O binário pode ser escrito em notação vetorial como M = r F, onde r = OA = 0.1j + ( )k metros e F = 500i N. Portanto:

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1 Mecânic dos Sólidos I - TT1 - Engenhri mbientl - UFPR Dt: 5/8/13 Professor: Emílio G. F. Mercuri Nome: ntes de inicir resolução lei tentmente prov e verifique se mesm está complet. vlição é individul e sem consults. Bo sorte! Prov Finl - GBRITO (1) (,5 pontos) forç de 5 N é plicd em n mnivel d lvnc de controle que está conectd o eio rígido OB. o determinr o efeito d forç sobre o eio, em um seção trnsversl como quel em O, podemos substituir forç por um forç equivlente em O e um momento. Descrev este momento como um vetor M. Solução d Questão 1 O binário pode ser escrito em notção vetoril como M = r F, onde r = O =.1j + (.7 +.)k metros e F = 5i N. Portnto: M = (.1j +.11k) ( 5i) = 55j + 5k N.m Outr mneir de encontrr o momento é trvés d resolução pel epressão esclr, encontrndo o módulo e direção do vetor momento. O momento é ddo pel epressão M = F d, onde forç é F = 5 N e distânci té o ponto O perpendiculr à linh de ção d forç pode ser clculd por d = =.19 m. M = 5(.19) = 7.33 N.m direção de M no plno y z é dd pelo ângulo θ (ângulo entre direção do vetor e o eio z): 1.11 θ = tn.1 = 7.73

2 () (,5 pontos) Encontre s reções em n vig engstd. Determine tmbém o esforço cortnte e o momento fletor em = m. w() w = w + k 3 1 N/m N/m 8 m B Solução d Questão primeir prte d questão consiste em encontrr os efeitos eternos n vig, ou sej, s reções no engste em. Pr isso, vmos clculr qunto vle forç resultnte concentrd equivlente o crregmento distribuído. (El tem módulo igul à áre bio do digrm w e está posiciond no centróide d figur do crregmento w). Os ddos d figur permitem encontrr s constntes d equção w = w + k 3, n origem w = 1 N/m. em = 8 m w = N/m = 1 + k(8) 3 k = 1 51 = 1.95 N/m w = resultnte R do crregmento distribuído é: 8 ) R = w d = ( ) d = ( = resultnte R está loclizd no centróide d áre em considerção, = R = w d = 8 ( ) d = w d R. = N = kn ) ( = = N.m 5 = =.7938 m gor, fzendo o equilíbrio pr vig complet, nlisremos o digrm de corpo livre d vig: w() R w = V M Do somtório de forçs e momentos: Fy = : V = R = N = kn M = : M = (.7938) = N.m =.78 kn.m O sinl negtivo do momento indic que ele tem sentido contrário o considerdo n figur.

3 Pr encontrr os efeitos internos n vig, vmos considerr um seção entre e 8 m: w(ξ) dr = wdξ V ξ M V M Fy = : V wdξ V = V = V M = : M + V + ( ξ 3 )dξ = V = M = nlisndo os efeitos internos em = m: ξwdξ M = ) ( ξ( ξ 3 )dξ ( ) M = M = V =.875() 1() = 587. N M =.975() 5 5() () = N.m

4 (3) (,5 pontos) figur ilustr um bloco de mss m que está restrito movimentr-se pens n direção. mol (rigidez k) está indeformd qundo =. Determine epressão pr compressão d mol. m k Solução d Questão 3 s únics forçs cpzes de relizr trblho (forçs tivs) são forç peso mg e forç d mol k. Do Princípio dos Trblhos Virtuis, temos que: δu = mgδ kδ = = mg k

5 () (,5 pontos) Determine o momento de inérci d áre elíptic em relção o eio y e encontre o rio de girção polr em relção à origem O do sistem de coordends. y + y b = 1 b O Solução d Questão Isolndo o y d equção d elipse, temos que: y = ± b b b = ± ( ) = ± b ( ) elipse pode ser representd mtemticmente por dus funções, n figur bio prte superior (em vermelho) é dd pel função: y = + b curv inferior d elipse (em verde) é dd pel equção: y = b Escolhendo como elemento de integrção fi verticl (em zul) d figur bio, d = y d, podemos clculr áre e o momento de inérci. y b y O d d = y d = b d Devido à simetri, áre do primeiro qudrnte é igul às demis, portnto: = y d = b d Pr resolver integrl cim, podemos recorrer um substituição trigonométric do tipo = sen u. d = cos u du e = sen u = (1 sen u) = cos u = cos u = b d = b cos u du = b cos θ dθ = b cos θ dθ Derivndo Utilizndo integrção por prtes u = cos θ e dv = cos θdθ, temos que udv = uv vdu. trvés d derivção e integrção, obtemos du = sen θd θ e v = sen θ, respectivmente. Portnto: = b cos θ dθ = b sen θ cos θ sen θ( sen θd θ) = b sen θ dθ

6 Substituindo sen θ = 1 cos θ Rerrnjndo equção: cos θ dθ = ( 1 cos θ ) θ dθ = 1 dθ cos θ dθ = π cos θ dθ Portnto: gor, o cálculo do momento de inérci, I y = = b cos θ dθ = π d = b cos θ dθ = πb d Pr relizr ess integrl envolvendo rízes de epressões qudrátics, iremos fzer mesm substituição = sen u e d = cos u du. Então, d = = sen (u) du = sen u cos u du = 1 [1 cos(u)] du = 8 [ = π 8 1 sen Substituindo n epressão do momento de inérci: I y = De mneir similr, Portnto, O rio de girção sen u cos u du = ( π 1du )] = π 16 d = b π 16 = π3 b I = y d = πb3 I O = I + I y = πb ( + b ) k O = I = 1 + b [ ] 1 sen(u) du = cos(u) du = 8 [ π 1 sen sen (u) du ( )] π

7 Relções Mtemátics R = w d R = w d = d y d ȳ = I y = Īy + d d y I = y d I y = d I = I + I y k = I