Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 12º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial II. Tarefa nº 3 do plano de trabalho nº 5

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1 Escol Secndári com 3º ciclo D. Dinis º Ano de Mtemátic A Tem II Introdção o Cálclo Diferencil II ( e ) = e Tref nº 3 do plno de trblo nº 5 e e = ( ln ) = ( ln ) = ( log ) Not: é m fnção de e é m constnte mior qe.. Use definição de derivd pr provr qe ( e ) = e. = ln. Apliqe regr d derivd d fnção compost pr clclr derivd de e. 3. Use propriedde ln dedzir regr d derivd de. = ln = e e regr d derivd d fnção eponencil de bse e, pr 4. Use s regrs qe dedzi pr clclr m epressão d fnção derivd de cd m ds fnções segintes: 4.. f() = 4.. g() = e 4 3e () = 0, i() = e 4.5. j() = 4.6. k() = 3e 3 5. Use definição de derivd pr mostrr qe fnção derivd d fnção, de domínio IR +, definid por: f ( ) = ln é f ( ) =. 6. Apliqe regr d derivd d fnção compost pr clclr derivd de ln. ln 7. Use propriedde log = e regr d derivd d fnção logrítmic de bse e, pr ln dedzir regr d derivd de log. 8. Use s regrs qe dedzi pr clclr m epressão d fnção derivd de cd m ds fnções segintes: 8.. f() = ln g e =.ln 8.3. ( ) = log ( ) i( ) =.ln j = e.ln ln ln( 3) k = e + 9. Um jnel é formd por m rectânglo [ABCD] e por m semicírclo de diâmetro [AB]. Sejm, epressos em metros, o rio do semicírclo e y distânci BC. O perímetro d jnel é igl 5 metros. Professor: Ros Cnels Ano Letivo 0/0

2 Pretende-se encontrr s dimensões d jnel fim de qe bertr ten m áre máim. 9.. Eprim o perímetro d jnel em fnção de e de y. 9.. Retire d epressão o vlor de y em fnção de Pr qe vlores de se tem y>0? 9.4. Eprim áre d jnel em fnção de e de y Utilizndo os resltdos ds qestões nteriores, mostre qe áre se pode escrever n form A O B A 5 = D C 9.6. Use clcldor pr encontrr m vlor proimdo menos de 0 de de modo qe áre d jnel sej máim Introdz n s clcldor fnção derivd de A() sndo o comndo 8:nDeriv( do men MATH, Terá de escrever no editor de fnções nderiv(y,,), no cso de ter A() em Y Em segid com ZoomFit encontre jnel deqd à representção ds ds fnções Finlmente compre o sinl d derivd com monotoni de A() e escrev m regr qe le preç ser conclsão do qe observo Usndo o qe concli encontre vlores ectos pr s dimensões d jnel de áre máim. Clcle ind o vlor d áre máim. Professor: Ros Cnels Ano Letivo 0/0

3 Escol Secndári com 3º ciclo D. Dinis º Ano de Mtemátic A Tem II Introdção o Cálclo Diferencil II Tref nº 3 do plno de trblo nº 5 Propost de resolção ( e ) = e e e = ( ln ) = ( ln ) = ( log ) Not: é m fnção de e é m constnte mior qe.. Usemos definição de derivd pr provr qe ( e ) Pel definição de derivd = e. ( ) = ln = ln + e e e e e e = lim = lim = lim e lim = e = e Apliqemos regr d derivd d fnção compost pr clclr derivd de e. e = e 3. Usemos propriedde ln dedzir regr d derivd de. ln ln ln = e = e = e ln = ln = e e regr d derivd d fnção eponencil de bse e, pr 4. Usemos s regrs qe dedzimos pr clclr m epressão d fnção derivd de cd m ds fnções segintes: 4.. f() = 4 3e f ( ) = 3 e ( 4 + ) = 3 e 4 = e 4.. g() = e e g = e = e = 4.3. () = 0, i() = e = = 0,05 0,05 0,05 ln 0,05 ln ( e ) ( ) e e e i = = = ( e ) e 4.5. j() = ( 3e ) j ( ) = ( 3e ) ( 3e ) = ( 3e ) ( 3e ) = 6e ( 3e ) 4.6. k() = 3 3 k ( ) = 3 + ( ) 3 ln3 = 3 ln Usemos definição de derivd pr mostrr qe fnção derivd d fnção, de domínio IR +, definid por: f ( ) = ln é f ( ) =. Professor: Ros Cnels 3 Ano Letivo 0/0

4 + ln( ) ln ln + = = = + = + = f lim lim lim ln lim ln ln lim + = ln e = 0 6. Apliqemos regr d derivd d fnção compost pr clclr derivd de ln. Se y = ln então y = y = ln 7. Use propriedde log = e regr d derivd d fnção logrítmic de bse e, pr ln dedzir regr d derivd de log. ln y ( log ) = = ln = = ln ln 8. Use s regrs qe dedzi pr clclr m epressão d fnção derivd de cd m ds fnções segintes: 8.. f() = ln e f ( ) = = g( ) =.ln g ( ) = ln + = ln + = ( ln + ) 8.3. ( ) = log ( ) ( ) i( ) =.ln = = ln0 ln0 i = ln + = ln + j = e ln + e = e ln j( ) = e.ln 8.6. k ( ) = e ln + ln k = + e = e 3 ln 3ln( 3) ln+ ln Um jnel é formd por m rectânglo [ABCD] e por m semicírclo de diâmetro [AB]. Sejm, epressos em metros, o rio do semicírclo e y distânci BC. A O B O perímetro d jnel é igl 5 metros. Pretende-se encontrr s dimensões d jnel fim de qe bertr y ten m áre máim. D C Professor: Ros Cnels 4 Ano Letivo 0/0

5 Comecemos por 9.. Eprimir o perímetro d jnel em fnção de e de y. π P = y + + = y + ( + π) 9.. Retirr d epressão o vlor de y em fnção de. ( + π) 5 5 = y + ( + π) y = 5 ( + π) y = 9.3. y > 0 pr vlores de positivos qe verifiqem condição seginte: ( + π) 5 5 y > 0 > 0 5 ( + π ) > 0 ( + π ) > 5 < + π 5 Então terá de ser 0, + π Eprimir áre d jnel em fnção de e de y. π A = y Utilizndo os resltdos ds qestões nteriores, mostrr qe áre se pode escrever n form A 5 = π π 5 + π 0 + π A = y + A = + A = π A = 5 A = Usr clcldor pr encontrr m vlor proimdo menos de 0 de de modo qe áre d jnel sej máim. O vlor de pedido é 0, Introdzir n clcldor fnção derivd de A() sndo o comndo 8:nDeriv( do men MATH, É preciso escrever no editor de fnções nderiv(y,,), no cso de A() estr em Y Em segid com ZoomFit encontrr jnel deqd à representção ds ds fnções. Professor: Ros Cnels 5 Ano Letivo 0/0

6 9.9. Finlmente compremos o sinl d derivd com monotoni de A() e escrever m regr qe nos preç ser conclsão do qe foi observdo. A regr qe prece obvi é No intervlo em qe derivd é positiv fnção é crescente e no intervlo em qe el é negtiv fnção é decrescente A fnção tem m máimo no ponto em qe derivd se nl e derivd pss de positiv negtiv 9.0. Usndo o qe foi conclído encontrr vlores ectos pr s dimensões d jnel de áre máim. Clclr ind o vlor d áre máim. Comecemos por clclr derivd de A(). A ( ) = 5 = 5 ( ) Clclemos gor o zero d derivd 5 A ( ) = 0 5 ( ) = 0 = Qe nos dá o vlor de qe é o rio do semicírclo ( + π ) + π π y = + π = + π = = Conclímos ssim qe o comprimento do rectânglo é o dobro d ltr qe por s vez é igl o rio do semicírclo. E áre máim é então: Professor: Ros Cnels 6 Ano Letivo 0/0