo : Os pontos (, -) e (-6, 5) são s etremiddes do diâmetro de um círculo Ache o centro e rio do círculo Respost: C(-,/) e

3 List de Eercícios - Geometri Anlític - Plno Crtesino Clcule o perímetro do triângulo de vértices A (,7), B(-,-8) e C (8,-5) Determine um ponto no eio ds ordends equidistnte os pontos A(-,) e B(,-) Determine um ponto no eio ds scisss equidistnte os pontos A(-,) e B(,) Encontre tl que distânci os pontos C(5,) e D(5, ) sej 8 5 O ponto M tem coordends iguis e fic distnte 5 uniddes do ponto E(,) Determine s coordends de M 6 Considere o triângulo ABC sendo A(-/, 6), B(7/, -) e C(-,-) ) Determine s coordends dos pontos médios dos ldos AB e BC ) Clcule distânci entre os pontos A e B 7 Encontre tl que distânci entre (,) e (, -) sej 5 8 Mostre que os pontos A(, -), B(,) e C(-,) são vértices de triângulo isósceles 9 Ache o ponto equidistnte dos pontos P(,7), Q(8,6) e R(7,-) Um circunferênci com centro em C(-,), tem etremidde de um diâmetro em B(,6) Determine s coordends d outr etremidde Mostre que os pontos A(7,5), B(,) e C(6,-7) são vértices de um triângulo retângulo Resposts List : ) ) P(,-) ) P(,) ) =9 ou =-7 5) M(6,6) ou M(-,-) 6) ) (,5/) e (/,-) ) 7 7) =5 ou =- 9) (,) ) (-,-) SEGMENTO DE RETA ORIENTADO VETORES Um segmento de ret orientdo AB é determindo por um pr ordendo de pontos AB, onde A é chmdo de origem e B de etremidde Geometricmente é representdo por um ret que crcteriz visulmente o sentido do segmento A B

4 Módulo ou Norm de um vetor Módulo, norm ou comprimento é o número rel não negtivo que é medid do segmento Direção e Sentido Dois segmentos orientdos não nulos AB e CD têm mesm direção se s rets suportes desses segmentos são prlels ou coincidentes Só se pode comprr os sentidos de dois segmentos orientdos se eles têm mesm direção Dois segmentos de sentidos orientdos opostos têm sentidos contrários SEGMENTOS EQUIPOLENTES Dois segmentos orientdos AB e CD que tenhm mesm direção, o mesmo sentido e o mesmo módulo são chmdos de equipolentes Representção: AB~CD VETOR Vetor é coleção de todos os segmentos orientdos equipolentes um ddo segmento orientdo AB Representção: v AB ou BA O vetor é crcterizdo por seu módulo, por su direção e sentido O módulo de v é indicdo por v ou ind v Vetores Iguis Dois vetores AB e CD são iguis se e somente se AB ~ CD

5 Vetor Nulo Os segmentos nulos, por serem equipolentes entre si, determinm um único vetor, chmdo vetor nulo ou vetor zero, que é indicdo por Vetores Opostos Vetor Unitário O vetor BA é oposto o vetor Um vetor v é unitário se v = v AB e é indicdo por AB ou por v Versor Versor de um vetor não nulo v é o vetor unitário de mesm direção e sentido de v Vetores Colineres Dois vetores u e v são colineres se tiverem mesm direção Isto é, u e v são colineres se tiverem representntes AB e CD pertencentes um mesm ret ou rets prlels Vetores Coplnres Os vetores não nulos u, v e w são ditos coplnres se possuem representntes AB, CD e EF pertencentes um mesmo plno Oservção: Dois vetores quisquer u e v são sempre coplnres, pois sempre podemos tomr um ponto no espço e, com origem nele, imginr dois representntes de u e v pertencendo um plno que pss por este ponto Três vetores poderão ou não ser coplnres 5

6 OPERAÇÕES COM VETORES Adição Ddos os vetores u e v representdos pelos segmentos AB e BC Os pontos A e C determinm um vetor s que é, por definição, som dos vetores u e v, isto é, s =u + v B v u s C A No cso de u e v não serem vetores prlelos, há outr mneir de encontrrmos o vetor s Represent-se u AB e v AD por segmentos orientdos com origem em A Complet-se o prlelogrmo ABCD e o segmento orientdo de origem A, que corresponde à digonl do prlelogrmo é o vetor s =u + v D v d s C A Proprieddes d Adição u B I) Comuttiv: u + v = v + u II) Associtiv: ( u + v )+ w = u + ( v + w ) III) Elemento Neutro: v + = + v = v IV) Elemento Oposto: v +( v )= v v = Diferenç Ddos os vetores u e v representdos pelos segmentos AB e AC, respectivmente, e construído o prlelogrmo ABCD, verific-se que som s =u + v é representd pelo segmento orientdo AC ( um ds digonis) e que diferenç d =u v é representd pelo segmento DB ( outr digonl) Multiplicção de um vetor por um número rel v o vetor Ddo um vetor v e um número rel k, chm-se produto do número rel k pelo vetor p kv tl que: ) módulo: p kv k v ) direção: mesm de v 6

7 c) sentido: o mesmo de v se k>, e o contrário se k< Oservções: ) Se k = ou v =, o produto é o vetor nulo ) Sej um vetor k v, com v Se fizermos com que o número rel k percorr o conjunto dos números reis, oteremos todos os infinitos vetores colineres v, e portnto, colineres entre si, isto é, qulquer um deles é sempre múltiplo esclr do outro Reciprocmente, ddos dois vetores colineres u e v, sempre eiste kir tl que u kv v u c) O versor de um vetor v é o vetor unitário u v ou v u v v Proprieddes d Multiplicção de um vetor por um número rel I) Associtiv: v v II) Distriutiv em relção à dição de esclres: v v v III) Distriutiv em relção à dição de vetores: u v u v IV) Identidde: v v 5 ÂNGULO ENTRE VETORES O ângulo entre dois vetores não nulos u e v é o ângulo formdo pels semi-rets prlels os vetores tl que Oservções: ) Se =, u e v têm mesm direção e sentidos contrários ) Se =, u e v têm mesm direção e o mesmo sentido c) Se =, u e v são ortogonis, isto é, u v Neste cso, u v u v d) O vetor nulo é considerdo ortogonl qulquer vetor Eemplo : Sendo que o ângulo entre u e v é de 6º, determine o ângulo formdo pelos vetores: ) u e v ) u e v c) u e v d) u e v Respost: () e () º; (c) e (d) 6º 7

8 Eercícios: Encontre som dos vetores indicdos n figur Ddos os vetores u e v d figur o ldo, represente grficmente os vetores: ) u v ) u + v v c) u v d) u - v u List de Eercícios - Vetores I - Resolv os eercícios pres d list de eercícios, págin do livro Vetores e Geometri Anlític, Pulo Winterle, Editor Mkron Books VETORES NO PLANO VETORES NO ESPAÇO E NO PLANO Consideremos dois vetores v e v não prlelos, representdos com origem no mesmo ponto O, sendo r e r s rets contendo estes representntes: 8

9 Os vetores u,v, w,t, e em função de v e v são epressos por: Ddos dois vetores quisquer v e v não prlelos, pr cd vetor v representdo no mesmo plno de v e v, eiste um só dupl de números reis e tis que v v v Qundo um vetor v é epresso como v v v, diz-se que v é um cominção liner de v e v O conjunto B={ v, v } é chmdo de se no plno Qulquer conjunto de dois vetores não prlelos constitui um se no plno Os números e são chmdos componentes Um se { e, e } é dit ortonorml se os seus vetores forem ortogonis e unitários, ou sej, e e = ou coordends de v n se B As ses mis utilizds são s ses ortonormis Um se importnte é se que determin o sistem crtesino ortogonl Os vetores ortogonis e unitários, neste cso, são simolizdos por i e j, mos com origem em O e etremiddes em (, ) e (, ), respectivmente, sendo se C={ i, j } chmd de cnônic e e e Epressão Anlític de um Vetor Ddo um vetor v qulquer do plno, eiste um só dupl de números e tis que v i j Os números e são s componentes de v n se cnônic A primeir componente é sciss de v e segund componente é ordend de v O vetor v tmém pode ser representdo por v, chmdo de epressão nlític de v O pr ordendo (, ) tmém é 9

10 Eemplo : Epresse os vetores io em form de pr ordendo: ) v i j ) v i j c) v 6i Resposts: ) (,-) ) (,-) c) (-6,) Oservção: A cd ponto P(, ) do plno corresponde um vetor v OP i j Isto é, s coordends do ponto P são s própris componentes do vetor OP n se cnônic Iguldde de Vetores Dois vetores u, e, v são iguis se e somente se e Escreve-se u v Eemplo : Determine os vlores de e pr os quis os vetores u, e v, 6 sejm iguis Respost: =7 e =- Operções com Vetores Sejm os vetores u,,, ) u v, ) u, v e um número IR Definimos: Eemplo : Ddos os vetores v,5 e w,, clcule os vetores: ) v ) w v c) w v Resposts: ) (-,5/) ; ) (5,-) ; c) (,) Eemplo : Ddos os vetores u,5 e v, u v Respost: (/,-), determine o vetor n iguldde

11 Eemplo 5: Encontre os vlores de e tis que v v v v, 5 Respost: =6/7 e =-/7 sendo v 6,, v e, Vetor Definido por Dois Pontos Considere o vetor AB de origem no ponto A, e etremidde em B, vetor AB em termos ds coordends dos pontos A e B são AB, Então o Oservção: Um vetor tem infinitos representntes que são segmentos orientdos de mesmo comprimento, mesm direção e mesmo sentido O melhor representnte do vetor AB é quele que tem origem em O(, ) e etremidde em P, Este vetor é chmdo de representnte nturl de AB Eemplo 6: Ddos os pontos A(-, ), B(, -) e C(-,), determine D(,) tl que Respost: D(,5/) CD AB Prlelismo de Dois Vetores v são prlelos qundo sus componentes são proporcionis, isto é, se eiste um número rel tl que u v Ou sej, Dois vetores u, e, Eemplo 7: Verifique se os vetores s, e, 6 t são prlelos Respost: São prlelos Módulo de um Vetor Sej v,, então pelo teorem de Pitágors: v Eemplo 8: Determine o módulo do vetor v (-,) Respost:

12 Vetor unitário ou Versor de um Vetor O vetor unitário de um vetor v, é ddo pel epressão v v Eemplo 9: Determine o versor do vetor v, Respost: Eercícios: Encontre o representnte nturl do vetor ddo n figur io Isto é, encontre o representnte do vetor que tem origem em (,) Ddos os vetores u, e w, ) v u w ) v u w Encontre e tis que v u w Encontre o módulo do vetor v i j, determine: onde u,, w, e, v 5 Ddos, u e v,, determine u v u v 6 Encontre o vetor v como norm v e que tenh mesm direção e sentido do vetor u, Resposts: ) v=(,) ) ) (,-5) ; ) (7/,-/) ) == ) 5) 6) VETORES NO ESPAÇO No espço, se cnônic C={ i, j, k } irá determinr o plno z, onde os três vetores são unitários, ortogonis dois dois e representdos com origem no ponto O Este ponto e direção

13 de cd um dos vetores d se determinm os três eios crtesinos: eio (ds scisss) que corresponde o vetor i, o eio ( ds ordends) que corresponde o vetor j e o eio z (ds cots) que corresponde o vetor k Cd dupl de vetores d se e, consequentemente, cd dupl de eios, determin um plno coordendo Portnto, temos três plnos coordendos o plno, o plno z e o plno z A cd ponto P(,, z) de espço corresponderá o vetor coordends, e z do ponto P são s componentes do vetor OP n se cnônic OP i j zk, isto é, s Epressão Anlític de um Vetor no Espço A epressão nlític do vetor v i j zk é v,,z Eemplo : Escrev epressão nlític dos seguintes vetores ) v i j k ) u j i c) w i k d) t i e) v j f) s k Resposts: ) (,,-) ) (-,,) c) (,,-) d) (,,) e) (,,) f) (,,) Iguldde de Vetores Dois vetores u,, e,, z z z Escreve-se u v Operções com Vetores Sejm os vetores u,, z e,, z ) u v,, z z ) u,, z v z são iguis se e somente se v e um número IR Definimos:, e

14 Vetor Definido por Dois Pontos Considere o vetor AB de origem no ponto A,, z e etremidde em,, z Então o vetor AB em termos ds coordends dos pontos A e B são AB,,z Prlelismo de Dois Vetores Dois vetores u,, e,, B z z v z são prlelos qundo sus componentes são z proporcionis, isto é, se eiste um número rel tl que u v Ou sej, z Módulo de um Vetor O módulo do vetor,,z v é ddo por: v z O vetor unitário é Eemplo : Ddos os pontos A(,,-) e B(,,-) e os vetores u,,,,, w,,, verifique se eistem números, e tis que AB u v =; =; =- w v v v e Respost: Oservção: No plno, todo conjunto { v, v } de dois vetores não prlelos constitui um de sus ses, isto é, todo vetor desse plno é cominção liner de v e v No espço, todo conjunto de três vetores não coplnres constitui um de sus ses, isto é, todo vetor do espço pode ser escrito de modo único como cominção liner dos vetores dest se Eemplo : Sej o triângulo de vértices A(,-,-), B(, 5, -6) e C(, -, -) Clcule o comprimento d medin do triângulo reltiv o ldo AB Respost: Eemplo : Apresente o vetor genérico que stisfz à condição: ) prlelo o eio ; ) representdo no eio z; c) prlelo o plno ; d) prlelo o plno z; e) ortogonl o eio ; f) ortogonl o eio z; g) ortogonl o plno ; h) ortogonl o plno z Resposts: ) (,,) ) (,,z) c) (,,) d)(,,z) e) (,,z) f) (,,) g) (,,z) h) (,,) Eercícios: Ddos os pontos A(,-,), B(,, 5) e o vetor v = (,, -), clcule:

15 ) (A-B)- v ) v +(B-A) Ddos os pontos A(,-,-) e B(-,, ), determine o ponto N pertencente o segmento AB tl que AN AB 5 Sendo que u - v = w, determine, e c sendo u =(, -, c), v =(, -, ), w =(, -, ) Quis dos seguintes vetores u =(, -6, ), v =(-6, 9, -), w =(, -, 9) e t =(, -5,5) são prlelos? 5 A ret que pss pelos pontos A(-,5,) e B(,, ) é prlel à ret determind por C(,-,) e D(, m, n) Determine o ponto D 6 Ddo o vetor v =(, -, -), determine o vetor prlelo v que tenh: ) sentido contrário de v e três vezes o módulo de v ; ) o mesmo sentido de v e módulo ; c) sentido contrário de v e módulo 5 Resposts: ) ) (,-6,) ) (-,5,-) ) (,-,-6/5) ) =-/ ; =7/ ; c= ) é prlelo, que é prlelo 5) D(,,) 6) ) -v ) c) List de Eercícios - Vetores - Resolv os eercícios pres d list de eercícios, págin do livro Vetores e Geometri Anlític, Pulo Winterle, Editor Mkron Books DEFINIÇÃO ddo por: representdo por PRODUTO ESCALAR O produto esclr de dois vetores u,, e,, 5 z u v zz v é um número rel e é z O produto esclr de u por v é tmém chmdo de produto interno e pode ser u, v e se lê u esclr v Eemplo : Ddos os vetores u,, e,, v, clcule u v Respost: -

16 Eemplo : Ddos os vetores u, 5, 8 e v,, ) u v u v ) u u Resposts: ) 89 ) 98, clcule: PROPRIEDADES DO PRODUTO ESCALAR Pr quisquer vetores u, v e w e o número : ) u v v u ) u v w u v u w; u v w u w v w ) u v u v u v ) u u se u Se u u então u = 5) 6) u u u Eemplo : Sendo u, v e v u, determine u v u v DEFINIÇÃO GEOMÉTRICA DO PRODUTO ESCALAR Se u e v são vetores não-nulos e é o ângulo entre eles então Pois, u v u v u u v u v cos u v v u v u v cos pel Lei dos Cossenos e pel propriedde 6, respectivmente Igulndo s equções cim, otemos definição cim Respost: Eemplo : Sendo u e v e 6º o ângulo entre u e v, clcule: ) u v ) u v c) u v 6

17 Resposts: ) / ) c) Oservção: ) N epressão u v u v cos, o sinl de u v será o mesmo sinl de cos, logo: ) se u v >, então cos() > logo, º<<9º; ) se u v <, então cos() < logo, 9º<<8º; c) se u v =, então cos() = logo, = 9º Assim, podemos estelecer que: Dois vetores são ortogonis se, e somente se, u v ) O vetor nulo é ortogonl todo vetor, isto é, v pr todo vetor v Eemplo 5: Verifique se os vetores u,, e, 5, ortogonis v são ortogonis Respost: São Eemplo 6: Determine um vetor ortogonl não-nulo os vetores u,, e v,, (,,-) Respost: DETERMINAÇÃO DO ÂNGULO FORMADO ENTRE DOIS VETORES Vimos que u v u v cos, logo, cos u v u v Eemplo 7: Determine o ângulo formdo entre os vetores u,, e v,, Respost: 5 Ângulos Diretores e Cossenos Diretores de um vetor 7

18 Eemplo 8: Clcule os ângulos diretores e cossenos diretores de Respost: 5, 5 e 9 5 PROJEÇÃO DE UM VETOR SOBRE OUTRO Sejm os vetores u e v não-nulos e o ângulo entre eles Pretendemos decompor um dos vetores, tl que v v v sendo que v //u e que v u Demonstrção: v v v u v v v u v u u v u u v u u u u u O vetor v é chmdo de projeção ortogonl de v em u e é representdo por: v v u proj v u u u u Eemplo 9: Determine o vetor projeção de v,, sore u,, Respost: (-/,/,) Eercícios: Ddos os vetores u,, e,, vlor de tl que v BA 5 u v e os pontos A(, -, ) e B(,,-), determine o Mostre que o triângulo de vértices A(,, ) e B(,, -) e C(,, -) é um triângulo retângulo Sendo que o vetor,, v form um ângulo de 6º com o vetor AB determindo pelos pontos A(,, -) e B(,, m), clcule o vlor de m Otenh o vetor v, sendo que v, v é ortogonl o eio Oz, form um ângulo de 6º com o vetor i e um ângulo otuso com o vetor j 8

19 5 Encontre os vetores unitários prlelos o plno z e que são ortogonis o vetor,, 6 Sej o vetor v,, ) um vetor ortogonl v ;, determine: ) um vetor unitário ortogonl v ; c) um vetor de módulo ortogonl v Resposts: ) =7/ ) ) ) (,,) 5) 6) v List de Eercícios - Produto Esclr - Resolv os eercícios pres d list de eercícios, págin 66 do livro Vetores e Geometri Anlític, Pulo Winterle, Editor Mkron Books 5 PRODUTO VETORIAL 5 DEFINIÇÃO O produto vetoril de dois vetores u,, e v,, é um vetor e é ddo por: z i j k u v u v z z z, tomdos nest ordem, v O produto vetoril de u por v pode ser representdo por u v ou u v e se lê u vetoril Eemplo : Clcule u v se 5,, u e,, v Respost: (-,,) Oservções: v u u v, isto é, os vetores u v e v u são opostos Logo, o produto vetoril não é comuttivo u v se, e somente se, u // v Dois csos prticulres: 9

20 ) u u ( determinnte com dus linhs iguis) ) u ( determinnte com um linh de zeros) Eemplo : Clcule os seguintes produtos vetoriis: ) u u ) u 5u c) u v v u d) u v v u e) u v u 8v f) 5u Respost: Todos nulos 5 CARACTERÍSTICAS DO VETOR u v Consideremos os vetores u,, e,, Direção de u v O vetor Eemplo : Mostre que z v z u v é simultnemente ortogonl u e v u v é ortogonl u e v Eemplo : Sejm os vetores u = (, -, -) e v =(,, -) Determine o vetor que sej ) ortogonl u e v ; ) ortogonl u e v e unitário; c) ortogonl u e v e que tenh módulo ; d) ortogonl u e v e tenh cot igul 7 Resposts: ) (,-,5) ) (/,-/,/) c) (8/,-8/,/) d) (,-,7) Sentido de u v O sentido de u v poderá ser determindo utilizndo-se regr d mão direit Sendo o ângulo entre u e v, suponhmos que u (º vetor) sofr um rotção de ângulo té coincidir com v Se os dedos d mão direit forem dordos n mesm direção d rotção, então o polegr estendido indicrá o sentido do vetor u v

21 A figur () mostr que o produto vetoril mud de sentido qundo ordem dos vetores é invertid Só será possível dorr os dedos n direção de v pr u se invertermos posição d mão, qundo o dedo polegr estrá pontndo pr io Oservção: O produto vetoril dos vetores i, j e k é ddo n tel io: i j k Comprimento de u v i k - j j - k i k j - i Se é o ângulo entre os vetores u e v não-nulos, então: u v u v sen D identidde de Lgrnge: u v u v u v u v u v cos u v cos u v sen Interpretção Geométric do Módulo do Produto Vetoril No prlelogrmo determindo pelos vetores não nulos u e v, medid d se é u e d ltur v sen, então áre deste prlelogrmo é: A = (se) (ltur)= u v sen, ou sej, A= u v Dest form, podemos dizer que: áre do prlelogrmo determindo pelos vetores u e v é numericmente igul o módulo do vetor u v Eemplo 5: Sej o triângulo equilátero ABC de ldo Clcule AB AC Respost: 5 u Eemplo 6: Ddos os vetores u = (, -, ) e v =(, -, ), clcule: ) áre do prlelogrmo determindo por u e v ;

22 ) ltur do prlelogrmo reltiv à se definid pelo vetor u Resposts: ) 6 u ) uc Proprieddes I) O produto vetoril não é comuttivo, pois, u v v u II) O produto vetoril não é ssocitivo, pois, u v w u v w III) Pr quisquer vetores u, v e w e o esclr : ) u v w u v u ) u v w u w v w c) u v u v u v d) u v w u v w Eemplo 7: Determine o vetor, tl que sej ortogonl o eio e ) e v =(, -, ) Respost: (,,) u v, sendo u = (,, - Eemplo 8: Determine distânci do ponto P(5,, ) à ret r que pss pelos pontos A(,, ) e B (, -,) Respost: 9 uc Eemplo 9: Ddos os pontos A(,, ), B(, -, ) e C(,, -), determine: ) áre do triângulo ABC ) ltur do triângulo reltiv o vértice C 5 5 Resposts: ) u ) uc Eercícios: Se u = (, -, ), v =(,, -) e w =(-,, ), determine: ) u u c) u v w w e) u v w ) v v d) u v v u f) u v w Efetue: ) i k c) i k ) j i d) i j e) i jk f) i j j Determine um vetor simultnemente ortogonl os vetores u v e v u, sendo u = (-,, ) e v =(, -, -)

23 Sendo u, v e 5 o ângulo entre u e v, clcule: ) u v ) u v 5 5 Ddos os vetores u = (, -, ) e v =(-,, ), clcule: ) áre do prlelogrmo determindo por u e v ; ) ltur do triângulo reltiv à se definid pelo vetor v Resposts: ) ) ) c) (-7,7,) d) (,,) e) (7,-7,7) f) ) ) j ) k c) 6 j d) e) f) ) (-, -8, 9) ) ) 6 ) 8/5 5) ) u ) uc List de Eercícios 5 - Produto Vetoril - Resolv os eercícios pres d list de eercícios 5, págin 86 do livro Vetores e Geometri Anlític, Pulo Winterle, Editor Mkron Books 6 DEFINIÇÃO 6 PRODUTO MISTO O produto misto dos vetores u,,, v,, e,, nest ordem, é o número rel u v w z e é ddo por: z u v w z O produto misto de u, v e w pode ser indicdo por u,v,w z z w tomdos z Eemplo : Clcule o produto misto dos vetores u,, 5, v,, e,-, Respost: 7 6 PROPRIEDADES DO PRODUTO MISTO O produto misto,v,w u mud de sinl o trocrmos posição de dois vetores Se forem dus permutções, não há lterção de vlor do produto misto u v w u v w w u v w,u,v u,v,w u,v,w u,v,w,v,w w

24 u,v,w u,v,w u,,w u,v,w u,v,w u,v, u,v,w u, v,w u,v, w u,v,w,v,w u se e somente se, os três vetores forem coplnres Csos prticulres: ) Se pelo menos um dos vetores é nulo,,v,w ) Se dois vetores forem prlelos:,v,w u u Eemplo : Verifique se os vetores u,-,, v,, - e,-, Respost: Não w são coplnres Eemplo : Qul deve ser o vlor de m pr que os vetores u, m,,,, w,, - sejm coplnres? Respost: - v e 6 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÓDULO DO PRODUTO MISTO Volume do Prlelepípedo Geometricmente, o produto misto u v w é igul, em módulo, o volume do prlelepípedo de rests determinds pelos vetores não coplnres u, v e w Portnto, V= Ah= u,v,w Eemplo : Sejm os vetores u, m,-, v,, e w,, Clcule o vlor de m pr que o volume do prlelepípedo determindo por estes vetores sej 6 uv Respost: m=- ou m=

25 Volume do Tetredro Sejm A, B, C e D pontos não-coplnres Portnto, os vetores AB, AC e AD tmém não são coplnres Em consequênci, esses vetores determinm um prlelepípedo cujo volume é: AB Este prlelepípedo pode ser dividido em dois prisms tringulres de mesmo tmnho e, portnto, o volume de cd prism tringulr V p é metde do volume V do prlelepípedo O prism, por su vez, pode ser dividido em três pirâmides de mesmo volume Assim, o volume do tetredro V t é um terço do volume do prism, isto é, V=,AC,AD V t = 6 AB,AC,AD Eemplo 5: Sejm A(,, -), B(5,, ), C(, -, ) e D(6,, -) vértices de um tetredro Clcule: ) o volume do tetredro; ) ltur do tetredro reltiv o vértice D 8 Resposts: ) 6 uv; ) uc 5 Eercícios: Ddos os vetores,-, ) u,v,w ) w,u,v Sendo que u,v,w=-5, clcule: ) w,v,u ),u,w u, v,, e w,,-, clcule: v c) w,u,v d) v w u Verifique se os vetores são coplnres: u,-,, v,, e w,,- Um prlelepípedo é formdo pelo vetores u,-,, v,, e w,,5 ) o seu volume; ) ltur reltiv à se definid pelos vetores u e v Clcule: 5 Os pontos A(,, ), B(,, ), C(,, ) e P(, -, 9) formm um tetredro de se ABC e vértice P, clcule: ) o volume deste tetredro; ) ltur reltiv o vértice P Resposts: ) ) -9 ) -9 ) ) 5 ) 5 c) -5 d) -5 ) Não são coplnres 5

26 7 ) ) 7 ) 5) ) ) 9 List de Eercícios 6 - Produto Misto - Resolv os eercícios pres d list de eercícios 6, págin 99 do livro Vetores e Geometri Anlític, Pulo Winterle, Editor Mkron Books 7 EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA 7 EQUAÇÕES DA RETA Consideremos um ponto A(,, z ) e um vetor não-nulo v,,c Só eiste um ret que pss por A e tem direção de v Um ponto P(,, z) pertence r, se e somente se, o vetor AP é prlelo v, isto é, AP tv pr lgum rel t De AP tv, temos que P A tv ou P A tv, ou ind, em coordends,,,z,,z t,,c Qulquer um ds equções cim pode ser chmd de equção vetoril d ret r O vetor v é chmdo vetor diretor d ret r e t é denomindo prâmetro Eemplo : Determine equção vetoril d ret r que pss por A(,, ) e tem direção de v,, Respost: (,,z)=(,-,)+t(,,) 7 EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA D equção vetoril d ret,,z,,z t,,c, otém-se: t t z z ct Ests são s equções prmétrics d ret Eemplo : Determine s equções prmétrics d ret que pss pelo ponto A(, -, ) e é t prlel o vetor v,, Respost: t z t Eemplo : Ddo o ponto A(,, ) e o vetor v,, 6, determine:

27 ) As equções prmétrics d ret r que pss por A e tem direção de v ) Os dois pontos B e C de r de prâmetros t= e t=, respectivmente c) O ponto de r cuj sciss é d) Se os pontos D(,, ) e E(5,, ) pertencem r e) Pr quis vlores de m e n o ponto F(m, 5, n) pertence r t Resposts: ) t z t ) (,,-) e (6,-5,8) c) (,-,) d) D pertence r e E não pertence r e) m= e n=-7 7 Ret definid por dois pontos A ret definid pelos pontos A e B é ret que pss por A ( ou B) e tem direção do vetor v AB é dd por P A tb A ou P B tb A Eemplo : Escrev s equções prmétrics d ret r que pss por A(,, ) e B(,, ) t Respost: t z 6t 7 EQUAÇÕES SIMÉTRICAS DA RETA t Ds equções prmétrics t supondo,, c, vem: z z ct z z t, t, t c Como pr cd ponto d ret corresponde um só vlor pr t, otemos: t z z c Ests equções são denominds equções simétrics d ret que pss pelo ponto A(,, z ) e tem direção do vetor v,,c Eemplo 5: Escrev s equções simétrics d ret s que pss pelo ponto A(,, 5) e tem z 5 direção do vetor v =(,, ) Respost: t 7 EQUAÇÕES REDUZIDAS DA RETA A equção m que é conhecid como equção reduzid d ret O vlor é chmdo de coeficiente liner e m é chmdo coeficiente ngulr d ret 7

28 Eemplo 6: A prtir ds equções simétrics d ret s do eemplo 5, otenh sus equções reduzids Respost: =- e z=(--7)/ Eemplo 7: Determine equção reduzid d ret r io n vriável z r : Respost: =-8 e z=-+ 75 ÂNGULO ENTRE RETAS Sejm r e s dus rets com direções v e v O ângulo entre s rets r e s é o menor ângulo entre os vetores diretores de r e de s Assim, v v cos, com 9º v v Eemplo 8: Clcule o ângulo entre s rets s: t t z t e u: z Respost: 6 grus Eemplo 9: Verifique se s rets s e u são concorrentes e, em cso firmtivo, determine seu ponto de intersecção: h 5 t s: h u: t z h z t Respost: I(,-,) Eercícios: Determine um equção vetoril d ret r definid pelos pontos A(,, ) e B(,, ) Verifique se o ponto C=(,, ) pertence r Dd ret r: t t, determine o ponto de r tl que: z t 8

29 9 ) ordend sej 6; ) sciss sej igul à ordend; c) cot sej o quádruplo d sciss Determine s equções prmétrics d ret que pss pelos pontos A(,, ) e B(,, ) Determine s equções prmétrics ds rets que pssm por ) A(,,) e é prlel o eio dos ; ) A(,, ) e é perpendiculr o plno z; c) A(,, ) e é ortogonl o mesmo tempo os eios e 5 Determine o ângulo entre s rets r: t z t t e s: 6 z 6 Sendo que s rets r e s são ortogonis, determine o vlor de m: r: t z t mt s: z 7 Encontre s equções prmétrics d ret que pss por A(,, ) e é simultnemente ortogonl às rets s: z e u: 8 Verifique se s rets r e s são concorrentes, em cso firmtivo, encontre seu ponto de intersecção: r: 5 z s: 7 z Resposts: ) (,,z)=(,-,)+t(-,,-) C não pertence ret r ) ) (-,6,-); ) (5/,5/,-); c) (-, 9,-6) ) t z t t ) ) z t ; ) z t ; c) t z 5) 6 6) m=-7/ 7) z t t 8) I(,,)

30 List de Eercícios 7 Ret - Resolv os eercícios pres d list de eercícios 7, págin 8 do livro Vetores e Geometri Anlític, Pulo Winterle, Editor Mkron Books 8 EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 8 O PLANO Consideremos um plno e um ret n (,, c), n, onde n é ortogonl o plno Sej A,, ) um ponto de Oservemos figur: ( z Um ponto P (,, z) está sore o plno se, e somente se, o vetor AP é ortogonl n, ou sej, P A n Notemos que AP P A,, z ) e n (,, c), logo: P A ( z n (,, c) (,, z z) ) ( ) c ( z z ) ( cz cz Escrevendo d cz, otemos: cz d, que é equção gerl do plno Eemplo : Otenh um equção gerl do plno que psse pelo ponto A (,,) e tenh n (,, ) como um vetor norml Respost: +-z+8= Csos Prticulres Se um ou mis coeficientes n equção gerl do plno for nulo, frá com que o plno ocupe um posicionmento prticulr em relção os eios coordendos N equção cz d, se: º cso: se d cz, com,,c, o plno contém origem º cso:

31 ) se cz d, com,c,d, o plno é prlelo o eio ) se cz d, com,c,d, o plno é prlelo o eio c) se c d, com,,d, o plno é prlelo o eio z º cso: ) se d cz, com,c, o plno conterá o eio ) se d cz, com, c, o plno conterá o eio c) se c d, com,, o plno conterá o eio z º cso: ) se cz d, com c,d, o plno é prlelo o plno ) se c d, com,c, o plno é prlelo o plno z c) se c d, com,d, o plno é prlelo o plno z 8 EQUAÇÃO VETORIAL E EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DO PLANO Consideremos um plno e um ponto A,, ) Sejm dois vetores u,, ) e ( z v (,, c ) não prlelos, ms prlelos o plno Oservemos figur: ( c Pr todo ponto P, os vetores AP, u e v são coplnres Aind, um ponto P (,, z) pertence o plno se, e somente se, eistem números reis h e t tis que AP hu tv P A hu tv P A hu tv, est é equção vetoril de Em coordends, temos: (,, z) (,, z ) h (,, c ) t (,, c ) (,, z) ( h t, h t, z ch ct) que, pel condição de iguldde: h t h t z z ch ct Esss equções são chmds equções prmétrics de, onde h e t são vriáveis uilires denominds prâmetros

32 Eemplo : Sej o plno que pss pelo ponto A (,, ) e é prlelo os vetores u (,,) e v (,5, ) Otenh um equção vetoril, um sistem de equções prmétrics e equção gerl de Respost: +5+7z-5= Oservção (eemplo ): A equção gerl do plno tmém pode ser otid por meio do produto misto dos vetores AP, u e v, pois como P (,, z) represent um ponto qulquer do plno, estes vetores são coplnres (estão no mesmo plno) e, consequentemente, o produto misto deles é nulo Assim, o desenvolver iguldde ( AP, u, v), podemos encontrr equção gerl do plno 8 ÂNGULO DE DOIS PLANOS Sejm os plnos e com vetores normis n e n, respectivmente, conforme figur io Denominremos ângulo de dois plnos e, o menor ângulo que um vetor norml form com um vetor norml Considerndo-se este ângulo, otemos: n cos n n n, com Eemplo : Determine o ângulo entre os plnos : z e : Respost: grus 8 PLANOS PERPENDICULARES Sejm os plnos e com vetores normis n e n, respectivmente, conforme figur io, podemos concluir que:

33 n n n n Eemplo : Verificr se e são plnos perpendiculres: ) : z e : 6 z ) : e : Respost: ) Sim ) Não h t h t z t 85 PARALELISMO E PERPENDICULARISMO ENTRE RETA E PLANO Sejm ret r com direção do vetor v e um plno, sendo n um vetor norml Pels figurs io, podemos concluir que: i) r // v n ii) r v // n v n v n (Fig()) Fig t Eemplo 5: A ret r : t é prlel o plno 5 z Respost: Sim, pois z t v (,,) e n (5,, ) v n 5 ( ) ( ) 86 RETA CONTIDA EM PLANO Um ret r está contid em um plno se: i) dois pontos A e B de r forem tmém de ou

34 ii) v n, onde v é um vetor diretor de r e n um vetor norml e A r Eemplo 6: Determinr os vlores de m e n pr que ret : mnz 5 Respost: m= e n=-, pois v (,, ) e n (, m, n) v n ( ) m ( ) n m n m n A(,, ), : ( ) m ( ) n 5 m n Resolvendo o sistem, temos m= e n= - t r : t estej contid no plno z t 87 INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS A intersecção de dois plnos não-prlelos é um ret r cujs equções se desej determinr Eemplo 7: Consideremos os plnos não prlelos : 5 z 5 e : z 7 Entre os vários procedimentos, presentremos dois ) Como r está contid nos dois plnos, s coordends de qulquer ponto,,z r devem stisfzer simultnemente s equções dos dois plnos Logo, os pontos de r constituem solução do sistem: 5 z 5 r : z 7 O sistem tem infinits soluções e, em termos de, su solução é r :, que são z equções reduzids de r ) Outr mneir de oter s equções de r é determinr um de seus pontos e um vetor diretor Fzendo = ns equções do sistem, otemos: z 5 cuj solução é =- e z= Logo, temos um ponto, que chmremos de A(,- z 7,)

35 Como um vetor diretor v de r é simultnemente ortogonl 5,, e,, n n, normis os plnos e, respectivmente, o vetor v pode ser ddo por i n n 5, 9,6 ou, 9,6,, v j k Escrevendo equção prmétric de r, temos t r : t z t 88 INTERSECÇÃO DE RETA COM PLANO Eemplo 8: Determinr o ponto de intersecção d ret r com o plno, onde : z t r : 5 t e z t Solução: Qulquer ponto de r é d form,,z t,5 t, t Se um deles é comum o plno, sus coordends verificm equção de : t 5 t t, resultndo em t=- Sustituindo este vlor ns equções de r otém-se 5 z Logo, intersecção de r e é o ponto,, Eercícios: Ddo o plno determindo pelos pontos A (,, ), B (,, ) e C (,,6), otenh um sistem de equções prmétrics e um equção gerl de Determine o ângulo entre os plnos : 5z 8 e : 5z Qul intersecção dos plnos α: + z = e β: z =? Resposts: h t ) : h t z 5h t ) 8,8 grus 5

36 ) 5 z 5 List de Eercícios 8 Plno - Resolv os eercícios pres té o 8 d list de eercícios 8, págin do livro Vetores e Geometri Anlític, Pulo Winterle, Editor Mkron Books 9 SEÇÕES CÔNICAS E SUPERCÍCIES QUÁDRICAS 9 INTRODUÇÃO ÀS SEÇÕES CÔNICAS Os gregos descorirm s seções cônics em lgum momento entre 6 e C No início do período lendrino, si-se o suficiente sore cônics pr Apolônio (6-9 C) produzir um trlho de oito volumes sore o ssunto Os gregos se preocupvm sicmente com s proprieddes geométrics ds cônics Só mis trde, no início do século XVII é que se tornou prente grnde plicilidde ds cônics que tiverm um ppel relevnte no desenvolvimento do cálculo Cd seção cônic é otid cortndo-se um cone por um plno que não pss pelo vértice 9 PARÁBOLA Um práol é o conjunto de todos os pontos (,) equidistntes de um ret fi d ( diretriz) e de um ponto fio F ( o foco) que não pertence à ret F P P' d O ponto médio entre diretriz (d) e o foco (F) é chmdo de vértice (V), e ret que pss pelo foco e pelo vértice é o eio d práol Um práol é simétric em relção o seu eio A form pdrão pr equção reduzid de um práol com vértice (h, k) e diretriz 6

37 = k-p é h p k eio verticl horizontl k p h eio O foco (F) pertence o eio e está p uniddes do vértice 9 Orientções ds práols Eio verticl Eio horizontl Eemplo : Encontre equção d práol com vértice em (,) e foco em (,) Esoce práol Respost: --+6= Eemplo : Determine s coordends do vértice e do foco de cd práol Encontre direção ns quis els estão erts Ache tmém equção de su diretriz Esoce cd práol ) ) c) Resposts: ) V(-,), F(-,/), d: =/, equção: (+) =-(-) )V(,-), F(-,-), d: =5 c) V(-, ), F(-, /), d: =/, equção: (+) =(-) Eemplo : Ache s equções ds seguintes práols ) vértice (,) e foco (,) Respost: =- ) diretriz = e foco (,) Respost: =-(+) List de Eercícios 9: Encontre o foco, o vértice e diretriz de cd um ds seguintes práols Esoce-s ) 5 ) c) 9 7 d) Resposts: ) F(,-5/8), V(,), d: =5/8 )F(,-), V(-,-), d: =-6 c) F(-,/), V(-,), d: =9/ 7

38 d) F(9,-), V(8,-), d: =7 Encontre equção de cd práol especificd Esoce práol ) vértice (,) e foco (,) ) diretriz = e foco (,) c) vértice (,) e diretriz: = d) vértice (,) e foco (,) Resposts: ) (-) =-8(-) )(-) =8 c) (+) =(-) d) (+) = - 8(-) Encontre equção d práol com eio prlelo o eio dos e que contém os pontos (,), (,) e (,) Ache s coordends do foco e do vértice Escrev equção de su diretriz Respost: 5 Resolv os eercícios ímpres de, pág 7 do livro teto 9 ELIPSE Um elipse é o conjunto de todos os pontos (, ) tl que som ds distâncis dois pontos fios (os focos) é constnte Um curiosidde é que você tmém pode construir um cnteiro de flores no seu jrdim utilizndo o mesmo procedimento A ret contendo os dois focos intercept elipse em dois pontos chmdos vértices A cord unindo os dois vértices é o eio mior, e o seu ponto médio é o centro d elipse A cord perpendiculr o eio mior contendo o centro é o eio menor d elipse 8

39 Pr encontrr form pdrão pr equção de um elipse, considermos figur io d elipse que contém os pontos: centro (h, k) vértices (h, k) focos: (h c, k) A form pdrão pr equção reduzid de um elipse centrd em (h, k) e com eios mior e menor e, respectivmente, onde > é: h k eio mior é verticl Os focos estão no eio mior c uniddes do centro onde = +c 9 Orientções ds elipses h k eio mior é horizontl 9 Ecentricidde c Ecentricidde e é dd pel rzão e O conceito de ecentricidde é usdo pr medir o quão ovl é elipse 9

40 Note que como os focos estão no eio mior entre os centros e os vértices então <c< Pr um elipse quse circulr, os focos estão próimos do centro e rzão c é pequen Pr um elipse longd, os focos estão próimos dos vértices e ecentricidde está perto de Eemplo : Determine s coordends do centro, dos vértices, dos focos d cônic Esoce o gráfico Respost: Centro: C(,), Focos: (,7) e (,-), Vértices: (,8),(,-), (5,) e (-,) Eemplo 5: Escrev equção d elipse cujos vértices são os pontos (5, ), (, ), (, ) e (, ) Determine os focos e esoce o gráfico Respost: = Centro C(-,), Focos ( 5,) Eemplo 6: Escrev equção d elipse com focos (,) e (,) e eio mior de comprimento Respost: Aplicções pr Elipses A determinção ds órits plnetáris foi efetud entre 6 e 69 pelo strônomo lemão Johnnes Kepler (57-6), usndo o volumoso e cuiddoso conjunto de ddos stronômicos otido por Tcho Brhe, e cujo trlho durou cerc de 6 nos Entre seus estudos, Kepler descoriu que órit de Mrte podi ser descrit com precisão trvés de um elipse Kepler então generlizou este conceito pr os outros plnets e nálise complet se resume em três enuncidos, que são conhecidos com s Leis de Kepler do movimento plnetário Convém esclrecer que ests leis se plicm não somente os plnets que oritm em torno do Sol, ms igulmente pr stélites nturis e rtificiis em órit o redor d Terr ou de qulquer corpo celeste cuj mss sej considerável A seguir enunciremos e discutiremos primeir lei empíric de Kepler Cd plnet se move num órit elíptic de modo que o Sol ocup um dos focos dest elipse (lei ds órits) A figur io ilustr um plnet de mss m que está se movendo num órit elíptic o redor do Sol, de mss M Fremos suposição de que M >> m, de modo que o centro de mss do sistem formdo pelo plnet e pelo Sol estej loclizdo proimdmente no centro do Sol

41 N figur, o plnet de mss m move-se num órit elíptic o redor do Sol, de mss M O semieio mior, representdo por r é considerdo, pr efeito de cálculos, como sendo rio médio d órit O semi-eio mior, representdo por r, é considerdo, pr efeito de cálculos, como sendo rio médio d órit List de Eercícios : Encontre todos os elementos de cd um ds seguintes elipses ) R: C(,-),A (6,-), A (,-),F (5,-), F (,-),e=/ ) R: C(-,-), A (-,), A (-,-7),F (-,), F (-,-5),e=/5 c) R: C(,-), A (6,-), A (-,-),B (,), B (,-6) Encontre equção de cd elipse especificd ) eio mior mede e focos (,) Respost: 5 9 ) centro (,), um foco (5,) e ecentricidde ¾ Respost: 6 7 c) vértices em (, 8) e (, 8) e contendo o ponto (6, ) Respost: 6 6 d) etremos do eio mior em (, ), (5, ) e o comprimento do eio menor é uniddes 6 Respost: Determine equção d elipse de centro n origem e focos no eio ds scisss, sendo que 5, é um ponto d elipse e que seu eio menor tem comprimento 6 uniddes Respost: 6 9 Otenh s equções reduzids ds elipses de equções: ) Respost: ) Respost: 7 7 c) Respost: 9

42 5 Resolv os eercícios ímpres de, pág 89 do livro teto 9 HIPÉRBOLE É o conjunto de todos os pontos (, ) tis que diferenç ds distâncis dois pontos fios ( os focos) é constnte A ret contendo os dois focos intercept hipérole em dois pontos, os vértices A ret contendo os focos é chmd de eio focl, e o ponto médio do segmento unindo os vértices é o centro d hipérole A form pdrão pr equção de um hipérole com centro em (h, k) h k eio focl é horizontl k h eio focl é verticl A distânci entre o centro e os vértices é de uniddes e os focos estão c uniddes do centro Além disso, c = + 9 Orientções ds Hipéroles Eio Focl horizontl Eio Focl verticl

43 Cd hipérole tem dus ssíntots que se interceptm no centro As ssíntots contêm os vértices de um retângulo de dimensões por centrdo em (h, k) A ret unindo os pontos (h, k+) e (h, k) é chmd de eio trnsverso Pr um hipérole de eio focl horizontl, s equções ds ssíntots são: k h k h Pr um hipérole de eio focl verticl, s equções ds ssíntots são: k h k h

44 9 Ecentricidde d Hipérole c A ecentricidde e d hipérole é dd pel rzão e Como c>, temos e> Qunto mior ecentricidde, mis ertos são os rmos d hipérole Se ecentricidde for próim de, os rmos d hipérole são chtdos e pontudos Eemplo 7: Determine s coordends do centro, dos vértices, dos focos e s equções ds ssíntots d hipérole Respost: Centro: C(,-5), Vértices: (,- 5), (6,-5), Focos:, 5, ssíntots: 7 e Eemplo 8: Encontre equção reduzid d hipérole 8 Determine s coordends do centro, dos focos e dos vértices d hipérole Determine s equções ds ssíntots e esoce o gráfico Respost:, Centro: C(-,), Vértices: (-,), (-,), Focos:, 5 Assíntots: =+ e =- Eemplo 9: Determine equção d hipérole cujos focos estão em (, ) e (, ) e cuj ecentricidde é Respost: CLASSIFICAÇÃO DE CÔNICAS ATRAVÉS DO DETERMINANTE O gráfico d equção A B C D E F é determindo pelo discriminnte d seguinte mneir: Elipse: B AC< Práol: B AC= Hipérole: B AC> List de Eercícios : Encontre todos os elementos de cd um ds seguintes hipéroles ) R: V (-,), V (-,-5), =(+)/5 e =(--)/5

45 ) R: e=5/, =±/+ c) R: C(8,-5), A (,-5), A (,-5),F (8,-5), F (-,-5), e=5/, =(-7)/, =(-+7)/ Encontre equção de cd hipérole especificd ) vértices em (,), focos em (6,) ) vértices em (,) e s equções ds ssíntots são (5 ) c) focos em (, ) e (7, ) e o comprimento do eio trnsverso é d) centro em (, ), um vértice em (, 8) e um foco em (, ) Determine equção d hipérole que tem vértices em, e que pss pelo ponto 5 Otenh s equções reduzids ds hipéroles de equção: ) ) 9 6 c) Associe cd gráfico su equção 9 6 ) ) 6 d) c) e) f), R: (), (), (d) 6 Clssifique cd um ds cônics io e encontre todos os seus elementos ) R: Práol ) R: Não é um lugr geométrico c) R: Hipérole 7 Resolv os eercícios ímpres de, pág do livro teto Aplicções ds cônics Direcione um lntern pr um prede, vej que o feie de luz emitido desenhrá ness prede um curv cônic Isto contece porque o feie de luz emitido pel lntern form um cone, e tmém porque prede funcion como um plno que cort o cone formdo Dependendo d inclinção d lntern reltivmente à prede, poderemos oter um circunferênci, um elipse, um práol ou um hipérole Tente relizr este eperimento! 5

46 Certos jures de ceceir, cuj cúpul é ert segundo um circunferênci, desenhm n prede um hipérole e no teto um elipse Este fto é utilizdo n áre d iluminção pr construção de jures, lnterns, etc O som emitido por um vião jto supersônico tem form de um cone, ssim o chocr-se com Terr irá formr um curv cônic Logo, dependendo d inclinção do vião reltivmente à Terr, podemos oter elipses, práols ou hipéroles A udiometri us este fto, entre outros, pr ser que distânci d Terr o vião pode ultrpssr velocidde do som Eistem comets que percorrem trjetóris hiperólics, os quis o pssrem perto de lgum plnet com grnde densidde, lterm su trjetóri pr outr hipérole com um foco situdo nesse plnet Como práol é um cso de equilírio entre elipse e hipérole (lemrem-se que ecentricidde d práol é igul um), proilidde de eistir lgum stélite com órit prólic é quse nul Ms isso não impede eistênci de stélites com est trjetóri Tmém s trjetóris dos projéteis, num miente so ção d forç d grvidde, são prólics Já no miente terrestre, onde eiste resistênci do r, esss trjetóris são elíptics, mis proprimente, rcos de elipses No entnto, por vezes, s diferençs entre s trjetóris elíptics e s prólics são quse imperceptíveis A lístic (ciênci que estud s trjetóris de projéteis) fz uso deste fto pr determinrem o locl d qued de um projétil Fzendo uso d propriedde refletor d práol, Arquimedes construiu espelhos prólicos, os quis por refletirem luz solr pr um só ponto, form usdos pr incendir os rcos romnos ns invsões de Sircus Lemre-se que concentrção de energi ger clor! 6

47 Semos que os rios de luz vindos do espço chegm à terr por feies prlelos e vimos nest semn que um espelho prólico direcion estes rios pr o seu foco Isto ger um prolem, pois pr oservr imgem formd no foco, o olho do oservdor teri que estr posiciondo sore ele, o que n prátic se torn impossível, pois o mesmo funcionri como um rreir pr os rios luminosos A solução dd este prolem por Isc Newton foi posicionr um espelho plno entre superfície prólic côncv e o foco, de tl form que os rios fossem direciondos pr for d prte intern do espelho Por outro ldo, invenção de Newton gerou um prolem similr, pois, pr que convergênci do foco lterntivo ficsse for do cilindro telescópico dimensão deste espelho deveri ser em considerável, loquendo grnde prte dos rios incidentes prejudicndo destrte formção d imgem, oserve ilustrção seguir A solução pr este prolem foi dd em 67 pelo strônomo frncês Cssegrin utilizndo um espelho hiperólico, figur io ilustr propriedde ds hipéroles 7

48 Com ess ssocição de espelhos fleiilidde d montgem ficou em mior e s possiiliddes de vrição ds distâncis entre os focos e d distânci do foco d práol o espelho tmém Isto fz com que o telescópio se juste perfeitmente à necessidde ds oservções Hoje os telescópios modernos como os rdiotelescópios utilizm-se dest tecnologi, que levou um século pr serem implementds desde su idelizção Neste teto pudemos verificr que s proprieddes refletors ds cônics têm contriuído pr construção de telescópios, ntens, rdres, fróis, lnterns, etc Fonte: Foi prtir d propriedde refletor ds práols que os engenheiros civis construírm pontes de suspensão prólic Se imginrmos os cos que prendem o tuleiro d ponte como rios de luz, fcilmente verificmos que o co principl, quele que pss pelos pilres d ponte, tem form de um práol Outr plicção dests curvs estudds por Apolônio é o sistem de loclizção de rcos denomindo por LORAN (LOng RAnge Nvigtion), que fz uso ds hipéroles confocis, onde os 8

49 rdres estão nos focos A idei é sed n diferenç de tempo de recepção dos sinis emitidos simultnemente pelos dois pres de rdres, sendo um dos rdres comum os dois pres O mp ssim construído present curvs hiperólics Est técnic foi usd n II Guerr Mundil, pr detectr rcos jponeses List de Eercícios : Eercícios de revisão Associe cd gráfico su equção 5 ) ) 5 ) ) 5) 6) Respost: 6,, Clssifique cd um ds cônics io Otenh su equção reduzid e determine todos os seus elementos ) 7 d) ) e) c) Determine equção reduzid de um práol cujo vértice é (,) e equção de su diretriz é dd pel equção = Esoce práol e encontre s coordends de seu foco Determine equção reduzid de um hipérole cujos vértices são (,) e (, ) e os focos (, 5) e (,5) Esoce hipérole e encontre s equções de sus ssíntots 5 Determine equção de um elipse centrd n origem com ecentricidde e e semi-eio mior 6 6 Considere no plno elipse de focos F= (,) e F=(,) e de semi-eio menor igul ) Clcule o outro semi-eio d elipse ) Determine intersecção d elipse com ret de equção = 7 Determine distânci focl e ecentricidde de um hipérole com eio rel 8cm e eio imginário 6cm 9

50 8 A ecentricidde de um hipérole centrd n origem é e e distânci focl vle Determine equção dest hipérole 9 Mrque com um X lterntiv corret ) A equção d elipse que tem focos nos pontos (,) e (,) e contém o ponto,5 é: ) d) e) ) A equção d ret que pss pel origem e pelo vértice d práol é: ) d) ) e) c) 96 INTRODUÇÃO ÀS SUPERFÍCIES QUÁDRICAS A prtir d equção gerl do º gru ns três vriáveis, e z, cz d ez fz m n pz q é possível representr um superfície quádric Além disso, se superfície dd pel equção cim for cortd pelos plnos coordendos ou por plnos prlelos eles, curv de interseção será um cônic A interseção de um superfície com um plno é chmd trço d superfície no plno Assim, por eemplo, o trço d superfície quádric no plno z = é cônic d m n q contid no plno O, podendo representr um elipse, um hipérole ou um práol visto que sus equções geris são desse tipo A redução d equção gerl ds quádrics s sus forms mis simples eige cálculos trlhosos, o que não será nosso ojetivo Enftizremos o estudo ds quádrics representds por equções cnônics, s quis estão intimmente relcionds às forms reduzids ds cônics 97 SUPERFÍCIES DE REVOLUÇÃO Um superfície de revolução é superfície gerd por um curv pln (chmd gertriz) que gir 6º em torno de um ret (denomind eio) situd no plno d curv Dest form, o trço d superfície num plno perpendiculr o eio é um circunferênci e equção d superfície de revolução é otid trvés d equção d gertriz z Eemplo : Sej superfície gerd pel revolução d práol em torno do eio dos, oserve figur io: 5

51 Considere P (,, z) um ponto qulquer d superfície e C (,,) o centro d circunferênci que é o trço d superfície no plno que pss por P e é perpendiculr o eio dos (eio de revolução) A interseção dest circunferênci com práol é o ponto Q (,, z) Sej R o pé d perpendiculr trçd de P o plno Aind, CP = CQ = r, por serem rios d mesm circunferênci Como o triângulo CRP é retângulo em R, vem CP ( CR) ( RP) z Ms, CQ z, pois Q é ponto d práol Portnto, z ou z, que é equção dest superfície Notemos que equção z contid no eemplo cim pode ser otid imeditmente o sustituirmos z por z, n equção z (gertriz) Este método será utilizdo pr todos os csos de superfície de revolução Então, se gertriz estiver contid num dos plnos coordendos e girr 6º em torno de um dos eios desse plno, equção d superfície ssim gerd será otid d seguinte mneir: ) Se curv gir em torno do eio dos, sustitui-se ou z n equção d curv por z ; ) Se curv gir em torno do eio dos, sustitui-se ou z n equção d curv por z ; c) Se curv gir em torno do eio dos z, sustitui-se ou n equção d curv por ; Oservção: Qundo d sustituição de z por z n equção z pr resultr z, considerou-se z Pr se ter superfície complet devemos sustituir z por z, o que não vi lterr em nd equção z oservção vle pr s outrs sustituições cim descrits d superfície A mesm Agor, pssremos estudr s superfícies quádrics denominds elipsóides, hiperolóides e prolóides 98 ELIPSÓIDES 5

52 z Consideremos no plno z elipse de equções, Vej figur io: c Ao girrmos ess elipse em torno do eio O, otemos o elipsóide de revolução (conforme imgem seguir), cuj equção será otid d equção d elipse, sustituindo-se z por z z z : ou c c c De mneir nálog se otém o elipsóide de revolução em torno de Oz Neste cso su z equção é otid d equção d elipse, sustituindo-se por : c De um mneir mis gerl, o elipsóide (figur o ldo) é z representdo pel equção, onde, e c são reis c positivos e representm s medids dos semi-eios do elipsóide Oservemos ind que os pontos (,,), (,,) e z (,, c) são soluções d equção, chmd form c cnônic do elipsóide O trço no plno é elipse, z e os trços nos plnos z e z são s z z elipses, e,, respectivmente c c Oservemos tmém que s intersecções do elipsoide com plnos = k, = k ou z = k (k = constnte), resultm num elipse, num ponto ou no conjunto vzio z z No cso de = = c, equção tom form ou c z e represent um superfície esféric de centro C (,,) e rio Notemos que est superfície tmém é de revolução e otid pel revolução de um circunferênci em torno de um de seus diâmetros 5

53 Se o centro do elipsoide é o ponto ( h, k,) e seus eios forem prlelos os eios z ( h) ( k) ( z ) coordendos, equção ssume form otid c c por um trnslção de eios Eemplo : Dd equção d superfície esféric z 6, determine o centro e o rio Solução: Começmos escrevendo equção n form ( 6) ( ) z e completmos os qudrdos ( 6 9) ( ) z 9 não esquecendo de somr 9 e o segundo memro pr equilirr som feit o primeiro memro Logo, equção torn-se: ( ) ( ) ( z ) 5 E, portnto, C (,, ) e r = 5 99 HIPERBOLÓIDES io: z Consideremos no plno z hipérole de equções,, conforme figur c eios Oteremos os hiperolóides de revolução o efeturmos rotções em torno de um de seus 99 Hiperolóides de um Folh A rotção d hipérole, presentd n figur cim, em torno do eio Oz result no hiperolóide de um folh (figur io), cuj equção será otid d equção d hipérole z z sustituindo-se por : ou c c 5

54 5 Generlizndo, um hiperolóide de um folh é representdo pel equção c z chmd form cnônic do hiperolóide de um folh o longo do eio Oz As outrs dus forms são c z e c z, que representm hiperolóides de um folh o longo dos eios O e O, respectivmente Atrvés d equção c z vemos que o trço do hiperolóide no plno é elipse, z e os trços nos plnos z e z são s hipéroles, c z e, c z, respectivmente Um trço no plno z = k é um elipse que ument de tmnho à medid que o plno se fst do plno Os trços nos plnos = k e = k são hipéroles Oservção: É importnte frisr que, pesr d imgem mostrr um hiperolóide limitdo o longo do eio Oz, ess figur se prolong indefinidmente o longo desse eio ( menos que se restrinj z um intervlo limitdo) Estenderemos est oservção pr tods s superfícies que serão ind estudds 99 Hiperolóides de dus Folhs A rotção d hipérole que foi presentd no item 99 em torno do eio O result no hiperolóide de dus folhs (figur io), cuj equção será otid d equção dess hipérole sustituindo-se z por z : c z ou c z c

55 De form mis gerl, um hiperolóide de dus folhs é representdo pel equção z chmd form cnônic do hiperolóide de dus folhs o longo do eio O c z z As outrs dus forms são e, e representm hiperolóides de c c dus folhs o longo dos eios O e Oz, respectivmente Oservemos ind que os trços desses hiperolóides nos plnos = k, = k ou z = k (k = constnte), resultm em hipéroles, elipses, um ponto ou o conjunto vzio RESUMO z As equções dos elipsóides e hiperolóides podem ser reunids em c conforme os sinis dos termos do º memro, presentdos nest ordem, temos o seguinte qudro: e 9 PARABOLÓIDES 9 Prolóide Elíptico Consideremos no plno z práol de equções z,, conforme mostr figur io: A rotção dess práol em torno do eio Oz result no prolóide de revolução (fig à direit), cuj equção será otid d práol, sustituindo-se por : z Já um prolóide mis gerl, denomindo prolóide elíptico, é representdo pel equção n form cnônic z 55

56 Eemplo : A Figur o ldo, represent o prolóide elíptico de equção z z ou o longo do eio O Podemos oservr que no plno = z está à elipse e s práols nos plnos = e z = são z, e, z, respectivmente 9 Prolóide Hiperólico A superfície dd por um equção do tipo z é denomind prolóide hiperólico e est equção é chmd form cnônic do prolóide hiperólico o longo do eio Oz z z As outrs forms são e c c hiperólicos o longo dos eios O e O, respectivmente 9 SUPERFÍCIES CÔNICAS que representm prolóides Consideremos no plno z ret g de equções z = m, = 56

57 A rotção dest ret em torno do eio Oz result n superfície cônic circulr (Fig diret) cuj equção é otid d equção d ret onde é sustituído por z : A ret g é chmd gertriz d superfície e o ponto O, que sepr s dus folhs é o vértice d superfície Um superfície cônic mis gerl, denomind superfície cônic elíptic é representd pel equção z chmd form cnônic d superfície cônic o longo do z z eio Oz As outrs forms são: e que representm superfícies c c cônic elíptics o longo dos eios O e O, respectivmente Eemplo : se ret z =, =, do plno z é gird em torno de Oz, superfície de revolução resultnte é superfície cônic circulr de vértice n origem e eio coincidindo com Oz, e cuj equção se otém de z = sustituindo por z : ou z Oservção: no cso dos hiperolóides, prolóides e superfícies cônics de centro ou vértice no ponto (h, k, l) e eio prlelo um eio coordendo, de form nálog o que foi feito pr o elipsoide, s equções serão otids ds correspondentes forms cnônics sustituindo-se por h, por k e z por z l 9 SUPERFÍCIES CILÍNDRICAS Sej C um curv pln (diretriz) e r um ret fi não-prlel o plno de C Um superfície cilíndric é superfície gerd por um ret g (gertriz) que se move prlelmente à ret fi r em contto permnente com curv pln C est superfície pode ser vist como um conjunto de infinits rets prlels que são s infinits posições d gertriz 57

58 Nos nossos estudos considerremos pens superfícies cilíndrics cuj diretriz é um curv que se encontr num dos plnos coordendos e gertriz é um ret prlel o eio perpendiculr o plno d diretriz Eemplo : Consideremos práol no plno dd por,z Como gertriz é um ret prlel o eio Oz, superfície cilíndric está o longo deste eio, como mostr figur io É importnte oservr que se tomrmos um ponto d diretriz, por eemplo A(,,), todo ponto do tipo (,,z), pr z rel qulquer, tmém stisfz equção d práol pois est pode ser vist como z, ou sej, superfície contem o ponto A e tod ret por A é prlel o eio Oz Isto signific que o vlor de z não influi no fto de um ponto P(,,z) pertencer ou não à superfície Então, como pr o ponto só interessm s vriáveis e, própri equção d diretriz é equção d superfície cilíndric A figur io represent um superfície cilíndric prólic o longo do eio Oz z Assim, equção represent um superfície cilíndric elíptic ( diretriz é 9 um elipse) o longo do eio O ( é vriável usente) List de Eercícios - Superfícies Quádrics - Resolv os eercícios 5 e 9 d list de eercícios d pág 5, do livro Vetores e Geometri Anlític, Pulo Winterle, Editor Mkron Books MATRIZES MATRIZES E DETERMINANTES 58

59 Operndo com mtrizes estmos utilizndo um form compct de fzermos operções com vários números simultnemente Definição: Um mtriz A, m n (m por n), é um tel de mn números dispostos em m linhs e n coluns Representmos est mtriz de m linhs e n coluns por: n n A mn = = [ ij ] mn m m mn A ordem de um mtriz é determind pelo número de linhs e coluns, por eemplo: ) se o número de linhs for igul o número de coluns (n), dizemos que est mtriz é de ordem n ou chmmos mtriz n n ( n por n); ) se o número de linhs for m e o número de coluns for n, dizemos que est mtriz é de ordem m n (lê-se: m por n) ou simplesmente m n Usremos letrs miúsculs pr denotr mtrizes e qundo quisermos especificr ordem de um mtriz A (o número de linhs e coluns) escreveremos A mn Pr loclizr um elemento de um mtriz, dizemos linh e colun (nest ordem) em que ele está Os elementos d mtriz A são indicdos por ij, em que: i {,,,, m} e j {,,,, n} O primeiro índice (i) do elemento ij indic posição d linh e o segundo (j) indic posição d colun Assim, temos: (lê-se: dois um) elemento loclizdo n linh e colun (lê-se: três qutro) elemento loclizdo n linh e colun Dus mtrizes são iguis se els têm o mesmo número de linhs e coluns e todos os seus elementos correspondentes são iguis Tipos de Mtrizes Considermos um mtriz com m linhs e n coluns que denotmos por A mn : ) Mtriz Qudrd é quel cujo número de linhs é igul o número de coluns (m=n) E: ) Mtriz Nul é quel em que ij =, pr todo i e j E: ) Mtriz Colun é quel que possui um únic colun (n=) E: ) Mtriz Linh é quel que possui um únic linh (m = ) E: 59 5) Mtriz Digonl é um mtriz qudrd (m = n) onde os elementos que não estão n digonl são nulos, isto é, ij =, pr i j E: 7 Oservção: Isso não impede que lguns elementos d digonl principl sejm iguis zero Ms, cuiddo, se todos os elementos (i = j) forem nulos, teremos um mtriz nul o invés de um mtriz digonl

60 6) Mtriz Identidde Qudrd (I) é quel em que ii = e ij =, pr i j E: 7) Mtriz Tringulr Superior é um mtriz qudrd onde todos os elementos io d digonl principl são nulos, isto é, m = n e ij =, pr i j E: 8) Mtriz Tringulr Inferior é um mtriz qudrd em que todos os elementos cim d digonl principl são nulos, isto é, m = n e ij =, pr i j E: 9) Mtriz Simétric é quel onde m = n e ij = ji E: Operções com Mtrizes ) Adição: A som de dus mtrizes de mesm ordem A mn =[ ij ] e B mn =[ ij ] é um mtriz mn, que denotremos A + B, cujos elementos são soms dos elementos correspondentes de A e B, isto é, A + B = [ ij + ij ] mn E: A dição de mtrizes tem s mesms proprieddes dos números reis: ) A + B = B + A (comuttividde) ) A + (B + C) = (A + B) + C (ssocitividde) c) A + = A, onde denot mtriz nul mn ) Multiplicção por Esclr: Sej A = [ ij ] mn e k um número, então definimos um nov mtriz k A = [k ij ] mn E: 6 Dds s mtrizes A e B de mesm ordem mn e os números k, k e k, temos s seguintes proprieddes: ) k (A + B) = ka + kb ) (k + k ) A = k A + k A c) A = [], isto é, se multiplicrmos por zero qulquer mtriz A, oteremos mtriz nul d) k (k A) = (k k )A ) Trnsposição: Dd um mtriz A = [ ij ] mn, podemos oter um outr mtriz A t = [ ij ] mn, cujs linhs são s coluns de A, ou sej, ij = ij A t (tmém denotd A ) é denomind trnspost de A E: A e A' =

61 Proprieddes: ) Um mtriz é simétric se, e somente se el é igul su trnspost, ou sej se, e somente se A=A t ) (A t ) t = A, ou sej, trnspost d trnspost de um mtriz é el mesm c) (A + B) t = A t + B t d) (ka) t = ka t, onde k é qulquer esclr ) Multiplicção: Sejm A = [ ij ] mn e B = [ ij ] np Definimos AB = [c uv ] mp, onde n uk kv u v un nv k c uv = Ess operção pode ser melhor entendid n equção mtricil seguir Os: Só podemos efetur o produto de dus mtrizes A m p e B q n se o número de coluns d primeir for igul o número de linhs d segund (p=q =r) A mtriz C = AB será de ordem m n, isto é: O elemento d linh i e colun j d mtriz AB (c ij ) é otido multiplicndo-se os elementos d linh i de A pelos elementos correspondentes n colun j d mtriz B e somndo-se todos os resultdos Eemplo: Sejm s mtrizes A e B clcule, se possível, AB 5 6 Solução A é um mtriz e B é um mtriz, logo o produto AB eiste, pois o numero de coluns de A é igul o numero de linhs de B e mtriz de resultdo C e de ordem Pr encontrr o resultdo de c, multiplicmos os elementos correspondentes d linh de A e d colun de B, somndo os resultdos: ( ) ( ) O elemento c é otido multiplicndo-se os elementos correspondentes d linh de A e d colun de B, somndo-se os resultdos: 7 ( )

62 O elemento c é otido multiplicndo-se os elementos correspondentes d linh de A e d colun de B, somndo-se os resultdos: ( ) 6 Assim, seguindo o mesmo processo cim o produto completo é : ( ) ( ) ( ) 6 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5( ) 6 9 Proprieddes: ) Em gerl AB BA (podendo mesmo um deles estr definido e o outro não) ) AI = IA = A c) A(B + C) = AB +AC (distriutividde à esquerd d multiplicção, em relção à som) d) (A + B)C = AC + BC (distriutividde à direit d multiplicção, em relção à som) e) (AB)C = A(BC) (ssocitividde) f) (AB) t = B t A t (Nest ordem) g) A = e A = List de Eercícios : ) Pr encontrr cluster (um grupmento de ojetos que tenhm lgum relção)de págins d we (A, B, C, D e E), um estudnte trvés de lgum fórmul encontrou o seguinte gru de similridde entre els, conforme tel io: A B C D E A,,,, B,,7,,6 C,,7,,8 D,,, E,,6,8 ) Represente por um mtriz (W) os ddos cim ) Considerndo os tipos de mtrizes descrits nteriormente você clssificri como? Por quê? ) Sejm A =, B =, C = e D = [ -] Clcule: ) A + B ) AC c) CD d) A + B e) -A ) Sej A = Se At = A, então qul o vlor de? ) Se A é um mtriz tringulr superior, então A t é 5) Mrque V ou F, justificndo su respost: ) ( ) (-A) t = -(A t ) ) ( ) (A+B) t = B t +A t c) ( ) Se AB =, então A = ou B = d) ( ) (-A) (-B) = -(AB) e) ( ) Se AB =, então BA = 6

63 f) ( ) Se podemos efetur o produto AA, então A é um mtriz qudrd 6) Se A =AA, Clcule 5 5 7) Dds A = 5, B = 5 e C = : 5 ) Mostre que AB = BA =, AC = A e CA = C ) Use os resultdos de ) pr mostrr que ACB = CBA e A - B = (A - B) (A + B) 8) Aio é presentd um tel com s quntiddes por itens que qutro consumidores (C, C, C, C ) desejm comprr e outr contendo o preço por unidde de cd item nos três supermercdos d cidde (S, S, S ) Quntidde desejd por item Preço por unidde no supermercdo(r$) C C C C S S S Btt,8,7,8 Pst de dente,55,,55 Chicletes,5,,7 Crne moíd,65,7, Alfce,5,7, ) Clcule o qunto cd consumidor gstrá em cd supermercdo ) Qul supermercdo cd consumidor gstri menor qunti? Resposts: ) ),,,, ) ),,,,7,,7,,,,6,8 5,,6,8 ) Mtriz simétric, pois possui mesmo n o de linhs e coluns e ij = ji ) 5 c) 8 d) 7 e) 7 ) = ) Tringulr inferior 5) ) V ) V c) F d) F e) F g)v 6) 7 7 7) Mostrr 8) ) ) C no S, C no S, C no S e C no S S S S C 6,5 6,7 6,5 C,95 5,5,7 C 5, 5, 5,8 C,8,, 6

64 DETERMINANTES Chmmos determinnte o número ssocido um mtriz qudrd A=[ ij ] e escreveremos det A ou A ou det[ ij ] Cálculo do Determinnte: Mtriz : det[]= Mtriz : det Mtriz : det Método de Srrus: Clcul-se o determinnte repetindo-se s dus primeirs coluns d mtriz det ( ) Eemplo: Clcule o determinnte de A pelo método de Srrus, onde - A = det 6 = 6 = + 6(-) + (-) (-) - (-) (-) + 6(-)

65 Pr definir o determinnte de mtrizes qudrds de ordem superior ou igul, precismos definir o que são os menores de um mtriz Dd um mtriz A = ( ij ) nn, o menor do elemento ij, denotdo por Ãij, ou simplesmente Aij é sumtriz (n ) (n ) de A otid eliminndo-se i- ésim linh e j- ésim colun de A, conforme o esquem mostrdo n figur io: Eemplo: Pr um mtriz A = ( ij ), mtriz menor de à é otid eliminndo-se segund linh e terceir colun d mtriz originl, ou de form mis mnemônic eliminndo linh e colun que contenh o elemento d mtriz originl Assim, mtriz que rest pós est eliminção é mtriz menor de A pr i= e j=, como fcilmente vemos io Método de Lplce: Podemos escrever ess som como: ( - ) - ( - ) + ( - ), ou ind:, ou sej, det A = A - A + A, onde A ij é sumtriz d inicil, de onde i-ésim linh e j-ésim colun form retirds Além disso, se chmrmos ij =(-) i+j A ij otemos epressão det A = + + Eemplo: Clcule o determinnte d mtriz io utilizndo o método de Lplce - A = Solução: - det A = A = Pr clculr o, devemos escolher um linh ou um colun e usr formul definid pr o método de Lplce No cso, sem perd de generlidde vmos escolher linh, 65

66 poderi ser escolhid qulquer outr linh ou colun e o resultdo seri igul o que iremos oter (você pode verificr isso escolhendo outr linh ou colun e clculndo o determinnte) Assim, o vlor de i e j pr uso n fórmul são i= e j {,,}, isto é: j= j= i+ j ij ij ij ij i=, j= i=, j= det(a) = A (-) A = (-) A + (-) A + (-) A = Procedendo determinção d sumtriz de A e os pivôs ij, seguindo fórmul epost cim temos: Os vlores nos qudrdos zuis são os pivôs etrídos d linh, que escolhemos priori Esse pivô n mtriz originl é usdo pr ecluir respectiv linh e colun que o contem n mtriz originl, gerndo dess form mtrizes menores d mtriz originl (linh e colun em vermelho n figur), isto é: = (-) + (-) + (-)(-) = Agor, clculndo os determinntes resultntes do processo cim, utilizndo o definição de determinnte pr mtrizes tem-se: = ( - (-)6) - ( - (-)6) - ((-) - (-)) = = = - 7 O vlor -7 é, portnto, o vlor do determinnte d mtriz originl A Mtriz nn (n linhs e n coluns) A propriedde cim continu sendo válid pr mtrizes de ordem n, isto é, A nn = n n n n nn Assim podemos epressr det A nn = i i + + in in = ij ij O número ij (que é o determinnte fetdo pelo sinl (-) i+j d sumtriz A ij, otid retirndo-se i-ésim e j-ésim colun) é chmdo de coftor ou complemento lgérico do elemento ij O desenvolvimento cim foi otido prtir d i-ésim linh Um form nálog tmém é válid pr j-ésim colun n j Eemplo: Clcule o determinnte de Solução Primeirmente, devemos escolher linh ou colun com mior quntidde de zeros, no cso em questão ª colun contém zeros, o que deve fcilitr os cálculos pr encontrr o determinnte A seguir, usmos os co-ftores pr cd um dos elementos d ª colun, como pode ser visto seguir: 66

67 Cd mtriz entre rrs cim é um sumtriz d mtriz originl e é otid eliminndo respectiv linh e colun epress nos índices dests sumtrizes, isto é, pr sumtriz A eliminmos linh e colun Pr sumtriz A eliminmos linh e colun, pr sumtriz A eliminmos linh e colun e por fim pr sumtriz A, eliminmos linh e colun, conforme s linhs vermelhs indicm n epressão io Perce que o retirr linh e colun indicd sorm pens s demis componentes d mtriz originl, que gor formm respectiv sumtriz Note que pr os vlores zeros, escolhidos d segund colun d mtriz originl, s respectivs prcel se nulm ficndo pens segund e últim prcel, restndo clculr o determinnte ds dus mtrizes dests prcels Assim, escolhendo s melhores linhs de cd um dels podemos utilizr LAPLACE novmente, ou se preferirmos poderemos usr SARRUS, pois tods s mtrizes são Continuremos usndo LAPLACE pr entende-lo melhor No cso, pr primeir mtriz usremos primeir linh e pr segund mtriz usremos segund linh (poderímos usr qulquer linh ou colun), pr oter os pivôs e s respectivs sumtrizes, como pode ser visto n epressão io: Após ter todos os pivôs e sumtrizes determinds, pssmos o clculo dos determinntes dests sumtrizes e posterior clculo do determinnte originl, como pode ser visto n epressão io 67

68 68 5 Proprieddes do Determinnte ) det A = det A t E: ) ( 6 det ) ( 6 det t t A A A A ) det (A+B) det A + det B E: 6 6 det det ) det( 6 6 det det 6 det det 6 ) det( B A B A B A B A B A B A ) det (AB) = det A det B E: 7 7 det det ) det( 7 7 det det 7 det det 7 ) det( B A AB B A B A AB AB B A ) Se um linh (ou colun) é igul zero, o determinnte é igul zero E: det A 5) Se dus linhs (ou coluns) são proporcionis, o determinnte é igul zero E: det det B A 6) Se um linh (ou colun) pode ser otid como um cominção de linhs (somds ou sutríds), o determinnte é igul zero E: ) (9 6 det A 7) Ao trocr dus linhs (ou coluns) de um determinnte o sinl dele troc E: 5 ) ( det 5 ) ( det B A linh+linh

69 69 8) Ao multiplicr um linh (ou colun) por um constnte, o determinnte fic multiplicdo por ess constnte E: det 5 det B A 9) Ao multiplicr um linh (ou colun) por um constnte e somr este produto os elementos correspondentes de outr linh (ou colun) o determinnte será igul o d mtriz originl E: 9) (7 98 ) 5( det ) ( 8 det A B MATRIZ ADJUNTA Dd um mtriz A, podemos oter outr mtriz prtir dos coftores de A, ou sej A =[ ij ] Chmmos de mtriz djunt de um mtriz qudrd A à mtriz trnspost d mtriz dos coftores de A, ou sej, dj A = A t A Coftores: 6 ) ( ) ( 5 ) ( 8 ) ( ) ( ) ( ) ( 5 ) ( ) ( ) ( t A dja A Propriedde: A A t = (deta)i n colun+5colun

70 MATRIZ INVERSA Dd um mtriz qudrd A de ordem n, chmmos de invers de A um mtriz B tl que AB = BA = I n, onde I n é mtriz identidde de ordem n Escreveremos A - pr mtriz invers de A Eemplo: E: Sej A = Então A - = , pois AA - =I e A - A=I Oservções: ) Se A e B são mtrizes qudrds de mesm ordem, ms inversíveis (ou sej, é possível encontrr A - e B - ), então AB é inversível e (AB) - = B - A - ) Se A é um mtriz qudrd e eiste um mtriz B tl que BA = I, então A é inversível, ou sej A - eiste e, lém disso, B = A - Isso signific que st verificr um ds condições pr invers de um mtriz e est será únic c) Nem tod mtriz tem invers Um mtriz qudrd dmite invers se, e somente se det A Neste cso, A - pode ser determindo por: E: A A dja dja A dja det A det A List de Eercícios 5: ) Dds s mtrizes A = e B =, clcule: ) det A + det B ) det (A + B) ) Dds s mtrizes A = 5 ) det (AB) ) det (BA) e B =, clcule: 6 7

71 ) Clcule det 7 ) por Srrus ) em relção à segund colun, usndo o desenvolvimento de Lplce ) Use quisquer ds proprieddes pr simplificr e clculr os determinntes io, conforme o eemplo: Usndo propriedde 8 temos: 5 8? 5 8 () 5() () 5() () 5( ) 5 5() ) ) Mrque V ou F, justificndo sus resposts: ) ( ) det(ab) = det(ba) ) ( ) det A t = det A c) ( ) det (A) = det A d) ( ) det A = (det A) ) c) 5 5 e) ( ) Se A é mtriz tringulr, então det A = + ++ nn (ou sej, som dos elementos d digonl principl) f)( ) Se A é mtriz tringulr, então det A = nn (ou sej, produto dos elementos d digonl principl) 6) Dd A = 5, clcule: ) A ) A c) d) det A ) Dd mtriz A =, clcule: 5 ) dj A ) det A c) A - 8) Encontre A -, onde: 7

72 7 ) A = ) A = 7 9) Clcule o vlor do determinnte ds mtrizes io pelo método que chr mis conveniente ) 5 8 ) c) ) Encontre, se possível, A - : ) 6 6 ) c) 6 9 d) 6 ) Use quisquer ds proprieddes pr simplificr e clculr os determinntes io: ) ) c) Resposts: ) ) ) ) ) det(ab) = ) det(ba) = - ) ) ) (propr5) ) (propr5) c) (propr8) 5) ) F ) V c) F d) V e) F f) V 6) ) ) 6 c) 6 d) 7) ) ) det A = 5 c) ) ) Não tem invers ) 6 9) ) ) 6 c) 55 ) ) ) 6 5 c) Não tem invers d) Não tem invers ) ) (propr) ) 6 (propr8) c) (propr5) 5 OPERAÇÕES ELEMENTARES São três s operções elementres sore s linhs de um mtriz Permut ds i-ésim linh e j-ésim linhs (L i L j )

73 E: L L Multiplicção d i-ésim linh por um esclr não nulo K (L i kl i ) E: L -L Sustituição d i-ésim linh pel i-ésim linh mis k vezes j-ésim linh (L i L i +kl j ) E: L L + L Se A e B são mtrizes mn, dizemos que B é linh equivlente A, se B for otid de A trvés de um número finito de operções elementres sore s linhs de A Notções: AB ou A B 6 FORMA ESCADA REDUZIDA POR LINHAS Um mtriz mn é linh reduzid à form escd se: ) O primeiro elemento não nulo de um linh não nul é ) Cd colun que contém o primeiro elemento não nulo de lgum linh tem todos os seus elementos iguis zero c) Tod linh nul ocorre io de tods s linhs não nuls (isto é, dquels que possuem pelo menos um elemento não nulo) d) Se s linhs,, r são linhs não nuls, e se o primeiro elemento não nulo d linh i ocorre n colun k i, então k <k <<k Est últim condição impõe form escd à mtriz, ou sej, o número de zeros precedendo o primeiro elemento não nulo d um linh ument cd linh, té que sorem somente linhs nuls, se houver E: 7 INVERSÃO DE MATRIZES UTILIZANDO MATRIZES ELEMENTARES O cálculo d invers de um mtriz usndo determinnte ou multiplicção de mtrizes, envolve um número muito grnde de operções O processo prático de inversão sedo ns operções com s linhs de um mtriz é, em termos de cálculos, mis vntjoso Aplicr um operção elementr ns linhs de um mtriz é o mesmo que plicr ess operção elementr n mtriz identidde e, em seguid, multiplicr est nov mtriz por A E: Se tomrmos mtriz identidde I e trocrmos primeir e terceir linh, oteremos mtriz 7

74 7 Se multiplicrmos est mtriz pel mtriz A=, teremos =, que é o mesmo que troc d primeir e terceir linh d mtriz A Um mtriz elementr é um mtriz otid prtir d identidde, trvés d plicção de um operção elementr com linhs Um mtriz elementr E é inversível e su invers é mtriz elementr E, que corresponde à operção com linhs invers d operção efetud em E 8 PROCEDIMENTO PARA INVERSÃO DE MATRIZES Se um mtriz A pode ser reduzid à mtriz identidde, por um seqüênci de operções elementres com linhs, então A é inversível e mtriz invers de A é otid prtir d mtriz identidde, plicndo-se mesm seqüênci de operções com linhs N prátic, opermos simultnemente com s mtrizes A e I, trvés de operções elementres, té chegrmos à mtriz I n posição correspondente mtriz A A mtriz otid no lugr correspondente à mtriz I será invers de A E: Sej A = Coloquemos mtriz junto com mtriz identidde e pliquemos s operções com linhs, pr reduzir prte esquerd (que corresponde à mtriz A) à form escd reduzid por linh, não esquecendo de efetur cd operção n direit tmém L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L Finlmente, otemos identidde à esquerd e invers de A à direit

75 Portnto, A - = List de Eercícios 6: ) Utilizndo s operções elementres sore linhs, encontre A -, onde: ) A = 5 ) A = ) Determine o vlor de k pr que mtriz 7 A k ) Reduz s mtrizes à form escd reduzid por linhs: ) ) 6 sej inversível c) A = 5 c) ) Escrev tods s possíveis mtrizes que estão n form escd reduzid por linhs 5) Em que condições um mtriz digonl de ordem é inversível? Qul su invers? E se mtriz fosse de ordem n? 6) Clcule A -, onde: ) Resposts: A ) A 5 ) ) ) k 7 ) 6 8 c) 5 ) ) ) c)

76 76 ) k, pr todoesclr e,, k 5) Qundo todos os elementos d digonl principl são diferentes de zero A invers de um mtriz digonl de ordem n é quel que present os elementos d digonl inversos o d mtriz originl 6) ) ) A A SISTEMAS LINEARES SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Um sistem de equções com m equções e n incógnits é um conjunto de equções do tipo: * n n n n m m mn n m com ij, i m, j n, números reis (ou compleos) Um solução do sistem (*) é um n-upl de números (,,, n ) que stisfç simultnemente ests m equções Dois sistems de equções lineres são equivlentes se, e somente se tod solução de qulquer um dos sistems tmém é solução do outro SISTEMAS E MATRIZES Podemos escrever o sistem (*) num form mtricil: n n m m mn n m ou A X = B onde A = n m mn é mtriz dos coeficientes, X = n mtriz ds incógnits e B = m mtriz dos teremos independentes Um outr mtriz que podemos ssocir o sistem é: n n m m mn m, que é chmd mtriz mplid do sistem Cd linh dest mtriz é um representção revid d equção correspondente no sistem E: No sistem

77 5 temos form mtricil 5 mplids, temos Em termos de mtrizes 5 MÉTODO DE GAUSS OU ESCALONAMENTO O método de Guss ou esclonmento pr resolução de sistems é um dos mis utilizdos qundo se fz uso do computdor, devido o menor número de operções que envolve Ele consiste em reduzir mtriz mplid do sistem, utilizndo operções elementres ns linhs à um mtriz que só é diferente d form escd reduzid por linh n condição ) que pss ser: Cd colun que contém o primeiro elemento não nulo de lgum linh, tem todos os elementos io dess linh iguis zero As outrs condições, c e d são idêntics Após o esclonmento d mtriz mplid, solução finl do sistem é otid por sustituição POSTO E NULIDADE DE UMA MATRIZ - GRAU DE LIBERDADE DE UM SISTEMA Pr os conceitos io utilize sempre mtriz esclond N p (posto) n - p Mtriz Número de Coluns Número de linhs não Nulidde Esclond nuls Sistem Número de Incógnits PC e PA Gru de Lierdde ou N de vriáveis livres PC (Posto d mtriz dos Coeficientes) : é o número de linhs não nuls d mtriz dos coeficientes pós o esclonmento; PA (Posto d mtriz Amplid) : é o número de linhs não nuls d mtriz mplid pós o esclonmento; 5 SOLUÇÕES DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES Se tivermos um sistem de um equção e um incógnit = eistirão três possiiliddes: ) Neste cso equção tem um únic solução = ) = e = Então temos = e qulquer número rel será solução d equção c) = e Temos = Não eiste solução pr est equção 5 Sistems de dus equções e dus incógnits 5 Eemplo : Ddo o sistem liner 6 O conjunto de pontos (, ) IR IR, que stisfz cd equção deste sistem, represent um ret no plno Pr resolver este sistem devemos então encontrr os pontos comuns ests dus 77

78 5 rets Deste modo (,) é únic solução A mtriz mplid do sistem é 6 Trnsformndo- em mtriz esclond, otemos, que é mtriz mplid do sistem equivlente o sistem inicil O sistem tem um únic solução = e =- Note que est solução é mesm solução otid por eliminção de Guss-Jordn, porém com menos operções elementres Como o posto d mtriz umentd ( PA, que corresponde o n de linhs não nuls) é igul o Posto d mtriz de coeficientes (PC, que é o n de linhs não nuls d mtriz de coeficientes) e nulidde do sistem (n-p=) podemos firmr que o sistem tem solução únic Neste cso dizemos que o sistem é possível (comptível) e determindo PC=PA e nulidde é zero (n-p)= Grficmente, est situção é representd por dus ret concorrentes 5 Eemplo : Ddo o sistem liner 6 5 As dus rets que formm este sistem são coincidentes Neste cso, qulquer ponto de um ds 5 rets é solução deste sistem A mtriz mplid do sistem e mtriz esclond são: Portnto segund equção é verddeir pr quisquer números e O conjunto de soluções será ddo triuindo-se vlores ritrários pr e sustituindo-o n equção Logo, esse sistem dmite infinits soluções Neste cso, PC = PA = e o gru de lierdde - =, ou sej o sistem present um vriável livre Grficmente, isto é representdo por r =r Eemplo : Ddo o sistem liner

79 Geometricmente, temos dus rets no plno que não possuem nenhum ponto em comum, pois são prlels, portnto o sistem não tem solução A mtriz mplid 5 é equivlente mtriz 6 esclond Não eiste vlor de ou cpz de stisfzer segund equção ( + = ) Logo, o sistem não tem solução Podemos oservr que o posto d mtriz dos coeficientes (PC) do sistem inicil é e o posto d mtriz mplid (PA) é r r 5 Cso Gerl: Sistem de m equções e n incógnits,, n nn Sej cujos coeficientes ij e termos constntes i são números reis (ou m m mnn m compleos) Este sistem poderá ter: ) um únic solução = k,, n = k n Neste cso o sistem é possível (comptível) e determindo ) infinits soluções Neste cso o sistem é possível e indetermindo c) nenhum solução Neste cso o sistem é impossível (incomptível) Consideremos mtriz mplid do sistem e su mtriz esclond; n m mn m m ( n ) e c c k ck c m m ( n ) Oservções: Um sistem de m equções e n incógnits dmite solução se, e somente se o posto d mtriz mplid (PA) é igul o posto d mtriz dos coeficientes (PC): ) Se s dus mtrizes têm o mesmo posto p e o gru de lierdde zero, solução será únic ) Se s dus mtrizes têm o mesmo posto p e o gru de lierdde é mior que zero, dmite infinits soluções Eemplo: 79

80 Resolver o sistem 6 Solução: Trnsformndo o sistem cim n su form mtricil, tem-se 6 Em termos de mtriz mplid, temos 6 Procedendo s etps de um Eliminção Gusssin tem-se: L L L L L L L L 5 L L 7 7 L Como PC= e PA= o sistem tem solução únic e el pode ser otid por retro-sustituição como segue: ª Equção: ª Equção: ª Equção: Logo, o sistem tem um únic solução (, -, ) List de Eercícios 7: 8

81 )Resolv os sistems io, indicndo os postos ds mtrizes dos coeficientes e ds mtrizes mplids e, se o sistem for possível, o gru de lierdde z z ) ) z 5 z z kz )Determine os vlores de k pr os quis o sistem z k, ns incógnits, e z tenh: z ) Solução únic ) Nenhum solução c) mis do que um solução )Resolv os sistems io, indicndo os postos ds mtrizes dos coeficientes e ds mtrizes mplids e, se o sistem for possível, o gru de lierdde ) z w 8 ) Determine condição em, e c pr que o sistem solução ) z z z 6 z z z 5 8z c de incógnits, e z tenh Resposts: ) ) ) ) ) c) ) ) ) Sistem Impossível (PC PA) ) 7 7 z ; z ; k k w - ; z ; PC PA ; c 5 z PC PA ; ; PC GL PA ; GL ) k e k impossível, portnto, o sistem sempre terá solução GL 6 SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO Chmmos de sistem homogêneo de n equções e m incógnits quele sistem cujos termos independentes são todos nulos Um sistem homogêneo dmite pelo menos um solução ( =, =,, m = ), que é chmd trivil Após o esclonmento d mtriz mplid, Se m = n, então o sistem tem somente solução zero (ou trivil) Se n < m, então o sistem tem um solução não nul (ou diferente d trivil) Eemplo 8

82 Considere o sistem homogêneo, e su mtriz mplid dd por Utilizndo o método de eliminção Gussin temos: Podemos oservr que PC= e n=, logo eiste somente solução trivil (, e z ) Eemplo Ddo, e mtriz mplid deste sistem é dd por Aplicndo eliminção de Guss-Jordn, temos L L L L L L L L L L L L L L L L L L L Podemos oservr que p=pc= e n=, logo eiste soluções lém d solução trivil (, e z ) e como os grus de lierdde são ddos por (n-p), no cso prticulr deste eemplo ( n- p- ), tem-se um gru de lierdde, então s soluções podem ser dds em função de um vriável Se firmos vriável =k (vriável livre), temos: 8

83 ( k) k ª Equção: ( k) k ª Equção: ( k) k k ª Equção: Logo solução pretendid é dd por (-k,-k,k,k), onde k é um número rel qulquer Assim, este sistem tem infinits soluções (um solução pr cd k que firmos) Ademis, se k= temos solução trivil 7 APLICAÇÃO Três pessos lnchrm d seguinte mneir: primeir tomou refrigernte, comeu pstéis e 5 ls, segund, refrigerntes, pstel e 6 ls e terceir, pstel e ls Quis os preços do refrigernte, do pstel e d l, se primeir gstou R$,; segund gstou R$, e terceir gstou R$,9? Solução: = preço do refrigernte = preço do pstel z = preço d l 5z 5 mtriz mplid do sistem 6z, inicil 6, z,9,9 Após o esclonmento, encontr-se, por eemplo: 5 5z sistem d mtriz mplid esclond,9 z,9,5 z,5 Podemos oservr que o sistem é possível (PC = PA = ) e determindo (GL = - = ) Resolvendo por sustituição o sistem resultnte d mtriz mplid esclond, teremos: preço do refrigernte () igul R$,55; preço do pstel () igul R$,8 e preço d l (z) igul R$,5 List de Eercícios 8: Determine se cd sistem tem solução não-nul: z w ) 7 z w 5z w ) z 5 z 7z z 8

84 Suponh que você vi fzer um lnche, constndo de iogurte, pstel e chocolte e que tem R$,8 disponível Segundo os nutricionists, um lnche deve conter 5 cloris e 66 grms de proteíns Pr cd g dos limentos cim, temos: g Cloris Proteíns (g) Custo (R$) Iogurte 5, Chocolte 6,6 Pstel 8,8 Quis s quntiddes de cd limento? z 6 Ddo o sistem z, clcule o posto d mtriz dos coeficientes, o posto d mtriz z mplid e descrev solução desse sistem Determine condição em, e c pr que o sistem tenh solução Resposts: ) ) sim, o sistem tem solução diferente d trivil PC = PA = GL = vriável livre: w z z z c de incógnits, e z ) sim, o sistem tem solução diferente d trivil PC = PA = GL = vriável livre: z = 9 z = - z ) pstel : 5 g chocolte : g iogurte : g ) PC = PA = Sistem Possível GL = infinits soluções sistem possível e indetermindo Vriável Livre : z = - z = + z ) Pr um sistem ter solução é necessário que PC = PA, e pr PC ser igul PA não import o vlor de, ou c ESPAÇOS VETORIAIS Um conjunto V munido com dus operções M+N=, rm= M,N V, r IR é chmdo de ESPAÇO VETORIAL REAL, e usmos notção (V, +, ), se vlem: 8

85 85 V M IR s r M s r M s r V M IR s r M s M r M s r V N M IR r N r M r N M V M M M V M IR r V M r O M M V V M V M M O M V O V P N M P M N P N M V N M M N N M V N M V N M V, ), ), r 9) 8) 7) - que tl M - eiste Pr cd 6) que tl 5),, ), ), ) ) Oservção: Se (V, +, ) é um Espço Vetoril Rel, então: ) os elementos de V são ditos VETORES; ) o elemento O é dito VETOR ZERO; c) Se n definição cim, o invés de termos como esclres, números reis, tivermos números compleos, V será um ESPAÇO VETORIAL COMPLEXO Eemplo : (R, +, ), onde + e são som e multiplicção usuis em IR, é um espço vetoril Eemplo : (M (R), +, ), onde + e são operções usuis em mtrizes, é um espço vetoril onde f e d c M se f e d c M e O Eemplo : Prove que V = IR com s operções: M+N = (+u, +w) e rm = (r, r) é um espço vetoril Solução: Pr os vetores M, N, P e esclr r, devemos verificr se s proprieddes cim são válids ) IR, pois (,) IR Sejm M = (, ), N = (u, w), P = ( c, d) IR e r IR rn rm w) r(u, ) r(, (ru, rw) r) (r, rw) ru,r (r w)) u),r( (r( w) u, r( N) 9)r(M M (, ) (, 8)M r e r pois, ), ( ), ( 7) (,) ), ( ), ( ), ( ) ( 6) (,) O sendo ), ( (,) ), ( 5) ) ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ) ), ( ), ( ), ( ), ( ) e pois, ), ( ) IR IR IR r r r M r O M M M O M P N M d w c u d w c u d c w u P N M M N w u w u w u N M IR w IR u IR w u N M

86 )(r s)m (r s)(,) ((r s),(r s)) (r s,r s) r(, ) s(,) rm sm (r, r) (s,s) )(rs)m (rs)(,) ((rs),(rs)) (rs, rs) (r(s),r(s)) r(s(,)) r(sm) Logo, IR com s operções cim é um espço vetoril SUBESPAÇOS VETORIAIS Sej (V, +, ) um espço vetoril e sej WV Se (W, +, ) stisfz: )W )A B W A,B W )ra W r IR A W então W é um SUBESPAÇO de V Oservção: Se (V, +, ) é um espço vetoril então: ) W = V é um suespço de V; ) W = {O} é um suespço de V; Eemplo : Prove que W = {(u,v)ir : u+v = }, ou sej, W = {(u,-u): uir} é um suespço de (IR, +, ) ) W, pois (, -) W Sejm u = (, -), v = (, -) W e r IR ) u+v = (,-)+(, -) = (+,--) = ( (+),-(+)) W ) ra = r(, -) = (r, -r) = (r, -(r)) W Logo, W é suespço vetoril de (IR, +, ) COMBINAÇÃO LINEAR Sejm (V, +, ) um espço vetoril e sejm v,v,, v n V Qulquer vetor v V do formto v= v + v ++ n v n (onde,,, n IR) é dito COMBINAÇÃO LINEAR dos vetores v,v,,v n Eemplo 5: Escrev o vetor v= (, -, 5) como cominção liner dos vetores v =(,, ), v =(,, ) e v =(, -, ) Solução: Queremos epressr v como v= v + v + v,, onde,, são esclres determinr Sendo ssim, temos: (, -, 5) = (,, )+ (,, )+ (, -, ) (, -, 5) = (,, ) + (,, ) + (, -, ) (, -, 5) = ( + +, + -, + + ) Igulndo os vetores, encontrmos o sistem: 86

87 87, 6, temos : encontrdo depois do esclonmento, sustituição, por, Re solvendo o sistem 5 5 esclond mplid mtriz mplid mtriz Portnto, v = -6v +v +v Eemplo 6: É possível escrever mtriz E como cominção liner ds mtrizes, C e B A Solução: E = A + B + C Sistem impossível! Portnto, mtriz E não pode ser escrit como cominção liner ds mtrizes A, B e C SUBESPAÇO GERADO E GERADORES O suespço gerdo por um suconjunto NÃO VAZIO S de um espço vetoril V (S V S ) é o conjunto de tods s cominções lineres em S Eemplo 7: Mostre que os vetores u = (,, ), v = (,, ) e w = (,, ) germ R Solução: Precismos mostrr que um vetor ritrário (,, z) R é cominção liner de u, v e w ) (,, ), (, (,,) (,,) ),, ( ),, ( (,,z) ),, ( (,,z) ),, ( (,,z) w v u z

88 Igulndo os vetores, temos: ou z z mtriz mplid e esclond z Podemos verificr que o sistem é possível e temos como solução: =, = - e = - + z Logo, os vetores u, v e w germ R DEPENDÊNCIA LINEAR Os vetores v,v,, v n pertencentes o espço V, são ditos Linermente Dependente (LD) ou simplesmente Dependentes se eistir esclres,,, n pertencentes os R, nem todos nulos, tis que: v + v ++ n v n = (cominção liner deles igul zero) Do contrário, qundo todos os esclres,,, n são nulos, dizemos que os vetores são Linermente Independentes (LI) Dic: Pr determinr os esclres,,, n é necessário vlir um sistem homogêneo, ou sej, verificr se o sistem é: ) SPD então os vetores v,v,,v n são LI ) SPI então os vetores v,v,, v n são LD Eemplo 8: Determine se os vetores (, -, ), (,, -), (7, -,) R é linermente dependentes ou não Solução: Fzer um cominção liner dos vetores igul o vetor nulo, usndo incógnits esclres,,,,,, 7,,,,,,,, 7,,,, 7,,,, mtriz mplid mtriz mplid e esclond PC PA Sistem Possível e Indetermindo (SPI) GL - Logo, os vetores (, -, ), (,, -), (7, -,) R são LINEARMENTE DEPENDENTES Eemplo 9: Sej V o espço vetoril ds mtrizes sore R Determine se s mtrizes A, B, C V são dependentes Solução: 88

89 Fzer um cominção liner ds mtrizes A, B e C igul mtriz nul, usndo incógnits esclres,, `,, Como o sistem é Possível e Determindo (SP D), As mtrizes A, B e C são LINEARMENTE INDEPENDENTES Oservções: ) O conjunto {v,v,,v n } é chmd dependente ou independente se os vetores v,v,,v n são dependentes ou independentes Tmém definimos que o conjunto vzio é independente ) Se dois dos vetores v,v,,v n são iguis, digmos v = v, então os vetores são dependentes Pois v -v +v ++v n = e o coeficiente de v não é zero c) Dois vetores v e v são dependentes se, e somente se, um deles é múltiplo de outro d) Um conjunto que contém um suconjunto dependente é tmém dependente Portnto, qulquer suconjunto independente é independente e) No espço rel R dependênci de vetores pode ser descrit geometricmente como segue: dois vetores quisquer u e v são dependentes se, e somente se, estão n mesm ret pssndo pel origem; três vetores quisquer u, v e w são dependentes se, e somente se, estão no mesmo plno pssndo pel origem List de Eercícios 9: ) Escrev o vetor v = (, -5, ) em IR como cominção liner dos vetores v = (, -, ), v = (, -, -) e v = (, -5, 7) ) Pr qul vlor de k o vetor u = (, -, k) de IR, será cominção liner dos vetores v = (,, ) e w = (, -, -5)? ) Considere os vetores u = (,-,) e v = (, -,) em IR : ) Escrev (,7,-) como cominção liner de u e v ) Pr que vlores de k (, k, 5) é um cominção liner de u e v? ) Mostre que (,, ), (,, ) e (,, -) germ IR, isto é, que qulquer vetor (,, z) é cominção liner dos vetores ddos 5) Encontre condições em,, z de modo que (,, z) R pertenç o espço gerdo por u = (,, ), v = (, -, ) e w = (,, -) 6) Qul dos conjuntos de vetores io de IR são Linermente Dependentes? No cso dos vetores que forem LD escrev um dos vetores como um cominção liner dos restntes 89

90 ) v =(,,,), v =(,,,), v =(,6,8,6), v =(,,,) ) v =(,,,), v =(,,,), v =(,,,), v =(,,,) 7) Mostre que o plno z W = {(,,c)} em IR é gerdo por ) (,, ) e (,, -) ) (,, ), (,, ) e (,, ) 8) Determine se u e v são linermente dependentes onde: ) u = (,,), v = (,,-) ) u = t +t + v = t +t + 9) Determine se s mtrizes,,, são LI ou LD Resposts: não é possível k = - ) u + v ) k = - 8 z z z = 6 ) L D V = V + V + V ) L I 7 ) z z ) não ger 8 ) não ) não 9 LI 5 BASE Um se de V é sequênci de vetores X={,,, n } que são vetores Linermente Independentes (LI) e que germ V Oservções: ) Os vetores e =(, ) e e =(,) formm um se pr IR, os vetores e =(,, ), e =(,, ) e e =(,, ) formm se pr IR e, em gerl os vetores e, e,, e n formm um se pr IR n Cd um desses conjuntos de vetores é chmdo de um se nturl ou cnônic de IR, IR e IR n respectivmente ) Emor um espço vetoril tenh muits ses, tods els têm um mesmo número de vetores Eemplo : Determine se os vetores u = (,,), v = (,,) e w = (,-,) formm se do espço IR Solução: ) verificr se os vetores são gerdores 9

91 ,,,,,,,,z,,,,,,,,z,,,,z Re solvendo z mtriz mplid por sustituição, temos : mtriz mplid e esclond z z 5 z z z 5 5 Logo, como foi possível determinr os esclres, e, os vetores u, v e w germ R ) verificr se os vetores são LI,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, mtriz mplid Discussão do sistem : mtriz mplid e esclond P C P A Sistem Possível e Determindo Linerment e Independentes G L Portnto, os vetores u = (,,), v = (,,) e w = (,-,) formm se do espço IR 6 DIMENSÃO A dimensão de um espço vetoril V, denotdo dim V, é o número de elementos de um se V Por eemplo, dimensão de V pr o eemplo nterior é dim V = Oservções: ) A dimensão de IR é ; dimensão de IR é ; e, em gerl, dimensão de IR n é n ) A dimensão de um polinômio do gru (P ) é ; dimensão de um polinômio do gru (P ) é ; e, em gerl, dimensão de um polinômio de gru n (P n ) é n + c) A dimensão de A é ; dimensão de A é 6; dimensão de A 5 é 5; e, em gerl, dimensão de A mn é m n Dic: Sej V um espço vetoril de dimensão n (dim V = n) e X={,,, n } um conjunto de n vetores em V pr verificr se os vetores de X formm um se de V, st verificr um d dus condições; ) se os vetores de X germ V; ) se os vetores de X são L I 9

92 Espço Linh n X,,,n Sej n X A,,, n um mtriz m n As linhs de A, m m mn X m m, m,, mn considerds como vetores em n, germ um suespço de n chmdo espço - linh de A Oservções: ) Se A e B são dus mtrizes mn equivlentes por linhs, então os espços - linh de A e B são iguis ) Se esclonrmos um mtriz A encontrndo um mtriz equivlente B, então os espços - linh de A e B são iguis c) Os vetores NÃO NULOS de um mtriz n form esclond são um se pr seu espço - linh d) A dimensão do espço - linh de A é chmd de POSTO - LINHA de A Eemplo : Sej V o espço ds mtrizes sore os R e sej W o suespço gerdo por =, =, = e = Encontre um se e dimensão de W Resolução: Como s mtrizes são gerdors do suespço W, pr encontrr um se é preciso encontrr quis desss mtrizes são LI Pr isso, utilizremos o processo de espço - linh Isto é, devemos ver cd mtriz cim como um linh em um nov mtriz, conforme esquem io, pós o esclonmento o posto resultnte indicr o numero de vetores, ou no cso, mtrizes LI Posto - Linh = mtriz mplid dim A = posto - linh = - 5 esclond / e é se de W Eemplo : Encontre um se pr R que contenh os vetores X = (,,, ) e X = (-,, -, ) Resolução: X X X X e e e e mtriz mplid esclond e e e e A se pr R os X, X, e e vetores : Oserve que, lém do vetores X e X form inseridos os vetores unitários e, e, e e e Após o processo de esclonmento s posições reltivs os vetores e, e form zerds ficndo pens linhs reltivs os vetores X, X, e e e Logo, um se pr este espço vetoril é ddo pelo conjunto formdo destes vetores, isto é, {X, X, e, e } e são List de Eercícios : Quis dos seguintes conjuntos de vetores são se de IR? 9

93 ) (, ), (, -) ) (, ), (, ), (, ) c) (, ), (, -), (, ) d) (, ), (-, -6) Considere o seguinte suconjunto de P : (polinômio do gru) W ={t + t - t +, t +, t - t, t + t - t + } Ache um se pr o suespço W Determine dimensão de W Ache um se pr IR que contenh os vetores = (,,, ) e = (,, -, ) Ache dimensão dos suespços de IR gerdos pelos vetores: ) (,,, ), (,,, ), (,,, ) e (,,, ) ) (, -,, ), (, -,, ) e (,,, ) c) (-,, 6, ), (,,, ), (-,,, ), (-,, 5, 6) e (-, -,, ) d) (,,, ), (-,,, ), (,,, ) e (,,, ) 5 Quis dos seguintes conjuntos de vetores são ses de P ( polinômio do gru) ) t + t +t, t +, 6t + 8t + 6t + e t + t + t + ) t + t +, t - e t + t + t 6 Mostre que s mtrizes X, X, X e X formm um se pr o espço vetoril de tods s mtrizes 7 Sej X = {,,, } em que = (,, ), = (,, ), =(,, 7) e = (7, 6, ) Ache um se pr o suespço W de IR Qul dimensão de W? Resposts: ) X = {t + t - t +, t + } dim W = X = {,, e, e } ) dim W = ) dim W = c) dim W = d) dim W = 5 nenhum 7 X = {, } dim W = TRANSFORMAÇÃO LINEAR se: Sejm (V,+,) e (U,+,) espços vetoriis Um função T : V U é dit um Trnsformção Liner ou Operdor Liner em V A T(A) ) T(A+B) = T(A) + T(B) ) T(rA) = rt(a) A,B V e r R Em outrs plvrs, T : V U É LINEAR se "preserv" s dus operções ásics de um espço vetoril, isto é, dição de vetores e multiplicção por esclr Oservção: Se sustituirmos r pelo esclr zero (r = ) otemos T() = Isto é, tod trnsformção lev o vetor zero no vetor zero, ms nem tod trnsformção que lev o vetor zero no vetor zero é liner 9

94 Eemplo : Sej F : IR IR trnsformção "projeção" no plno : F(,, z) = (,,) Mostrremos que F é liner Solução: Sej A = (,, z ) e B = (,, z ) IR ) F(A+B) = F( +, +, z +z ) = ( +, +, ) = (,, ) + (,, ) = F(A) + F(B) ) F(rA) = F(r (,, z )) = F(r, r, rz ) = (r, r, ) = r(,, ) = rf(a), pr todo r IR Logo, F é liner Eemplo : Sej F : R R trnsformção "trnslção" definid por F(, ) = (+, +) Oserve que F() = (,) = (,) Isto é, o vetor zero NÃO É trnsformdo no vetor zero Portnto F NÃO É LINEAR Eemplo : Sej F : V U trnsformção que ssoci o vetor (zero) U todo A V Então pr qulquer A, B V e qulquer r IR, temos: ) F(A+B) = = + = F(A)+F(B) ) F(rA) = = rf(a) Assim, F é liner Chmmos F trnsformção zero e, usulmente, notremos Eemplo : Sej T : IR IR trnsformção liner pr qul T(,) = e T(,) = - Encontre T(,) Solução: Escrever (,) como cominção liner de (,) e (,), usndo incógnits esclres e (, ) = (, ) + (,) = (, ) + (, ) = (, + ) = e = - (, ) = (, ) + (-)(,) T(, ) = T[(, ) + (-)(,)] = T((, )) + T((-)(,)) = T(,) + (-)T(,) = () + ()(-) T(, ) = - + T(, ) = 5 - List de Eercícios : ) Mostre que s seguintes trnsformções são lineres: ) F : IR IR definid por F(,) = (+, ) ) F : IR IR definid por F(,, z) = -+z ) Mostre que s seguintes trnsformções não são lineres: ) F : R R definid por F(, ) = ) F : R R definid por F(,) = (+,, +) ) Encontre T(,) onde T : R R é definid por T(,) = (,-, 5) e T(,) = (,, -) ) Encontre T(,,z) onde T : R R é definid por T(,,) =, T(,,-) = e T(,,) = - Resposts: ) F(A+B) F(A)+F(B) ) F(,) = (,, ) (,, ) 9

95 95 ) T(, ) = (- +, - +, 7 ) ) T(,, z) = 8 z TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES Sej A um mtriz m n, definimos: v A v R R T m n A : onde v é tomdo como vetor colun Logo, T A (v) = A n = m Utilizndo operções com mtrizes temos: T A (u+v) = A(u+v) = Au + Av = T A (u) + T A (v) e T A (ku) = k(au) = kt A (u) Logo T A é um trnsformção liner Eemplo 5: Sejm A = e L A : IR IR = Então, L A (, ) = (,, + ) TRANSFORMAÇÕES DO PLANO NO PLANO O que iremos presentr é um visão geométric ds trnsformções lineres, trlhndo com trnsformções do plno (R ) no plno (R ), pois tods tem form v A v R R T m n A :, onde A é um mtriz de ordem m n e v é o vetor colun v n v Eemplo 6: Dd função F: IR IR, IR v v ) Epresse grficmente ess função qundo =, denomind Epnsão F: IR IR v v, ou sej, T(,) = (,) Est função lev cd vetor do plno num vetor de mesm direção e sentido de v, ms de módulo mior n v

96 v F F(v) ) Epresse n form de vetores colun: v v v ou v v v v v = v v c) Verifique se F é um Trnsformção Liner Como F A : IR IR v v v v Se tomássemos F: IR IR tl que F(,) = (,), F seri um contrção Eemplo 7: (outr solução pr o eemplo ) Sej T : R R trnsformção liner pr qul T(,) = e T(,) = - Encontre T(,) Resolução: (Mtricil) T(,) = [ ] T(,) = [ ] - + = + = - + = 5 L L - L = Pr um vetor qulquer [ 5 -] [ 5 ] Logo, T(,)= (5-) usndo mtriz de trnsformção [ ] trnsformção é dd por: 96

97 Eemplo 8: Encontre um trnsformção liner T: R R tl que: T(, ) =(, ) e T(, ) = (, ) Resolução : (usndo lineridde) Escrevendo (,) como cominção liner de (, ) e (, ) Temos: (, ) = (, ) + ( )(, ) Deste modo, trnsformção T deve stisfzer T(, ) = T((, ) + ( )(, )) = T(, ) + ( )T(, ) = (, ) + ( )(, ) = ( +, 5) Verific-se fcilmente que trnsformção T definid como cim, isto é, T(, ) =( +, 5) Resolução : (usndo mtrizes) T(, ) =(, ) e T(, ) = (, ) T(,) = c + = c + d = - d - T(,) = c + = c +d = Juntndo s equções pr s mesms vriáveis temos: d + = L L - L + = logo = e = c + d = L L - L c +d = logo c=-5 e d= Pr um vetor qulquer T(,)= -5 usndo mtriz de trnsformção c 5 Logo, T(,)= ( +, 5) d -5 então, Os: Perce que mtriz de coeficientes em mos os sistems é igul, logo poderímos resolver esses sistems de um únic vez, isto é: - -5 L L - L e por fim c sumtriz presente n mtriz umentd únic d -5, que é trnspost d 97

98 List de Eercícios : ) Dd função F: IR IR (, ) (, -) ) Epresse grficmente ess refleão em torno do eio X ) Epresse- n form de vetores-colun c) Verifique se F é um trnsformção liner ) Sej T: IR IR v -v, ou sej, T(, ) = (-, -) ) Epresse grficmente ess refleão n origem ) Epresse- n form de vetores-colun d) Verifique se T é um trnsformção liner ) Rotção em um ângulo (no sentido nti-horário) v R R (v) = r cos (+) = r cos cos - r sen sen Ms r cos = e r sen = Então, = cos - sen Anlogmente, sen( ) sen cos cos sen = r sen (+) = cos + sen Logo, R (,) = ( cos - sen, cos + sen), ou n form mtricil: cos sen cos sen = cos sen sen cos Considere o cso prticulr = : ) Epresse grficmente ess rotção de 9 o no sentido nti-horário 98

99 ) Epresse- n form de vetores-colun c) Verifique se R é um trnsformção liner ) Sej T: IR IR T(,) = (+, +) ) Epresse grficmente ess trnslção do plno segundo o vetor (, ) ) Epresse- n form mtricil c) Mostre que T não é liner, menos que = = 5) Sej T: IR IR T(, ) = (+, ) ) Epresse grficmente esse cislhmento horizontl ) Epresse- n form de vetores-colun c) Verifique se T é um trnsformção liner Resposts: ) F ) [ ] [ ] = [ -] c) Como F : R R v v A trnsformção é liner ) T ) [ ] [ ] = [- -] c) Como T : R R v v A trnsformção é liner ) R ) [ ] [ ] = [- ] c) Como R : R R trnsformção é liner v v A ) T 99

100 ) [ ] [ ] + [ ] = [+ +] c) Como T(,) = (,) (,) trnsformção não é liner 5 ) T ) [ ] [ ] = [+ ] c) Como T : R R v va trnsformção é liner NÚCLEO E IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR Definição: Sejm V e W espços vetoriis e sej T:VW um trnsformção liner (i) O núcleo de T, denotdo por Nu(T), é o conjunto de todos os vetores de V que têm imgem nul Nu(T) = {v V; T(v) = } Oservção: O núcleo de T é tmém chmdo kernel de T ( ker(t) ) (ii) A imgem de T, denotd por Im(T), é o conjunto de todos os vetores ww que são imgem dos vetores de V Im(T) = {w W; w = T(v) pr lgum vv} Oservção: Nu(T) nunc é vzio, pois contém, pelo menos, o vetor nulo do espço domínio De fto, T() =, pois T liner Assim, Nu(T) Note que T( V ) = W, onde V e W indicm o vetor nulo de V e W, respectivmente Proprieddes do Núcleo e d Imgem Se T:VW é um trnsformção liner então: Propriedde Nu(T) é um suespço vetoril de V; Propriedde Im(T) é um suespço vetoril de W Eemplo 7: Núcleo e imgem d trnsformção nul, ) Núcleo de T: T:VW; T(v) =

101 Pel definição, os vetores que pertencem o núcleo de um trnsformção são os que têm o vetor nulo como imgem Considerndo trnsformção T dd, qulquer vetor v V tem como imgem o vetor W Dess form, Nu(T) = V ) Imgem de T: Se todos os vetores v V tem como imgem o vetor nulo, então ele é o único vetor que pertence à imgem de T Assim, Im(T) = {} Eemplo 8: Núcleo e imgem d trnsformção identidde ) Núcleo de T: T:VV; T(v) = v A trnsformção identidde crcteriz-se pelo fto de que imgem de cd vetor v V (domínio) é o próprio vetor v V (contr-domínio) Aind, como o núcleo contém todos os vetores de V cuj imgem é o vetor nulo, temos que o único vetor pertencente o núcleo de T é o vetor, ou sej ) Imgem de T: Nu(T) = {}; Como todo vetor v V é imgem de si mesmo, temos Im(T) = V Eemplo 9: Núcleo e imgem do operdor projeção: T : R R ; T (, ) = (, )

102 * Nu(T ) = {(, ); R} * Im(T ) = {(, ); R} * Um se do Nu(T ): = {(, )}, pois (, ) = (, ) * Um se d Im(T ): = {(, )}, pois (, ) = (, ) * dim Nu(T ) = * dim Im(T ) = Oservção: Outr propriedde, que não demonstrremos qui, ms que pode ser útil n conferênci de resultdos é seguinte: Se T:VW é um trnsformção liner então Confir esse resultdo nos eemplos nteriores Eemplo : Sej L: IR IR z z ) Im(L)? ) Im(L)? c) Encontre Im(L) d) Nu(L)? e) Encontre Nu(L) Solução: ) Temos z z z z como o vetor genérico de Im(L) Se Im(L), então z z z pr lgum,, z Resolvendo equção otemos z Logo, Im(L) pois eiste v = R tl que L(v) = dim Nu(T) + dim Im(T) = dim V

103 ) Do mesmo modo, se Im(L), então z z z z Assim, Im(L) e L c) O vetor genérico d Im(L) z z z pode ser escrito ssim: z Portnto, Im(L) = [w, w, w ], onde e, w w w Além disso, os vetores gerdores de Im(L) são li (verifique), e, portnto,,, é um se de Im(L) Sendo ess se de Im(L) um conjunto de vetores li do IR, temos que Im(L) = IR d) L L Como L, concluímos que Nu(L) e) Sendo que vnu(l) se e somente se L(v) =, temos que z z z, cuj únic solução é o vetor Assim, Nu(L) = {} Eemplo : Sej L:P P ; L(t + t + c) = ( + )t + ( + c) ) t + Im(L)? ) t t + Nu(L)? c) Encontre um se pr Im(L); d) Encontre um se pr Nu(L) Solução: ) t + Im(L) p(t) = t + t + c tl que L[p(t)] = t + ( + )t + ( + c) = t +

104 c = c e = c Portnto, t + Im(L), pois L(ct + ( c)t + c) = t +, c R ) Devemos verificr se L(t t + ) = L(t t + ) = ( )t + ( + ) = t + =, portnto t t + Nu(L) c) Sendo L[p(t)] = ( + )t + ( + c), vmos ssocir o vetor ( +, + c) o polinômio L[p(t)] Assim, o vetor genérico d imgem é ( +, + c) = (, ) + (, ) + c(, ) Buscndo os vetores li no conjunto gerdor {(, ), (, ), (, )} otemos {(, ), (, )} como um conjunto gerdor li Associndo, cd um desses vetores, um polinômio p(t), temos que = {t, }, é um se de Im(L) Outr se de Im(L) poderi ser, por eemplo, ' = {t, t + } d) Semos que p(t) Nu(L) se e somente se L[p(t)] = Dess form, L[p(t)] = L(t + t + c) = ( + )t + ( + c) = Ou sej, ( + )t + ( + c) = t + ; o c que nos permite escrever o sistem cuj solução é = e c = c Portnto, L( t + t ) =, R Pr oter um se do Nu(L) ssocimos o polinômio p(t) = t + t + c o vetor v = (,, c) Então, v Nu(L) se e somente se v = (,, ), que é o vetor genérico do suespço Nu(L) e, de (,, ) = (,, ) e podemos firmr que Nu(L) = [(,, )] Como o conjunto gerdor é li, um se de Nu(L) é = { t + t } Eemplo : Sej L: M M trnsformção liner definid por L c d c Verifique que dim Nu(L) + dim Im(L) = dim M Solução: Nu(L): Se A é um vetor do núcleo de L, temos L(A) = Assim, L e c c d c Logo, o vetor genérico do suespço Nu(L) é A e dim Nu(L) =, pois d com e d não nulos, é um se de Nu(L);,, d Im(L): O vetor genérico do suespço Im(L) é e c Logo, dim Im(L) = B c e um se pr Im(L) é,, pr c

105 Assim, dim Nu(L) + dim Im(L) = + = = dim M (Lemre que o espço vetoril M está em correspondênci com R ) List de Eercícios : Sej T:R R trnsformção liner definid por T(, ) = (, ) ) (, ) Nu(T)? ) (, ) Nu(T)? c) (, ) Im(T)? d) (, ) Im(T)? e) Encontre Nu(T) f) Encontre Im(T) Sej L:R R ) Nu(L)? ) Nu(L)? c) Im(L)? d) 6 Im(L)? e) Encontre Nu(L) e Im(L) f) Ache um se pr Nu(L) e um se pr Im(L) Verifique s dimensões Sej f: R R definid por f (,, z, w) = ( +, z + w, + z) ) Verifique se os vetores v = (,,, ), v = (,,, ), v = (,,, ) pertencem o núcleo de f ) Encontre Nu(f ) c) Encontre dois vetores w e w pertencentes Im(f ) d) Verifique se dim Nu(f ) + dim Im(f ) = dim V Sej L:P P trnsformção liner definid por L(t + t + ct + d) = ( )t + (c d)t ) t + t + t Nu(L)? ) t t + t Nu(L)? c) t t Im(L)? d) Encontre um se pr Nu(L) e um se pr Im(L) 5 Sej T:M M c d d c d Escrev o conjunto núcleo de T e dois vetores pertencentes à imgem de T 6 Sej um trnsformção liner L: IR IR 6 ) Se fosse dim Nu(L) =, qunto seri dim Im(L)? ) Se fosse dim Im(L) =, qunto seri dim Nu(L)? 5

106 6 7 Encontre o suespço imgem d trnsformção liner T(,, z) = ( + z, +, + z) Resposts: ) (, ) Nu(T) ) (, ) Nu(T) c) (, ) Im(T) d) (, ) Im(T) e) Nu(T) = {(, ); R} f) Im(T) = {(, ); R} ) Nu(L) ) Nu(L) c) w Im(L) w 6 Logo, Im(L) 6 d) que é um sistem impossível, portnto Im(L) e) Núcleo: Nu(L) = ; R Imgem:, ou sej, Im(L) =, Assim, = = Im(L) = ; R f) Um se pr Nu(L): = e um se pr Im(L): = ) v Nu(f ); v Nu(f ); v Nu(f ) ) Nu(f ) = {(w, w, w, w); w R} c) Im(f ) = [(,, ), (,, ), (,, )] = R ; w e w podem ser quisquer vetores do R d) dim Nu(f ) = e dim Im(f ) = Temos dim Nu(f ) + dim Im(f ) = + = = dim V ) L(t + t + t ) = (, )t + ( + )t = t t + t + t Nu(L) ) L(t t + t ) = ( + )t + ( + )t = t + t t t + t Nu(L) c) L(t + t + ct + d) = t t ( )t + (c d)t = t t d c d c t t Im(L) d) Núcleo:

107 L(t + t + ct + d) = ( )t + (c d)t = c d c d Nu(L) = {t + t + dt + d;, d R} e um se pr Nu(L) é = {t + t, t + } Imgem: ( )t + (c d)t = t + ( )t + ct + ( d)t, ou sej, (,,, ) + (,,, ) + c(,,, ) + d(,,, ) Assim, Im(L) = [(,,, ), (,,, ), (,,, ), (,,, )] e um se pr Im(L) é = {t, t} 5 Apens Nu(T) Escolh dois vetores quisquer de M e clcule sus imgens, trvés de T, pr encontrr dois vetores pertencentes à imgem de T 6 ) dim Im(L) = ) dim Nu(L) = 7 Im(T) = R AUTOVALOR E AUTOVETOR DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR Ddo um operdor liner T: V V, estremos interessdos, nesse cpítulo, em ser quis vetores são levdos em um múltiplo de si mesmo, isto é, procurremos um vetor v V e um esclr R tis que T(v) = v ( I ) Neste cso T(v) será um vetor de mesm direção que v, ou melhor, T(v) e v estão sore mesm ret suporte Como v = stisfz equção ( I ) pr todo, estremos interessdos em determinr v que stisfç condição cim Tentremos elucidr o eposto trvés dos eemplos que seguem Eemplo : I: IR IR (plicção identidde) (, ) (, ) Neste cso, todo v = (, ) IR é tl que I(v) = v Eemplo : T : IR IR (refleão no eio O) (, ) (, ) Aqui, u = (, ) é tl que T (u) = u e v = (, ) é tl que T (v) = v Ou sej, vetores que possuem um componente nul são levdos em um múltiplo de si mesmo Eemplo : T : IR IR / T (, ) = ( + 5, + ) ) T (5, ) = (, ) = 6(5, ) d) T (, ) = (6, ) = 6(,) ) T (, ) = (, 5) e) T ( 5/, ) = ( 5, 6) = 6( 5/, ) c) T ( 5, ) = (, ) = 6( 5, ) f) Quis vetores dos itens nteriores são levdos por T um múltiplo de si mesmo? (), (c), 7

108 (d) e (e) A fim de encontrrmos os vetores v V e os esclres R citdos em ( I ), em como denominá-los, seguimos com definição: Definição: Sej T: V V um operdor liner Um vetor v V, v, é um utovetor de T se eiste R tl que T(v) = v O número rel é denomindo utovlor de T ssocido o utovetor v Eemplo : No eemplo, desse cpítulo, um vetor do tipo u = (, ) é um utovetor de T ssocido o utovlor =, pois T (, ) = (, ) Tmém é verdde que v = (, ) é um utovetor de T ssocido o utovlor =, pois T (, ) = (, ) Oservção: Sempre que um vetor v é utovetor de um operdor liner T ssocido o utovlor, isto, é T(v) = v, o vetor kv, pr qulquer rel k, é tmém um utovlor de T ssocido o mesmo De fto: T( kv )= k T(v) = k (v) = (kv) Isto pode ser visto, por eemplo, nos itens (), (c), (d) e (e) do eemplo É comum tomrmos um representnte de cd conjunto de utovetores ssocidos um único vlor de Por eemplo, se temos T(, ) = (, ), isto é, u = (, ) é utovetor ssocido o utovlor =, tommos v = (, ), ou outro, pr representr o conjunto W, onde W = {(, ) R / = } A interpretção geométric, em IR, de utovetores de um operdor liner T é dd seguir: u é utovetor de T pois IR / T(u) = u v não é utovetor de T pois IR / T(v) = v DETERMINAÇÃO DOS AUTOVALORES E AUTOVETORES Pr determinr os utovlores e utovetores de um operdor liner T:V V usmos su representção mtricil Sej A mtriz cnônic de T, de form que T A (v) = Av Então, utovlores de A e utovetores v de V são soluções d equção Av = v Ou sej: Av = v Av Iv = (A I)v =, 8

109 onde I é mtriz identidde de mesm ordem que A Oservmos que últim equção, (A I)v =, represent um sistem homogêneo, que é sempre comptível, cuj solução desejd, conforme definição, é não-trivil, ou sej, v Assim, devemos ter o sistem em questão como comptível e indetermindo, de form que det(a I) = As rízes d equção det(a I) =, chmd equção crcterístic de A (ou de T), são os utovlores de A (ou de T) Pr cd utovlor, corresponde um conjunto W = {v V / Av = v} de utovetores, que é otido pel solução d equção Av = v ou, equivlentemente, d equção (A I)v = TEOREMA: Se A é um mtriz nn, o sistem homogêneo A= (*) tem um solução não-trivil se e somente se A é singulr Demonstrção: Suponh que A sej invertível Então, A eiste e multiplicndo mos os ldos de (*) por A, temos A A= A = Portnto, únic solução pr (*) é = A demonstrção d recíproc se A é singulr, então (*) tem um solução não-trivil é deid como eercício Resumindo: Sendo A mtriz cnônic que represent um operdor liner T, temos: utovlores de T ou de A: são s rízes d equção det(a I) =, utovetores v de T ou de A: pr cd, são s soluções d equção Av = v ou (A I)v = Eemplo 5: Consideremos o operdor liner definido nteriormente: T: IR IR (, ) ( + 5, + ) 5 utovlores de A, mtriz cnônic de T Resolvemos equção crcterístic det (A I) = : A I 5 5 det (A I) = ( ) ( ) 5 6 = = e = 6 utovetores de A ou de T: Pr cd utovlor encontrdo, resolvemos o sistem liner (A I)v = : 9

110 - 5 5 ) ( 5 ) ( ) ( ; v I A v Então, v = (, ) sendo um de seus representntes o vetor v = (, ) ) ( 6; I A v Então v = ( 5, ) sendo um de seus representntes o vetor v = ( 5, ) Oserve que: T ) ( v = T(, ) = (, ) e T ) ( v = T( 5, ) = 6 ( 5, ) Eemplo 6: Encontre os utovlores e utovetores pr A equção crcterístic: det(a I) = ) ( i i utovlores de A: os vlores i i e não são reis, e dizemos que A não possui utovlores reis utovetores de A: segundo definição, os utovetores devem estr ssocidos utovlores reis Dizemos que A não possui utovetores Oservção: Se estivéssemos trlhndo com espços vetoriis compleos, e não somente em espços vetoriis reis como definimos no início de nosso estudo, todos os operdores terim utovlores e utovetores, um vez que todo polinômio sempre dmite riz

111 Eemplo 7: Encontre os utovlores e utovetores pr 5 A equção crcterístic: det(a I) = 5 I A Então, ) ( ) ( utovlores de A: = ; = ; = Oserve que um utovlor é duplo utovetores de A: ) (,, e ), (, dois represent ntes retirmos dqui e ),, ( e, Dí, 5 5 ) ( ;, v v v v I A v z z z z z z = ; origin o utovetor v = (z, - 5 z, z), sendo um de seus representntes o utovetor v = (, - 5, ) O conjunto dos utovetores {v, v, v } é li e form um se de IR Eemplo 8: Encontre os utovlores e utovetores pr A equção crcterístic de A ou de T: I A ) 7 ( ) 5 5( ) 8(9 6 8 ) 7 )( )(9 5 ( ) det( A I utovlores de A: são s rízes d equção = Pr resolver tl equção e procurndo soluções inteirs, n epecttiv de que eistm, usmos um importnte teorem d álger que diz: Se equção polinomil

112 n + c n- n- + + c + c =, com coeficientes inteiros e coeficiente do termo de mior gru vlendo, tem um riz inteir então ess riz é um divisor do termo independente c N equção em questão, o coeficiente de é e os divisores do termo independente são Verifiquemos, por Briot-Ruffini, se um desses vlores é solução d equção Comecemos com = + + = = é um ds rízes e s outrs são rízes d equção + + =, que são = e = Os vlores, e são os utovlores de A utovetores de A: = = = ; ( A I) v 5 ( ) ( ) 8 7 ( ) z 5 9z 8 8z 6z z e z z v, z, z, com,, z R; cujo representnte pode ser v,, = (- /, -, ) Oservemos que pens um vetor li é encontrdo Dess form, não é possível formr um se de utovetores de A (ou de T) pr IR Eemplo 9: Dd trnsformção T: IR IR liner / T(,, c) = ( + c, + c, + + c) Encontre os utovlores e utovetores pr mtriz cnônic dest trnsformção mtriz cnônic de T: A equção crcterístic de A (ou de T): A I det( A I) ( )( ) ( ) utovlores de A (ou de T): são s rízes d equção + =

113 Temos =, = e = utovetores de A (ou de T): pr cd, solução d equção (A I) v = fornece = ; v = (,, ); um deles: v = (,, ) = ; v = (,, ); um deles: v = (,, ) = ; v = (,, ); um deles: v = (,, ) Oservmos que, tmém nesse cso, é possível escrever um se pr o R de utovetores de A (ou de T) Proprieddes de Autovlores e Autovetores Sej A um mtriz nn Se e μ são utovlores distintos de A com utovetores ssocidos e, respectivmente, então e são linermente independentes A e A T têm os mesmos utovlores Se A é um mtriz digonl, tringulr superior ou inferior, então seus utovlores são os elementos d su digonl principl Os utovlores de um mtriz simétric são todos números reis A é singulr se e somente se for um utovlor de A Revisão: Eemplo : 6 6 A, u e v -5 - Sejm 5 Verifique se u e v são utovetores de A Resolução: 6-9 Av Au -5 u 5 5 Assim, u é um utovetor ssocido o utovlor -, ms v não é utovetor de A, pois va não é múltiplo de v Oservção: Ao invés de utovlor e utovetor, podemos encontrr os termos vlor crcterístico e vetor crcterístico ou vlor próprio e vetor próprio, respectivmente Eemplo : Encontre utovlores e utovetores, não-nulos, e uto-espços ssocidos mtriz A v Resolução: Procurmos um esclr e um vetor não-nulo, tis que, Av = v, ou sej, Av - v = (A - I)v =, onde I represent mtriz identidde de mesm ordem de A

114 Psso: Escrever equção (A - I)v = n form mtricil e encontrr o sistem ssocido ( ) ( ) Psso : Encontrr o esclr Como o vetor v deve ser diferente de zero v, e o sistem ssocido é um sistem homogêneo, é necessário que encontremos um solução diferente d trivil, pr isso, st igulr zero o determinnte d mtriz A - I (mtriz crcterístic) ( )( ) 6 ou polin6omio crcterístico Psso : Encontrr os utovetores ssocidos os utovlores encontrdos Sustitu os vlores de no sistem encontrdo no psso e determine os vlores de e Pr = ( ) ou simplesmente ( ) v Assim, é um utovetor não-nulo pertencente o utovlor = (ou pertencente o uto-espço de ) e qulquer outro utovetor pertencente = é um múltiplo de v Pr = - ( ) ou simplesmente ( ) v Assim, é um utovetor não-nulo pertencente o utovlor = - (ou pertencente o uto-espço de -) e qulquer outro utovetor pertencente = - é um múltiplo de v Logo, os espços gerdos por todos os utovetores ssocidos os utovlores = e = -, chmdos uto-espços são: S (,) e S (-,) Eemplo : A 5 Encontre utovlores e utovetores, não-nulos, e uto-espços ssocidos mtriz v z Resolução: Procurmos um esclr e um vetor não-nulo, tis que, Av = v, ou sej Av - v = (A - I)v =, onde I represent mtriz identidde de mesm ordem de A Psso: Escrever equção (A - I)v = n form mtricil e encontrr o sistem ssocido

115 z z z Psso : Encontrr o esclr Como o vetor v deve ser diferente de zero v, e o sistem ssocido é um sistem homogêneo, é necessário que encontremos um solução diferente d trivil, pr isso, st igulr zero o determinnte d mtriz A - I (mtriz crcterístic) - DET ( 6 ) ( 5 6 ) ( 6 )( )( ) ou ou 6 Psso : Encontrr os utovetores ssocidos os utovlores encontrdos Sustitu os vlores de no sistem encontrdo no psso e determine os vlores de e Pr = ( ) z z ( 5 ) z z ( )z z em form mtricil temos o mesmo sistem ddo por: , que usndo eliminção gussin torn-se e z Logo temos que z z z z - z v = z z = - Assim, v= é um utovetor não-nulo ssocido o utovlor = (ou pertencente o uto-espço de ) e qulquer outro utovetor pertencente = é um múltiplo de v Pr = ( ) z z ( 5 ) z z ( )z z em form mtricil temos o mesmo sistem ddo por: 5

116 , que usndo eliminção gussin torn-se Logo temos que z z e - z - ( z ) z - z z z z z v = z z = Assim, v= é um utovetor não-nulo ssocido o utovlor = (ou pertencente o uto-espço de ) e qulquer outro utovetor pertencente = é um múltiplo de v Pr = 6 ( 6) z z ( 5 6) z z ( 6)z z em form mtricil temos o mesmo sistem ddo por: , que usndo eliminção gussin torn-se z z e z Logo temos que z z z z z z z - v = z z = - Assim, v= é um utovetor não-nulo ssocido o utovlor = 6 (ou pertencente o uto-espço de 6) e qulquer outro utovetor pertencente = 6 é um múltiplo de v Logo, os espços gerdos por todos os utovetores ssocidos os utovlores =, = e = 6, chmdos uto-espços são: S (-,,), S (,,) 6 e S (,,) List de Eercícios : Encontre trnsformção liner T: IR IR, tl que T tenh utovlores e ssocidos os utovetores (, ) e (, ) respectivmente Ache os utovlores e utovetores d trnsformção liner T: ) T: IR IR ; T(, ) = ( +, + ); 6

117 7 ) T:P P ; T( + + c) = + + c; c) T:M M ; T(A) = A t Sej A ) Ache os utovlores de A e de A - ; ) Quis são os utovetores correspondentes? Considere s mtrizes A e B ) Clcule AB e BA e oserve que estes produtos são distintos ) Encontre os utovlores e utovetores de AB e de BA e compre os resultdos otidos Solução: Semos (pel definição) v = Av, onde = utovlor de A e v = utovetor ssocido Se = e v = (, ), temos: 6 d c d c Se = e v = (, ), temos: 6 d c d c De e, concluímos que = ; = 6; c = e d = Logo, 6 T ou T(,)=(-6,-+) ) A det(a I) = ( ) = = Pr : (A I)v = *,, R v Pr * ),, ( R v ) c c T = = =

118 8,, v = (,, c);,, c R, não simultnemente nulos,, ) ( t p = t + t + c;,, c R, não simultnemente nulos c) T d c d c d c A mtriz que represent T é M det(m I) = ( ) ( + ) = = = = ; = Pr = = =, temos v = (,, c, d) / d c ] [v c c c d c d,, v ;,, d R*, ou sej, em vetor,, M d A ;,, d R*, com, e c não simultnemente nulos Pr =, temos: ) ( ) ( ) ( ) ( d c d c c d c c c v ; c R * ou vetor em M c c A ; c R* Pr A: = ; v = (, ); R* = ; v = (, ); R* Pr A : = ; v = (, ); R* = ; v = (, ); R*

119 ) 7 AB ) ) Autovlores e respectivos utovetores: = ; v = (,, ); R* 7 = ; v,, ; R* 7 =, v z, z, z; z R* BA ) Autovlores e respectivos utovetores: = ; v = ; v = (,, ); R* = (,, ); R* 5 =, v z, z, z; z R* 9

120 Eercícios Etrs: ) A figur io é constituíd de 9 qudrdos congruentes Pr cd um ds firmções io, coloque V se el for verddeir ou F se el for fls L M N E K P O F J I H G Figur ) AB OF ( ) g) JO // LD ( ) m) PN NB ( ) ) AM PH ( ) h) AJ // FG ( ) n) AM BL ( ) c) BC OP ( ) i) AC // HI ( ) o) AC FP ( ) d) BL MC ( ) j) CO // GI ( ) p) IF MF ( ) e) DE ED ( ) k) AB EG ( ) q) AJ AC ( ) f) AO MG ( ) l) PE EC ( ) r) AO NP ( ) Resposts ) V, ) V, c) F, d) V, e) V, f) V, g) F, h) V, i) V, j) F, k) V, l) F, m) V, n) V, o) V, p) V, q) F, r) V ) A figur io represent um prlelepípedo Pr cd um ds firmções io, coloque V se el for verddeir ou F se el for fls E H D F G C ) DH BF ( ) d) AF BC ( ) ) AB HG ( ) e) AC HF ( ) c) AB CG ( ) f) BG // ED ( ) A Figur B Resposts ) V, ) F, c) V, d) V, e) V, f) F ) Dd figur io, determine: A B C D L M N E K P O F ) AC CN g) AK AN ) AB BD h) AO OE c) AC DC i) MO NP d) AC AK j) BC CB e) AC EO k) LP PN NF f) AM BL l) BL BN PB J I H G Figur

121 Resposts: ) AN ) AD c) AB d) AO e) AM f) AK g) AH h) AI i) AC j) AC k) AE l) List Etr: