1 Definição de integral (definida) de Riemann

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1 1 Definição de integrl (definid) de Riemnn Sej seguir sempre f : [, b] R limitd (com [, b] limitdo); logo existem m, M tis que m f(x) M. Definição: chmmos Prtição de [, b] um conjunto finito de pontos d form P = {x 0,..., x n : = x 0 < x 1 < x 2 <.. < x n 1 < x n = b} ; tmbém denotmos por x i = x i x i 1. Dds f e P definimos Som inferior ssocid f e P: s(f, P) = n m i x i, onde m i = inf {f(x) : x [x i 1, x i ]} ; i=1 Som superior ssocid f e P: S(f, P) = n M i x i, onde M i = sup {f(x) : x [x i 1, x i ]}. i=1 1

2 Cálculo II, 28 de Agosto de Algums proprieddes: m(b ) s(f, P) S(f, P) M(b ) se P 1 P 2 então s(f, P 1 ) s(f, P 2 ) S(f, P 2 ) S(f, P 1 ) pr quisquer P 3, P 4 vle s(f, P 3 ) S(f, P 4 ) Por consequênci, fixd f, definimos A f = {s(f, P) : P prtição qulquer de [, b]}, B f = {S(f, P) : P prtição qulquer de [, b]} : temos que mbos existem e sup(a f ) inf(b f ). Definição de integrl: Sej f : [, b] R limitd: se sup(a f ) = inf(b f ) dizemos que f é Riemnn integrável em [, b], I := sup(a f ) = inf(b f ) é integrl definid (de Riemnn) de f em [, b]: I = b f; se sup(a f ) < inf(b f ) dizemos que f não é Riemnn integrável em [, b].

3 Cálculo II, 28 de Agosto de Teorems de integrbilidde (Sej f : [, b] R limitd, m, M tis que m f(x) M ). Teorem (crcterizção d integrbilidde). f é Riemnn integrável em [, b] se e só se vle ε > 0 P : S(P) s(p) < ε. Em outrs plávrs, ε > 0 P : n (M i m i ) x i < ε. i=1 Teorem (integrbilidde ds contínus). Se f é contínu em [, b] então f é Riemnn integrável em [, b]. Teorem (integrbilidde ds contínus por prtes). Se f : [, b] R é limitd e contínu exceto em um número finito de pontos, então f é Riemnn integrável em [, b]. Teorem (integrbilidde ds monótons). Se f : [, b] R é monóton então f é Riemnn integrável em [, b].

4 Cálculo II, 28 de Agosto de Algums proprieddes d integrl se f : [, b] R é limitd e integrável, e g : [, b] R é tl que {x [, b] : f(x) g(x)} contém um número finito de pontos, então g é integrável e b f = b g. Sejm f, g : [, b] R limitds e integráveis. Então 3) αf +βg é integrável e todos α, β R 5) f é integrável e 6) fg é integrável 1) f 0 em [, b] implic b f 0. b (αf + βg) = α ( b f )+β b f b f, 4) f g em [, b] implic b f b g. 2) f = 0 em [, b] implic b f = 0. f 0 e contínu em [, b], com b ( b g ), pr f = 0, imlic f = 0 em [, b] Sej f : D f R limitd. Se [, b] D f e f é integrável em [, b] e [α, β] [, b], então f é integrável em [α, β]. Se [, b], [b, c] D f e f é integrável em [, b] e em [b, c], então f é integrável em [, c] e vle ˆ c f = f + ˆ c b f Definição: Se f é integrável em [, b], definimos ˆ b f := f e ˆ f := 0.

5 Cálculo II, 28 de Agosto de Dest mneir fórmul c f = b f + c b f vle sej qul for ordem de, b, c (desde que tudo fç sentido!).

6 Cálculo II, 28 de Agosto de Integrl e àre Sej R R 2 um região do plno definid como R = { (x, y) R 2 : x [, b], 0 y f(x) } onde f : [, b] R é limitd, integrável e f 0. Então áre d região R é dd por A R = Sej R R 2 um região do plno definid como R = { (x, y) R 2 : x [, b], f(x) y 0 } onde f : [, b] R é limitd, integrável e f 0. Então áre d região R é dd por A R = Sej R R 2 um região do plno definid como R = { (x, y) R 2 : x [, b], 0 y f(x) ou 0 y f(x) } onde f : [, b] R é limitd e integrável. Então áre d região R é dd por A R = f Sej R R 2 um região do plno definid como R = { (x, y) R 2 : x [, b], f(x) y g(x) } onde f, g : [, b] R são limitds, integráveis e f g. Então áre d região R é dd por A R = f f g f

7 Cálculo II, 28 de Agosto de Sej R R 2 um região do plno definid como R = { (x, y) R 2 : x [, b], f(x) y g(x) ou g(x) y f(x) } onde f, g : [, b] R são limitds e integráveis. Então áre d região R é dd por A R = g f

8 Cálculo II, 28 de Agosto de Teorem d médi e teorem fundmentl do clculo integrl Teorem (Teorem d médi integrl). Se f : [, b] R é limitd e integrável (sej m f(x) M em [, b]) então m b f b M se f é tmbém contínu então existe c (, b) tl que b f b = f(c) Definição Sej f : [, b] R limitd e integrável e c [, b]. chmmos Função integrl função F c : [, b] R : x Observe que pr outro ponto d [, b] vle F d (x) := x d f = c d f + F c(x) ˆ x Teorem. Se f : [, b] R é limitd e integrável, c [, b] e ento vle F c é limitd e contínu F c : [, b] R : x se f é contínu em p [, b], então F c é derivável em p e vle F c(p) = f(p). c ˆ x c f. f

9 Cálculo II, 28 de Agosto de Definição dds f, F : I R, sendo I intervlo, se F = f em I dizemos que F é primitiv de f em I. Vle: se F é primitiv de f em I então F + c tmbém, c R; se F, G são primitivs de f em I então F G = const Teorem (Teorem Fundmentl do Cálculo). Se f : [, b] R é contínu, c [, b] e F c : [, b] R : x x c f vle: F c é derivável em [, b] e F c = f em [, b], (i.e, F c é primitiv de f em [, b]). se G é um primitiv de f em [, b] então b (notção: G(b) G() = [G] b ) f = G(b) G(). Definição: Indicremos com f integrl indefinid de f: fmíli (conjunto) de tods s primitivs de f (num certo intervlo fixdo): ˆ {(ˆ x ) } f = f + k, k R. cuiddo: b x f é um número, f é um função, f é um fmíli de funções.

10 Cálculo II, 28 de Agosto de Derivção d função integrl Sej f : [, b] R contínu (logo limitd e integrável), c [, b] e F : [, b] R : x Então vle F (x) = f(x) pr todo x [, b]. Agor sej G : [, b] R : x ˆ x c ˆ c Então vle G (x) = f(x) pr todo x [, b]. Agor sej g : [α, β] [, b] derivável e G : [α, β] R : x x f. f. ˆ g(x) c Então vle G (x) = f(g(x))g (x) pr todo x [α, β]. Agor sejm g, h : [α, β] [, b] deriváveis e G : [α, β] R : x ˆ g(x) h(x) Então vle G (x) = f(g(x))g (x) f(h(x))h (x) pr todo x [α, β]. f. f.

11 Cálculo II, 28 de Agosto de Volumes e Superfícies Sej f : [, b] R contínu, com f 0, e sej R = { (x, y) R 2 : x [, b], 0 y f(x) } O Volume do sólido de rotção obtido qundo regiâo R rod o redor do eixo x é V x = πf 2 (x) dx O Volume do sólido de rotção obtido qundo regiâo R rod o redor do eixo y é (ssum 0) V y = 2πxf(x) dx Sej f : [, b] R contínu, com derivd contínu, e sej γ curv dd pelo gráfico de f O comprimento de γ é c = 1 + f (x) 2 dx A áre d superfície de rotção obtid qundoγ rod o redor do eixo x é (ssum f 0) A x = 2π 1 + f (x) 2 f(x) dx A áre d superfície de rotção obtid qundo γ rod o redor do eixo y é (ssum 0) A y = 2πx 1 + f (x) 2 dx

12 Cálculo II, 28 de Agosto de Posição, velocidde e celerção Sbemos que se s(t) descreve posição de um prtícul sobre um ret em função do tempo então v(t) := s (t) represent velocidde, (t) := v (t) = s (t) represent celerção, Isso signific que s é um primitiv de v, logo (TFC) s(t) s( ) = t v; v é um primitiv de, logo (TFC) v(t) v( ) = t ; Obtemos então s fórmuls v(t) = v( ) + s(t) = s( ) + ˆ t ˆ t (τ) dτ, v(θ) dθ = s( ) + ˆ t [ ˆ θ ] v( ) + ((τ) dτ) Podemos tmbém definir o espço percorrido entre e t como e(, t) = ˆ t v(θ) dθ. dθ.