Teorema de Green no Plano

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1 Instituto Superior Técnico eprtmento de Mtemátic Secção de Álgebr e Análise Prof. Gbriel Pires Teorem de Green no Plno O teorem de Green permite relcionr o integrl de linh o longo de um curv fechd com um integrl duplo n região limitd pel linh em R 2. Neste teto, iremos usr seguinte notção pr o integrl de linh de um cmpo vectoril F = (P, Q) o longo de um linh : P d + Qd Ao integrl de linh de um cmpo vectoril F sobre um cminho simples e fechdo chmremos circulção de F o longo de. 1 omínio Elementr efinição 1 Sej R 2 um berto e limitdo. iz-se que é um domínio elementr se for descrito, simultnemente, ns dus forms seguintes (c.f. [1]): ) = {(, ) R 2 : f() < < g() ; < < b} em que f, g : [, b] R são dus funções de clsse C 1. b) = {(, ) R 2 : φ() < < ψ() ; c < < d} em que φ, ψ : [c, d] R são dus funções de clsse C 1. Eemplo 1.1 Um intervlo em R 2 é um domínio elementr tl como se ilustr n figur 1. PSfrg replcements = g() = d d c = φ() = = f() = c b = ψ() = b Figur 1: Um intervlo é um domínio elementr Eemplo 1.2 Um círculo em R 2 é um domínio elementr. N figur 2 encontr-se um círculo de rio R e centrdo n origem. Pr este cso temos: f() = R 2 2 ; R < < R g() = R 2 2 ; R < < R φ() = R 2 2 ; R < < R ψ() = R 2 2 ; R < < R Eemplo 1.3 Um qurto de um coro circulr no primeiro qudrnte de R 2 não é um domínio elementr ms é união de seis domínios elementres como se ilustr n figur 3. Eemplo 1.4 Um losngo é união de qutro domínios elementres, 1, 2, 3, 4, como se pode consttr n figur 4. 1

2 = g() = φ() PSfrg replcements = ψ() R = f() Figur 2: Um círculo é um domínio elementr PSfrg replcements Figur 3: Um coro circulr é união de seis domínios elementres PSfrg replcements Figur 4: Um losngo é união de qutro domínios elementres 2

3 2 Teorem de Green Teorem 2.1 Sej R 2 um domínio elementr e su fronteir. Consideremos o cmpo vectoril F = (P, Q) : R 2 de clsse C 1. Então, ( P ) dd = P d + Qd em que linh é percorrid no sentido positivo. do que F = (P, Q) = (P, ) + (, Q) e sendo o integrl liner, supomos que é descrito n form = {(, ) R 2 : f() < < g() ; < < b}, e que F = (P, ). Assim, temos P dd = = b b ( g() f() Por outro ldo, linh é união de qutro linhs definids por e percorrids no sentido positivo. Portnto, ou sej, P d = ) P d d (P (, g()) P (, f())) d = = {(, ) : b ; = f()} 2 = {(, ) : = b ; f(b) g(b)} 3 = {(, ) : b ; = g()} 4 = {(, ) : = ; f() g()} 1 b b P (, f())d b P (, f())d P (, g())d o mesmo modo, considerndo F = (, Q) e descrito n form b P P (, g())d = dd = {(, ) R 2 : φ() < < ψ() ; c < < d}, 3

4 obtemos e, portnto, Qd = dd, ( P ) dd = P d + Qd *** Eemplo 2.1 O teorem de Green plic-se tmbém um união finit de domínios elementres. Sej união de dois domínios elementres, 1, 2, tl como, título de eemplo, se ilustr n figur 5. Sej L linh comum às fronteirs de 1 e 2, ou sej, 1 = 1 L, 2 = 2 L PSfrg replcements 2 1 L Figur 5: União de dois domínios elementres Note-se que = 1 2. Aplicndo o teorem de Green mbos os domínios, obtemos ( 1 P ) dd = P d + Qd + ( 1 P ) dd = P d + Qd 2 2 L L P d + Qd P d + Qd Note-se que o integrl de linh de um cmpo vectoril F o longo de um cminho tem o sinl contrário o do integrl de F o longo d mesm linh ms percorrid no sentido contrário. Portnto, dicionndo mbs s equções, obtemos ( P ) dd = P d + Qd É clro que este procedimento é válido pr um união finit de domínios elementres. Um união finit de domínios elementres será designd domínio regulr. Eemplo 2.2 Consideremos um cmpo fechdo F = (P, Q), ou sej, = P. Sej um linh fechd em R 2 que limit um domínio elementr. Então, pelo teorem de Green, circulção de F o longo de é nul. O mesmo se pode concluir pr um domínio regulr. 4

5 Eemplo 2.3 Sej coro circulr = {(, ) R 2 : 1 < < 4} e representd n figur 6. Sej F = (P, Q) um cmpo vectoril de clsse C PSfrg replcements Figur 6: Coro circulr A fronteir de é união d circunferênci de rio igul dois, 2, percorrid no sentido positivo, e d circunferênci de rio igul um, 1, percorrid no sentido negtivo. o eemplo 1.3, fic clro que coro circulr é um domínio regulr. Aplicndo o teorem de Green, obtemos ( P ) dd = P d + Qd + P d + Qd 2 1 Pr o cso em que o cmpo F é fechdo, obtemos P d + Qd = P d + Qd 1 2 Se s dus linhs 1 e 2 forem percorrids no sentido positivo, então P d + Qd = P d + Qd 1 2 Eemplo 2.4 Consideremos o cmpo vectoril F : R 2 R 2 e definido por F (, ) = (, ) e sej um domínio regulr cuj fronteir é linh percorrid no sentido positivo. Sendo P = 2 do teorem de Green obtemos 2dd = d + d ou sej, temos um relção entre áre de e o integrl de linh de F o longo d fronteir vol 2 () = 1 F dg 2 5

6 Sej S o conjunto limitdo por um elipse, definido por cuj fronteir é descrit pelo cminho S = {(, ) R 2 : < 1} g(t) = (2 cos t, 3 sen t) ; t 2π Então áre de S é dd por vol 2 (S) = 1 2 = 1 2 = 1 2 = 6π 2π 2π d + d ( 3 sen t, 2 cos t) ( 2 sen t, 3 cos t)dt 6dt Eemplo 2.5 Consideremos o cmpo vectoril F : R 2 \ {(, 1)} R 2 ( ) 1 F (, ) = 2 + ( 1) 2, 2 + ( 1) 2 e sej fronteir do qudrilátero com vértices nos pontos definido por (3, ), (, 3), ( 3, ), (, 3) percorrid no sentido positivo e descrit por um cminho γ : [, 1] R 2. Pr clculr o integrl de linh F dg, consideremos região limitd por e pel circunferênci C de rio igul um e centro no ponto (, 1) percorrid no sentido positivo e descrit pelo cminho g(t) = (cos t, sen t + 1) ; t 2π como se mostr n figur 7. PSfrg replcements 1 C Figur 7: Fcilmente se verific que o cmpo F é fechdo e que região considerd é um domínio regulr. Portnto, do teorem de Green obtemos, F dγ = F dg 6 C

7 Por outro ldo, 2π C ( sen t, cos t) ( sen t, cos t) = 2π e, portnto, F dγ = 2π Note-se que o cálculo directo do integrl F dγ, pel definição, seri bstnte mis complicdo. Referêncis [1] J. E. Mrsden nd A. J. Tromb. Vector Clculus. Freemn,