d(p,f 1) + d(p,f 2) = 2a

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1 1 3. Estudo d Elipse 3..1 Definição Consideremos no plno dois pontos F 1 e F, tis que d(f 1, F ) = c. Sej, > c. Chm-se elipse o conjunto de pontos P, do plno, tis que: d(p,f 1) + d(p,f ) = P F 1 O F 3.. Elementos d elipse B 1 A 1 c A F 1 O F B c c Centro d elipse: O Focos d elipse: F1 e F Distânci focl: F1F = c Vértices d elipse: A1 e A Semi eio mior: OA1 = OA = Etremos d elipse: B1 e B Semi eio menor: OB1 = OB =

2 3..3 Oservções ) A medid do semi eio mior d elipse Como A é um ponto d elipse temos: A F 1 + A F = A F + F 1F + A F = A F + c = A F = c OA = OF + A F = c + ( c) = OA 1 = OA =. ) A relção entre, e c. Como B 1 é um ponto d elipse temos: B 1F 1 + B 1F =, ms B 1F 1 = B 1F (triângulos congruentes), logo B 1F 1 =. Assim, pelo Teorem de Pitágors, temos: = + c c) Ecentricidde d elipse A ecentricidde de um elipse é um número que será denotdo por e e que indic o qunto elipse é chtd nos etremos. Por definição temos: c e, e como c < segue que 0 < e < 1 Oserve que se e = 0 teremos c = 0 e ssim pel oservção nterior segue =, ou sej, temos um circunferênci. Qunto mis próimo de 1 for ecentricidde, mis chtd será elipse Aplicções e curiosiddes ) A órit d Terr o redor do Sol é um elipse de ecentricidde e = 0,017 e que possui o Sol em um dos focos. Terr Sol

3 3 ) Propriedde óptic d elipse Todo rio de luz, lser ou som que é emitido de um focos, incide n elipse e é refletido n direção do outro foco. F 1 F c) Um plicção d propriedde óptic d elipse é, em Medicin, no estilhçmento de cálculos renis (litrotripsi), tornndo possível eliminção desses estilhços pels vis urináris. Um fonte emissor de onds ultr sonors é colocd em um dos focos de um superfície elíptic; ess superfície é direciond de modo que o cálculo renl sej posiciondo no outro foco. A energi dos rios refletidos mrtel o cálculo, té frgmentá-lo. cálculo renl colchão com águ mes girtóri Foco d) O lcão ovl (elíptico) d ctedrl de Sint Pul, em Londres, é chmdo gleri do murmúrio. Em cd um deles, um pesso, situd num dos focos, pode cochichr lgum cois e um outr pesso, situd no outro foco, consegue ouvir nitidmente.

4 4 e) A prç de São Pedro no Vticno, em Rom, possui form de um grnde elipse e é cercd por grndes coluns. Vej foto io: f) Pr trçrmos um elipse, podemos utilizr o método do jrdineiro: Fim se dois pregos sore um prnchet pln, representdo os focos F 1 e F. Prendem-se, nos pontos F 1 e F, s etremiddes de um fio, de comprimento, mior que distânci entre os focos. Com o uílio de um lápis, no ponto P, estende-se o fio e, mntendo o estendido, descreve se elipse por um movimento contínuo do ponto P. Em cd posição, teremos: PF 1 + PF =.

5 Equção d elipse com centro n origem Vmos gor estelecer um equção que relcion s coordends de um ponto genérico d elipse com s coordends do seu centro e s medids do eio mior e do eio menor. Considere no plno O um elipse de centro (0,0), distânci focl c, eio menor medindo e eio mior medindo. Teremos que considerr dois csos: 1 cso: O eio mior está sore o eio. P O F 1 F Sendo P(,) um ponto genérico d elipse de focos F 1(-c,0) e F (c,0) temos PF 1 + PF =. Assim: ( c) ( c) ( c) ( c) Elevndo o qudrdo mos os memros: ( c) 4 4 ( c) ( c) Desenvolvendo e simplificndo segue que: ( c) c Elevndo o qudrdo mos os memros: [( c) + ] = 4 c + c Desenvolvendo: c + c + = 4 c + c Agrupndo os termos semelhntes: ( c ) + = ( c ) Lemrndo que = + c c = então sustituindo n equção nterior temos: + = Finlmente, dividindo mos os memros por, result: 1 equção reduzid d elipse

6 6 cso: eio mior está sore o eio. Nesse cso considerndo P(,) como ponto genérico e os focos F 1(0,c) e F (0, -c), de form nálog o cso nterior é possível mostrr que equção reduzid d elipse com eio mior sore o eio é dd por: Eercícios 1. Pr cd um ds elipses io, pede-se: ) medid dos semi eios ) o esoço do gráfico c) s coordends dos focos d) s coordends dos vértices e etremos e) ecentricidde i) ii) = 5 iii) 4 + = 16. Escrev equção d elipse de centro n origem, um foco F(3,0) e o eio mior medindo Escrev equção d elipse de centro n origem, ecentricidde e = 0,5, eio mior sore o eio e eio menor medindo 6.

7 Complemento: Equção d elipse com centro ( o, o) P o o Fzendo um trnslção dos eios coordendos otemos um elipse de centro n origem (' ) (' ) e portnto de equção 1. Agor, oservndo que o = e que o = teremos equção reduzid d elipse de centro ( o, o) e eio mior prlelo o eio. ( o ) ( o ) 1