Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial I Funções Racionais e com Radicais

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1 Escol Secundári com º ciclo D. Dinis 11º no de Mtemátic Tem II Introdução o álculo Diferencil I Funções Rcionis e com Rdicis Tx de Vrição e Derivd Tref nº 0 1. Estude função f(x) = x, evidencindo s seguintes crcterístics: domínio, zeros, monotoni, extremos, contrdomínio, ssímptots e injectividde Qul é função invers de f? 1.. Que relção existe entre o gráfico de f e o ds funções; g(x) = x, h(x) = + x e i(x) = x + 1 4? 1.. Que tipo de curv é o gráfico de (x) = x e de b(x) = x?. onsidere função c(x) = x Qul é o domínio d função? E o contrdomínio?.. Em que ponto o gráfico de c intersect bissectriz dos qudrntes pres?..1. Quis são s principis crcterístics d função.. Qul função invers d função g? g(x) = x + 1? 4. Resolv o exercício 67 d págin prtir de um cubo form construíds dus peçs P e Q, trvés de um corte pelo plno em que os pontos e são pontos médios ds rests que pertencem Designe por v o volume, em cm, d peç P. Mostre que rest do cubo é dd em função de v, por um função f definid por F Q E f v ( ) 4 = v. 5.. Designe por áre, em cm,d fce P [EF] d peç Q. Mostre que rest do cubo é dd em função de pel função g definid por ( ) g =. Professor: Ros nels 1 no Lectivo 010/011

2 5.. Recorrendo às funções f e g definids e à clculdor, preench seguinte tbel, presentndo os resultdos rredonddos às centésims. Volume d peç P v 1 5 rest do cubo Áre d fce [EF] onsidere que rest do cubo tem 10 cm de comprimento. Recorrendo à clculdor gráfic, represent s funções f e g determin vlores de v e de. Professor: Ros nels no Lectivo 010/011

3 Escol Secundári com º ciclo D. Dinis 11º no de Mtemátic Tem II Introdução o álculo Diferencil I Funções Rcionis e com Rdicis Tx de Vrição e Derivd Tref nº 0 Propost de resolução 1. Estudemos função f(x) = x, cujo gráfico está n figur o ldo e sintetizemos os resultdos n tbel seguinte: domínio zeros monotoni extremos contrdomínio ssímptots injectividde [ 0,+ [ x = 0 crescente mínimo zero não tem máximo [ 0,+ [ Não tem É injectiv 1.1. função invers de f obtém-se de função rel de domínio [ 0,+ [ definid por ( ) y = x x = y, podemos então dizer que f x = x 1 1 f é um 1.. prtir do gráfico de f podemos obter o gráfico d função: g(x) = x, fzendo um trnslção horizontl ssocid o vector de coordends (,0), h(x) = + x, fzendo um trnslção verticl ssocid o vector de coordends (0,), i(x) = x + 1 4, fzendo um trnslção ssocid o vector de coordends (-1,-4). 1.. curv representtiv do gráfico de (x) = x é um rmo de prábol de eixo horizontl com tods s ordends negtivs ou zero e curv representtiv do gráfico de b(x) = x é o outro rmo d mesm prábol de eixo horizontl com tods s ordends negtivs ou zero.. onsidere função c(x) = x O domínio d função é Dc = { x IR : x + 0} = [ 1, + [ e o contrdomínio é ],1] porque x + 0 x + 0 x bciss do ponto em que o gráfico de c intersect bissectriz dos qudrntes pres é solução d equção c(x) = x x + + 1= x 1+ x = x +, or Professor: Ros nels no Lectivo 010/011

4 ( ) ( ) 1+ x = x + 1+ x = x + e ( ) ( ) 1+ x = x + 1+ x + x = x + x 1= 0 x = 1 x = 1 Verifiquemos se os vlores encontrdos são soluções d equção inicil. Verificção pr x 1 = ( ) ( ) = = 1 então x = 1 é solução Verificção pr x = = 1 + 1= 1 então x = 1 é solução equção podi ter sido resolvid grficmente. Por observção do gráfico prece-nos ver que s intersecções são os pontos de coordends (-1,1) e (1,-1). clculdor pode induzir-nos em erro se tentrmos clculr s intersecções. Pode só nos mostrr o ponto de coordends ( 1, 1), ms se clculrmos o vlor de cd um ds funções no ponto de bciss -1, clculdor vi indicr-nos o mesmo vlor pr s dus, donde podermos concluir que, como n resolução nlític, que função intersect bissectriz dos qudrntes pres em dois pontos de coordends (-1,1) e (1,-1).. Resolvmos o exercício 67 d págin ( ) 5 x = 10 5 x = 10 5 x = 100 x = 95 verificção d solução 5 ( 95) = = 10 PV oncluímos ssim que x = 95 é solução d equção Estudemos lgums crcterístics d função g(x) = x + 1: Depois de experimentrmos váris jnels de visulizção pr o gráfico podemos escolher um zoom deciml que nos permite ver s principis crcterístics do gráfico, O domínio é IR O contrdomínio é IR Tem um zero que é x = 1: x + 1 = 0 x + 1= 0 x = 1 É injectiv Professor: Ros nels 4 no Lectivo 010/011

5 É crescente 4.. função invers d função g obtém-se de: um função rel de domínio IR definid por ( ) y x 1 x 1 y x 1 y = + + = = + e g x = 1+ x 1 1 g é 5. prtir de um cubo form construíds dus peçs P e Q, trvés de um corte pelo plno em que os pontos e são pontos médios ds rests que pertencem Designe por v o volume, em cm, d peç P. Mostre que rest do cubo é dd em função de v, por um função f definid por f(v) = 4v. F Q E peç P é um prism tringulr recto em que bse é um triângulo rectângulo cujos ctetos P medem f e f. ltur do prism é f. Então o volume v será tl que f f f = = = = 4 v f v f 4v f 4v 5.. Designe por áre, em cm,d fce [EF] d peç Q. fce [EF] é um trpézio rectângulo onde bse mior é g bse menor é g e ltur é tmbém g. rest do cubo é dd em função de pel função g definid por com fórmul d áre de um trpézio temos: = g = g = g g = g = g = g() = porque, de cordo g g + g Recorrendo às funções f e g definids e à clculdor, preench seguinte tbel, presentndo os resultdos rredonddos às centésims. Volume d peç P v rest do cubo Áre d fce [EF] 1 f(1),6 9,91 4,6 g( 16) 4, f(5) 5,19 0, 97,7 g( 40) 7,0 40 Professor: Ros nels 5 no Lectivo 010/011

6 5.4. onsidere que rest do cubo tem 10 cm de comprimento. Recorrendo à clculdor gráfic, represente s funções f e g e determine os vlores de v e de. Professor: Ros nels 6 no Lectivo 010/011