P R O P O S T A D E R E S O L U Ç Ã O D O E X A M E T I P O 3

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1 P R O P O S T A D E R E S O L U Ç Ã O D O E X A M E T I P O 3 GRUPO I ITENS DE ESCOLHA MÚLTIPLA 1. O número de csos possíveis é. Como se pretende que o número sej pr, então pr o lgrismo ds uniddes existem três hipóteses possíveis (, ou ). Pr cd um dests hipóteses existem mneirs de escolher os restntes qutro lgrismos (dos restntes seis escolhem-se ordendmente qutro). Assim, o número de csos fvoráveis é e portnto, pel lei de Lplce, probbilidde pedid é. 2. ( ) e ( ). Tem-se que: Respost: A { } { }, Assim, neste cso, tem-se ( ) ( ) ( ). Portnto, dos vlores presentdos, o único que pode ser o vlor d probbilidde do contecimento é. Not: Tem-se que { } { },. Neste cso ( ) e portnto { ( ) }. Assim, ( ) ( ). Respost: C 3. Sej o vlor médio d vriável letóri. A curv de Guss ssocid à vriável letóri é simétric em relção à ret de equção. Observ figur seguinte. Assim, como e tem-se que e que. Portnto,. Respost: D 4. Por observção d figur verific-se que ( ), ( ), ( ) e ( ). Tem-se: Assim: e [ ] ( ) Respost: C Propost de Resolução do Exme-Tipo 3 Págin 1

2 5. ) ( ) Se então, com e i) Mudnç de vriável: Se então. Sej,. Respost: B 6. Fzendo um qudro de vrição do sinl d função, vem: n.d. n.d. Ponto nguloso Ponto nguloso O gráfico d opção IB não é o correto porque tem ponto de inflexão em e em e portnto nesses pontos segund derivd é nul. Portnto o gráfico correto é o d opção ID. Respost: D 7. Tem-se rgumento for d form. Assim:. O número complexo é um número rel negtivo seu Fzendo, vem. Respost: C 8. Sej. Tem-se: ( ) ( ) ( ) Portnto condição ( ) ( ) define um circunferênci de rio centrd n origem do referencil. Respost: B Propost de Resolução do Exme-Tipo 3 Págin 2

3 GRUPO II ITENS DE RESPOSTA ABERTA 1. Tem-se: é riz cúbic de se. Assim, e portnto é riz cúbic de. As restntes rízes cúbics de são e. 2. Os pontos e são s imgens geométrics, respetivmente, dos números complexos e, com, portnto e. Como o ponto pertence o eixo rel e tem mesm bciss que o ponto, então. O ponto é imgem geométric do número complexo, logo. N figur pode-se ver o qudrilátero [ ] representdo no plno complexo, pr um certo número rel. Sej o ponto de interseção do segmento de ret [ ] com ret de equção, ssim e, B (z) E A portnto: C O (z) [ ] [ ] [ ] D Como vem e portnto ). i) Cálculo uxilir: Pr escrever n form trigonométric, vem: ( ) ( ). Sendo um rgumento de, tem-se e qudrnte, pelo que. Assim,. Propost de Resolução do Exme-Tipo 3 Págin 3

4 i) ( ( )) ( ( )) ( ) (( ) ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ii) e são independentes.. Tem-se que e que. Assim: Como, vem e. Portnto, ( ( )) Considere-se os contecimentos :«o trblhdor tem menos de 25 nos» e : «o trblhdor é solteiro». Os contecimentos e são independentes, portnto pode-se plicr iguldde enuncid em Do enuncido vem e ( ). Como e são independentes, tem-se ( ). Pretende-se determinr ( ( )). Assim: ( ( )) Portnto probbilidde pedid é. Propost de Resolução do Exme-Tipo 3 Págin 4

5 4. Pr solucionr este problem, comecemos por seprá-lo em dois csos: os números nturis entre e que se inicim por e os que se inicim por : 1.º Cso (os que se inicim por ): pretende-se que som dos cinco lgrismos sej um número ímpr. Como o primeiro lgrismo é ímpr, som dos restntes qutro terá de ser pr. Portnto temos de considerr três csos: os restntes qutro lgrismos são ímpres, ou os restntes qutro lgrismos são pres, ou entre os restntes qutro lgrismos, dois são pres e os outros dois ímpres. Os restntes qutro lgrismos são ímpres: Os restntes qutro lgrismos são pres: ímpr ímpr ímpr ímpr pr pr pr pr O totl de números nests condições é. O totl de números nests condições é: Entre os restntes qutro lgrismos, dois são pres e dois são ímpres, por exemplo: ímpr ímpr pr pr Começ-se por escolher s posições que os números ímpres (ou os pres) podem ocupr, o número de mneirs de o fzer é (entre s qutro posições escolhem-se dus, s restntes dus ficm pr os pres). O totl de números nests condições é: 2.º Cso (os que se inicim por ): pretende-se que som dos cinco lgrismos sej um número ímpr. Como o primeiro é pr, som dos restntes qutro terá de ser ímpr. Portnto temos de considerr dois csos: entre os restntes qutro lgrismos, três são ímpres e um é pr, ou entre os restntes qutro lgrismos, três são pres e um é ímpr. Entre os restntes qutro lgrismos, três são ímpres e um é pr, por exemplo: Entre os restntes qutro lgrismos, três são pres e um é ímpr, por exemplo: ímpr ímpr ímpr pr pr pr pr ímpr Começ-se por escolher s posições que os números ímpres (ou o pr) podem ocupr, o número de mneirs de o fzer é (ou ) (entre s qutro posições escolhem-se três, restnte fic pr o pr). O totl de números nests condições é: Começ-se por escolher s posições que os números pres (ou o ímpr) podem ocupr, o número de mneirs de o fzer é (ou ) (entre s qutro posições escolhem-se três, restnte fic pr o ímpr). O totl de números nests condições é: Logo o totl de números ns condições do enuncido é: Propost de Resolução do Exme-Tipo 3 Págin 5

6 5. Vmos começr por clculr o domínio de. { } { } ] [ Neste domínio tem-se: ( ) Cálculo uxilir: y x x y O x Portnto, C.S. [ [. ] ] [ [ Como corresponde às h d mnhã, então corresponde às h min e corresponde às h min. A função é contínu em [ ] pois é composição e diferenç entre funções contínus em [ ]. Logo, é contínu em [ ] [ ]. Tem-se: Assim, como, pelo teorem de Bolzno ] [:, ou sej, existe um instnte entre s h min e s h min em que o prpente do Mnuel esteve metros de ltur. Propost de Resolução do Exme-Tipo 3 Págin 6

7 6.2. Tem-se: Fzendo um qudro de vrição do sinl d função, vem: min. máx. min. A função tem máximo em. Conservndo três css decimis,, que corresponde minutos e minutos, isto é, o prpente do Mnuel tingiu ltur máxim minutos e segundos pós o slto se ter inicido. O vlor dess ltur é dd por metros Assíntots verticis ;. A ret de equção é ssíntot verticl do gráfico d função. Como função é contínu em { }, o seu gráfico não tem mis ssíntots verticis. Assíntots não verticis Qundo : Propost de Resolução do Exme-Tipo 3 Págin 7

8 ( ) A ret de equção é ssíntot oblíqu do gráfico de, qundo. Qundo : ( ) A ret de equção é ssíntot oblíqu do gráfico de, qundo Utilizndo o editor de funções d clculdor, define-se n jnel de visulizção [ ] [ ]. As coordends do ponto são, do ponto são e do ponto são, com,, e. Assim: C y c B g A O d b x Portnto, [ ] Tem-se: Propost de Resolução do Exme-Tipo 3 Págin 8

9 Portnto, pr e, vem: 8.2. Tem-se: Assim:, Como o contrdomínio d função é [ ], vem e Por outro ldo, ret tngente o gráfico d função no ponto de bciss tem declive, logo. Assim: ( ) Portnto: Propost de Resolução do Exme-Tipo 3 Págin 9

10 Com s equções de e de podemos formr um sistem que permitirá determinr os vlores de, e : { { { { { { Propost de Resolução do Exme-Tipo 3 Págin 10