log a d, como diz o enunciado.

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2 ( O ELITE RESOLVE O IE 5 - ATEÁTICA x x (5 5. Dd função f(x, demonstre que: f(x y f(x - y f(x f(y Sejm x e y, vlores pertencentes o domínio de f(x. (5 x 5 x (5 5 Temos que:. f(x. f(y x y x y y x (x y x y (x y 5 5 x y 5 (x y y y f(x y f(x - y. O sistem de segurnç de um cs utiliz um tecldo numérico, conforme ilustrdo n figur. Um ldrão oserv de longe e percee que: A senh utilizd possui 4 dígitos; O primeiro e o último dígitos encontrm-se num mesm linh; O segundo e o terceiro dígitos encontrm-se n linh imeditmente superior. Clcule o número de senhs que deverão ser experimentds pelo ldrão pr que com certez ele consig entrr n cs Tecldo numérico Linh Linh Linh Linh 4 Semos que o o e o dígitos estão n linh imeditmente superior à linh o o e 4 o dígitos, portnto, o o e o 4 o dígitos só podem estr ns linhs, e 4. Hipótese : o e 4 o digito n linh 4 ossiiliddes 9 Digito o o o 4 o totl Hipótese : o e 4 o dígitos n linh ossiiliddes 8 Digito o o o 4 o totl Hipótese : o e 4 o dígitos n linh ossiiliddes 8 digito o o o 4 o totl ortnto temos possiiliddes. Sendo ssim pr ter certez que o ldrão consegue entrr devem ser experimentds 7 senhs.. Sejm,, c e d números reis positivos e diferentes de. Sendo que log d, log d e log c d são termos consecutivos de um progressão ritmétic, demonstre que: log d c (c Trnsformndo pr se, tem-se seguinte A: log d log d log d; ; log log c Assim, vem: log d log d. log d log log c log log c.log c log. log c log.log c log. log c log. log c log ( ( log ( log c log.c log (.c c Assim, not-se que houve um engno n referid questão, pois o expoente do termo (.c deve ser log, e não log d, como diz o enuncido. 4. Determine o vlor ds rízes comuns ds equções x 4 -x -x 8x8 e x 4 -x -44x -x-5. Sejm (x x 4 -x -x 8x8 e (x x 4 -x -44x -x-5 Cálculo ds rízes de (x: elo Teorem ds Rízes Rcionis, tem-se que, se equção presentr rízes rcionis, ests pertencerão o conjunto A {; -; ; -; ; -; ; -; 9; -9; 8; -8}. Fzendo verificção pr os elementos desse conjunto, tem-se que s rízes rcionis são e. Dest mneir, é possível ftorr (x: x 4 - x - x 8x 8 (x -.(x.(x x Assim, s rízes de (x são: x -; x ; x - ; x 4, ou sej: S { - ; ; - ; } Verificção ds rízes comuns (x e (x: (- (- 4 (- - 44(- - (- 5 5 ; ( ( 4 ( - 44( - ( ; (- (- 4 (- - 44(- - ( ; ( ( 4 ( - 44( ( ; ortnto, não existem rízes comuns entre (x e (x. 5. Resolv equção sen x cos x sen x. sen x cos x por.sen x sen x, dividimos mos os termos.cos x.sen x sen x sen.cos x sen x. cos sen x sen( x, semos que: p q p q sen p sen q. sen(.cos(, logo:

3 x x x x. sen.cos. sen 7 x.cos 4x sen x 7 x Logo 7 ou cos 4x x k x 7 x k k. k. 7 S x R x k. ou x k., k Z Considere um tringulo AC de áre S. rc-se o ponto sore o ldo AC tl que A / C q, e o ponto Q sore o ldo C de mneir que Q / QC r. As cevins AQ e encontrm-se em T, conforme ilustrdo n figur. Determine áre do triângulo AT em função de S, q e r. ( O ELITE RESOLVE O IE 5 - ATEÁTICA SACQ X Y SAT. S r ( q. X Y. S r Então o sistem pode ser resolvido por Crmer:. S r. S r q qs. X q ( q.( qr q r r Como S AT q. X, então S q. S AT ( q.( q. r q r 7. Considere um elipse de focos F e F', e um ponto qulquer dess curv. Trç-se por dus secntes F e F ', e que interceptm elipse em e ', respectivmente. Demonstre que som ( F / F ( F ' / F'' é constnte. Sugestão: Clcule inicilmente som (/ F (/ F. eixo mior d elipse: m eixo menor d elipse: m distnci entre focos: c f m m c f m A T.q F n m d c F.r Q C Como A/ C q, então: SA S S q C q. S ( I q Como Q / QC r, então: SAQ S SACQ r r S S ACQ ACQ SACQ. S ( II r Sendo X áre do TC e Y, do TQC, temos que S AT q.x e S TQ r.y De I: X Y STQ. S q X ( r. Y. S q De II: r visulizrmos Relção de Stewrt no triângulo F', temos: m n F m F n FF d c f F F c Dí, pel Relção de Stewrt, temos: m.c n..d.m.n Considerndo elipse, temos ind: m c n k (som ds distâncis de um ponto os focos constnte; k m k m e c k n Sustituindo n relção de Stewrt: m.(k n n.(k m (m n.d (m n.m.n m.(k kn n n.(k km m (m n.d (m n.m.n (m n.k 4kmn (m n.m.n (m n.d (m n.m.n (m n.(k d 4kmn (m n / m.n 4k/(k d /m /n 4k/(k d que é constnte pois k e d são constntes.

4 Assim, tomndo-se 4k/(k d K constnte, vem: /F /F K (I nlogmente, /'F' /F' K (II ultiplicndo (I por F e (II por F, cheg-se : F/F K.F (III F'/'F' K. F' (IV De (III (IV tem se: F/F F'/'F' K.(F F' D propriedde d elipse (F F' k m F/F F'/'F' K.k C constnte Oservção: Cálculo d constnte C: C K.k 4k /(k d 4k /(k d 4( m /(( m (c f 4 m /( m c f 4 m / m (4 m m / m ( m m m / m ( m c f / m ( m c f / m CDQ 8. Sejm, e c s rízes do p(x x rx - t, onde r e t são números reis não nulos. Determine o vlor d expressão c em função de r e t. Demonstre que S n rs n- - ts n- pr todo número nturl n, onde S k k k c k pr qulquer número nturl k. p( r t p( r t p( c rc t c r( c t c t - r( c Usndo s relções de Girrd, segue que c, pois o coeficiente do termo de x é zero, logo c t Sej d um riz qulquer de p (x. ultiplicndo iguldde d n rd t por d n n n, otemos d rd td. Assim, são válids s três igulddes: n n n r t n n n r t n n n c rc tc Somndo, otemos n n n n n n n n n c r c t c ( ( (, n n n ou sej, S rs ts, pr todo nturl n. 9. Clcule o determinnte d mtriz nxn em função de, onde é um número rel tl que. n linhs ( O ELITE RESOLVE O IE 5 - ATEÁTICA Sej n o determinnte procurdo. n Aplicndo Lplce n primeir colun temos: n (.(-..(-. n- coluns Aplicndo Lplce n primeir linh do determinnte n segund prcel, temos: n (. n- (-. n (. n-. n- ; n - n-.( n- n- ; Usndo relção pr outros vlores: n- - n-.( n- n- -.( - 4 Ou sej s diferençs estão em G de rzão e primeiro termo 4, sendo o todo n- termos. el som dos termos d G: 4 n ( ( n - e n ( n. Considere os pontos e Q sore fces djcentes de um cuo. Um formig percorre, sore superfície do cuo, menor distânci entre e Q, cruzndo rest C em e rest CD em N, conforme ilustrdo n figur. n coluns

5 ( O ELITE RESOLVE O IE 5 - ATEÁTICA temos que (pr melhor visulizção de seção, invertemos s ses do cuo: C ( N Q A D É ddo que os pontos, Q, e N são coplnres. Demonstre que N é perpendiculr AC. Clcule áre d seção do cuo determind pelo plno que contém, Q e em função de C e. Vmos verificr que somente existirá solução pr ângulo de 45º. C α K m α N C β n β Q A construção d seção é feit tomndo como se ret K como rest do diedro. O prolongmento d rest CF intercept rest do diedro em T. Como T e N pertencem à fce DCFE, rest TN intercept DE em. Os pontos Q, R e K são simétricos em relção o plno medidor AFE. A interseção do plno Q com o cuo é o hexágono KNQR. r clculr áre d figur vmos utilizr os trpézios isósceles KNR e NQR. A Figur D cosº h ( h ( - h ( - Figur Se formig percorre o cminho mínimo, então, plnificção fic como descrito n figur. Se α então QND β 9º - α. N figur, se,, N, Q são coplnres então s rets e QN encontrm-se em um ponto K d ret C C Sejm C m e CN n. Como CK α, então KC m.tgα. (I Como Q N D 9º - α então C N K 9º - α e N K C α. Logo, n KC.tgα e, usndo (I, n m.tg α, ms pel figur, n m tgα, ou sej, α 45º β Como A C D 45 e N C β 45, logo, o triângulo CRN é retângulo em R, ou sej, AC N. CQD Oservção: O fto de,, N, Q serem coplnres fz com formig não poss prtir de qulquer ponto e chegr qulquer ponto Q cruzndo rest C. Somente pontos que possm ser lcnçdos mntendo-se α 45º β. Logo, áre d secção QRK é: ( S ( S ( S ( - cosº h h h 4