(x, y) dy. (x, y) dy =

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1 Seção 7 Função Gm A expressão n! = n (1 está definid pens pr vlores inteiros positivos de n. Um primeir extensão é feit dizendo que! = 1. Ms queremos estender noção de ftoril inclusive pr vlores não inteiros de n. Mis precismente, queremos definir, de mneir nturl, um função g(x stisfzendo g(n = n!. É clro que seri muito fácil definir um tl g(x rbitrrimente, só que, pr que definição tenh lgum utilidde, temos que descobrir um mneir nturl de fzer isto. Revisão de dus fórmuls do Cálculo. d b ( b ( d 1 f(x g(y dx dy = f(x dx g(x dy c c Fórmul de Leibniz: Note que d dx b F (x, y dy = b [ n ] d F (x, y i i y = dx i=1 F (x, y dy x n i=1 F x (x, y i i y, pois derivd de um som finit é som ds derivds. Pssndo o limite qundo os i y, obtém-se fórmul de Leibniz. Por exemplo, dd função de dus vriáveis F (x, y = x y, definimos um nov função, de um vriável, por f(x = F (x, y dy = É fácil comprovr que f (x = 1 e que x y dy = x F (x, y dy = x Ponto de prtid pr difinir Função Gm. 1 Observemos que e r dr = e r + = 1. dy = x. x y dy = x. Fzendo mudnç de vriável r = s t, dr = t ds, ( t > fixo, obtemos e s t ds = 1 t, pr todo t >. 3 Derivndo em relção t e utilizndo fórmul de Leibniz temos s e s t ds = 1, pr todo t >. t

2 4 Derivndo novmente em relção t, obtém-se s e s t ds = 1 t 3, pr todo t >. 5 Derivndo sucessivs vezes em relção t, encontrmos s n e s t ds = n!, pr todo t >. tn+1 6 Finlmente, fzendo t = 1, obtém-se s n e s ds = n!. ( CONCLUSÃO: Encontrmos um expressão lterntiv pr o ftoril de n. Em lugr do produto (1 de n ftores, que só fz sentido pr n inteiro positivo, o ftoril n! pode ser expresso trvés d integrl (, que fz sentido inclusive pr vlores não inteiros d vriável. Em outrs plvrs, função g(x = e s s x ds, que está definid inclusive pr vlores não inteiros de x, é tl que g(n = n!, pr todo n inteiro positivo. Er extmente isto o que estávmos procurndo. A trdição, no entnto, consgrou um definição levemente diferente dest. Definição: A Função Gm (de Euler é definid pel integrl Γ(x = e t t x 1 dt. (3 OBS: Aproveitndo o símbolo g(x introduzido provisorimente cim, temos Γ(x = g(x 1. Logo Γ(n = (n 1!, pr todo n inteiro positivo. (4 Domínio d Função Gm. A integrl (3 converge pr todo x >. Portnto temos Pr ver isto escrevemos Γ(x = Γ : (, + R. e t t x 1 dt + 1 e t t x 1 dt. A segund integrl converge qulquer que sej x, pois e t tão rápido qundo t que, qulquer eventul crescimento de t x 1 é neutrlizdo. Já n primeir integrl, pr t 1, função e t fic sob controle, < e t 1, e convergênci ou não d integrl só depende do ftor t x 1. Bst então observr que

3 ( Pr x >, temos t x 1 dt = tx x t=1 t= = 1 x < ; (b Pr x =, temos t x 1 dt = t 1 dt = ln t 1 = ; (c Pr x <, temos x 1 < 1, t x 1 dt t 1 dt =. Segue dí que integrl que define Função Gm converge pr x > e diverge pr x, isto é, o domínio d função por el definid é relmente (, +. Mis dinte o domínio d Função Gm vi ser estendido. Proposição: Demonstrção: ( 1 Γ = π Segue d definição que ( 1 Γ = e t t 1 dt. Fzendo mudnç de vriável t = r, dt = r dr, temos e t t 1 dt = e r dr. Cálculo d integrl e x dx : Até qui, pr tods (ou prticmente tods s integris definids que precismos clculr, seguimos sistemátic de primeiro encontrr um primitiv e depois vlir diferenç entre os vlores d primitiv ns dus extremiddes do intervlo de integrção. No presente cso este cminho não será seguido. Sbemos, desde o Cálculo 1, que função e x, como tod função contínu, possui um primitiv, ms que est primitiv não pode ser express em termos ds funções elementres. A lterntiv é usr um truque descoberto por Liouville. Chmmos de I = Temos I = ( ( e x dx e y dy e x dx integrl que queremos clculr. = = e x e y dx dy e (x +y dx dy. Temos ssim I express como um integrl dupl em que região de integrção é o 1 o qudrnte. Clculndo est integrl dupl em coordends polres, π I + = e r r dr dθ = π e r r dr = π + e r = π 4. 3

4 π Logo I =, isto é, e x dx = Segue dí que ( 1 Γ = π. Propriedde Fundmentl: Γ(x + 1 = x Γ(x. Demonstrção: Pel definição, Γ(x = ( 5 Exemplo. Clculr Γ ( 5 Γ π. e t t x dt. Integrndo por prtes com u = t x e dv = e t dt, Γ(x + 1 = e t t x t=+ t= +. ( 3 = Γ + 1 = 3 ( 3 Γ x t x 1 e t dt = x Γ(x. = 3 ( 1 Γ + 1 = 3 1 ( 1 Γ Observção: Segue d propriedde fundmentl que Fzendo x +, temos, então, Γ(x = Γ(x + 1 x Γ(x Γ(1 = 1 + = +, + isto é, lim Γ(x = +. x + Portnto o gráfico de Γ(x é como n figur bixo.. = 3 1 π 4

5 Extensão do domínio: Inicilmente o domnio d Função Gm é o intervlo (, +, ou sej, o conjunto dos x pr os quis integrl que define Função Gm converge. A fórmul Γ(x + 1 = x Γ(x permite-nos definir Γ(x tmbém pr x ( 1,. De fto, se x ( 1,, então x + 1 (, 1 e, portnto, Γ(x + 1 está definido. Fz sentido, então, definir Γ(x + 1 Γ(x =. x Como Γ(x > e x < pr x ( 1,, vemos que neste trecho Γ(x <, pr x ( 1,, lim Γ(x = lim Γ(x =. x x 1 + Acbmos, então, de estendr Função Gm pr um domínio mior do que el estv inicilmente definid. Agor temos como mostr figur bixo. Γ : ( 1, (, + R, Agor que já temos Γ : ( 1, (, + R, podemos dr mis um psso e definir Γ(x tmbm pr x (, 1. Ddo x (, 1, temos x + 1 ( 1,. Portnto Γ(x + 1 já está definido. Definimos, d mesm form que cim, Γ(x + 1 = Γ(x. x Levndo em cont os sinis do numerdor e denomindor, vemos que Γ(x >, pr x (, 1 e lim x 1 Γ(x = lim Γ(x = x

6 O gráfico d extensão Γ : (, 1 ( 1, (, + R está mostrdo bixo. Continundo este processo, o domínio d Função Gm pss ser R {, 1,, 3,...}. Abixo, mostrmos o gráfico de Γ(x com este domínio estendido. observe, que pr x 6, o gráfico pss tão perto do eixo dos X que, pesr d função tender infinito, o computdor não enxergou isto e desenhou como se Γ(x se nulsse em 6. 6

7 1 Obs: A função está definid pr todo x R e se nul nos pontos Γ(x, 1,, 3,..., pois neles Γ(x é infinit. Em outrs plvrs singulridde que função teri nestes pontos pode ser removid pondo o vlor d função como sendo. O gráfico dest função está mostrdo bixo. 7