G.W. Leibniz ( ) I. Newton ( )

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1 MAT 26 Cálculo diferencil e integrl 2 2 semestre de 25 Bchreldo em Mtemátic e Mtemátic Aplicd Docente: Prof. Dr. Pierluigi Benevieri Resumo ds uls e exercícios sugeridos - Atulizdo Segund-feir, 3 de gosto de 25 e 2. Qurt-feir, 5 de gosto de 25 Apresentção do curso. Vej-se o rquivo pdf reltivo às informções do curso n minh pgin web pluigi O primeiro conceito que iremos bordr é o de integrl definid. Se trt de um conceito que foi introduzido no momento d invenção do cálculo inifinitesiml por G. Leibniz e I. Newton nos últimos nos do sec. XVII. G.W. Leibniz (646-76) I. Newton ( ) O cálculo integrl tem como origem o problem do cálculo ds áres de figurs plns não elementres (e volumes de sólidos). A geometri euclidin resolveu o problem do cálculo ds áres pr os polígonos. O gênio de Arquimedes (287.C. 22.C.) clculou áre do subgrfico d um prábol (dito segmento de prábol; o conceito de gráfico não er conhecido; ssim como não er conhecido o conceito de função). Outros mtemáticos que derm um contribuição importnte, ntes d invenção do cálculo infinitesiml, form dois lunos de Glileo, Bonventur Cvlieri ( ) e Evngelist Torricelli (68 647), o mesmo Torricelli que inventou o brómetro de mercúrio. Neste curso presentremos construção d integrl n bordgem devid o (grndissimo) mtemático lemão Bernhrd Riemnn ( ). A construção d integrl definid precis que ntes sej dedicdo um espço (itdo) os conceitos de supremo e infimo de um conjunto de números reis. Sej E um subconjunto de R. Um número rel M é dito mjornte de E (em lguns livros cot superior) se x M pr todo x E. Um número rel m é dito menornte de E (ou cot inferior) se x m pr todo x E. Um conjunto E é dito itdo superiormente se dmite pelo menos um mjornte, enqunto é dito itdo inferiormente se dmite pelo menos um menornte. É dito itdo se é itdo superiormente e inferiormente.

2 2 Definição (Supremo e ínfimo). Se E é itdo superiormente definimos supremo de E, denotdo por sup E, o mínimo dos mjorntes; se E é itdo inferiormente definimos ínfimo de E, denotdo por inf E, o máximo dos minorntes. Se E é iitdo superiormente escrevemos sup E = +, se E é iitdo inferiormente escrevemos inf E =. Exercício. Sej E um conjunto de números reis, itdo superiormente. Prove que = sup E se e somente se () é mior ou igul de cd elemento di E; (2) pr cd ε > fixdo, existe (pelo menos) um elemento x E tl que ε < x. Observe que o item cim diz que é mjornte de E, enqunto o item 2 diz que é o mínimo dos mjorntes (de fto, se você rebix um pouco, obtém um número que não é mis um mjornte). Exercício 2. Anlogmente o exercício nterior, sej E um conjunto de números reis, itdo inferiormente. Prove que s = inf E se e somente se () s é menor ou igul de cd elemento di E; (2) pr cd ε > fixdo, existe (pelo menos) um elemento x E tl que s + ε > x. Pr entender melhor os dois exercícios cim, pense em lguns conjuntos simples como o intervlo (, ) por exemplo. O máximo de um conjunto E é o elemento mior, se existe, enqunto o mínimo é o elemento menor, se existe. Um conjunto é dito finito se possui um número finito de elementos. O fto seguinte é um propriedde clássic (e crucil) dos números reis que enuncimos sem demonstrção. Teorem 2 (Existênci do supremo e do ínfimo). Um conjunto de números reis, itdo superiormente (inferiormente) dmite supremo (ínfimo) em R. Q por exemplo não verific propriedde cim. Considere E o subconjunto de Q dos números cujo qudrdo é menor de 2. E não possui supremo. Verifique este fto como exercício. É prticmente prov do fto de que não existe nenhum rcionl cujo qudrdo sej 2. Os exercícios seguintes podem ser complicdos (lguns pelo menos). Tente dr um olhd não se ssustndo pels dificulddes encontrds. Exercícios: Determine o superemo e o ínfimo dos conjuntos seguintes e, se existem, o máximo e o mínimo. 3. (2, 3) 4. [, + ) 5. [ 5, ) (, 4] 6. (, 3] [3, 5] 7. { n }, n { + n } (, n 8. n 2 2n, ] n { } 2n 9. {x Q : x 2 < 2}. n 2 +, n N Exercício. Determine supremo, ínfimo, máximo e mínimo (se existem) do conjunto:

3 A = { n, n }, 3 Exercício 2. Sej A = A n, onde, pr cd n, A n = n 2 máximo e mínimo (se existem). ( 2n, ]. Determine supremo, ínfimo, n Exercício 3. inf A inf B. Sejm A e B dois subconjuntos de R tis que A B. Prove que sup A sup B e Exercício 4. Sejm A e B dois subconjuntos de R tis que pr x A e pr todo y B temos x y. Prove que sup A inf B. O processo pr definir integrl de um função é o seguinte. Ddo um intervlo [, b] definimos prtição de [, b] um conjunto finito P de pontos di [, b], P = {x, x,..., x n }, tl que = x < x <... < x n = b. Sej f : [, b] R um função itd. Pr cd prtição P de [, b] considermos os dois números seguintes que dependem clrmente de P : S + (f, P ) = n j= sup f(t) (x j x j ) e S (f, P ) = t [x j,x j] n j= inf f(t) (x j x j ). t [x j,x j] Os dois números cim são s vezes chmdos som superior e som inferior de f (que dependem d prtição usd). O leitor pode observr que é crucil hipótese de que f sej itd pr que os vários sup f(t) e inf f(t) d fórmul cim não sejm ±. As figurs bixo mostrm s soms superiores e inferiores reltivs dus diferentes prtições pr um dd função f. As soms superiores e inferiores são dds pels soms ds áres dos retângulos determindos. Atenção: o desenho represent um função positiv; se f(x) for negtiv, s soms superiores e inferiores serão negtivs e seri impróprio chmá-ls de áres. x x

4 4 x x Exercício 5. Verifique que, dd um qulquer prtição P, temos S + (f, P ) S (f, P ). Dds dus prtições P e P 2 de [, b] dizemos que P 2 é mis fin de P (ou que P 2 é um refinmento de P ) se todos os elementos de P estão em P 2. Sendo de fto P e P 2 dois conjuntos, P 2 é mis fin de P se P P 2. Exercício 6. Prove que, se P 2 é mis fin de P, então S + (f, P 2 ) S + (f, P ) e S (f, P 2 ) S (f, P ). () Os dois exercícios cim permitem provr que, dds dus prtições quisquer P e Q de [, b], temos S + (f, P ) S (f, Q). O fto é bstnte intuitivo se observmos um desenho (não esquecendo que o desenho não prov o resultdo; ms jud visulizr). Lembrndo o exercício 5 cim e usndo desiguldde (), podemos concluir que, denotndo por P fmíli de tods s prtições de [, b], sup S (f, P ) inf S +(f, P ). P P P P Podemos finlmente dr definição de função integrável e de integrl de um função. Definição 3. Sej f : [, b] R um função dd e itd. Sej P fmíli de tods s prtições de [, b]. Dizemos que f é integrável em [, b] se sup S (f, P ) = inf S +(f, P ). P P P P O vlor comum cim é dito integrl de f em [, b] e é denotdo pelo símbolo f(x) dx. Um crcterizção d definição cim é dd pelo teorem seguinte. Teorem 4. Um função f : [, b] R é integrável se e somente se pr todo ε > existe um prtição P de [, b] tl que S + (f, P ) S (f, P ) < ε. Qundo se fl de crcterizção de um propriedde se entende um propriedde equivlente. Por exemplo: s funções constntes em intervlos são tods s funções com derivd zero e somente quels.

5 5 Demonstrção. ) Suponhmos que f sej integrável. Então, pel definição 3, temos sup P P S (f, P ) = inf P P S + (f, P ), onde P é o conjunto de tods s prtições de [, b]. Chmmos de I integrl de f. Lembrndo os exercícios e 2 cim, sej ε > fixdo. Considere ε/2 e sej P um prtição de [, b] tl que Subtrindo, temos: S + (f, P ) < I + ε/2 e S (f, P ) > I ε/2. S + (f, P ) S (f, P ) < ε. Sendo ε cim rbitrário, o processo montdo vle pr qulquer ε (dptndo obvimente P, que depende de ε) e primeir prte do teorem é provd. 2 ) Suponhmos gor que pr todo ε > exist um prtição P de [, b] tl que S + (f, P ) S (f, P ) < ε. Por contrdição sej f não integrável. Isso signific que sup P P S (f, P ) < inf P P S + (f, P ). Considere um qulquer número positivo ε menor de inf P P S + (f, P ) sup P P S (f, P ). Pel definição de supremo e ínfimo, dd P prtição qulquer de [, b], temos S + (f, P ) inf P P S + (f, P ) e S (f, P ) sup P P S (f, P ). Portnto, pr qulquer prtição P vle S + (f, P ) S (f, P ) > ε. Este fto é em contrdição com hipótese. Portnto f se torn integrável. Exercício 7. Refç de novo demonstrção do teorem cim. Em prticulr, prove em detlhes que s desigulddes implicm S + (f, P ) < I + ε/2 e S (f, P ) > I ε/2 S + (f, P ) S (f, P ) < ε. Observção: online o leitor pode encontrr págins sobre os mtemáticos citdo cim: Exercício 8. Sej f(x) = c constnte, definid em [, b]. Prove, usndo definição, que b f(x) dx = c (b ). Exercício 9. Sej f(x) = x definid em [, ]. Tente montr um processo, usndo definição, pr clculr x dx. Anote quis são s dificulddes pr levr o processo té o finl. Constte que conclusão do processo é de fto um ite de sequênci. Este exercício mostr como plicção d definição pr o cálculo d integrl encontre dificulddes pesds té pr um função muito simples como f(x) = x. O cminho pr o cálculo explicito ds integris deverá ser necessrimente bem mis simples! 3. Sext-feir, 7 de gosto de 25 Vmos gor presentr um série de proprieddes do conceito de integrção.

6 6 Proposição 5 (Propriedde : integrl de um som). Sejm f, g : [, b] R dus funções integráveis. Então, f + g é integrável e (f + g)(x) dx = f(x) dx + g(x) dx. Demonstrção. Aplicmos o teorem 4. Sej ε > fixdo. Queremos provr que existe um prtição R de [, b] tl que S + (f + g, R) S (f + g, R) < ε. Usmos o fto de que f e g são integráveis. Em correspondênci do ε fixdo cim considermos dus prtições P e Q de [, b] tis que S + (f, P ) S (f, P ) < ε/2 e S + (g, Q) S (g, Q) < ε/2. Somndo os termos esquerdos e direitos (respectivmente) ds dus desigulddes, temos S + (f, P ) + S + (g, Q) (S (f, P ) + S (g, Q)) < ε. Sej R um prtição mis fin de P e Q (por exemplo P Q). Segue que (lembre o exercício 6) S + (f, R) + S + (g, R) (S (f, R) + S (g, R)) < ε. Considere gor um intervlo [x j, x j ] contido em [, b], determindo por R. É intuitivo observr que sup (f(t) + g(t)) sup f(t) + sup g(t) t [x j,x j] t [x j,x j] t [x j,x j] e inf (f(t) + g(t)) inf f(t) + inf g(t). t [x j,x j] t [x j,x j] t [x j,x j] Não entrmos nos detlhes: o leitor pode tentr prov deste fto. Vej-se o exercício bixo. O leitor pode tmbém verificr o fto cim (não se trt de um demonstrção, somente de um exemplo) no cso de sen x e cos x em [, π/2]. A desiguldde (2) e quel nterior permitem imeditmente de escrever S + (f + g, R) S (f + g, R)) < ε. Isto prov integrbilidde de f + g, usndo o teorem 4. Agor usmos de novo o fto de que, pr qulquer prtição R, S + (f + g, R) S + (f, R) + S + (g, R) e S (f + g, R) S (f, R) + S (g, R). Ests desigulddes implicm que inf S +(f + g, R) inf S +(f, R) + inf S +(g, R) = R P R P R P (porque f e g são por hipótese integráveis) e sup S (f + g, R) sup S (f, R) + sup S (g, R) = R P R P R P onde P é fmíli de tods s prtições de [, b]. Necessrimente temos sup S (f + g, R) = inf S +(f + g, R). R P R P f(x) dx + f(x) dx + g(x) dx g(x) dx, E o vlor comum cim, que de fto é b (f(x) + g(x)) dx, coincide com som ds integris ds dus funções, e propriedde é provd. Exercício 2. Refç de novo demonstrção d proposição cim. Em prticulr, prove em detlhes que s desigulddes S + (f + g, R) S + (f, R) + S + (g, R) e S (f + g, R) S (f, R) + S (g, R) (2)

7 7 implicm que e inf S +(f + g, R) inf S +(f, R) + inf S +(g, R) R P R P R P sup S (f + g, R) sup S (f, R) + sup S (g, R). R P R P R P As proprieddes seguintes são dds sem demonstrção. O leitor interessdo pode tentr prov, que não é difícil e é essencilmente bsed n definição de integrl. Proposição 6 (Propriedde 2: produto por um esclr). Sej f : [, b] R integrável e sej c R fixdo. Então função c f é integrável e c f(x) dx = c f(x) dx. Supo- Proposição 7 (Propriedde 3: monotoni). Sejm f, g : [, b] R dus funções integráveis. nhmos que f(x) g(x) pr todo x [, b]. Então, f(x) dx g(x) dx. Consequêncis imedits d propriedde cim são: se f(x) pr todo x, temos b f(x) dx (isso porque integrl d função nul é zero e este fto pode ser provdo usndo diretmente definição de integrl). Outr consequênci: dd f integrável, temos f(x) dx f(x) dx f(x) dx. Proposição 8 (Propriedde 4: ditividde respeito do domínio). Sej f : [, b] R integrável e sej c (, b) fixdo. Então, f(x) dx = ˆ c f(x) dx + c f(x) dx. Exercício 2. Prove lgums ds proprieddes cim presentds. Exercício 22. Sej f : [, b] R integrável. Prove que são integráveis s dus funções seguintes: g(x) = mx{f(x), } e h(x) = min{f(x), }. Um convenção que será útil é seguinte: dd um qulquer função f(x) e ddo um ponto do domínio de f, temos f(x) dx =. Este fto pode ser visto ssim: ) se construção d integrl de um função ceitsse tmbém intervlos degenerdos, reduzidos um ponto, iguldde cim seri um consequênci imedit d construção; 2) se construção d integrl de um função não ceitsse intervlos degenerdos, iguldde cim pode ser ceit como um convenção, não entrndo em contrdição com construção d integrl. Podemos observr que, com est convenção, fórmul f(x) dx = ˆ c inclue sem problems o cso em c coincide com ou b. f(x) dx + c f(x) dx. Concluimos est prte com um ceno à relção entre integrl e áre de um figur pln.

8 8 Definição 9. Sej f : [, b] R um função integrável. Suponhmos que f(x) pr todo x. Então, é possível definir áre do subgráfico de f, o conjunto {(x, y) R 2 : x [, b] e y f(x)}. A áre deste conjunto é por definição integrl b f(x) dx. Est definição briri o espço pr fzer muitos comentários; não temos o tempo qui pr bordr o tem (que, inclusive, foge do espírito do nosso curso de cálculo 2). () A mtemátic clássic (Euclides e escol greg, Arquimédes) determin áre de polígonos, d circunferênci, do segmento de prábol. Cvlieri em 64 elbor um método pr o cálculo d áres e volumes. Vej-se Ms não temos, té invenção do cálculo e seu perfeiçomento (que se complet com Cuchy- Riemnn-Peno-Weierstrss no sec. XIX) um teori gerl ds áres (e dos volumes). A definição cim fornece um ferrment poderos pr definir (e, depois, clculr) áres. É importnte destcr que iguldde d definição 9 entre áre e integrl de função é mesmo um definição e não um teorem. Se fosse um teorem, eu deveri ter um noção nterior de áre. Eu tenho sim um idei intuitiv de áre, ms que fic bem longe de ser um definição. (2) A áre de um conjunto é como geometri clássic, um vlor positivo (ou nulo em cso de figurs degenerds). Se f(x) pr todo x, o vlor b f(x) dx será áre do suprgráfico de f. (3) Clculr áres em R 2 ou volumes em R 3 fz prte de um teori, que o leitor encontrrá nos cursos vnçdos que se ocupm de teori d medid. Não precis dizer qunto sej importnte estbelecer um corret teori d medid. Não errmos muito dizendo que mtemátic nsce n noite dos tempos como tenttiv de medir o espço. A mtemátic modern tem váris teoris d medid. Prece estrnho, ms é ssim. Els têm pontos em comum: i) incluem e não recusm geometri clássic ( áre do retângulo será sempre bse ltur); ii) se A B, então µ(a) µ(b); iii) µ(a B) µ(a) + µ(b) e vle iguldde se e somente se A B =. Vmos prr qui. A teori d integrção de Riemnn (ssim como quse igul de Cuchy, de poucos nos mis velh) permite construção de um teori d medid, primeir com um gru vnçdo de completude. Ess normlmente se chm teori d medid de Peno-Jordn. Vej-se Os resultdos extrordinários d teori de Riemnn, ssim como d teori d medid de Peno-Jordn, não impedem todvi flhs e problems de difícil solução. Não podemos qui profundr. A teori d medid e d integrção de Lebesgue do começo do sec. XX resolve bo prte dos problems e se situ como um grnde psso n frente. O leitor pode ver Segund-feir, de gosto de 25 Quis são s funções integráveis? Nest ául iremos dr um respost prcil. Começmos por um exemplo de um função não integrável. A função de Dirichlet é f : [, ] R definid por

9 9 f(x) = { se x Q [, ] se x [, ] \ Q. Devido o fto de que qulquer intervlo [, b] de R contém (infinitos) pontos rcionis e irrcionis, o leitor pode provr o fto seguinte: dd um prtição P qulquer de [, b] há S + (f, P ) = e S (f, P ) =. Exercício 23. Verifique em detlhes o fto cim. Portnto sup S (f, P ) = e inf S +(f, P ) =, P P P P onde P é fmíli de tods s prtições de [, ]. Portnto f não é integrável. A função de Dirichlet é descontínu em todos os pontos do domínio. De fto, o teorem seguinte diz que continuidde de um função f grnte integrbilidde (se f é tmbém itd, como contece nos intevlos itdos e fechdos). Teorem (integrbiliddes ds funções contínus). Sej f : [, b] R contínu. Então, f é integrável. Observe que não precis dizer que f é itd, porque um função contínu em um intervlo itdo e fechdo é itd (teorem de Weierstrss de Cálculo ). Não podemos dr qui demonstrção do teorem. Ess é bsed no conceito de continuidde uniforme de um função. Conceito que será presentdo somente no curso de Análise Rel. A prtir do teorem cim o seguinte resultdo não é difícil e pode ser provdo por exercício. Corolário. Sej f : [, b] R contínu com possível exceção de um número finito de pontos e itd. Então, f é integrável. Observe que qui sim precis dizer que f é itd. A flt de continuidde não permite mis o uso do teorem de Weierstrss (por exemplo f(x) = /x se x e f() = 2 é contínu exceto um número finito de pontos; ms não é itd). Exercício 24. Prove o corolário usndo o teorem. Apesr do nosso hábito de trtr essencilmente funções elementres (polinomiis, trigonométrics, exponenciis, logrítmics e s soms, produtos e combinções entre els), quntidde de funções complicds é enorme n Análise Rel; e enorme é quntidde de funções com infinits descontinuiddes. Pr este tipo de funções não vle pen investigr integrbilidde ou não. Primeiro, porque serim necessáris noções que se situm muito lém do nosso tul lcnce. Segundo e mis importnte, porque questão é pouco interessnte. Muits funções com descontinuiddes pesds têm sim importnci em muits plicções, ms teori d integrção de Riemnn não é dequd. Ess funcion bem com continuidde. Será teori d integrção de Lebesgue que terá cpcidde de lidr melhor com s funções com infinits descontinuiddes. De fto, n integrção de Lebesgue continuidde não é um conceito importnte. Teorem 2 (integrbiliddes ds funções crescentes). Sej f : [, b] R crescente. Então, f é integrável. Demonstrção. Sendo definid em um intervlo fechdo, função crescente f é itd. Além disso, f(b) = mx f(x) e f() = min f(x). Pr provr o teorem usmos o teorem 4. Sej ε positivo fixdo. x [,b] x [,b]

10 Considermos ε = ε/(f(b) f()). Sej P = { = x, x,..., x n, x n = b} um prtição de [, b] tl que x j x j < ε pr todo j =,..., n. Então, temos n n S + (f, P ) = sup f(t) (x j x j ) = f(x j )(x j x j ) t [x j,x j] e S (f, P ) = j= n j= inf f(t) (x j x j ) = t [x j,x j] sendo f crescente. Então, temos n S + (f, P ) S (f, P ) = (f(x j ) f(x j )) (x j x j ) < j= j= j= n f(x j )(x j x j ) Observmos gor que n j= (f(x j) f(x j )) = f(b) f(). Em conclusão, e o teorem é provdo. j= S + (f, P ) S (f, P ) < ε (f(b) f()) = ε, n (f(x j ) f(x j )) ε = ε n (f(x j ) f(x j )). Exercício 25. O Teorem (com o Corolário ) e o Teorem 2 são dois resultdos independentes um do outro. Tente determinr um função definid em [, ], crescente e com infinitos pontos de descontinuidde. O exercício é intuitivo, ms não fácil. Não iremos lém dos resultdos nteriores. Pr determinr fmíli de tods s funções integráveis segundo Riemnn precisrimos d teori d integrção de Lebesgue, que não fz prte do progrm do nosso curso. Convenção. Até gor, integrl foi definid pelo clássico símbolo, quele tipo de letr s" esticd, 2 colocndo em bixo o primeiro extremo do intervlo [, b] e colocndo em cim o segundo extremo b. Será útil definir integrl f(x) dx, porque em váris plicções e conts prece necessidde de b considerr os extremos em posição tl que o mior estej em bixo e o menor em cim. A definição dest integrl com extremos n ordem invers é ˆ b f(x) dx = f(x) dx. A iguldde cim é simplesmente um definição, e não precis de explicção lógic. Por outro ldo, um possibilidde de dr um significdo à fórmul cim pode levr em cont idei de que n integrl b f(x) dx vriável x é como se vijsse de té b, enqunto n integrl f(x) dx x vij no sentido b oposto. Neste sentido podemos entender que s dus integris têm sinl oposto. Em lguns textos se encontr o termo integrl orientd. Exercício 26. Pegue proposição 8 e use convenção cim pr provr que S T f(x) dx = U f(x) dx+ T f(x) dx, qulquer sej ordem dos números reis S, T, U e posto que s três integris cim existm. S U Vmos gor finlmente introduzir o método pr o cálculo direto ds integris de muits funções. O seguinte teorem fundmentl do cálculo integrl é o instrumento principl pr resolver, qundo for possível, o problem do cálculo d integrl de um função em um intervlo. O teorem precis preinrmente d introdução do conceito de função integrl. 2 Este símbolo deve-se o fto que s é inicil de summ, som em Ltim. Est foi notção escolhid por Leibniz no seu rtigo publicdo em 684 (escrito em Ltim). j=

11 Definição 3. Ddo um intervlo qulquer, I, sej f : I R um função integrável em todos os subintervlos itdos de I. Sej c I fixdo. A função F : I R, definid por é dit função integrl. F (x) = ˆ x c f(t) dt, Exercício 27. Sej f : R R um função contínu, não necessrimente itd (pense por exemplo em x 2 ou e x ). A f é integrável em qulquer subintervlo itdo [, b] de R? Justifique respost. Observção preinr sobre os exercícios seguintes: os leitores quem já sbem que função integrl F é obtid prtir ds primitivs de f, não usem este resultdo, ms resolvm intuitivmente os exercícios, usndo somente definição de F e s proprieddes, vists cim, ds funções integráveis. Exercício 28. Considere f(x) = (x )(x + 2)(x 3) definid em tudo R. Desenhe o gráfico de f (exercício de Cálculo ). Em seguid considere F (x) = x f(t) dt. Determine o domínio de F. Esboce o gráfico de F. Em prticulr, o desenho deve esclrecer os intervlos onde F cresce ou decresce. Se possível, s regiões onde F é positiv os negtiv. Fç mesm cois nos exercícios seguintes. Exercício 29. Exercício 3. Exercício 3. G(x) = F (x) = F (x) = ˆ x ˆ x+ x ˆ x sen t t t dt dt (t + 2)e t3 dt Temos intervlos do domínio de F onde el é decrescente? Exercício 32. F (x) = ˆ 2x x 2 + cos t t 3 + Clcule x + F (x). Est ultim questão é um desfio difícil; o leitor tem que usr fortemente propriedde de monotoni d integrção, observndo velocidde de decrescimento d f(t) e velocidde de crescimento do intervlo de integrção. A justifictiv do resultdo deve ser rigoros, não somente intuitiv. Repito qui observção nterior: não devem ser usds s primitivs. Teorem 4 (d médi integrl). Dd f : [, b] R integrável, denotmos m = inf x [,b] f(x) e M = sup x [,b] f(x). Então, m (, b) dt. f(x) dx M (, b). (3) Se, em prticulr, f é contínu, existe c [, b] tl que b f(x) dx = f(c). (4) b

12 2 Demonstrção. Os números m e M podem ser vistos como funções constntes, definids em [, b]. As funções constntes são integráveis (sendo contínus; por outro, integrbilidde de um função constnte ldo pode ser provd diretmente usndo definição de integrl; vej-se o exercício 8). Aplicndo diretmente definição de integrl, o leitor pode provr que m (, b) = b m dx e M (, b) = b M dx. Pel propriedde de monotoni temos imeditmente desiguldde (3). Lembrndo o Teorem dos vlores intermediários pr s funções contínus (resultdo de Cálculo ), o número b f(x) dx/(b ) se coloc entre o ínfimo e o supremo de f. Supondo f contínu em [, b], m se torn de fto mínimo de f e M máximo. Portnto b f(x) dx/(b ) pertence à imgem de f, ou sej, existe c [, b] tl que b f(x) dx/(b ) = f(c). Assim prov é complet. 5. Qurt-feir, 2 de gosto de 25 Agor podemos enuncir e provr o principl resultdo que fornece um método pr clculr integris. Teorem 5 (Teorem fundmentl do cálculo integrl). Sejm ddos um intervlo I de R e um função contínu f : I R. Sej c I fixdo. Então, função integrl é derivável em cd x I e temos F (x) = ˆ x c f(t) dt F (x) = f(x), x I. Além disso, sej gor [, b] um subintervlo de I. Se G(x) é um outr primitiv de f (definid em I), então G(b) G() = f(x) dx. A iguldde nterior é chmd fórmul fundmentl do cálculo integrl. Demonstrção. Sej x um ponto fixdo em I. Pr provr primeir prte do teorem precismos F (x) F (x ) mostrr que x x = f(x ). Dí, pel rbitrriedde de x, segue o enuncido. Considermos portnto rzão incrementl d F. Usndo decomposição d integrl respeito do domínio, x x temos x F (x) F (x ) c = f(t) dt x x f(t) dt c x = f(t) dt. x x x x x x Observe que, pel convenção de que institue integrl qulquer sej ordem dos extremos de integrção, e usndo o exercício 26, observmos que segund iguldde cim vle qulquer sej relção de ordem entre c, x e x. Sendo f contínu podemos plicr o teorem d médi integrl e observr que existe (pelo menos) um ponto d entre x e x (d [x, x] ou d [x, x ] dependendo d ordem entre x e x) tl que x x f(t) dt = f(d). x x O ponto d de fto depende de x. Qundo x tende pr x, d tende necessrimente pr x tmbém. De novo usndo continuidde de f, temos Portnto f(d) = f(x ). x x x x F (x) F (x ) x x = f(x ).

13 3 O ite cim é o ite d rzão incrementl de F. Provndo que tl ite existe e é finito, cimos n definição de derivd conseguindo verificr que F é derivável em x e F (x ) = f(x ). Pel rbitrriedde de x, primeir prte do teorem é provd. Sej gor G um outr primitiv de f. Sbemos que dus primitivs de um mesm função definid em um intervlo (é crucil est condição) diferem por um constnte. Considermos portnto um subintervlo [, b] de I e F (x) = x f(t) dt. Pel definição de F temos F (b) = b f(t) dt. Pot outro ldo, G(x) F (x) é constnte qundo x vri. Ou sej, G(b) F (b) = G() F (). Isso implic, lembrndo que F () =, G(b) G() = F (b) = b f(t) dt. Assim, prov do teorem é complet. Exercício 33. Refç demonstrção do teorem, explicndo os detlhes. Exercício 34. Se um função f é definid em um domínio D que não sej um intervlo e possui primitivs, dus primitivs não diferem necessrimente por um constnte. Isso é equivlente firmr que existem primitivs não constntes d função nul definid em D. Prove est equivlênci e mostre com um exemplo, onde D não é um intervlo, e primitivs não constntes d função nul em D. Exercício 35. Clcule s integris seguintes: ˆ π/2 sen x dx ˆ π cos x dx ˆ ˆ 3 x dx x 2 dx 2 ˆ 4 3 3x + 5 dx ˆ 2 x dx ˆ /2 /2 ˆ dx x 2 e x dx ˆ (x + )(x + 2) dx ˆ e 2x dx ˆ x + x + 2 dx ˆ 2 ˆ dx x 2 + x 2 dx ˆ 2 x 3 dx ˆ 2π sen 2 x dx Exercício 36. Clcule s integris seguintes. Observe que s funções integrnds (ou sej, s funções que estão dentro do símbolo de integrl) não são contínus em todo o domínio. A sugestão é: ) dividir o domínio ds funções integrnds nos subintervlos onde vle continuidde; 2) em seguid, plicr o teorem fundmentl do cálculo integrl nos intervlos onde s funções são contínus; 3) usr propriedde de ditividde respeito do domínio (proposição 8). ˆ 4 ˆ 2 { cos x se x π f(x) dx, onde f(x) = x 2 se π x 4. se x < sign (x) dx, onde sign (x) = se x = + se x >. Exercício 37. Determine s áres ds porções de plno incluids entre s curvs seguintes: ) y = x, y = e x, x 2) y = x 2, y = 2x x 2 3) y = x 2, y = 2x, y = 2 x

14 4 Exercício 38. Cálcule s integris seguintes (log x é o logritmo nturl em bse e): ˆ π/2 sen x 2 + cos x dx ˆ / 2 ˆ x 3 dx x 4 log x x dx ˆ x 2 cos x 3 dx ˆ π/2 sen 2x ( + cos 2 x) dx ˆ e x + e x dx ˆ e cos(log x) x dx ˆ e log x + log 2 dx x ˆ e x tg e x dx ˆ e2 e x log x dx ˆ π/2 sen x cos x + cos 4 x dx Exercício 39. Cálcule s integris seguintes ˆ e x log x dx ˆ 2 2x rctg x dx ˆ 3 x 2 e x dx ˆ π e x cos x dx ˆ x sen x dx ˆ 2x log(x + ) dx Exercício 4. As integris seguintes precism de um oportun troc de vriável ˆ x2 dx ˆ x dx ˆ 2 + x 2 dx Exercício 4. Sejm f : [, ] R, f(x) = [ x] (prte inteir 3 ) e g : [, 3] R, g(x) = [x 2 ]. Desenhe os gráficos de f e g. Em seguid, clcule ˆ f(x) dx e ˆ 3 g(x) dx. Explique porque s dus funções são integráveis. A integrção não deve ser feit trvés de um bordgem gráfic, ligd o desenho, ms deve ser rigoros, indicndo quis proprieddes/teorems estão sendo usdos. (Ou pode ser usd definição.) Os exercícios seguintes são relciondos com os exercícios 29, 3, 3, 32. Exercício 42. Estudo d função ˆ x sen t F (x) = dt t Em prticulr, queremos determinr: o domínio de F, o sinl, derivd, em quis intervlos F é crescente ou decrescente, os pontos de máximo e mínimo reltivo. Observe, inclusive, lgums diferençs com função G(x) = ˆ x sen t t em prticulr: como pssndo de sen x o módulo se trnform reltiv função integrl. Tente dr um idei trvés do desenho do gráfico. 3 A função prte inteir de x, definid em R, [x] é o mior inteiro reltivo que não super x dt,

15 5 Exercício 43. Estudo d função F (x) = ˆ x+ x (t + 2)e t3 dt Em prticulr, estudmos o domínio, derivd de F. ( 2, + ). Exercício 44. Sej função ˆ x2 t + F (x) = x t 4 + dt Determine: o domínio de F, F (x), o sinl de F e x + F (x). Exercício 45. Sejm s funções f : R R, f(x) = { x 2 cos(/x) se x se x = Podemos provr que F é decrescente em e F (x) = ˆ x f(t) dt Determine o domínio de F, os pontos de máximo e mínimo reltivo. Tente determinr x + F (x). (Observção: tente provr, preinrmente, que integrnd f é contínu em zero e, usndo definição de derivd, que é derivável em zero). Exercício 46. Sej função F (x) = ˆ x+2 x ( + t ) t dt Determine: o domínio de F, e clcule F (x). (Dic: lembre que potênci com expoente rel, b é definid se > ). Exercício 47. Sej função ˆ x+4 F (x) = x t(t ) dt Determine (sem clculr primitiv d função integrnd): o domínio de F. Clcule F (x), o sinl de F os pontos de máximo e mínimo reltivo, os ites interessntes de F. Desenhe o gráfico de F. Exercício 48. Sej função F (x) = ˆ x e t2 (t 2 ) dt Determine (sem clculr primitiv d função integrnd): o domínio de F. Clcule F (x), os pontos de máximo e mínimo reltivo, os ites interessntes de F, os intervlos de concvidde e convexidde. Desenhe o gráfico de F. Exercício 49. Determine o domínio e o sinl d função F (x) = ˆ (x ) 3 x log(t 2 + 2) dt Exercício 5. Determine o domínio e o ite pr x + d função F (x) = ˆ (x ) 3 x t 2 + cos t t + dt

16 6 Outros exercícios sobre s funções integris. Exercício 5. Determine o domínio e tente determinr outrs informções (sinl e crescimento) sobre o comportmento ds funções seguintes: ˆ x cos t + t dt, ˆ x+ x sen t 2t dt, Exercício 52. Escrev s derivds ds funções cim. ˆ 2x x cos t t 2 + t dt. 6. Sext-feir, 4 de gosto de 25 Exercício 53. Considere s funções do exercício 36: { cos x se x π f : [, 4] R, f(x) = x 2 se π x 4 e Prove que F (x) = se x < sign (x) = se x = + se x >. ˆ x f(t) dt e G(x) = não são deriváveis. Em prticulr, determine em quis pontos. ˆ x sign (t) dt Exercício 54. Prove que F e G cim são contínus. Em gerl, sej dd um função qulquer g : I R, onde I é um intervlo. Suponhmos que g sej integrável em qulquer intervlo [, b] contido em I. Sej c I fixdo. Prove que F (x) = x g(t) dt é contínu. c Exercícios: clcule áre ds regiões plns seguintes: 55. E = {(x, y) R 2 : x 2 + 3x + 2 y x } 56. E = {(x, y) R 2 : x 2 y 3} 57. E = {(x, y) R 2 : x 2 y, x, 2 x y } 58. E = {(x, y) R 2 : x 2 y 2, x 2} Testes múltipl escolh 59. Dd função f(x) é: x + ). b) +. ˆ x2 sen 2 t f(x) = 2 t 2 + dt, c) x 2. d) π/2. e) π. f) nenhum dos nteriores.

17 7 6. Dds dus funções f e g, contínus em [, b] e tis que f(x) g(x) pr todo x, áre d região incluid entre os gráficos de f, g e entre s rets x = e x = b è ) b f(x) g(x) dx. c) b f(x) + g(x) dx. d) e) b f(x) g(x) dx. 6. Considere função seguinte: b) (f(b) g(b)) (f() g()). b f(x) g(x) dx. f) nenhum respost nterior é corret. { rctg ( x 2 ) x (, ) f(x) = (x ) sen x [, + ) x e, em seguid, F : [, 2] R, Então, temos o seguinte: ) F não pode ser definid em [, 2] porque, sendo f definid em (, + ), este intervlo deve tmbém ser o domínio de F. c) F é derivável se e somente se x (, 2] e temos F (x) = f(x) pr todo x (, 2]. e) F é derivável em [, 2] e vle F (x) = f(x) pr todo x [, 2]. F (x) = ˆ x f(x) dx. b) F não pode ser definid em [, 2] porque, se x <, o segundo extremo de integrção é menor do primeiro e isto não é dmissível. d) F é derivável em [, 2] exceto x =. f) nenhum respost nterior é corret. 62. Considere função seguinte: x = f(x) = x 2 sen x x R\{} e considere função F : [, 2] R Temos: ) F não é derivável em nenhum ponto do domínio. c) F é derivável em [, 2] e F (x) = f(x) se e somente se x [, ). e) F não é definid [, 2], somente em [, ). F (x) = ˆ x f(x) dx. b) F é derivável em [, 2] e vle F (x) = f(x) pr todo x [, 2]. d) F é derivável em [, 2] exceto x =. f) nenhum respost nterior é corret. 63. O domínio d função seguinte

18 8 é f(x) = ˆ x+2 x e t t 2 + t dt ) (, 3) (, + ). b) (, ) (, + ). c) ( 3, ). d) (, + ). e) (, ). f) nenhum dos nteriores. 64. O domínio d função seguinte é f(x) = ˆ x2 + ) (, ) (, + ). b) (, ). c) (, + ). d) [, + ). x 2 cos t t 2 2t dt e) (, + ). f) (, 2) (, ) ( 2, + ). 7. Segund-feir, 7 de gosto de 25 e 8. Qurt-feir, 9 de gosto de 25 Integrção imprópri. Ns áuls nteriores temos estuddo integrção segundo Riemnn. Nest teori, condição necessári (ms não suficiente) pr um função ser integrável é que sej itd e definid em um intervlo itdo. Vmos ver gor se e como é possível estender teori d integrção funções definids em intervlos não itdos ou funções não itds (ou funções com âmbs s crcterístics). Considermos um função f(x), cujo gráfico é representdo no desenho com domínio x. desenho f e positiv e decrescente, ms isso não é de primári importânci.) (No Considermos por exemplo s integris n f(x) dx, vrindo n em N. Pssndo de um vlor n pr n+, integrl increment do vlor positivo n+ f(x) dx que é áre do subgráfico de f(x) no intervlo n [n, n + ]. Tl incremento, I n, é positivo ms decrescente. Ou sej n f(x) dx cresce, ms cresce de vlores cd vez menores. Surge portnto dúvid: estes incrementos são suficientemente pequenos pr fzer com que o vlor n f(x) dx converg (ssintoticmente) pr um número l (qundo n + )? Ou, mesmo tendendo zero, os incrementos I n provocm um crescimento de n f(x) dx tl que seu ite, qundo n +, será +?

19 9 (Se por exemplo f fosse tl que I é igul, I 2 =,, I 3 =,, I 4 =,,... I n = n, é imedito ver que n f(x) dx iri tender, = /9.) A respost é que o resultdo depende de f. Pegndo por exemplo f(x) = /x, e pondo x, temos n /x dx = log n e portnto n n + /x dx = +. Em gerl, não precisndo mis que o extremo b n sej inteiro, temos b + /x dx = +. Neste cso dizemos que integrl imprópri de /x em [, + ) não converge. Ou podemos dizer que /x não é integrável no sentido impróprio. Vmos dr definição gerl. Definição 6. Sej f : [, + ) um função dd. Suponhmos que f sej integrável segundo Riemnn em cd intervlo [, b] (com b ). Dizemos que f é integrável no sentido impróprio em [, + ) se o ite b + f(x) dx existe e é finito. Neste cso, o ite é integrl imprópri de f em [, + ). Em símbolos: b + f(x) dx = ˆ + Tmbém podemos dizer que integrl + f(x) dx converge. f(x) dx. Exercício 65. Dê definição de função integrável no sentido impróprio no cso de funções definids em intervlos de tipo (, ]. Exemplo 7. Estudmos convergênci ds integris imprópris ˆ + x α dx, com α > e >. O cso α = foi visto cim. Ddo b >, Consequentemente b + não converge. Sej gor α. Fixdo b >, temos Pssndo o ite, x dx = [log x ]b = log b log. (log b log ) = + e integrl imprópri b + Em conclusão, integrl imprópri x α dx = α ˆ + ( b α α) = α (com α > ) converge se e somente se α >. x dx [ ] b x α = ( b α α). α ˆ + x α dx + se α < α α se α >.

20 2 Exercício 66. Estude convergênci ds integris imprópris com α > e <. ˆ x α dx, Exercício 67. Estude convergênci ds integris imprópris seguintes: ˆ + x 2 dx R; + ˆ + 2 (x + ) 2 dx. No exercício e no exemplo nteriores é fácil determinr s primitivs ds funções integrnds. Em gerl, sbemos que não é ssím. O teorem seguinte estbelece um critério de convergênci pr integrção imprópri. O leitor pode ver semelhnç deste resultdo com os teorems de confronto dos ites do curso de cálculo. Teorem 8 (critério de confronto). Sejm dds dus funções f, g : [, + ) R. Suponhmos que: Então: () f(x) g(x) pr todo x ; (2) f e g são integráveis segundo Riemnn em cd intervlo [, b]. i) se + g(x) dx converge, tmbém + f(x) dx converge; neste cso, em prticulr, temos que ˆ + f(x) dx ˆ + g(x) dx; ii) se + f(x) dx não converge, tmbém + g(x) dx não converge. Demonstrção. Sej ddo b R, b. Supondo que f e g são integráveis segundo Riemnn em [, b], sendo f(x) g(x) em [, b] (qui não serve não negtividde ds dus funções), podemos plicr propriedde de monotoni d integrl; portnto f(x) dx g(x) dx. Agor usmos o fto de que f(x) g(x) pr todo x. Considerndo s funções F e G definids em [, + ) por F (b) = f(x) dx e G(b) g(x) dx, temos F (b) G(b). Sendo, em prticulr f e g não negtivs, temos que F e G são funções crescentes. Portnto podemos plicr o teorem de cálculo que diz que um função monóton sempre possui ite. Então, existem os ites F (b) e G(b), b + b + e o primeiro ite é menor ou igul do segundo, sendo F (b) G(b) pr todo b. Tis ites podem ser números reis ou podem ser +. Ficm clrs em conclusão i) e ii). A desiguldde ds integris imprópris no cso i) segue imeditmente do teorem de cálculo cim citdo. Exercício 68. Refç demonstrção do teorem. Enuncie corretmente, inclusive, o teorem de cálculo citdo. Exercício 69. Enuncie e prove o teorem no cso em que f e g sejm não positivs. Exercício 7. Enuncie e prove o teorem no cso em que f e g sejm definids em (, ].

21 2 Exercício 7. Sej dd f : [, + ) R. Observe diferenç entre s dus condições seguintes:. f é integrável segundo Riemnn em cd [, b]; 2. f é integrável em sentido impróprio em [, + ). Dus funções como x 2 ou e x, por exemplo, verificm. ms não 2. Exercício 72. (difícil) Sej f : [, + ) R integrável em sentido impróprio em [, + ). Necessrimente deve ser x + f(x) =? Em outrs plvrs: existem funções que não verificm o ite cim, ms que são integráveis em sentido impróprio em [, + )? O resultdo seguinte é um critério que jud determinr convergênci de um integrl imprópri no cso de funções de sinl vriável. Teorem 9 (critério de convergênci bsolut). Sej dd um função f : [, + ) R. Suponhmos que: () f é integrável segundo Riemnn em cd intervlo [, b]; (2) f é integrável em sentido impróprio em [, + ). Então, f é integrável em sentido impróprio em [, + ) e vle desiguldde ˆ + ˆ + f(x) dx f(x) dx. (5) Demonstrção. O leitor observe, usndo o exercício 22, que integrbilidde de f segundo Riemnn em [, b] (ddo b R, b ) é um consequênci d integrbilidde de f segundo Riemnn em [, b]. De fto, chme f + (x) = mx{f(x), } e f (x) = mx{ f(x), }. Verifique que f = f + + f e que f = f + f. Logo, use o exercício 22 e integrbilidde d som de funções integráveis. Agor observe que f + (x) f(x) e que f (x) f(x) pr todo x. Aplique o teorem 8. Como f é integrável em sentido impróprio em [, + ), são integráveis em sentido impróprio em [, + ) tmbém f + e f e vle Observe que Como ˆ + f + (x) dx ˆ + b + f(x) dx f(x) dx = e ˆ + f + (x) dx f + (x) dx e b + f (x) dx f (x) dx. f (x) dx ˆ + f(x) dx. (6) existem e são finitos, podemos plicr propriedde que diz que o ite d som é som dos ites e concluir que b + f(x) dx existe e é finito, ou sej f é integrável em sentido impróprio em [, + ). A desiguldde 5 é consequênci ds 6 (o leitor prove em detlhes). Exercício 73. Refç demonstrção do teorem provndo em detlhes todos os pssos.

22 22 Exercício 74. Como visto em sl de ul, use o teorem cim pr provr convergênci de ˆ + cos x x 2 Exercício 75. Usndo o exercício nterior e integrção por prtes prove que converge. Exercício 76. (difícil) Prove que não converge. ˆ + ˆ + sen x x sen x x Os dois últimos exercícios mostrm que se o vlor bsoluto de um função f não é integrável em sentido impróprio, nd podemos dizer sobre integrbilidde em sentido impróprio de f. Exercício 77. Estude convergênci ds integris seguintes, determinndo, qundo possível, o vlor exto: ˆ + x 2 x 3 dx 3 dx. dx dx ˆ + ( sen x) 2 dx x 2 ˆ + 2 (cos x) 2 + e +/x dx x 2 ˆ + (dificil) 2 x log x + 3 dx ˆ + log x ( π ) dx x 2 rctg x ˆ + e x x dx ˆ + ˆ + 2 e 2x sen e x dx x(log x) 2 dx ˆ + 2 ˆ + x log x dx x ( + x 2 ) 2 dx ˆ + e x sen x dx Exercício 78. Estude convergênci d integrl seguinte: ˆ + sen x 2 dx Observção: não é possível determinr elementrmente um primitiv de sen x 2 (que é cois bem divers de sen 2 x, tenção!). Pode tocr vriável por t = x 2, fzer um psso de integrção por prtes, e, enfim, estudr o ite que define integrção imprópri. Tente!!

23 23 9. Sext-feir, 2 de gosto de 25 Ao ldo d integrção imprópri vist cim, podemos considerr funções que não são itds em intervlos itdos. A motivção geométric é mesm. Ver se é possível estender o conceito de áre (de medid, em um lingugem mis gerl) conjuntos não itdos. Que todvi se presentm de um form um pouco diferente dos csos nteriores. Observe função seguinte: b Acompnhndo o desenho, imginmos que função f sej definid em [, b), que sej contínu e que x b f(x) = +. No intervlo [, b ε], pr qulquer ε > e tl que < b ε, f é contínu e portnto itd. E tmbém integrável segundo Riemnn. O subgráfico de f é um conjunto não itdo em R 2. A áre do subgráfico de f entre e b ε e bem definid e corresponde integrl de Riemnn b ε f(x) dx. Qundo ε diminue, integrl cim cresce. Queremos sber se tende pr + ou pr um vlor finito. Podemos dr definição seguinte. Definição 2. Sej f : (, b] um função dd. Suponhmos que f sej integrável segundo Riemnn em cd intervlo [ + ε, b], onde ε > e tl que + ε < b. Dizemos que f é integrável no sentido impróprio em (, b] se o ite f(x) dx ε +ε existe e é finito. Neste cso, o ite é integrl imprópri de f em (, b]. Em símbolos: ε +ε f(x) dx = Tmbém podemos dizer que integrl b f(x) dx converge. f(x) dx. Exercício 79. Dê definição de função integrável no sentido impróprio no cso de funções definids em intervlos de tipo [, b). Exercício 8. Como observdo em sl de ul, temos um pequen diferenç entre definição cim e definição 6. A integrção em intervlos iitdos está necessrimente for d teori d integrl de Riemnn. A definição cim, por outro ldo, é sim pensd pr funções que tendem pr ± se x tende um extremo do intervlo, ms em princípio, funcion se função f for integrável segundo Riemnn em tudo o intervlo (, b]. Só que neste cso não estmos dizendo nd de novo respeito ds págins nteriores (no máximo podemos dizer que integrl vri com continuidde; vej o exercício 54). Observe gor definição cim, levndo em cont este rgumento.

24 24 Exemplo 2. Anlogmente o exemplo 7, estudmos convergênci ds integris imprópris ˆ x α dx, com α >. O estudo é nálogo. As conclusões serão oposts exceto pelo cso α =. No cso α = temos, ddo ε > ˆ ε x dx = [log x ] ε = log ε. Consequentemente ( log ε) = + e integrl imprópri ε não converge. Sej gor α. Fixdo ε >, temos Pssndo o ite, ˆ ε x α dx = α ε Em conclusão, integrl imprópri (com α > ) converge se e somente se α <. Exercício 8. α > : ˆ x dx [ ] x α = ( ε α ). ε α ( ε α ) { + se α > = α se α <. ˆ + x α dx Estude convergênci ds integris imprópris seguintes, dependendo do prámetro (x ) α dx, (b x) α dx. Os dois teorems seguintes são nálogos os teorems 8 e 9. As demonstrções são semelhntes e são deixds como exercício o leitor. Teorem 22 (critério de confronto). Sejm dds dus funções f, g : (, b] R. Suponhmos que: Então: () f(x) g(x) pr todo x; (2) f e g são integráveis segundo Riemnn em cd intervlo [ + ε, b]. i) se b g(x) dx converge, tmbém b f(x) dx converge; neste cso, em prticulr, temos que f(x) dx g(x) dx; ii) se b f(x) dx não converge, tmbém b g(x) dx não converge. Teorem 23 (critério de convergênci bsolut). Sej dd um função f : (, b] R. Suponhmos que: () f sej integrável segundo Riemnn em cd intervlo [ + ε, b]; (2) f sej integrável em sentido impróprio em (, b].

25 25 Então, f é integrável em sentido impróprio em (, b] e vle desiguldde f(x) dx f(x) dx. (7) Exercício 82. Estude convergênci ds integris seguintes, determinndo, qundo possível, o vlor exto: ˆ 2 ˆ ˆ x 2 + x 2 dx x e log( + x 2 ) dx log x dx 2 ˆ ˆ π/2 sen x x 2 e x cos x dx dx ˆ 4 2 ˆ rctg e x dx ( ) x dx x 3 ˆ ˆ x log x dx e x dx x 3/2 ˆ log x dx ˆ x x 2 4x dx. Segund-feir, 24 de gosto de 25 e. Qurt-feir, 26 de gosto de 25 Curvs em R n. Definição 24. Sej I um intervlo de R. Um função φ : I R n é chmd curv. Além disso, chmmos trjetóri o subconjunto de R n que é imgem de φ. Ddo um subconjunto T de R n tl que existe um função φ : I R n (onde I é um intervlo em R) tl que T é imgem de φ, chmmos φ prmetrizção de T. Definição de curv em R 3 e R 2. Definição de trjetóri. Prmetrizção de um trjetóri. Exemplo 25. Um ret r em R 3 é um trjetóri. Pr conhecer um ret podemos ter por exemplo 2 pontos por el ou um ponto e um vetor. No segundo cso, ddo um vetor de R 3 v = (, b, c), não nulo, e um ponto P = (x, y, z) ret que pss por P e com direção determind por v tem prmetrizção: x(t) = x + t φ : R R 3, φ(t) = y(t) = y + bt z(t) = z + ct. Exercício 83. Determine outrs prmetrizções d ret cim (por exemplo mudndo o comportmento do prámetro t, escolhendo um outro ponto no lugr de P ou um outro vetor no lugr de v.) Exercício 84. Determine um prmetrizção d ret pelos pontos (, 2 ) e (,, 3). Observção 26. Em R 3 não existe possibilidde de representr um ret por um equção crtesin. Um equção do tipo x + by + cz = d represent sempre um plno.

26 26 Exemplo 27. A circunferênci C de centro origem e rio r em R 2 é um trjetóri. Entre s infinits prmetrizções possíveis um é seguinte: { x(t) = r cos t φ : [, 2π] R 2, φ(t) = y(t) = r sen t. Exercício 85. Determine outrs prmetrizções de C. Em prticulr determine prmetrizções definids ind em [, 2π], ms cdum com crcterístic seguinte: ) o ponto inicil é (, ); b) o ponto inicil é (, ); c) o sentido é horário (escolh o ponto inicil). Exercício 86. Desenhe trjetóri d curv φ : [π/4, π/2], φ(t) = (cos 2t, sen 2t). Exercício 87. Desenhe trjetóri d curv φ : [π, 2π], φ(t) = ( sen t, cos 2t). Exercício 88. Determine um prmetrizção d trjetóri obtid como interseção do prboloide de equção z = x 2 + y 2 2 e do plno de equção y z = 3. Esboce o desenho d figur. Exercício 89. Escrev um prmetrizção d elipse x2 2 + y2 3 =. Exercício 9. Desenhe elipse x2 4 + y2 9 =. Exercício 9. Determine um prmetrizção d circunferênci com centro em (2, ) e rio 3. Escrev tmbém su equção crtesin. Exercício 92. Escrev equção crtesin d elipse que tem como focos os pontos (2, ) e ( 2, ). Escrev, em seguid, um prmetrizção del. Exercício 93. Determine um prmetrizção d prábol de equção y 2 + x =. Exercício 94. Desenhe trjetóri d curv φ : [ π/4, π/4] R 2, φ(t) = { x(t) = tg t y(t) = (tg t) 2. Exemplo 28. A hiperbóle H de equção x 2 y 2 = é um trjetóri. El é compost por dois rmos conexos é não possível ter um prmetrizção trvés de um únic curv (si for definid em um intervlo). O rmo com x pode ser prmetrizdo por { x(t) = φ : R R 2 t2 +, φ(t) = y(t) = t. Exercício 95. Verifique que prmetrizção cim é corret. Exercício 96. Recupere nos livros de geometri definição geométric de hipérbole. Prove que o conjunto que verific equção do exemplo cim é de fto um hipérbole. Exercício 97. Escrev dus prmetrizções dos dois rmos d hipérbole H de equção x2 3 + y2 5 =. Desenhe H. Os dois rmos d hipérbole do exemplo 28 podem ser prmetrizdos em coordinds chmds hiperbólics. As funções hiperbólics são cosh t = et + e t 2 e sinh t = et e t 2

27 27 As dus funções cim são definids em tudo R. São deriváveis e vle: Além disso há cosh 2 t sinh t = D(cosh t) = sen t e D(sinh t) = cosh t. Exercício 98. Verifique s dus proprieddes cim de seno e cosseno hiperbólico. Desenhe os gráficos ds dus funções. Exercício 99. Verique que os dois rmos d hipérbole x 2 y 2 = podem ser prmetrizdos por { { x(t) = cosh t x(t) = cosh t φ : R R 2, φ(t) = e ψ : R R 2, ψ(t) = y(t) = sinh t y(t) = sinh t Exercício. Prmetrize os dois rmos d hipérbole x2 4 y2 = usndo s funções hiperbólics. 6 Definição 29. Um curv φ : I R n, de componentes φ,..., φ n é dit: ) contínu se cd componente φ j é contínu; b) derivável se cd componente φ j é derivável; c) C se cd componente φ j C. Definição 3. Um curv φ : [, b] R n é dit fechd se φ() = φ(b). Exercício. Considere s ds curvs φ, ψ : R R 2, definids por φ(t) = (t, t ) e ψ(t) = (sign (t) t 2, t 2 ) (vej o exercício 36 pr definição d função sign). Verifique que ψ é derivável em todo o domínio enqunto φ não é derivável em zero. Verifique que s dus curvs têm mesm trjetóri. Exercício 2. Desenhe trjetóri d curv φ(t) = (t 2, t 3 ), definid em R. Determine função x = f(y) tl que trjetóri de φ é o gráfico de f. Observe que f não possui derivd em y =, porém φ é derivável (obvimente, enqunto s componentes são potêncis). Definição 3. Sej dd curv φ : I R n, derivável em um ponto t I. O vetor φ (t ) (que tem como coordends φ (t ) = (φ (t ), φ 2(t ),..., φ n(t ))) é chmdo vetor tngente φ em t (s vezes é chmdo vetor velocidde, usndo um lingugem mis próxim à físic). Se o vetor tngente for não nulo, podemos definir ret tngente à trjetóri de φ em φ(t ): será ret de equção r(t) = φ(t ) + φ (t ) t. Observção 32. Em um certo sentido definição de vetor tngente é nlític enqunto de ret tngente é geométric. φ (t ) P = φ(t ) = ψ(s ) ψ (s ) P As curvs φ e ψ (que supomos deriváveis) podem prmetrizr mesm trjetóri do desenho cim, por exemplo em sentidos opostos (de direit pr esquerd φ e o contrário ψ). Supondo que s do

28 28 domínio d ψ e t do domínio d φ sejm tis que φ(t ) = ψ(s ), teremos que os dois vetores tngentes têm sentido oposto (no desenho são âmbos não nulo). Pode se provr (não vmos ver gor) que os dois vetores são prlelos e portnto definem mesm ret tngente. Tl ret tngente pode ser portnto um conceito que não depende d escolh d prmetrizção e diretmente ssocid à trjetóri. Exercício 3. Escrev um prmetrizção dos gráficos ds funções seguintes: ) x 2 +, x [, 2]; b) rctg x, x [ π, π]; c) x log x, x (, e]; d) x x, x [ 2, ]. Exercício 4. Escrev definição de vetor tngente e de ret tngente (colocndo todos os detlhes). Exercício 5. Desenhe s trjetóri ds curvs seguintes (tods definids em tudo R): ) φ(t) = ( t(t ), (t )(t 2) ), b) φ(t) = ( t(t + ), (t /2)(t )(t 2) ). Exercício 6. Estude s três curvs seguintes (tods definids em tudo R): ) φ(t) = ( t, t ), b) ψ(t) = ( t 3, t 3 ), c) χ(t) = ( t 2, t 3). Dig se o vetor tngente é sempre definido, se é nulo em lguns pontos. Anlise relção entre s dus primeirs curvs: explique porque, n su opinião, do ponto de vist físico, um prticulr vetor tngente deve ser nulo. Enfim, desenhe s trjetóris. Exercício 7. Escrev equção d ret tngente às trjetóris prmetrizds seguintes nos pontos escritos o ldo: x = cos t, y = t, (, ) x = e t, y = t + t 2, (, ) x = sen t cos t, y = / sen t, (, ) x = t 2, y = t 3, (, ) x = log( + t), y = 2t t 2, (, ) x = tg t, y = cos 2t, (, ) x = rctg t, y = t 2, ( π/4, ) 2. Sext-feir, 28 de gosto de 25 Aul de Diego A. Sndovl O mteril seguinte foi preprdo, redigido por Diego e revisitdo por mim. Exercicio 8. Construir um função crescente com infinits descontinuiddes e que sej integrvel. Considermos serie geometric r n =, r <. r n= A fórmul cim deve ser entendid n bordgem seguinte: ddo r R fixdo, som finit seguinte N n= r n

29 29 depende clrmente de N e vle, pr todo N inteiro, positivo iguldde N r n = rn+, r r Não é difícil provr (não entrmos qui em detlhes) que o ite N+ N + r se r <. Neste cso o ite vle clrmente r. O símbolo cim n= rn deve ser pensdo como um ite, ou sej, N r n = r n, n= n= N + n= é finito se e somente Sej gor função definid por f(x) = ( ) ( n n 4 se x 3 i= Observe que o dominio d função é (, ), ddo que n 2 i, i= ] 2 i. + 2 i = = 2 i= 2 Além disso, os pontos de descontinuidde são todos os extremos dos intervlos cim, ou sej, os pontos d form n i= 2 pr todo n. A função é crescente, sendo i ( ) n+ ( ) ( ) n ( ) n = > Observe que o comprimento do n ésimo intervlo é 2. n ( Então, re do n ésimo retângulo é A n = 2 f(x) = 4 n ( n 2 3) = 2 n. 3) n Usndo definição de integrl de Riemnn, pode se provr que ˆ ( ) n 2 ( ) n 2 I = f(x) dx = = = = 3 = 2. 3 n= n= O leitor pode fzer cont em detlhes; se trt de um conclusão não totlmente trivil, querendo um corret plicção d definição de integrl. Exercicio 9. Cálculo de intregris usndo o teorem fundmentl do cálculo integrl. Clcule integrl (com primitiv) ˆ 2 (t 2 + t) dt. A função integrnd é um frção: f(t) = t(t + ) = t t +. A função f é integrvel en [, 2] sendo contínu. ˆ 2 Exercicio. Cálculo de áre ˆ 2 (t 2 + ) dt = t dt = ln t t + t + 2 = ln 2 3 ln 2 = ln 3.

30 3 Clcule áre d região itd por y = 2 x 2 e por { x x y = x 3 x. Pontos de interseção: x = 2 x 2 implic x = 2,, (lembrmos que, qui, temos x ) e x 3 = 2 x 2 implic x =. Logo ˆ A = = ˆ Exercicio. Função integrl Sej 2 x 2 ( x) dx + 2 x 2 + x dx + = 2x x3 3 + x2 2 ˆ ˆ 2 x 2 x 3 dx 2 x 2 x 3 dx + 2x x3 3 x4 4 = ( ) + (2 3 4 ) = = 3 2. F (x) = ˆ x e t2 (t 2 ) dt. O domínio de F é R: de fto função integrnd é contínu em tudo R; portnto é integrável em cd intervlo itdo. É imedito ver que F () =. F () >, porque F () = f(x)dx > e f(x) no intervlo (, ) Clcule F (x)

31 3 Usndo o teorem fundmentl do cálculo integrl temos F (x) = f(x) = e x2 (x 2 ). Figure. Gráfico de f Possíveis pontos de máximo e mínimo reltivo de F. Anlizndo o sinl de f, temos que x = é ponto de mínimo reltivo e x = ponto de máximo reltivo. Pontos criticos de F : x = ± e F (x) = f (x) = 2x 3 e x2. Logo F () = 2e > implic que x = é um ponto de mínimo reltivo, e F ( ) = 2e < implic que x = é um ponto de máximo reltivo. Em x = temos um ponto de inflexão, onde o gráfico mud de concvidde. Clcule x + F (x) e x F (x) Observndo o grfico de F podemos imginr que x + F (x) = + e x F (x) =. A observção do gráfico não bst. Serve nlizr o comportmento o ite d função integrnd e usr definição de integrl imprópri (o leitor pode provr em detlhes cois). Figure 2. Gráfico de F Exercício 2. Clcule x + F (x), onde F (x) = ˆ 2x x 2 + cos t t 3 + Observe-se que função integrnd não est definid em t =. dt.

32 32 Figure 3. Comprcão d função integrnd com 3 t 3 Pr x > suficientemente grnde temos 2 + cos t t t 3 Usndo propriedde d monotoni d integrção obtemos Ms 2x x ˆ 2x x 2 + cos t t 3 + dt ˆ 2x x 3 t 3 dt 3 t dt = 3 2x 3 2t = 3 2 x 2 ( 4x 2 x ) = 9 2 8x x + 2. Portnto x + F (x) =. Exercício 3. Considere f(x) = (x )(x + 2)(x 3) definid em tudo R. Desenhe o gráfico de f. Em seguid considere F (x) = x f(t) dt. Determine o domínio de F. Esboce o gráfico de F e determine os intervlos onde F cresce ou decresce. Se possível, s regiões onde F é positiv ou negtiv. O dominio é tudo R devido à contibuidde de f. A função f é positiv em [ 2. ] [3, ) e negtiv em (, 2] [, 3]. Por tnto, usndo o teorem fundmentl do clculo, obtemos que F é crescente no intervlo [ 2 ] e em [3, ) seprdmente (ms não em [ 2 ] [3, )) e decrescente em (, 2] e [, 3] seprdmente como cim (ms não em (, 2] [, 3]), Assim, em 2 e 3 são pontos de mínimo reltivo e x = de máximo reltivo. F é negtiv num intevlo I que contem ( 2, 3). É difícil determinr I.

33 33 Figure 4. Comprcão d função integrnd com 3 t 3 Exercício 4. Encontre o vlor de α tl que integrl ˆ ( ) αx 4x 2 + 3x2 x 3 dx + converg, e vlie integrl neste cso. Temos, fixdo R positivo ˆ R ( ) αx 4x 2 + 3x2 x 3 dx = + = = ˆ R ˆ R ˆ R ˆ R ( (α 2)x 4 3x 2 + αx (4x 2 + )(x 3 + ) ( (α 2)x 4 3x 2 + αx x 5 ( (α 2)x 4 3x2 x 5 (α 2) x dx 3 x 5 ˆ R ) dx ) dx + αx ) x 5 dx x 3 dx + ˆ R α x 4 dx Observe que s ultims dus integris convergem, qundo R + porque + x p dx converge pr p >. Além disso, primeir integrl diverge se α 2. Portnto, integrl converge qundo α = 2. Se α < 2 então integrl diverge pr. Se α > 2 então integrl diverge pr +.

34 34 Se α = 2 então integrl converge e seu vlor é: ˆ + ( ) ˆ αx + 4x 2 + 3x2 x x 3 dx =2 + 4x 2 + dx ( 3 = + 2 ln(4x2 + ) = + ˆ + 3x 2 x 3 + dx ) + ln ln 5 ln(x 3 + ) ( ) 3 2 ln(42 + ) ln( 3 + ) + ln ln 5 ( (4 2 ) + ) 3 /2 + ln ln 5 = ln ( = ln (4 + / 2 ) ) 4 + / 2 + ln / 3 2 ln 5 = ln 8 + ln ln 5 = ln 6 3 ln 5. 2 Exercício 5. Sobre propriedde de ditividde respeito do domínio Clcule 3π/2 h(s)ds onde π/2 { 2 h(s) = cos s π 2 s π. 2 sen s π < s 3π 2 ˆ 3π/2 π/2 ˆ π h(s)ds = cos s ds + π/2 2 = 2 2 = 5 2. ˆ 3π/2 π 2 sen s ds Exercício 6. Convergênci de integris imprópris. ˆ A primeir integrl é definid como ˆ e x + x 2 dx, e x + x 2 dx = ˆ ˆ e x x 4 dx e x ˆ + x 2 dx + e x + x 2 dx e portnto converge se e somente se convergem os dois termos segundo membro. Observese e x +x dx diverge. De fto, se >, temos 2 ˆ e x ˆ + x 2 dx x + x 2 dx = ln( + x2 ) 2 + A conclusão é obtid pssndo o ite pr +. e x +x 2 dx converge ˆ + e x ˆ + + x 2 dx + x 2 dx = π 2

35 35 Observe que e x x 4 dx converge: ˆ e x dx = x 4 + ˆ ˆ e x x 4 dx x 2 dx =rcsen (x) = π 2 + x 2 ( x 2 )( + x 2 ) ( x 2 ) x4 x 2 x 4 x 2 3. Segund-feir, 3 de gosto de 25 e 4. Qurt-feir, 2 de setembro de 25 A espirl de Arquimédes é um prticulr trjetóri express implicitmente pel equção ρ = θ, dd em coordends polres. Todos os pontos de R 2 podem ser representdos trvés de coordends polres. De fto: sej ddo P = (x, y). Se P, su distânci d origem é positiv, vle x 2 + y 2 e chmmos el de ρ ( "r" greg) pensndo no rio d circunferênci centrd n origem e que pss por P. Além disso semiret de R 2 nscente em O = (, ) e que pss por P form com o semieixo positivo ds bscisss um ângulo, que chmmos de θ. N verdde, os ângulos serim dois: quele que nós escolhemos é o ângulo do semieixo X té semiret OP em sentido ntihorário. y ρ = x2 + y 2 θ x É fácil ver que, ddo P, às coordends crtesins (x, y) são ssocids univocmente dus coordends polres e vice-vers. É igulmente fácil ver que ρ [, + ) e que será nulo se e somente se P =. Como intervlo de vrição de θ escolhemos [, 2π) (se escolhermos θ em R su determinção, ddo P, não será únic cois que, em princípio, poderi não ser um problem). Exercício 7. O leitor prove os ftos cim. Exercício 8. Determine s fórmul que colocm em correspondênci (x, y) com (ρ, θ).

36 36 Qundo P =, o rio é evidentemente nulo e o ângulo não pode ser determindo. Voltndo à espirl de Arquimédes, equção ρ = θ, onde qui considermos θ em tudo [, + ), é stisfeit pelos pontos tis que o rio coincide com o ângulo. Em prinípio, este conjunto de pontos não necessrimente é um trjetóri. Se torn tl se conseguimos encontrr um su prmetrizção. Que de fto é dd pel curv { x(t) = t cos t φ : [, + ) R 2, φ(t) = y(t) = t sen t. Exercício 9. Verifique que um ponto é imgem d curv nterior se e somente se stisfz equção polr ρ = θ. Exercício 2. Desenhe espirl de Arquimédes. Exercício 2. Escolh um ponto, diverso d origem, sobre trjetóri cim e escrev equção prmetrizd e crtesin d ret tngente à espirl por ele. Exercício 22. Considere um espirl de Arquimédes ρ = θ, onde é positivo e fixdo. Sej r um semiret pel origem O de R 2. Chme P n sequênci de pontos interceptdos d ret sobre espirl tis que sequênci dos rios ρ n reltivos sej um sequênci crescente. Prove que pr o vlor ρ n ρ n é constnte, vrindo n em N. Exercício 23. Considere trjetóri T dd em coordends polres por ρ = sen θ, onde θ [, π/2]. ) Desenhe T b) Escrev um prmetrizção de T Exercício 24. Considere trjetóri T dd em coordends polres por ρ = e θ, onde θ [, + ). Tl trjetóri se chm espirl logrítmic. Desenhe T e encontre um prmetrizção del. Como no exercício 2 escolh um ponto, diverso d origem, sobre trjetóri cim e escrev equção prmetrizd e crtesin d ret tngente à espirl por ele. Pode ser interessnte ver págin d wikipedi reltiv à espirl de Arquimédes e logrítmic e s referêncis colocds: Um outr curv interssnte é ciclóide. Geometricmente é obtid d mnéir seguinte: considere um disco D colocdo em R 2, com rio r fixdo e com o centro n posição de coordends (, r). Então, D se poi sobre o eixo X. Considere o ponto P = (, ), que coincide por enqunto com origem O. Agor imgine que D comece rolr sem trito sobre o eixo X, por exemplo no sentido ds bscisss positivs. A ciclóide é trjetóri ds posições ocupds em R 2 pelo ponto P enqunto o disco se desloc. Qundo P ssume novmente ltur zero, é fácil ver que su bsciss, ssim como bsciss do centro, é 2πr.

37 37 C C P D P D P em vermelho é ciclóide (o rco P D e o segmento P D têm o mesmo comprimento) Um prmetrizção d ciclóide é seguinte: φ : [, 2π] R 2, φ(t) = { x(t) = r(t sen t) y(t) = r( cos t) Exercício 25. Verifique que prmetrizção cim é corret (como visto por exemplo em sl de ul). A ciclóide é um trjetóri importnte porque resolve dois problems clássicos d físic, determinção d curv brquistócron e d curv tutócron. O problem d brquistócron é o seguinte: colocmos dois pontos A e B em um plno verticl, com B que está um ltur menor do que A. Sob ção d forç peso qul é curv T que une A e B tl que um ponto mteril que corre de A B o longo de T gst (sem trito) o tempo menor? E tl curv existe? Ou sej este problem tem solução? Glileo pensv que o problem tivesse solução e propôs um rco de circunferênci como trjetóri minimiznte. Johnn Bernoulli resolveu o problem em 697, descobrindo que trjetóri minimiznte é um rco de ciclóide. Um outro método foi elbordo por um jovem mtemático em 755, Joseph Louis Lgrnge, que tinh n époc 8 nos. Vej-se A ciclóide é tmbém solução do problem d curv tutócron: como sbemos, um pêndulo simples desenh um circunferênci. Podemos construir um pêndulo simples montndo um rco di circunferênci e deixndo um bol cir de um determind ltur. Desconsiderndo todos os tritos, bolinh que é deixd livre em um ponto A de ltur h chegrá o ponto B, do ldo oposto do rco, colocdo n mesm ltur h; s oscilções serão repetids infinits vezes (sem perd de energi, repetimos, no cso idel, sem frição). O tempo necessário pr ir de A B depende d posição inicil, ou sej, d ltur? A respost é sim. As oscilções não são isócrons. O mtemático e físico holndês Christin Huygens ( ) er tmbém pxondo de relógios. Ele provou que trjetóri tl que o tempo ds oscilções complets não dependi d ltur er um rco de ciclóide. Ele relizou ssim um pêndulo cicloidl e um relógio bsedo nisso.

38 38 Exercício 26. Escrev um prmetrizção d espirl de equção polr ρ = 2θ, onde θ [, + ). Exercício 27. Escrev um prmetrizção d espirl de equção polr ρ = 3θe θ, onde θ [, 4π]. Exercício 28. Desenhe s dus trjetóris cim. Exercício 29. Escrev um prmetrizção d crdióide de equção polr ρ = + cos θ, onde θ [, 2π]. Exercícios com lunos n lous pr preprr prov P. 5. Sext-feir, 4 de setembro de 25 Prov P 6. Segund-feir, 4 de setembro de 25 e 7. Qurt-feir, 6 de setembro de 25 e Definição 33 (Comprimento de um curv). Sej φ : [, b] R n um curv C. Definimos o comprimento de φ como l(φ) = φ (t) dt, onde lembrmos que norm v de um vetor v = (v,..., v n ) de R n é definid por v = v v2 n. Observção 34. Podemos ver como integrl d definição cim sej bem definid. De fto, supondo φ de clsse C, temos que s derivds ds componentes de φ, s φ j, onde j =,..., n, são contínus em um intervlo itdo [, b] (portnto itds Teorem de Weierstrss de cálculo ). Portnto função t φ (t) é contínu, itd e integrável em [, b]. Observção 35. A definição cim pode ser estendid os csos onde φ é C por prtes; os sej, os csos em que derivd não está definid em um número finito de pontos, ms continu sendo itd no resto de [, b] (perdendo continuidde de φ em lguns pontos, não temos mis grnti de que φ (t) sej itd; isto deve ser ssumido como hipótese). Um exemplo típico é φ(t) = (t, t ), t [, b], onde < e b >. A derivd de t não é definid em t =. Porém integrl l(φ) = b φ (t) dt não é fetd pel flt de definição do vetor tngente em t =, sendo um ponto isoldo, e podemos clculr o comprimento como l(φ) = φ (t) dt = ˆ φ (t) dt + φ (t) dt. Exercício 3. Considere circunferênci C centrd n origem de R 2 de rio r e s seguintes três prmetrizções de C: { x(t) = r cos t φ : [, 2π] R 2, φ(t) = y(t) = r sen t, { x(t) = r cos 2t ψ : [, π] R 2, ψ(t) = y(t) = r sen 2t,

39 39 γ : [, 4π] R 2, γ(t) = { x(t) = r cos t y(t) = r sen t. Clcule o comprimento de φ, ψ e γ. Verifque que l(φ) = l(ψ) = 2πr enqunto l(γ) = 4πr. Observção 36. Observndo definição 33, vemos que o comprimento ds curv é definido pr s curvs e não pr s trjetóris, como seri mis nturl pensr. Assim, o resultdo do exercício cim não é contrditório, embor preç estrnho. O comprimento de γ não necessrimente coincide com os de φ e ψ. Portnto, dus prmetrizções d mesm trjetóri podem ter comprimentos diferentes, porque, repetimos, o comprimento é um conceito que é ssocido um função e não um objeto geométrico (como é um trjetóri). Por outro ldo, seri mis interessnte definir o comprimento como um número, de fto, ssocido um trjetóri, que poss dr medid d trjetóri mesm. Isso é possível e será visto mis pr frente. Observção 37. Apesr d definição de comprimento ser ssocid um curv (ou sej, um função) e não um trjetóri (como seri mis nturl), rzão d definição 33 é geométric. Vmos considerr o desenho seguinte: P P 2 P3 P 4 P 5 N trjetóri T considermos, por exemplo, cinco pontos P j, j =,..., 5 e os qutro segmentos S i, i =,..., 4, pelos pontos cim. Suponhmos, pr simplificr coiss, que o rco de T entre P e P 2 sej prmetrizdo por um curv φ : [t, t 2 ] R 2 tl que x(t) = t. Ou sej, suponhmos que este rco sej gráfico de um função y(x). O comprimento do segmento S é P 2 P = (t 2 t ) 2 + (y(t 2 ) y(t )) 2. Aplicndo o teorem do vlor médio de Lgrnge à função y(t), temos que existe um vlor c entre t e t 2 tl que y(t 2 ) y(t ) = (t 2 t ) y (c). Portnto, P 2 P = (t 2 t ) 2 + ((t 2 t ) y (c)) 2 = (t 2 t ) + y (c) 2. Observe que + y (c) 2 = φ (c). Agor introduzimos o fto seguinte: é intuitivo ver que o comprimento d trjetóri (que ind não foi definido) pode ser proximdo pel som dos comprimentos dos segmentos nos quis é decompost trjetóri. A plvr "proximdo" cim é um pouco confus ou genéric; quilo que contece é o seguinte: se o número dos segmentos nos quis é dividid trjetóri ument e os comprimentos deles tendem zero, som de todos os comprimentos tende se estbilizr um vlor: este vlor é o supremo de tods s soms finits de todos os comprimentos dos segmentos nos quis é dividid trjetóri. Com um lingugem ligd "os infinitesimos", poderimos dizer que o comprimento de T é som dos infinitos comprimentos dos segmentos de comprimento infinitesimo nos quis é decompost trjetóri. No cso do S cim, se P 2 se proxim cd vez mis P, t 2 t tende zero (ou ser infinitesimo e o vlor dt), c tende t e + y (c) 2 tende + y (t ) 2 que coincide com φ (t ). O comprimento do segmento infinitesimo S é portnto φ (t ) dt. Repetindo o processo pr todos os segmentos infinitesimos, som se torn um integrl, quele d definição 33.

40 4 Não podemos todvi esconder um dificuldde em mnipulr os conceitos cim. A som infinit de vlores infinitesimos perece um cois não tão clr. E, pesr de tudo, teori dos ites que fund noss nálise optou pr einr os infinitesimos. A idei cim se torn comptível com o conceito de ite com o fto seguinte. Chmmos poligonl um trjetóri feit de segmentos cujos extremos se poim em T (como no desenho). O comprimento l(p ) de um poligonl P é um conceito fcil ser definido: é som dos comprimentos de todos os segmentos que formm poligonl. Agor chmmos P fmíli de tods poligonis de T. Se prov (não vmos fzer qui, porque difícil) que sup l(p ) = P P φ (t) dt, não esquecendo que φ deve ser um prmetrizção injetor. Est é justifictiv d fórmul d definição 33. Exercício 3. Clcule o comprimento ds curvs seguintes: (t sen t, cos t) t 2π (e t, e 2t + ) t (rccos t, log t) /2 t ( sen t t cos t, t sen t + cos t) t π/2 ( sen t t cos t, t sen t + cos t + t 2 /2) t π/2 (cos 2 t, cos t sen t) t π/2 (rcsen t, log( + t)) t ( cos 2t, cos 3 t, sen 3 t) π/2 t π/2 4 (t 2 + t, 4t 2 + 5t) t Observção 38. Como dito cim, definição 33 fl de comprimento de um curv e não de um trjetóri. Contudo, vmos ver como este segundo conceito pode ser definido. Se voltmos o exercício 3, podemos comentr que o comprimento d curv γ não prece representr um possível definição de comprimento de C, não sendo injetor e "percorrendo dus vezes" trjetóri. As prmetrizções φ e ψ são injetors, com exceção dos extremos, cois que não é importnte porque é irrelevnte n integrção. Podemos definir comprimento de um trjetóri como comprimento de um qulquer prmetrizção injetor? A respost pode ser firmtiv, posto que sejmos cpzes de provr que tods s prmetrizções injetors têm o mesmo comprimento. Este fto é provdo no próximo teorem 43. Antes disso precismos de lguns conceitos e de um lem. Definição 39 (curv regulr). Um curv φ : I R n, onde I é um intervlo, é chmd regulr se é C e o vetor tngente é sempre diferente de zero pr todo t I. A curv φ(t) = (t, t ), t R, não é regulr, não sendo derivável em t =. É todvi regulr por prtes no sentido de que o domínio pode ser decomposto em um número finito de subintervlos I,...I n nos quis φ é regulr. Em prticulr, pegmos I = (, ] e I 2 = [, + ). Assim, φ(t) = (t, t) se t I é regulr e φ(t) = (t, t) se t I 2 tmbém é regulr.

41 4 A curv φ(t) = (t 2, t 3 ), t R, é C, ms não é regulr porque φ () = (, ). Pode se provr (não entrmos em detlhes qui) que nenhum prmetrizção d trjetóri x 3 = y 2 é regulr (no ponto t que prmetriz origem). Definição 4 (curv simples). Um curv φ : I R n, onde I é um intervlo, é chmd simples se φ(t) φ(s) pr todo s, t I com únic possível exceção dos extremos de I (se pretencem I) que podem ter mesm imgem. De fto queremos clssificr s curvs injetors, pel definição cim. Porém, qundo um curv é fechd não temos como evitr que imgem dos extremos sej mesm. Est exceção não trplh s plicções e é dmitid. É imedito ver que s dus primeirs curvs do exercício 3 são simples enqunto γ não é. As curvs do exercício 5 não são simples, como é fácil observr. Definição 4 (curvs equivlentes). Dus curvs C, φ : I R n e ψ : J R n, onde I e J são intervlos, são dits equivlentes se existe um função p : I J, C, bijetor e com invers C tl que φ(t) = ψ(p(t)) t I. Lem 42. Sejm φ : I R n e ψ : J R n dus curvs regulres, simples e que têm mesm trjetóri T. Então, são equivlentes. Pr enuncir s coiss mis corretmente, precis dizer que se I = [, b], J = [c, d] e s dus curvs são fechds, precis impor condição que φ() = φ(b) = ψ(c) = ψ(d). Do contrário não temos função p bijetor. Exercício 32. O leitor verifique este fto com dus prmetrizções fechds d circunferênci que começm e cbm em pontos diferentes. Demonstrção do lem. Vmos dr demonstrção no cso prticulr em que φ e ψ são globlmente injetors. Vmos construir p como n definição 4. Ddo t I, considermos o ponto P = φ(t). Sendo T trjetóri comum às dus curvs, P se torn imgem de pelo menos um elemento s J pel função ψ. Sendo ψ injetor, tl s é n verdde único. Assim definimos p(t) = s. P = φ(t) = ψ(s) I. t φ ψ J. s Est função p se torn bem definid pel injetividde de ψ, e injetor sendo φ injetor. Como trjetóri é comum, p é sobrejetor e enfim globlmente inversível. Temos φ(t) = ψ(p(t)), pr todo t I, em prticulr iguldde vle pr s componentes ds dus curvs: φ i (t) = ψ i (p(t)) pr todo i =,..., n. Vmos gor provr que p é C. Considermos t I e denotmos s = p(t). Sendo por hipótese ψ regulr, o vetor tngente ψ (s) é não nulo. Ou sej, pelo menos um ds componentes

42 42 dele é diferente de zero. Suponhmos sem perder em generlidde que sej primeir. Supondo portnto ψ (s), pelo fto de que ψ é C e ψ é contínu, ψ (s) pr todo s em oportuno intervlo (s δ, s + δ) J (eventulemente este intervlo deve ser um pouco dptdo no cso prticulr em que s sej um extremo de J). Portnto ψ se torn estritmente crescente ou decrescente, dependendo do sinl de ψ (s) em (s δ, s + δ) e inversível. Assim podemos escrever p(t) = ψ (φ (t)) pr todo t (t σ, t + σ 2 ), onde p(t σ ) = s δ e p(t + σ 2 ) = s + δ. A consequênci é que p(t) se torn composição de dus funções C e portnto é C, no intevlo (t σ, t + σ 2 ) I. Pel rbitrriedde de t, p é C em tudo I. A propriedde de ser C d invers p é nálog, escrevendo oportunmente composição necessári, e é deixd como exercício. Exercício 33. O leitor refç de novo demonstrção cuidndo de todos os detlhes. Exercício 34. Um vez que é definid p tl que φ(t) = ψ(p(t)), porque, n demonstrção cim, não podemos trblhr fzendo diretmente inversão com φ(t) = ψ(p(t)), ms precismos trblhr com um componente φ i (t) = ψ i (p(t))? Agor podemos finlmente enuncir o teorem que permitirá dr definição de comprimento de um trjetóri. Teorem 43. Sej T um trjetóri. Sejm φ : [, b] R n e ψ : [c, d] R n dus prmetrizções regulres e simples de T. Então, l(φ) = l(ψ). Demonstrção. Pr simplificr demonstrção, suponhmos que φ e ψ sejm globlmente injetors e suponhmos φ() = ψ(c) e φ(b) = ψ(d). Est últim hipótese diz que s dus prmetrizções percorrem T "no mesmo sentido". Considermos o comprimento de ψ, l(ψ) = ˆ d c ψ (s) ds. Pelo lem nterior, φ e ψ são equivlentes e chmmos p : [, b] [c, d] tl que φ(t) = ψ(p(t)), t [, b]. Pels igulddes cim sobre os extremos, temos que p é estritmente crescente, ou sej p (t) > pr todo t [, b]. (Exercício 35. Verifique com cuiddo este fto.) Abordndo integrl indefinid cim, considermos G(s) = ψ (s) ds. Trocmos vriável, colocndo s = p(t) e tendo ds = p (t)dt. Pel regr d substituição n integrção indefinid temos ˆ ˆ ψ (s) ds = ψ (p(t)) p (t)dt, onde s dus integris devem ser igulddos pelo fto de ter s = p(t), senão fórmul cim seri sem sentido, sendo um função em um vriável e outr integrl num outr vriável. Sendo p (t) > pr todo t, há ψ (p(t)) p (t) = ψ (p(t))p (t), e portnto ˆ ˆ ψ (s) ds = ψ (p(t))p (t) dt, Agor observe que, se definimos F (t) = G(p(t)), plicndo regr d cdei pr s derivds de cálculo, temos F (t) = G (p(t))p (t) = ψ (p(t))p (t),

43 43 segund iguldde sendo de fto definição de G como primitiv de ψ (s). Sempre plicndo regr d cdei, há φ (t) = ψ (p(t))p (t), pelo simples fto de que φ(t) = ψ(p(t)) pr todo t [, b]. Juntndo s váris igulddes cim, chegmos à conclusão de que F (t) = φ (t). Aplicndo o teorem fundmentl do clculo integrl, obtemos F (b) F () = φ (t) dt e G(d) G(c) = Pel definição de F e lembrndo que p() = c e p(b) = d, temos F (b) F () = G(d) G(c), ou sej, ˆ d c φ (t) dt = Portnto, os comprimentos de φ e ψ coincidem e demonstrção é complet. ψ (s) ds. Exercício 36. Refç demonstrção provndo com tenção todos os pssos. Exercício 37. Dê prov no cso em que p() = d e p(b) = c. ˆ d c ψ (s) ds. Observção 44. Se trjetóri é fechd, s prmetrizções não podem ser globlmente injetors, ms sim simples. Nestes csos demonstrção é muito precid. Precis somente tomr cuiddo com o comportmento nos extremos. Deixmos os detlhes do ldo. Agor podemos dr definição do conceito mis intuitivo de comprimento de trjetóri. Sej T um trjetóri que possui pelo menos um prmetrizção regulr e simples. O comprimento de T é definido como o comprimento de um qulquer prmetrizção regulr e simples de φ. Se trjetóri for regulr por prtes podemos dividir el em prtes, clculr o comprimento de cd um e somr os resultdos. A mesm cois se trjetóri não for simples. A C B N trjetóri do desenho cim, podemos prmetrizr três prtes del: trjetóri fechd por A, o rco AB e o rco AC. N verdde, se um prmetrizção d trjetóri cim tem somente dois vlores do prámetro t com imgem A, um únic integrl seri suficiente, mesmo não sendo simples prmetrizção. A perd de injetividde, se dndo somente em um número finito de pontos, não lter integrção. Exercício 38. Clcule o comprimento ds trjetóris seguintes, escrits em coordends polres: ) ρ = 2( + cos θ), π θ π (crdióide);

44 44 b) ρ = θ, > fixdo, θ π/6 (espirl de Arquimedes); c) ρ = sen 5 θ, > fixdo, θ 5π/6. Exercício 39. Escrev prmetrizção de um hélice cilíndric, em um intervlo itdo, e clcule o comprimento. Exercício 4. Clcule o comprimento ds trjetóris seguintes, que são gráficos de funções: ) y = ex + e x, x 2; b) y = e x, x 2; c) y = ( 2/3 x 2/3 ) 3/2, x. Exercício 4. Clcule o comprimento ds trjetóris seguintes, expresss como gráficos de funções: y = log cos x, x π/3 y = log x, 3/4 x 4/3 y = (e x + e x )/2, x b (ctenári) y = 2 2 x, x 4 y = x, x y = x + e x, x log 2 Exercício 42. Clcule o comprimento ds trjetóris seguintes, expresss em coordends polres: ρ = sen θ ρ = θ 2 ρ = θ 3 ρ = e θ θ π θ 3/2 (espirl qudrátic) θ 4 (espirl cúbic) θ π 8. Sext-feir, 8 de setembro de 25, 9. Segund-feir, 2 de setembro de 25 e 2. Qurt-feir, 23 de setembro de 25 Introdução o estudo ds funções reis de váris vriáveis reis Vmos primeirmente resumir lguns conceitos básicos de topologi dos espços euclidino. Definição 45. Sejm ddos um ponto x = (x, x 2,..., x n ) em R n e um número r >. A bol (bert) de centro x e rio r, denotd por B(x, r), é definid como o conjunto dos pontos x R n tis que x x = (x x ) (x n x n ) 2 < r. Se trt do conjunto de todos os pontos cuj distânci de x é estritmente menor de r. Definição 46. Sej gor um conjunto A contido em R n. A é dito berto se pr todo ponto x A existe r > tl que B(x, r) A.

45 45 Exercício 43. Prove que um bol bert B(x, r) é de fto um conjunto berto. Pr provr isso, se trt de plicr definição cim. Ou sej, considere um ponto y B(x, r) qulquer. É clro que x y < r. Se gor pegr um número que sej menor de r x y, se trt de prov que bol B(y, ) está contid em B(x, r). Desenvolv este exercício com todos os detlhes. Exercício 44. Verifique que o semiplno S = {(x, y) R 2 : x > } é um berto de R 2. Exercício 45. Prove que o conjunto E = {(x, y) R 2 : y x 2 } não é berto em R 2. Pr fzer o exercício, se trt de verificr que definição de berto não é respeitd. Como est definição requer um propriedde ser verificd pr todos os pontos do conjunto, se deve encontrr pelo menos um ponto do conjunto que não verific. Ddo um conjunto E contido em R n, o complementr de E em R n é o conjunto de todos os pontos de R n que não pertencem E. O complementr pode ser denotdo por E C ou R n \ E. Neste sentido, há que E E C = e E E C = R n. Definição 47. Um subconjunto E de R n é dito fechdo se E C é berto. Exercício 46. Sejm x R n e > fixdos. Prove que D = {y R n : y x } é fechdo. Este conjunto é união d bol bert B(x, ) com su "bord" (observe que usmos o termo "bord" mesmo não sendo definido com precisão). Exercício 47. Prove que um conjunto C feito de um número finito de pontos é fechdo. Observção 48. O leitor não confund o conceito de conjunto infinito com quele de conjunto iitdo. Um conjunto finito é constituido por um número finito de pontos; enqunto um conjunto é dito itdo se pode ser incluido dentro de um bol de rio finito. Exercício 48. Prove que C = {(x, y) R 2 : x + y 2} é fechdo. Exercício 49. Prove que um circunferênci é um conjunto fechdo em R 2 Exercício 5. Prove que um ret é um conjunto fechdo em R 2 Existem conjuntos que não são bertos nem fechdos. Vej o exercício seguinte. Exercício 5. Prove que os conjuntos seguintes não são bertos nem fechdos. () {(x, y) R 2 : x + y =, e < x < } (2) {(x, y) R 2 : x >, e x 2 + y 2 < } (3) {(x, ) R 2 : x = /n, onde n N, n } Definição 49. Sej E um subconjunto de R n. Sej x R n ddo. O ponto x é dito ponto de cumulção de E se cd bol B(x, r) contém infinitos pontos de E. Em um certo sentido, um ponto é de cumulção pr um conjunto E se, usndo um lingugem um pouco proximd, "infinitos pontos de E tendem pr x". Observe x pode pertencer ou não E. Exercício 52. Determine os pontos de cumulção dos conjunto dos exercícios nteriores. Exercício 53. Determine os pontos de cumulção de R, de N, de Q. Definição 5. Sej E um subconjunto de R n. Sej x R n ddo. O ponto x é dito ponto de fronteir de E se cd bol B(x, r) contém pontos de E e pontos de E C. A fronteir de E (ou bord) é o conjunto dos pontos de fronteir de E.

46 46 Exercício 54. Determine os pontos de fornteir dos conjunto dos exercícios nteriores. Exercício 55. Encontre um conjunto de R que não tem pontos de cumulção. Exercício 56. Encontre um conjunto de R que não tem pontos de fronteir. Exercício 57. Considere o qudrdo em R 2 Q = [, ] [, ]. Determine os pontos de fronteir e de cumulção de Q. Fç o mesmo com Q privdo d digonl. Exercício 58. Prove que um subconjunto de R n é fechdo se e somente se contém todos os pontos de cumulção dele. Exercício 59. Ddo um subconjunto E de R m, prove que, se p E não é de cumulção, então é de fronteir. Exercício 6. Desenhe interseção com os plnos coordendos (x =, y = e z = ) dos plnos de equção seguinte: x + 3y 4z + 2 =, 2x 3z + y =, x = 4 Exercício 6. Escrev equção prmétric d ret obtid como interseção dos plnos seguintes: Tente desenhr s rets cim. x + y + z + 2 = e z y = 4, 2y = 3z 2x, e z x + 2y = 5. Exercício 62. Desenhe s superfícies descrits pels equções seguintes: z = x 2 + y 2 z = x 2 y 2 x 2 + y 2 + z 2 = x 2 + y 2 z 2 = x 2 + y 2 z 2 = x 2 + y 2 z 2 = Exercício 63. Determine o domínio e imgem ds funções seguintes. Dig se são itds. Desenhe o domínio e os conjuntos onde s funções são positivs e negtivs. Dig se são injetors. f(x, y) = x 2 y 3 f(x, y) = x2 y log(x + y) f(x, y) = log(xy) f(x, y, z) = log( x 2 y 2 z 2 ) f(x, y) = x 2 + 4y 4 2 f(x, y) = x 2 + 2y 2 f(x, y) = ˆ y x cos t t(t + ) dt ( ) f(x, y) = x x 2 y 2 f(x, y) = log(2 sen (x 2 + y 2 )) f(x, y) = x 2 + y 2 f(x, y) = x log( + x2 y) y f(x, y) = x + y + 2x y + 2 (*) Considere existênci d função só n teori integrl de Riemnn e desconsidere s integris imprópris. Exercício 64. Escrev lgums ds funções cim como f(x, y) = g(h(x, y)), determinndo h, função de 2 (ou 3) vriáveis e g função de um vriável.

47 47 2. Sext-feir, 25 de setembro de 25 Definição 5. Sejm D um subconjunto de R n, f : D R um função dd e x um ponto de cumulção de D. Dizemos que l R é ite de f(x) pr x que tende x, em símbolos, f(x) = l, x x se, pr todo ε >, existe δ > tl que, se x D e verific < x x < δ, então f(x) l < ε. Anlogmente dizemos que + é ite de f(x) pr x que tende x, em símbolos, f(x) = +, x x se, pr todo M R, existe δ > tl que, se x D e verific < x x < δ, então f(x) > M. A definição é prticmente mesm do cso ds funções de um vriável. Observe que, se x não for ponto de cumulção de D, não fz sentido imginr pontos de D que tendem x. Neste cso não se estud o ite. Cbe destcr que, n definição, x não necessrimente pertence D. Aquilo que interess é o comportmento de f(x) nos pontos que se proximm x e ver se eles têm um "comportmento em um certo sentido comum"; ms não interess o vlor de f em x. Vlor que pode nem ser ddo, cois que há se x D. O leitor deve lembrr por exemplo o exemplo de cálculo x sen x x A função sen x/x não é definid em zero. Um função pode ser definid no ponto x, ms ser diferente do "comportmento comum" de f(x) qundo x x. Por exemplo, podemos considerr, sempre no cso de um vriável, { x se x f : R R, f(x) = se x =. Aplicndo definição de ite temos: =. f(x) =, x que não coincide com o vlor de f(). Podemos dizer que f não é contínu em zero; ms ess é outr questão. O fto de que o vlor d função no ponto x, n definição 5, ssim como nos dois exemplos cim, não sej levdo em cont está colocdo nquel condição " < x x " d definição. Ess signific que não estmos interessdos em vlir f em x, estej este ponto no domínio ou não. Exercício 65. (feito em sl de ul) Prove, plicndo definição, que x x 2 =. Exercício 66. Dê definição de ite. Exercício 67. Prove, usndo definição de ite, que (x,y) (,) x 2 + y 2 = +. Muitos dos teorems sobre os ites de cálculo continum vlendo no cso de funções de váris vríveis. Vmos dr qui sem demonstrção somente lguns dos resultdos que poderim ser provdos.

48 48 Teorem 52 (Álgebr dos ites - forms finits). Sej E um subconjunto de R n e x um ponto de cumulção de E; sejm f, g : E R dus funções dds e sejm ddos os ites Então, x x () x x (f(x) + g(x)) = l + m (som); (2) x x (f(x) g(x)) = l m (produto); f(x) = l R e g(x) = m R. (3) x x (f(x)/g(x)) = l/m, se m (quociente). x x Não vmos nlisr os csos onde os ites cim são ± ou o cso do denomindor nulo. Os teorems do confronto dos ites de cálculo se trnsportm pr funções de váris vriáveis com um simples dptção de lingugem. Vmos dr os enuncidos seguintes sem demonstrção. O leitor pode, se quiser, dr prov. Ess é nálog os csos de cálculo. Teorem 53 (do confronto dos ites). Primeiro resultdo. Sejm E um subconjunto de R n e x um ponto de cumulução de E. Sejm f, g, h : E R funções dds. Suponhmos que f(x) g(x) h(x) pr cd x. Sejm ddos os ites Então, x x f(x) = l e h(x) = l, onde l R. x x g(x) = l. x x Segundo resultdo. Sejm E um subconjunto de R n e x um ponto de cumulução de E. Sejm f, g : E R funções dds. Suponhmos que f(x) g(x) pr cd x. Suponhmos que existm os ites Então, m l. x x f(x) = l e g(x) = m. Terceiro resultdo. Sejm E um subconjunto de R n e x um ponto de cumulução de E. Sejm f, g : E R funções dds. Suponhmos que f(x) g(x) pr cd x. Sej ddo o ite Então, Exercício 68. x x f(x) = +. x x g(x) = +. x x Prove o primeiro e o segundo resultdo. Exercício 69. Prove este terceiro resultdo. Em seguid, dê o enuncido no outro cso possível (ite igul ). Tmbém definição de função contínu é nálog o cso ds funções de um vriável. Definição 54 (função contínu). Sejm E um subconjunto de R n, f : E R um função dd e x E um ponto ddo. Dizemos que f é contínu em x se pr cd ε > existe δ > tl que f(x) f(x) < ε pr todo x B(x, δ) E. A f é dit contínu se é contínu em todos os pontos do domínio.

49 A definição de função contínu é ligd o conceito de ite, como sbemos. seguinte 49 Vej-se o exercício Exercício 7. Sej x ponto de cumulção de E (continundo ser ponto de E). prove que f é contínu em x se e somente se x x f(x) = f(x). Exercício 7. A definição de função contínu dd em termos de ites, como no exercício cim, é muito fmilir. Todvi se x pertence E, ms não é de cumulção, não podemos flr de ite. Neste cso, o leitor pode verificr que f é de fto contínu. Prove por exemplo que f : N R, definid por f(x) = x 2, é contínu em todos os pontos do domínio. O teorem seguinte é o nálogo pr este curso de um resultdo clássico ds funções de um vriável. Vmos enuncir sem demonstrção. Proposição 55 (Álgebr ds funções contínus). Sejm f : E R, g : E R dus funções contínus em um ponto x E. Então: () f + g é contínu em x; (2) f g é contínu em x; (3) f/g é contínu em x (posto que g(x) sej ). Proposição 56 (Continuidde ds funções composts). Sejm A um subconjunto de R n e f : A R um função contínu em x A. Sej φ : I R n um curv contínu cuj imgem é contid em A. Sej t I tl que φ(t) = x. Então, composição f φ é contínu em t. Um problem no cso de funções de váris vriáveis é quele de determinr qundo um função é contínu. Vmos enuncir o teorem seguinte, um pouco genérico e impreciso, ms intuitivmente clro e de grnde prticidde. Teorem 57. Tods s funções de váris vriáveis obtids como som, produto, diferenç, quociente, composição de potêncis, trigonométrics, exponenciis, logrítmics são contínus nos domínios dels. A idei é quel de utilizr s dus proposições cim junt com um outr observção: vmos pegr um função de um vriável, que supomos ser contínu. Por exemplo f(x) = e x. Sej gor g(x, y) = e x. As dus funções não são iguis sendo diferente o domínio. Podemos provr usndo definição que g é contínu usndo continuidde de f. Em outrs plvrs, se um função de váris vriáveis g(x, x 2,..., x n ) depende de fto de um vriável somente, e como função de cálculo é contínu, então é contínu como função de (x, x 2,..., x n ). Assim, pegmos por exemplo f(x, y) = e x+y. Ess pode ser escrit como f(x, y) = l(x, y) m(x, y), onde l(x, y) = e x e m(x, y) = e y. As dus funções l e m são contínus porque s correspondentes funções de um vriável são contínus. Assim f se torn função de um vriável. Exercício 72. Escolh outros exemplos de funções de dus ou três vriáveis e plique o rgumento cim pr provr que são contínus. Exercício 73. Prove o enuncido nterior: se g(x, x 2,..., x n ) depende de fto de um vriável somente, e como função de cálculo é contínu, então é contínu como função de (x, x 2,..., x n ) Em lgums ds forms indeterminds (por exemplo quse tods quels dos próximos exercícios) qundo queremos provr que o ite x x f(x) não existe (se, clrmente, est suposição for corret), um técnic pode ser seguinte: determinr um curv contínu φ(t) que pss por x é provr que o ite de f o longo dest curv não existe; ou determinr, se for possível, dus curvs ψ(t) e γ(t), que

50 5 pssm por x tis que f tem dois ites diferentes o longo ds dus curvs. Este rgumento é bsedo no resultdo seguinte Proposição 58. Sejm D um subconjunto de R n e f : D R um função dd. cumulção de D. Suponhmos que exist o ite x x f(x) = l (onde l R ou l = ± ) Sej x ponto de e que f(x) = l se l é rel. 4 Sej I intevlo de R e sej φ : I R n um curv contínu tl que φ(t) = x, pr t I oportuno. Considere o subintervlo J de I dos prámetros t tis que φ(t) D e suponhmos que t sej ponto de cumulção de J. Então, f(φ(t)) = l. t t Exercício 74. Anlise s hipóteses d proposição cim e explique porque existênci do intervlo J é importnte. Demonstrção. Vmos dr prov no cso em que l R. Os csos l = ± são nálogos e precism somente de um pequeno rejuste (que é deixdo o leitor como exercício). Chmmos g(t) = f(φ(t)), definid em J com imgem rel. Se trt de um função de cálculo. Queremos provr, plicndo definição de ite, que, pr todo ε >, existe δ >, tl que g(t) l < ε se t J e < t t < δ. Sej ε > fixdo. Pel existênci do ite x x f(x) = l, existe δ > tl que f(x) l < ε se x D e verific x x < δ. Aplicndo hipótese de continuidde de φ em t, temos que existe δ (em dependênci de δ ) tl que φ(t) x < δ se t J e t t < δ. Juntndo os dois rgumentos cim, se t J e verific < t t < δ, então g(t) l < ε. Aquilo que querimos provr. Pel rbitrriedde de ε prov é complet. Exercício 75. O leitor estude demonstrção cim, refç todos os pssos e tente entender e explicr os detlhes. Exercício 76. Clcule (se existem) os ites seguintes: rctg (x,y) (,) x 4 + y 2 (x,y) (,) x x2 + y 2 x 2 + y (x,y) (,) y x 3 + y 5 (x,y) (,) x 2 + y 4 (x,y) (,) x 2 x2 + y 2 x 2 y 2 (x,y) (,) x 2 + y 2 x 2 + y 2 (x,y) (,) x (x,y) (2,) (x,y) (,) (x,y) (,) (x,y) (,) (y ) 2 sen (πx) (x 2) + (y ) 2 Exercício 77. Dig se é contínu n origem função xy f(x, y) = x 2 + xy + y 2 se (x, y) (, ) se (x, y) = (, ). x 2 y x 4 + y 2 sen 2 (xy) x 2 + y 2 2x 2 y x 2 + y 2 4 Coloquei est correção posteriormente. O teorem é flso sem continuidde de f. O leitor pode procurr contrexemplos.

51 5 Exercício 78. Clculem, se existem, (x,y) (,) x 2 y x 4 + y 2 (x,y) (,) sen (xy) x 2 + y 2 Exercício 79. Prove que (x,y) (,) x x 2 + y 2 =. Exercício 8. Prove que não existe (x,y) (,) x 3 y 2 x y 2. Exercício 8. Prove que função seguinte não é contínu n origem. f(x, y) = { xe x/y se y se y =. 22. Segund-feir, 28 de setembro de 25 e 23. Qurt-feir, 3 de setembro de 25 Introdução o cálculo diferencil pr funções reis (ou sej, com imgem rel) de váris vriáveis reis. Diversmente dos conceitos de ites e de continuidde, pr os quis dimensão do domínio não produz diferençs substnciis, derivção é bstnte influencid pelo fto do domínio ter dimensão estritmente mior de. As noções de derivd que iremos introduzir são de derivd direcionl (que tem derivd prcil como cso prticulr) e de diferencil, conceito mis profundo e que mis reflete s proprieddes importntes d derivd de cálculo. Começmos pel definição de derivd direcionl. Definição 59 (derivd direcionl). Considermos um vetor v = (v, v 2,..., v n ) de R n e suponhmos v =. O versor v será chmdo direção. Sejm D um subconjunto de R n e f : D R n um função dd. Sej x = (x, x 2,..., x n ) D um ponto fixdo. Considermos ret r por x, n direção de v, e prmetrizção de r, φ(t) = x + tv = (x + tv,..., x n + tv n ). Suponhmos que exist δ > tl que φ(t) pertenç D pr todo t ( δ, δ). Considermos função g(t) = f(φ(t)) definid (pelo menos) em ( δ, δ). Dizemos que f possui derivd direcionl em x n direção v se g é derivável (no sentido do cálculo ) em. Dizemos, neste cso, que derivd direcionl de f em x n direção v é definid como g (). Em símbolos, f v (x) = g (). Observção 6. Observe que hipótese sobre existênci do δ n definição cim signific que queremos que todo um segmento de r que inclui x sej contido em D (sendo φ() = x). Isso serve pr definir g e poder flr em g () (definid em cálculo, sbemos, como ite d rzão incrementl).

52 52 Exercício 82. Escrev de novo definição de derivd direcionl de um função f o longo de um vetor unitário v em um ponto interior P do domínio. Tente fzer um desenho representndo o domínio de f, P, v e ret r. Exercício 83. Considere s funções x log(xy 2 ), cos(xy) + sen (x + y), xe y. Considere os vetores unitários ( 2/2, 2/2), ( /2, 3/2), (/ 5, 2/ 5) e os pontos (, 2), (3, 3), (, 4). Clcule s derivds s funções dds o longo dos vetores ddos e nos pontos ddos. Definição 6 (derivd prcil). Considermos tods s condições d definição 59. Suponhmos que v sej um ds direções principis de R n, ou sej, v = (,,...,,,..., ). Ou sej, v tem tods s coordends zero, exceto em um posição j entre e n. Podemos ver como sejm n s direções principis de R n (desconsiderndo o cso dos coeficientes, que igulmente drim versores). A j-esim direção principl é denotd tmbém por e j. Em R 3 s três direções principis são frequentemente denotds por i, j, k, (em prticulr nos livros de físic). A derivd direcionl de f em x o longo de um direção principl e j é chmd derivd prcil e é denotd pelo símbolo f (x) x j Exercício 84. Considere função xyz sen xz + ye x2y. Clcule s derivds o longo ds direções dos vetores i, j e k n origem de R 3. Exercício 85. Considere função x 2 y 2 + z 2. Sej w = (,, ). Clcule o vetor unitário v n mesm direção e sentido de w. Em seguid, clcule derivd direcionl d função o longo de v no ponto (,, ). Exercício 86. Clcule s derivds e prciis de f(x, y) = e xy, em um ponto genérico (x, y). Em seguid, escolh lgums direções e clcule s derivds direcionis o longo ds direções escolhids em um ponto genérico (x, y). Exercício 87. Determine o domínio e clcule s derivds prciis ds funções seguintes ) x log(xy 2 ), b) cos(x/y) + cos(y/x), c) sen (x + y) + xe y, d) (x + y)e x y, e) rctg (x/y) f) log(x log y), g) 2 xy 3 x y, h) e x sen y, i) xyz sen xz + ye x2z, l) x 2 y 2 + z 2. Exercício 88. Prove que função seguinte não é contínu n origem e que possui s derivds em qulquer direção n origem. ( x 2 ) 2 y f(x, y) = x 4 + y 2 se (x, y) (, ) se (x, y) = (, ). Exercício 89. Observe, grçs o exercício nterior, que em dus vriáveis é flso que se um função dmite derivd então é contínu (em cálculo é verddeiro) Exercício 9. Considere função f(x, y) = x + y. Sejm s direções w = (, ) e v = (, ). Clcule s derivds direcionis de f nos pontos (2, ) (, 3) o longos dos vetores w e v. Tods ests derivds existem? Anlise o problem.

53 53 Exercício 9. Considere função g(x, y) = x + y. Sejm s direções w = (/ 2, / 2) e v = ( / 2, / 2). Clcule s derivds direcionis de g nos pontos (2, 2) (, ) o longo dos vetores w e v. Tods ests derivds existem? Anlise o problem. Exercício 92. Prove que função seguinte (que não é contínu n origem, como visto num exercício nterior) possui s derivds em qulquer direção n origem. f(x, y) = { xe x/y se y se y =. Definição 62 (grdiente). Sejm D um subconjunto de R n e f : D R n um função dd. Sej x = (x, x 2,..., x n ) D um ponto fixdo e suponhmos que existm s derivds prciis f (x),..., x f (x) de f em x. Então, definimos grdiente de f em x o vetor x n grdf(x) = f(x) = ( f (x),..., f ) (x). x x n Exercício 93. Escrev o grdiente de lgums ds funções dos exercícios nteriores em lguns pontos do domínio dels. 24. Sext-feir, 2 de outubro de 25 Aul de Diego A. Sndovl O mteril seguinte foi preprdo, redigido por Diego e revisitdo por mim. Exercicio 94. Considere à equção 4x 2 y 2 z 2 + 8x + 6y 4z + 7 =. ) Desenhe superfície descrit pel equção cim. A operção seguinte vis destcr presenç de qudrdos de binômios dentro d equção: 4(x 2 + 2x + ) (y 2 6y + 9) (z 2 + 4z + 4) = = 6 4(x + ) 2 + (y 3) 2 + (z + 2) 2 =6 (x + )2 (y 3)2 (z + 2)2 + + = Observemos que pr qulquer vlor de x = temos un circunferênci centrd no ponto (3, 2) no plno x = prlelo o plno yz. Se fixmos vlores pr y ou z nós temos hipérboles. Ou sej, interseção d superfície com um plno y = b ou z = c é um hipérbole. A superfície em questão é chmd hiperbolóide hiperbólico. Exercicio 95. (Comprimento de curvs) Clcule o comprimento d crdióide de equção polr ρ = + cos θ, onde θ [, 2π].

54 54 Consideremos prmetrizção γ(θ) = (( + cos θ) cos θ, ( + cos θ) sen θ) γ (θ) = ( 2 sen θ cos θ sen θ, sen 2 θ + cos 2 θ + cos θ ) = ( (2 cos θ + ) sen θ, + ( + 2 cos θ) cos θ). L(γ) = = = ˆ 2π ˆ 2π ˆ 2π ( + 2 cos θ)2 + 2( + 2 cos θ) cos θ dθ cos θ + 4 cos2 θ 2 cos θ 4 cos 2 θ dθ 2 + cos θ dθ Usndo identidde cos(2θ) + = 2 cos 2 θ, obtemos L(γ) = 2 =2 ˆ 2π ˆ 2π + cos θ dθ cos( θ /2) dθ [ˆ π =2 cos( θ /2) dθ + [ˆ π =2 cos( θ /2) dθ + [ˆ π =2 cos( θ /2) dθ + =4 ˆ π =8 sen ( θ 2 ) π =8. cos( θ /2) dθ ˆ 2π π ˆ π ˆ π ] cos( θ /2) dθ ] cos( θ /2 + π) dθ ] cos( θ /2) dθ

55 55 Observção: Dd um curv polr d form ρ(θ) (onde ρ é um função de θ) com α θ β, um prmetrizção d curv é dd por ( γ(θ) = (ρ(θ) cos θ, ρ(θ) sen θ) θ [α, β]. ) Logo γ (θ) = ρ (θ) cos θ ρ(θ) sen θ, ρ (θ) sen θ + ρ(θ) cos θ. Assim γ (θ) = [ρ(θ)] 2 + [ρ (θ)] 2 Portnto, o comprimento d curv é L = ˆ β α [ρ(θ)] 2 + [ρ (θ)] 2 dθ. Exercicio 96. Clculr o comprimento d curv polr (espirl de Arquimedes) ρ = kθ, k >, pr θ 2π. Clculmos o comprimento usndo formul cim. L = =k ˆ 2π ˆ 2π k2 θ 2 + k 2 dθ + θ2 dθ Vmos gor usr troc de vriável pr integrção indefinid, / cos φ = θ, obtendo ˆ =k sec ϕ sec 2 ϕ dϕ = k [sec ϕ tn ϕ + ln sec ϕ + tn ϕ ] 2 Voltndo à integrl definid, temos k [ 2 θ + θ 2 + ln θ + + θ 2 =πk + 4π 2 + k ln ] 2π 2π + + 4π 2. Exercício 97. Clcule o comprimento d curv γ(t) = (e t, e t, 2t) entre os pontos (,, ) e (e 2, e 2, 2 2). γ (t) = (e t, e t, 2), então γ (t) 2 = e 2t + e 2t + 2 = 4 cosh 2 (t). Lembremos que cosh(t) = et +e t L(γ(t)) = ˆ 2 2 cosh(t) dt =2 sinh(t) 2 =2 sinh(2) 2

56 56 O vlor cim pode ser proximdo por Exercicio 98. (Topologi) Sejm A, B dois subconjuntos de R 2. Prove que, se A, B são bertos, então A B e A B tmbém serão bertos. Se temos um fmíli {A n } de subconjuntos de bertos de R 2, então n= A n e n= A n serão bertos? Sej x A B. Clrmente, x A ou x B. Se x A, sendo A berto, então existe r > tl que B( x, r ) A A B. De mneir similr, se x B, existe r 2 > tl que B( x, r 2 ) B A B. Portnto A B é berto. Sej x A B. Há que x A e x B. Então existem r, r 2 > tis que B( x, r ) A e B( x, r 2 ) B. Sej, logo B( x, r) A B. Por tnto A B é berto. De mneir semelhnte pr união de um fmíli é berto. Más n interseção só é certo se fmíli é finit. Por exemplo, I n = ( n, n ) é berto qulquer sej n, ms n=i n = {} é fechdo. Exercicio 99. Determine se os seguintes conjuntos são bertos, fechdos e os pontos de cumulção. A = {(x, y) : x e y inteiros}. A é fechdo, não é berto. A =, A = A onde A denot o conjunto dos pontos de cumulção de A e A fronteir. B = {(x, y) : x e y rcionis}. B não é fechdo, não é berto. B = R 2, B = R 2. (feito em sl de ul nteriormente) C = { (, n ) : n nturl}. C não é fechdo, não é berto. C = {(, )}, C = (, ). D = {(x, y) : x + y < }. D é berto por ser união de três conjuntos bertos, não é fechdo. D = D D onde D = {(x, y) : x + y = }. E = { (x, y) : y = sen ( x)}. E não é berto, nem fechdo. E = E ( [, ]). (Use o teorem 2 do vlor intermédio) e considere os intervlos I n = [ (2n+3)π, 2 (2n+)π ] com n N. Exercicio 2. Clcule os seguintes ites.. (x,y) (, 2) 2x + y + xy + 2 x 2 + y 2 2x + 4y + 5 Se y = 2: Se x = : (x,y) (, 2) (x,y) (, 2) 2x + y + xy + 2 x 2 + y 2 2x + 4y + 5 = y 2 x 2 2y + = y 2 (x ) = 2x + y + xy + 2 x 2 + y 2 2x + 4y + 5 = y ) 4 + 2y y 2 + 4y + 4 2(y + 2) = y 2 (y + 2) 2 2 = y 2 y + 2 Como o ite 2 y 2 + y+2 = + e y 2 2 y+2 =, então o ite cim não existe.

57 ( b. (x,y) (,) (x + y) 2 cos Observe-se ) x 2 +y 2 ( ) cos x 2 + y 2 ( (x + y) 2 (x + y) 2 cos x 2 + y 2 ) (x + y) 2 57 Como ±(x + y) 2 qundo (x, y) (, ), então ( ) (x + (x,y) (,) y)2 cos x 2 + y 2 =. Exercicio 2. Considere o cmpo esclr ( ) (x + y) 2 cos x f(x, y) = 2 +y (x, y) (, ) 2 (x, y) = (, ) () Determine continuidde de f em (, ). Pel cont nterior temos que f è continu em (, ). (b) Determine s derivds prciis de f em (, ). Usndo definição f f(h, ) f(, ) (, ) = x h h ( h 2 cos ) h = 2 h = h h cos =. h ( h 2 ) f f(, h) f(, ) (, ) = y h h ( h 2 cos ) h = 2 h = h h cos =. h ( h 2 Existem s derivds prciis. (d) Determine se existem s derivds direcionis em (, ). )

58 58 Sej um vetor diretor unitário v = (, b) (, ) f f(t, tb) f(, ) (, ) = v t t ( t2 ( + b)2 cos = t t ( ) = t cos t t 2 = Exemplo 22. Considere o cmpo esclr t 2 ( 2 +b 2 ) sen (x 2 +y 2 ) (x, y) (, ) f(x, y) = x 2 +y 2 (x, y) = (, ) () Determine continuidde de f em (, ). sen x Como o x x = e (x,y) (,) x 2 + y 2 =. Então sen r f(x, y) = r = = f(, ) (x,y) (,) r r onde r(x, y) = x 2 + y 2. Portnto f è continu em (, ). (b) Determine s derivds prciis de f em (, ). Usndo definição f f(h, ) f(, ) (, ) = x h h = h = h sen sen (h 2 ) h h ( ) h 2 h h ) sen (h 2 ) h h f f(, h) f(, ) (, ) = y h h = h = h sen sen (h 2 ) h h sen (h 2 ) h h ( ) h 2 Como h + = e h =. Então s derivds prciis não existem.. (d) Determine se existem s derivds direcionis em (, ). h h

59 59 Sej um vetor diretor unitário v = (, b) (, ) f f(t, tb) f(, ) (, ) = v t t = t = t sen sen (t 2 ( 2 +b 2 )) t 2 +b 2 t ( ) t 2 Pelo o mesmo rgumento em (b) temos que f não tem derivds direcionis. t t Exercicio 23. Considere o cmpo esclr x 2 +y 3 (x, y) (, ) f(x, y) = x4 +y 6 (x, y) = (, ) () Determine continuidde de f em (, ). Se considermos s curvs x =, y = e qulquer ret que pss pelo origem o ite d. Ms considere y = x 2 /3 obtemos f(x, x 2 /3 ) = 2x2 2x 4 = 2. Portnto o ite qundo x de f(x, x 2 /3 ) é 2. Logo f é descontinu em (, ). (b) Determine s derivds prciis de f em (, ). Usndo definição f f(h, ) f(, ) (, ) = x h h = h =. h 2 h 4 h f f(, h) f(, ) (, ) = y h h = h = h h 3 h 6 h h 3 h 3 h = h h 3 h 3 h h 3 Como h + h3 h 3 h h 3 = e h h3 h 3 h h 3 = +. Portnto, o ite nterior não existe. (d) Determine se existem s derivds direcionis em (, ).

60 6 Sej um vetor diretor unitário v = (, b) (, ) f f(t, tb) f(, ) (, ) = v t t t 2 ( 2 +tb 3 ) t = 4 ( 4 +t 2 b 6 ) t t 2 + tb t = 2 b 6 t t 4 + t 2 b 6 ( 2 + tb 3) 2 ( 4 + t 2 b 6) = t t 4 + t 2 b ( tb t 2 b 6) = t 2 2 b t 2 b 6 ( 2 + tb t 2 b 6) = b3 2 Exercicio 24. Considere o função esclr xy (x, y) (, ) f(x, y) = x 2 +y 2 (x, y) = (, ) () Determine se f em (, ) é continu. Se considermos s curvs x =, y = o ite d. Ms considere y = x obtemos f(x, x) = 2x2 2x 2 = 2 x2 x = 2 x. Portnto o ite qundo x de f(x, x) é. Logo podemos pensr que f é continu em (, ). ( Temos que provr-ló!!!) Como temos x 2 x 2 + y 2. Então x xy. Por tnto, y. x 2 +y2 x 2 +y 2 Por outro ldo, como (x,y) (,) y =. Então xy =. (x,y) (,) x2 + y 2 Usndo o fto que função vlor bsoluto é continu, mostrmos (x,y) (,) (b) Determine s derivds prciis de f em (, ). Usndo definição xy x2 + y 2 =. f f(h, ) f(, ) (, ) = x h h = h h =.

61 6 f f(, h) f(, ) (, ) = y h h = h h Portnto s derivds prciis existem e são nuls. (d) Determine se existem s derivds direcionis em (, ). Sej um vetor diretor unitário v = (, b) (, ) = f f(t, tb) f(, ) (, ) = v t t = t bt = t t t 2 b t2 ( 2 +b 2 ) t Não existe este ite, devido t t + t = e t t t =. Portnto, não existem s derivds direcionis excepto ns direções (, ) e (, ). 25. Segund-feir, 5 de outubro de 25 Além dos conceitos de derivd direcionl (e prcil), pr s funções de váris vriáveis existe um outro conceito de derivção que estende o conceito de derivd de cálculo. Pr introduzí-lo considermos um função de um vriável. Sejm I um intervlo e f : I R um função derivável em um ponto x I fixdo. considermos s dus funções T (x) = f(x) f(x) f (x)(x x), e S(x) = f(x) f(x) m(x x), onde m R é fixdo. De fto, S(x) pode ser vist não simplesmente como um função, ms como um fmíli de funções, vrindo m em R. O gráfico de T é ret tngente o gráfico de f em (x, f(x)), enqunto os gráficos ds S representm, pr cd m, s rets secntes o gráfico de f em (x, f(x)) (tods s secntes exceto secnte verticl que não é gráfico de um função de x e é escrit como x = x). Se m = f (x) temos um secnte muito prticulr, ou sej, tngente. Lembrmos que ret que é gráfico de T (x) é definid como ret tngente o gráfico de f no ponto (x, f(x)). Ou sej, n nálise mtemátic não existe um noção nterior de ret tngente (por exemplo um noção geométric). T (x) e S(x) proximm f em x, onde "proximr em x" signific que f(x) T (x) = e f(x) S(x) =. x x x x Exercício 25. Verifique os ites cim, sbendo que f é contínu em x, sendo derivável. A proximção dd por T é "melhor" do que tods s proximções dds pels S(x), porque f(x) T (x) f(x) S(x) = enqunto = f (x) m, se m f (x). x x x x x x x x Exercício 26. Verifique os ites cim.

62 62 Dizemos que f(x) T (x) (o resto, ou erro, d proximção por T ) tende zero "mis rpidmente" do que x x, enqunto f(x) S(x) (o resto, ou erro, d proximção por S) tende pr zero "com mesm velocidde" do que x x. Lembrmos gor lgums noções de álgebr liner: um função L : R n R m é chmd liner (ou operdor liner) se L(x + y) = L(x) + L(y), pr todo x, y R n e se L(x) = L(x), pr todo x R n e todo R. Às funções lineres são sempre ssocids mtrizes. Se é dd L : R n R m, L é ssocid um mtriz m n (m linhs e n coluns) e temos Lx =... n..... m... mn No cso prticulr de operdores lineres com contrdomínio de dimensão, ou sej do tipo L : R n R, o operdor é ssocido um mtriz linh e há Lx = ( )... n Outro cso prticulr há se L : R R e Lx = x. O gráfico de L é ret pel origem de R 2 com coeficiente ngulr. Imginmos gor derivd como operdor liner L : R R. Ou sej x f (x) x. Exercício 27. Prove que função x f (x) x é um função liner de R em R. Atenção um possível confusão: se considermos por exemplo função f(x) = e x2, derivd del não é um função liner, sendo f (x) = 2xe x2. Fixmos gor x = 3 (por exemplo). Neste cso f (3) = 6e 9 e devemos pensr este número como o vlor cim que define um operdor liner. Isto é, Lx = 6e 9 x. O gráfico de L é ret pel origem que é prlel à ret tngente o gráfico de f em (3, e 9 ). Voltndo o ite cim f(x) T (x) =, x x x x podemos escrevé-lo com troc de vriável x x = h: f(x + h) f(x) f (x)h f(x + h) f(x) Lh = =, h h h h e dr um definição de derivbilidde pr s funções de um vriável equivlente àquel conhecid: f é dit derivável em x se existe um operdor liner L : R R tl que o ite cim sej verificdo. Pr s funções de váris vriáveis, o novo conceito de derivção que introduzimos gor é trdução em dimensão n do ite cim. Definição 63 (função diferenciável). Sejm D um subconjunto de R n, f : D R um função dd e x um ponto fixdo. Dizemos que f é diferenciável em x se existe um operdor liner L : R n R tl que O operdor L é chmdo diferencil de f em x. x. x n x. x n f(x + h) f(x) Lh =. h h A primeir novidde que o conceito de função diferenciável introduz, respeito d noção de derivd direcionl, é sobre seu relcionmento com continuidde...

63 63 Proposição 64. Sejm D um subconjunto de R n, f : D R um função dd e x um ponto fixdo. Suponhmos que f sej diferenciável em x. Então, f é contínu nquele ponto. Demonstrção. Pel definição cim existe um operdor liner L : R n R (que depende de x) tl que f(x + h) f(x) Lh =. (8) h h É intuitivo observr que h f(x + h) f(x) Lh =, ms vmos prová-lo em detlhes, usndo definição de ite. Sej ε > fixdo. Pelo ite d fórmul (8), sbemos que existe δ > tl que f(x + h) f(x) Lh h pr todo h tl que h < δ. Reduzindo δ se for necessário, vmos supor que δ sej menor de. Portnto, se h < δ, temos f(x + h) f(x) Lh < ε. Portnto, definição de ite é plicd pr provr que h f(x + h) f(x) Lh =. É imedito ver que h Lh =, sendo Lh um polinômio de gru ns vriáveis h,..., h n. Portnto, pel som dos ites (teorem 52) há h f(x + h) f(x) =, que de fto prov continuidde de f em x. Exercício 28. Verifique que s funções dos exercícios 88 e 92 não são diferenciáveis n origem de R 2. Exercício 29. Escrev de novo prov e o enuncido d proposição cim. Exercício 2. Escrev lguns exemplos de operdores lineres de R n em R m vrindo s dimensões dos dois espços. Os dois conceitos de derivd direcionl (ou prcil) e de diferencil são distintos, como temos visto. Porém, têm lgo em comum. Primeirmente, os dois são obtidos como ites de quocientes que são "do tipo rzão incrementl", cois bstnte nturl porque estmos tentndo estender o conceito de derivd de cálculo. O teorem seguinte present um outr conexão, muito mis forte. Teorem 65. Sejm D um subconjunto de R n, f : D R um função dd e x um ponto fixdo. Suponhmos que f sej diferenciável em x. Suponhmos que x sej um ponto interior de D, ou sej que exist um bol com centro x contid em D. Então, f possui derivds prciis f (x),..., f (x) em x x n x e mtriz linh ssocid o diferencil L de f em x é o grdiente f(x), ou sej ( ) f f L é ssocido à mtriz linh (x)... (x). x x n Demonstrção. Sej (... n ) mtriz linh ssocid o diferencil L em x. Vmos provr que f (x) existe é coincide com. A prov pr s derivds ns outrs direções principis é nálog x e é deixd como exercício o leitor. Sendo f diferenciável em x, chmndo L o diferencil de f em x e (... n ) mtriz linh ssocid, temos < ε f(x + h) f(x) Lh f(x + h) f(x) = h h h h n j= jh j O ite cim continu vlendo, em prticulr, se h tende zero o longo do primeiro eixo principl. Neste cso temos que h é d form (h,,,..., ) e o ite se torn f(x + h, x 2,..., x n ) f(x) h =. h h =.

64 64 Observmos gor que Isso implic imeditmente que Dí, h h = e =. h + h h h f(x + h, x 2,..., x n ) f(x) f(x + h, x 2,..., x n ) f(x) = e =. h + h h h f(x + h, x 2,..., x n ) f(x) =. h h O ite cim coincide de fto com definição d derivd prcil f x (x) =. f x (x). E obtemos que Anlogmente, como já dito, podemos proceder ns outrs direções e o teorem é provdo. Um observção sobre notção e lingugem: um vez que se tom confinç com o conceito de diferencil de um função em um ponto, tendênci é considerr diferencil e grdiente como se fossem mesm cois. N verdde, é sempre bom lembrr que o grdiente de um função em um ponto é um vetor, enqunto o diferencil de um função em um ponto é um outr função. Não devemos esquecer, inclusive, que o grdiente pode existir, ms função não ser diferenciável. Exercício 2. Vimos lguns exemplos de funções que não são contínus em um ponto x ddo, e portnto não são diferenciáveis nquele ponto. Este fto não deve levr pensr que tod função não diferenciável em um ponto dev ser descontínu no mesmo ponto. O leitor escrev lguns exemplos de funções que são contínus em um ponto ddo, ms não são diferenciáveis neste ponto. Pense, pr bordr o exercício, àquilo que contece em um vriável. 26. Qurt-feir, 7 de outubro de 25 O resultdo seguinte complement o teorem 65. Teorem 66. Sejm D um subconjunto de R n, f : D R um função dd e x um ponto fixdo. Suponhmos que f sej diferenciável em x. Suponhmos que x sej um ponto interior de D (vej o teorem 65 sobre o ponto interior). Então, f possui derivd direcionl f (x) em x o longo de qulquer v direção v = (v,..., v n ) e vle fórmul: n f (x) = f(x) v = v j= f x j (x) v j. Demonstrção. Considermos prmetrizção clássic (que não é únic, somente mis simples) d ret que pss por x e é prlel v, φ(t) = x + tv, t R. Dizer que x interno D implic dizer que existe positivo tl que φ(t) = x + tv D pr todo t (, ). Portnto, se t (, ), fic em definid composição g(t) = f(φ(t)). Queremos provr que o ite t f(x + tv) f(x) t

65 65 existe, é finito e vle f(x) v. Sbemos que f é diferenciável em x, então temos f(x + h) f(x) f(x) h =. h h Aplicndo proposição 58 sobre o ite de um composição, temos f(x + tv) f(x) f(x) tv =. t tv Agor vmos plicr um rgumento precido àquele usdo pr prov do teorem 65. Temos, lembrndo que v tem norm, f(x) tv f(x) tv f(x) tv f(x) tv = = f(x) v e = = f(x) v. t + tv t + t t tv t t Portnto e Em conclusão, f(x + tv) f(x) f(x + tv) f(x) = = f(x) v t + tv t + t f(x + tv) f(x) f(x + tv) f(x) = = f(x) v. t tv t t f(x + tv) f(x) = f(x) v. t t O ite cim é de fto derivd direcionl procurd e conclue prov do teorem. Observção 67. Se f não for diferenciável, o teorem não vle. Pegmos por exemplo função do exercício 92. Dd um direção v = (, b), com e b não nulos, plicndo definição de derivd direcionl, há f v (, ) = e/b, enqunto plicção mecânic d fórmul do teorem cim dri f (, ) = f(, ) v =, sendo o grdiente nulo (verifique!). Como explicmos est incongruênci? É v fórmul do teorem cim que está errd. Melhor: tl fórmul não pode ser qui plicd porque f não é diferenciável em (, ). Exercício 22. Prove que f(x, y) = x 2 + y 2 é diferenciável em cd ponto do domínio. Exercício 23. Escrev o grdiente em (, π) de f(x, y) = x sen y. Prove que f é diferenciável. x Exercício 24. Sej função f(x, y) = { y e x2 /y 2 se y se y =. Estude continuidde, derivds prciis e diferencibilidde de f respeito o prâmetro rel. Exercício 25. Verddeiro ou flso? ) Sej f : R 2 R tl que f x b) Sej f : R 2 R tl que f diferenciável? Exercício 26. Clcule s derivds prciis de f(x, y) = e x2y. f (x, y) e (x, y) são definids pr todos (x, y). f é diferenciável? y x f (x, y) e (x, y) são definids e contínus pr todos (x, y). y f é

66 66 Exercício 27. Clcule derivd direcionl n direção v = (/2, 3/2) de f(x, y) = x 2 y e x+y Exercício 28. Clcule s derivds prciis ds funções seguintes: x 3 y 2 x 2 y sen xy rctg (x/y) x y x 2 y 3 x2 + y 2 log(x 2 + y 2 ) tg (x + y 2 ) Exercício 29. Considere função ( ) xy 2 2 f(x, y) = x 2 + y 2 se (x, y) (, ) se (x, y) = (, ). Resolv os problems seguintes: () Prove que f é contínu n origem; (2) continuidde cim que informção dá sobre diferencibilidde de f em (, )? (3) Prove que f dmite derivd direcionl em (, ) o longo de qulquer direção v = (cos θ, sen θ). Compre este resultdo com o produto esclr f(, ) v (4) o item cim o que diz sobre diferencibilidde de f em (, )? 27. Sext-feir, 9 de outubro de 25 Quis são s funções diferenciáveis? Até gor os poucos exemplos encontrdos form de funções não diferenciáveis. O teorem seguinte dá um condição suficiente pr determinr se um função é diferenciável. A condição não é necessári, portnto pelo teorem seguinte não será possível determinr tods s funções diferenciáveis, ms somente um prte (por outro ldo significtiv e mpl). Teorem 68 (do diferencil). Sejm D um domínio de R n e f : D R um função dd. Suponhmos que s derivds prciis sejm definids em todos os pontos de D e sejm contínus em um ponto x. Sej, por simplicidde, x interno D. 5 Então, f é diferenciável em x. Demonstrção. Vmos presentr demonstrção no cso prticulr, e um pouco mis simples, de um função de dus vráveis. Sej (x, y) o ponto considerdo. Precismos provr que (h,k) (,) Pr (h, k) (, ), vmos expressr o quociente f(x + h, y + k) f(x, y) f f (x, y) h (x, y) k x y =. h2 + k 2 f(x + h, y + k) f(x, y) f f (x, y) h (x, y) k x y h2 + k 2 n som ds dus frções seguintes: f(x + h, y + k) f(x, y + k) f (x, y) h x h2 + k 2 e f(x, y + k) f(x, y) f (x, y) k y. h2 + k 2 Em relção à primeir ds dus frções cim, imginmos k fixdo e considermos função h f(x + h, y + k) f(x, y + k). Est função, definid em um oportuno intervlo (, ) pelo fto de (x, y) 5 Est hipótese poderi ser um pouco mis gerl. Deixmos s coiss ssim, por rzões de simplicidde.

67 67 ser interno, é derivável porque f possue derivds prciis em todo D. Vmos plicr o teorem do vlor médio de Lgrnge à função de h: obtemos que f(x + h, y + k) f(x, y + k) = h f (x + c, y + k), x onde c é um ponto oportuno tl que c h, que depende de h (e tmbém de k). Anlogmente, f(x, y + k) f(x, y) = k f (x, y + d), y onde d é um ponto oportuno tl que d k, que depende de k. Substituindo cim, temos e f(x + h, y + k) f(x, y + k) f (x, y) h x = h2 + k 2 f(x, y + k) f(x, y) f (x, y) k y = h2 + k 2 ( f x ( f y ) f (x + c, y + k) (x, y) x ) f (x, y + d) (x, y) x Usndo finlmente continuidde ds derivds prciis em (x, y) e o fto de que são funções itds, temos e (h,k) (,) ( f x ( f (h,k) (,) y ) f (x + c, y + k) (x, y) x ) f (x, y + d) (x, y) x h h2 + k 2 = k h2 + k 2. =. h h2 + k 2 k h2 + k 2. h h2 + k e k 2 h2 + k 2 Exercício 22. O leitor prove por exercício este fto em detlhes, observndo que c e d tendem zero se h e k tendem zero, respetivmente. Portnto (h,k) (,) f(x + h, y + k) f(x, y + k) f (x, y) h x h2 + k 2 = e (h,k) (,) Finlmente, o ite inicil é provdo e demonstrção é complet. f(x, y + k) f(x, y) f (x, y) k y =. h2 + k 2 O resultdo seguinte generliz em um certo sentido o teorem 66 substituindo curvs deriváveis às rets o longo de direções fixds. Teorem 69 (fórmul de derivção de funções composts, ou regr d cdei). Sejm D um subconjunto de R n, f : D R um função dd e x um ponto fixdo que pertence D. Sej φ : I R n um curv tl que φ(t) D pr todo t I e suponhmos exist t I tl que φ(t) = x. Suponhmos que f sej diferenciável em x e que φ sej derivável em t. Então, função compost g(t) = f(φ(t)) é derivável em t e vle fórmul: g (t) = f(x) φ (t) = n j= f x j (x) φ j(t).

68 68 Demonstrção. Queremos provr que o ite d rzão incrementl g(t) g(t) t t t t existe e vle f(x) φ (t). Dqui em dinte, vmos usr sej notção φ (t) sej x (são mesm cois). Sendo f diferenciável em x, temos f(x + h) f(x) f(x) h =. h h Aplicmos proposição 58. No lugr de h temos que φ(t) φ(t) qundo t t. Ou sej x + h tende x não uniformemente, ms o longo d trjetóri imgem de φ. O ite cim é portnto vlido somente o longo d trjetóri e se torn f(φ(t)) f(φ(t)) f(x) (φ(t) φ(t)) =. t t φ(t) φ(t) Vmos escrever os dois ites cim (o gerl e o prticulr, o longo d trjetóri de φ) com um outr notção, equivlente. Sej f(x + h) f(x) f(x) h p(h) = h A função não pode ser definid em h =, ms vle clrmente h p(h) =. Fzendo composição com φ, temos f(φ(t)) f(φ(t)) = f(x) (φ(t) φ(t)) + φ(t) φ(t) p(φ(t) φ(t)). Dividindo por t t (supondo não nulo), f(φ(t)) f(φ(t)) = t t Observmos gor o seguinte: f(x) (φ(t) φ(t)) t t + φ(t) φ(t) t t p(φ(t) φ(t)). f(x) (φ(t) φ(t)) φ(t) φ(t) = f(x) = f(x) φ (t), t t t t t t t t porque φ é derivável em t (no ite cim, f(x) é simplesmente um coeficiente de multiplicção constnte). Além disso, φ(t) φ(t) = φ φ(t) φ(t) (t) e = φ (t). t t + t t t t t t Aquilo que interess dos dois ites (diferentes) cim é que rzão incrementl é itt em um intervlo que inclue t; isso porque os dois ites cim são finitos. Portnto, Em conclusão, e o teorem é provdo. φ(t) φ(t) p(φ(t) φ(t)) =. t t t t f(φ(t)) f(φ(t)) = f(x) φ (t), t t t t Exercício 22. Considere função ( ) xy 2 2 f(x, y) = x 2 + y 2 se (x, y) (, ) se (x, y) = (, ).

69 69 Em lguns exercícios nteriores foi clculd derivd direcionl em (, ) o longo de qulquer direção v = (cos θ, sen θ). Foi usd definição de derivd. Compre o resultdo com o produto esclr f(, ) v e observe que não coincide con derivd direcionl. Porque não coincide? Ou sej: o que diz este fto respeito d diferencibilidde de f em (, )? Exercício 222. Pegue lgums ds funções encontrds em exercícios nteriores. Escolh pontos do domínio, direções e clcule derivd direcionl usndo fórmul do teorem cim. Confronte este resultdo com mesm derivd obtid plicndo diretmente definição. 28. Qurt-feir, 4 de outubro de 25 e 29. Sext-feir, 6 de outubro de 25 Definição 7. Sejm D um subconjunto de R 2, (x, y) um ponto interior de D e f : D R um função diferenciável em (x, y). O plno de equção z = f(x, y) + f f (x, y)(x x) + (x, y)(y y) se chm x y plno tngente o gráfico de f em (x, y, f(x, y)). Exercício 223. Considere f(x, y) = x 2 + y 2. Escrev equção do plno tngente o gráfico no ponto (, 2, f(, 2)). Exercício 224. Prove que f(x, y) = x 2 +y 2 é diferenciável em cd ponto do domínio. Escrev equção do plno tngente o gráfico no ponto (, 2, f(, 2)). Exercício 225. Escrev o grdiente em (, π) de f(x, y) = x sen y. Prove que f é diferenciável. Clcule x o plno tngente o gráfico no ponto (, π, f(, π)). Exercício 226. Sej f(x, y) = sen (x + y 2 ). Dig pr quis vlores do prâmetro rel o plno tngente o gráfico de f em (, π, ) é prlelo à ret interseção dos plnos de equções x = y e y = 2z. Existem vlores de tis que o plno tngente é ortogonl à ret cim? Exercício 227. Clcule s derivds prciis de f(x, y) = e x2y. Em seguid, escolh lguns pontos do gráfico e determine o plno tngente o gráfico de f nestes pontos. Observção 7. O significdo geométrico do plno tngente o gráfico de um função f em um ponto (x, y) é nálogo o d ret tngente o gráfico de um função g (de um vriável) em um ponto x, lembrndo ul 25 de 5 de outubro de 25. Exercícios em sl de ul com os lunos pr preprção d prov P2. 3. Segund-feir, 9 de outubro de 25 Prov P2. 3. Qurt-feir, 2 de outubro de 25 Definição 72. Sejm D um subconjunto de R n, f : D R um função dd e c R fixdo. subconjunto do domínio N c = {x D : f(x) = c} é chmdo conjunto de nível de f, reltivo o nível c. O

70 7 Observmos que os conjuntos de nível são subconjuntos do domínio (não do gráfico). Exercício 228. No cso d função f(x, y) = x 2 + y 2 verifique que N é um ponto, origem de R 2. Se c <, N c é o conjunto vzio. Se c >, N c é circunferênci de R 2 centrd n origem com rio c. Exercício 229. Se função f(x, y) = x 2 y 2, N é união de dus rets. Se c, N c é um hipérbole. Verifique e desenhe N c nos vários csos. Exercício 23. Sej f(x, y) = cos x + sen y. Desenhe N 2 e N 2. Exercício 23. Desenhe os conjuntos de nível de f(x, y) = x + y e de g(x, y) = x + y. Como mostrm os exercícios nteriores, nem sempre o conjunto de nível de un função de dus vriáveis é um trjetóri. Qundo est condição se verific, el se torn ortognl o grdiente d função, cso est sej diferenciável. Mis precismente temos o teorem seguinte. Teorem 73. Sej D um subconjunto berto de R 2 e f : D R um função dd. Sej c R ddo e suponhmos que N c (ou prte dele) sej um trjetóri que dmite um prmetrizção φ : I R 2. Sej (x, y) N c ddo, e suponhmos que f sej diferenciável em (x, y). Denotmos por t um ponto de I tl que φ(t) = (x, y). Então, f(x, y) φ (t) =. Demonstrção. Considermos composição g(t) = f(φ(t)), definid em I. Sendo φ prmetrizção d curv de nível N c, então g(t) = f(φ(t)) = c constnte. Portnto, g (t) = (f φ) (t) = pr todo t. Sbemos que, em prticulr, f é diferenciável em (x, y). Podemos portnto plicr o teorem 69, ou regr d cdei, obtendo que = (f φ) (t) = f(x, y) φ (t). Lembre que regr d cdei não pode ser plicd se f não for diferenciável no ponto considerdo. Observção 74. O teorem pode ser provdo tmbém n condição mis frc de que φ sej derivável e não necessárimente regulr. Neste cso, se φ (t) =, o nulmento do produto esclr fic utomticmente verificdo. Todvi, neste cso, podemos não ter existênci d ret tngete à trjetóri. Lembre os csos b) e c) do exercício 6. Pr ter um intepretção geométric de ortogonlidde entre vetores não nulo, prefiro portnto colocr hipótese de regulridde. Derivds de ordem superior. Anlogmente àquilo que contece no estudo ds funções de um vriável, podemos definir s derivds prciis ds derivds prcis de um função dd, ou sej s derivds prciis segunds (e té de ordem mior). Considermos um subconjunto D de R n e um função f : D R. Suponhmos, por simplicidde, f D berto. Fixd um direção principl, digmos j, suponhmos que f dmit derivd prcil (x) x j pr todo x D. Neste cso, sbemos que estmos definindo um nov função de D in R, precismente função f x j : x f x j (x). As derivds prciis como funções de x form já utilizds no teorem do diferencil.

71 7 Podemos nos perguntr se nov função dmit derivd prcil o longo de um outr direção principl i (que poderi coincidir com j, ou não) em lgum ponto de D. Fixmos x = ( x,..., x n ) D. Se o ite t f x j ( x,..., x i + t,..., x n ) f x j ( x,..., x i,..., x n ) t existe e é finito, tl ite é de fto derivd prcil de f o longo d direção principl x i, clculd x j in x e e definid como derivd prcil segund de f o longo ds direções i e j, clculd em x. O símbolo que express derivd prcil segund é 2 f x i x j ( x). A ordem ds direções colocds no denomindor não é csul. Signific que primeirmente fzemos derivd n direção j e, depois, dest fzemos derivd prcil n direção i no ponto x. Observe que, enqunto existênci d derivd prcil (primeir) n direção j deve existir em todos os x de um vizinhnç de x (isso é pr poder construir o ite cim), derivd segund é cim definid, em princípio, somente em x. Se invertemos ordem de derivção o resultdo mud ou é o mesmo? Em outrs plvrs, ddo x D, é verddeiro ou flso que 2 f ( x) = 2 f ( x)? x i x j x j x i A respost é: depende de f. Um condição suficiente pr verificr iguldde cim é dd no teorem seguinte. Omitimos demonstrção. Teorem 75 (di Schwrz). Dd um função f : D R, onde D é berto em R N, e dds dus direções 2 f 2 f principis i e j, suponhmos que s derivds prciis segunds (x) e (x) existm pr x i x j x j x i todo x D (ou pelo menos num vizinhnç de x). Suponhmos que contínus em x (como funções de x). Então, 2 f ( x) = 2 f ( x). x i x j x j x i 2 f x i x j (x) e 2 f x j x i (x) sejm Observção 76. A condição do teorem é suficiente. Se el não for verificd, nd podemos dizer, em gerl, sobre iguldde ds derivds segunds. Depende em cd cso de f. Isso se plic em cd teorem que mnifest um condição suficiente. No teorem 68, por exemplo, se s derivds prciis não são contínus, f em questão pode ser diferenciável ou não, depende d verific do ite d definição de diferencibilidde. Exercício 232. Clcule s derivds prciis primeirs e segunds no generico ponto (x, y) ds funções seguintes: ) x 2 x log x + xy, b) x 2 + y, c) sen (x y) + cos(x + y), d) xe2y. Exercício 233. Clcule s derivds prciis primeirs e segunds no generico ponto (x, y) d função seguinte: f(x, y) = { y 2 rctg (x/y) se y se y =.

72 72 Prove que s derivds primeirs n origem existem (clcule os vlores) e que s segunds mists n origem são diverss. Exercício 234. Clcule s derivds prciis primeirs e segunds de xy x2 y 2 f(x, y) = x 2 + y 2 se (x, y) (, ) se (x, y) = (, ). Dig se s derivds segunds mists n origem são iguis. Exercício 235. Clcule s derivds prciis primeirs e segunds de xy 3 f(x, y) = x 2 + y 2 se (x, y) (, ) se (x, y) = (, ). Dig se s derivds segunds mists n origem são iguis. Exercício 236. Procure tods s funções f : R 2 R, C 2, que verifiquem, pr cd (x, y), condição 2 f (x, y) = pr cd (x, y). Entre esss determine quels que verifiquem f(, y) = sen y e f(x, ) = x y cos x. Exercício 237. Clcule o grdiente e s derivds prciis segunds no genérico ponto x = (x, x 2, x 3 ) R 3 ds funções seguintes: ) f(x) = x, x, x R 3 fixdo. b) f(x) = x 2. Exercício 238. Sej f : R 2 R 2 definid por f(x, y) = (xy e x, x sen (xy)). Sej g : R 2 R, g(x, y) = xy. Clcule função compost F = g f. Clcule s derivds prciis de F usndo sej su form explicit sej regr d cdei e compre os resultdos obtidos. Exercício 239. Fç o que foi feito no exercício cim, pr os pres de funções seguintes: ) f(x, y) = (x, xy), g(x, y) = (xe y, ye x ), 2) f(x, y) = (x y, x + y), g(x, y) = xy cos y 3) f(t) = (t + 2, t 2 + t, t 3 t 2 ), g(x, y, z) = xy 2z 4) f(x, y) = (x 2 + 2y), g(t) = (te t, sen 2t) 32. Sext-feir, 23 de outubro de 25 e 33. Segund-feir, 26 de outubro de 25 Começmos gor o estudo dos problems de máximo e mínimo de um função rel de váris vriáveis reis. Precismos primeirmente de lgums definições. Definição 77. Sejm D um subconjunto de R n e f : D R um função dd. O máximo bsoluto de f é o máximo (se existe) d imgem de f. O mínimo bsoluto de f é o mínimo (se existe) d imgem de f.

73 73 Um ponto x D é dito ponto de máximo bsoluto se f(x ) é o máximo bsoluto de f. Um ponto x D é dito ponto de mínimo bsoluto se f(x ) é o mínimo bsoluto de f. Cbe observr que, cso exist, o máximo de um função é único, ms pode ser tingido em vários (té infinitos) pontos (de máximo bsoluto). Considerndo por exemplo f(x, y) = cos x + sen y, é fácil verificr que mx f = 2 e que infinitos são os pontos de máximo. Exercício 24. O leitor complete observção cim, determinndo todos os pontos de máximo (bsoluto). Definição 78. Sejm como cim D um subconjunto de R n e f : D R um função dd. Um ponto x D é dito ponto de máximo reltivo se existe um bol B(x, δ), de centro x e rio δ tl que f(x) f(x), pr cd x D B(x, δ). Um ponto x D é dito ponto de mínimo reltivo se existe um bol B(x, δ), tl que f(x) f(x ), pr cd x D B(x, δ). Exemplo 79. Os conceitos de máximo e mínimo de um função (se usmos est expressão, significm utomticmente bsolutos) e os de pontos de máximo e mínimo reltivo são bsicmente os mesmos dos nálogos conceitos encontrdos em cálculo. Considermos por exemplo função rel de um vriável rel f(x) = 2x 3 +3x 2 2x+3. O estudo ds proprieddes dest função (e o conseguinte esboço do gráfico) pode ser feito usndo tods s ferrments estudds no curso de cálculo. Cbe notr um primeir simples informção: f() = 3. A função é iitd, sendo x + f(x) = + e x f(x) =. Em outrs plvrs, f não possui máximo nem mínimo. Pr verificr se possui pontos de máximo ou mínimo reltivo, considermos derivd f (x) = 6(x 2 + x 2), que se nul em x = 2 e x 2 =. A nálise do sinl d derivd nos intervlos (, 2), ( 2, ) e (, + ) diz que f é estritmente crescente no primeiro e no último intervlo e decrescente no centrl. Portnto x é ponto de máximo reltivo e x 2 é ponto de mínimo reltivo. Pr verificr que f( 2) é positiv, bst fzer cont. Ou observr o seguinte: f é decrescente em ( 2, ] (sendo ssim em ( 2, )), f vle 3 em x = e portnto f( 2) é necessrimente mior de 3. Um observção nálog não se plic pr detectr o sinl de f(). Precis fzer cont diret. Se pegmos e b, por exemplo < 2 e b >, restrição de f o intervlo [, b] possui máximo e mínimo bsoluto, porque f é contínu e o novo domínio é itdo e fechdo (teorem de Weierstrss). Os vlores que relizm o máximo e o mínimo de f devem ser procurdos entre f(), f(b), f( 2) e f(). Observe que f () e f (b) não se nulm. São pontos extremos do intervlo considerdo e neles o teorem de Fermt 6 não vle. A figur seguinte ilustr o exemplo. 6 que diz: se x é ponto interior do domínio d função nlisd e é de máximo ou mínimo reltivo, derivd (se existe) se nul

74 74 2 Os dois resultdos seguintes são os nálogos pr funções de váris vriáveis de resultdos clássicos de cálculo. São resultdos profundmente diferentes entre si (ssim como em cálculo ). O teorem de Weierstrss dá um condição suficiente pr existênci do máximo e do mínimo bsoluto de um função. É um teorem globl que "se ocup" d imgem de um função. A demonstrção é um pouco complicd e será (provvelmente) presentd (no cso de funções de um vriável) no curso de nálise rel. É um teorem de existênci que não jud minimmente n busc do máximo ou do mínimo d função investigd. O teorem de Fermt fornece um condição necessári pr existênci de pontos de máximo ou mínimo reltivos. É portnto um teorem locl que "se ocup" de elementos do domínio de f. Além disso tl resultdo tem um utilidde prátic: não extmente de encontrr pontos de máximo ou mínimo reltivos, ms sim de selecionr cndidtos. Teorem 8 (de Weierstrss). Sejm C um subconjunto itdo e fechdo de R n e f : D R um função contínu. Então, f possui máximo e mínimo bsolutos. Teorem 8 (de Fermt). Sejm D um subconjunto de R n e f : C R um função dd. Sej x um ponto interno D e, o mesmo tempo, ponto de máximo ou mínimo reltivo de f. Suponhmos que f possu derivd direcionl f (x) o longo de qulquer direção v. Então: v Em prticulr, o grdiente de f em x é nulo. f (x) =. v Demonstrção. Considermos um direção v, genéric, de R n. A φ : R R n, definid por φ(t) = x + tv prmetriz ret por x n direção v. Sendo, por hipótese, x um ponto interno de D, então existe δ > tl que φ(t) D pr todo t ( δ, δ). (Exercício 24. Prove em detlhes este fto.) Agor suponhmos sem perd de generlidde que x sej ponto de máximo reltivo de f. Fic fácil provr que t = se torn ponto de máximo reltivo de f φ, restrit o intervlo ( δ, δ). (Exercício 242. Prove em detlhes tmbém este fto.) Tendo f derivd direcionl f (x), então fic bem definid derivd f φ em t =. v (Exercício 243. Prove em detlhes tmbém este fto.)

75 75 Sendo t interno o intervlo ( δ, δ), podemos plicr o teorem de Fermt de cálculo e concluir que (f φ) () =. Pel definição de derivd direcionl, temos que (f φ) () = f (x) e portnto o teorem v é provdo. Exercício 244. Fç de novo demonstrção do teorem, cuidndo dos vários detlhes. Definição 82 (ponto crítico). Um ponto onde o grdiente de um função se nul é chmdo ponto crítico (ou ponto estcionário). Observção 83. Como em cálculo, o leitor deve prestr tenção pr lguns ftos importntes: () A condição express pelo teorem de Fermt é necessári: se um ponto interno não for crítico, não pode ser de máximo ou mínimo reltivo. Neste sentido o teorem de Fermt é um teorem que fornece cndidtos serem de máximo ou mínimo reltivo. Ou, em outrs plvrs, exclue todos os pontos internos que não são críticos. (2) A condição por outro ldo não é suficiente. Por exemplo, no cso de f(x, y) = x 2 y 2, origem de R 2 é ponto crítico de f, ms como é fácil ver não é nem de máximo nem de mínimo reltivo. (Exercício 245. Verifique os detlhes.) (3) Não pode esquecer que o teorem de Fermt se plic somente pontos internos o domínio d função investigd. Considere por exemplo f(x, y) = x + y definid em D = {(x, y) R 2 : x, y }. É imedito ver que (, ) é ponto de mínimo reltivo (e bsoluto), ms f(, ) = (, ). Ou sej, origem não éponto crítico. Não tem contrdição com o teorem de Fermt, porque este resultdo só vli pontos internos. (4) O leitor não deve cometer um erro frequente: quele de definir o ponto de máximo ou de mínimo reltivo como um ponto onde o grdiente se nul. A definição de ponto de máximo ou de mínimo reltivo se plic funções quisquer, enqunto o teorem de Fermt somente vli funções que têm derivds direcionis. (5) Em relção o teorem de Weierstrss, condição que o teorem descreve é suficiente. Se fltr um ds hipóteses do teorem (por exemplo função não é contínu, ou o domínio não é fechdo ou o domínio não é itdo), nd se pode dizer priori sobre existênci do máximo ou do mínimo bsolutos. Depende dos csos. O leitor pode por exercício determinr exemplos nos quis se mnifestm s váris situções. Exercício 246. Determine o máximo e mínimo bsoluto de f(x, y) = 2x y no conjunto {(x, y) R 2 : x, x + y 3, y x}. Porque com certez o máximo e o mínimo de f existem? Exercício 247. Determine o máximo e mínimo bsoluto de f(x, y) = x 2 + y 2 no retângulo [, 3] [2, 4]. Aborde o problem no retângulo [, 3] (2, 4). Exercício 248. Considere f(x, y) = x( x 2 4y 2 ) restrit o conjunto E = {(x, y) R 2 : x 2 +4y 2 }. ) Prove que f possui máximo e mínimo restrit E. b) Clcule o máximo e mínimo e os pontos de máximo e mínimo bsolutos. Exercício 249. Considere f(x, y) = x 2 y 2 restrit o conjunto E = {(x, y) R 2 : x 2 + 4y 2 }. ) Prove que f possui máximo e mínimo restrit E. b) Clcule o máximo e mínimo e os pontos de máximo e mínimo bsolutos. Exercício 25. Escrev um função que possu máximo bsoluto em um ponto onde o grdiente não se nul.

76 76 Exercício 25. Determine o máximo e mínimo bsoluto de f(x, y) = 2x y, onde f é definid em {(x, y) R 2 : x, x + y 3, y x}. Exercício 252. Determine o máximo e mínimo bsoluto de f(x, y) = 2x y, onde f é definid em {(x, y) R 2 : x, x + y 3, y x}. Exercício 253. Determine o máximo e mínimo bsoluto de f(x, y) = 2x y, onde f é definid n elipse de equção x 2 /4 + y 2 /9 = Qul é estrtégi pr bordr os exercícios nteriores? Se trt de exercícios, todos, onde s funções são contínus e definids em conjuntos itdos e fechdos. Se um ponto for de máximo ou de mínimo bsoluto, é tmbém de máximo ou de mínimo reltivo. Se os conjuntos em questão ds funções cim possuem pontos internos, os pontos críticos internos serão nturlmente cndidtos serem pontos de máximo ou de mínimo bsoluto. As fronteirs dos conjuntos devem ser trtds prte. Alí o teorem de Fermt não serve. Se for possível prmetrizr fronteir, nálise d função sobre fronteir prmetrizd é de fto um exercício de cálculo e fornecerá novos pontos cndidtos. O máximo bsoluto de f será o mior vlor de f em todos os pontos cndidtos. Anlogmente pr o mínimo. 34. Qurt-feir, 28 de outubro de 25 A ul é dedicd um rápid exposição (e sem demonstrção) d fórmul de Tylor pr funções de váris vriáveis, itdmente à proximção de segund ordem. Voltmos à ul 25 do 5 de outubro. Alí foi visto, pr introduzir o conceito de diferencil, o ite seguinte: se f : R R for derivável em um ponto ddo x, então há f(x) f(x) f (x)(x x) = x x x x enqunto, se m f (x) f(x) f(x) m(x x) = f (x) m. x x x x Ou sej " qulidde d proximção" dd pel tngente é "melhor" d qulidde d proximção dd por um secnte qulquer. Acontece lgo precido se procurmos um proximção de segund ordem? Ou sej: utilizndo polinômois de gru 2, p(x) = x 2 + bx + c, tem um polinômio que proxim f, num região perto de x, melhor de todos os outros polinômios? e o que signific neste cso "proxim melhor"? Vmos ver. 7 Suponhmos que f possu derivd segund, pelo menos num vizinhnç de x. Anlogmente à proximção de primeir ordem (quel feit com ret tngente), queremos um polinômio (se ele existe), que chmo T 2 (x) = + (x x) + 2 (x x) 2, tl que, nlogmente o cso liner, f(x) T 2 (x) x x (x x) 2 =. ( ) Observe que estmos pssndo potêncis de gru 2 e queremos um "velocidde" de convergênci zero mior do que (x x) 2. Observe que é imedito verificr que ret. 2 (x x) 2 x x (x x) 2 = 2. 7 Geometricmente, podemos dizer que estmos tentndo proximr o gráfico de f por um prábol, e não por um

77 77 Sendo f(x) (x x) (x x) 2 = f(x) T 2(x) (x x) 2 + 2(x x) 2 (x x) 2, pelos resultdos sobre os ites ds soms de funções (os clássicos resultdos de cálculo ), há que o ite ( ) cim é verificdo se e somente se f(x) (x x) x x (x x) 2 = 2. ( ) (Exercício 254. Verifique os detlhes.) Portnto, quilo que precismos é provr que existem, e 2 (finitos, e não ± ) que permitm verificr o ite ( ) cim. Este ite ( ) se present em um form indetermind? Depende de. Sbemos que f é contínu (porque é derivável). Portnto o ite se present em um form indetermind se e somente se = f(x). Observe que se fosse diferente de f(x) terimos f(x) (x x) x x (x x) 2 = ±, dependendo do sinl do numerdor perto de x. Ou, tl ite poderi ser con sinis opostos dependendo dos ites lteris direto e esquerdo. Seri, de qulquer jeito, um situção indesejd. Portnto pr que o ite ( ) sej finito é necessário que sej f(x). (Exercício 255. Verifique os detlhes e refç o rgumento cim.) Posto gor = f(x), o ite f(x) f(x) (x x) x x (x x) 2 se present em um form indetermind e podemos plicr o teorem de De l Hôpitl. Pssndo às derivds, temos que o ite f (x) x x 2(x x) existe finito se e somente se = f (x). Neste cso, se trt do ite d rzão incrementl em x d função f e portnto f (x) f (x) = x x 2(x x) 2 f (x). En conclusão, o rciocínio que cbmos de fzer prov quele que é o Teorem de Tylor pr funções de um vriável no cso ds proximções de segund ordem. Teorem 84. (de Tylor) Sejm f : R R (ou definid em um intervlo de R) um função dd e x R ddo. Sej f derivável (pelo menos) em um intervlo que contém x e derivável dus vezes (pelo menos) em x. Sej T 2 (x) o polinômio de gru 2, definido por T 2 (x) = f(x) + f (x)(x x) + 2 f (x)(x x) 2. Então: f(x) f(x) f (x)(x x) 2 f (x)(x x) 2 x x (x x) 2 =. Além disso, se P (x) = b + c(x x) + d(x x) 2 é um polinômio qulquer de gru 2, o ite f(x) P (x) x x (x x) 2 (9) não será zero. Neste sentido, o polinômio T 2 fornece melhor "proximção de segund ordem" (ou "proximção qudrátic") de f "perto de x". O polinômio T 2 é chmdo polinômio de Tylor de ordem 2, de f com centro em x.

78 78 Observe que no enuncido foi escrito que T 2 tem gru 2 e não necessrimente 2. Isso porque segund derivd em x poderi ser zero (e isso não é em contrdição com nd). Agor voltmos às funções de váris vriáveis e mostrmos que se obtem um teorem nálogo. Volto dizer que tod cont cim foi feit em dimensão porque é muito mis simples d nálog m dimensão mior. Por isso fórmul de Tylor foi explicd e provd em dimensão. Ms lógic que está por trás é mesm em qulquer dimensão. Sejm D subconjunto de R n, que por simplicidde supomos berto, f : D R um função dd e x D ddo. Suponhmos que f sej de clsse C 2 em D (ou, um pouco mis gerl, se D não for berto, suponhmos que x sej interno e que f sej de clsse C 2 num bol que contém x e que é contid em D). Considermos o diferencil de f em x (o diferencil existe porque f é C 2 e portnto utomticmente C ). Sbemos que o diferencil é um operdor liner de R n em R, ssocido o grdiente de f em x. Ou sej, função liner x f(x) x. As segunds derivds de f em x são orgnizds pr constituir um mtriz qudrd 2 f 2 f x 2 (x)... (x) x n x H f (x) = f 2 f (x)... x x n x 2 (x) n H f (x) é chmd mtriz hessin de f em x. É um mtriz qudrd n n e é simétric se f for C 2, ou sej, com derivds prciis segunds contínus em x. À mtriz hessin de f em x, H f (x), é ssocid função g : R n R, g(x) = H f (x) x x, que se chm form qudrátic. Como deve ser lid função cim? Pr explicr melhor, vmos fzer s conts com um notção um pouco mis simplificd ou sej tomndo um mtriz qulquer, qudrd, n n, simétric, M:... n M = n... nn Ddo v = (v,..., v n ) R n, notção Mv denot o produto d mtriz M pelo vetor colun v. E o resultdo será um vetor de R n.... n v Mv = n... nn v n A função form qudrátric g(v) = M v v será portnto o produto esclr de Mv com v. De fto, se trt de um polinômio de gru 2 ns vriáveis v,..., v n. Em detlhes: n n g(v) = ij v j v i = n ij v j v i. (Exercício 256. Verifique.) i= j= i,j=

79 79 Podemos gor enuncir o Teorem de Tylor. Teorem 85 (formul de Tylor de ordem 2 pr funções de váris vriáveis). Sej D subconjunto de R n, f : D R um função dd e x D ddo. Suponhmos que x sej interior e que f sej de clsse C 2 num bol que contém x e que é contid em D. Então, f(x) f(x) f(x) (x x) 2 H f (x)(x x) (x x) x x x x 2 =. Se P (x) = +v (x x)+m(x x) (x x) é um outro (qulquer) polinômio de gru 2 ns vriáveis x,..., x n, o ite f(x) P (x) x x x x 2 não será zero. O polinômio T 2 (x) = f(x) + f(x) (x x)+ 2 H f (x)(x x) (x x) é chmdo polinômio de Tylor de ordem 2, de f com centro em x. Exercício 257. Dd um form qudrátic g ssocid um mtriz A qulquer, simétric, prove que, pr qulquer t R e v R n, g(tv) = A(tv) tv = t 2 (Av v). Exercício 258. Escrev explicitmente s forms qudrátics ssocids às mtrizes seguintes: / ( 2 ) ( 4 3 Exercício 259. Considere s funções seguintes: ) ( /2 ) ( xyz 2, xe xy sen x cos(xy) x sen y y sen x log + x y Escrev o polinômio de Tylor de cd função cim, de ordem 2 e centro n origem. Exercício 26. Escrev s mtrizes hessins, clculds em um ponto genérico (x, y), ds funções seguintes: ) x 2 x log x + xy, b) x 2 + y, c) sen (x y) + cos(x + y), d) xe2y. Exercício 26. Escrev s mtrizes hessins, clculds em um ponto genrérico (x, y, z), ds funções seguintes: x 2 z + cos(y + z) + e xy, xy 2 + z 3 + cos x. Exercício 262. Escolh lguns pontos específicos dos domínios ds funções dos dois exercícios nteriores e clcule s mtrizes hessins nqueles pontos. ) 35. Qurt-feir, 4 de novembro de 25 Aul do Professor Oswldo Rio Brnco Oliveir. Excercícios sobre máximos mínimos bsolutos de funções definids em domínios itdos e fechdos. 36. Sext-feir, 6 de novembro de 25

80 8 Aul de Diego A. Sndovl O mteril seguinte foi preprdo, redigido por Diego e revisitdo por mim. Exercício 263. (Topologi- bertos/fechdos) A = {(x, y) : x + by + c = } é fechdo. Provemos que A c = {(x, y) : x + by + c < } {(x, y) : x + by + c > } é berto ( união de dois bertos é um berto). Mostremos {(x, y) : x + by + c > } é berto (de mneir nálog pr {(x, y) : x + by + c < }). Sej (x, y ) {(x, y) : x + by + c > }, procurmos um bol B d (x, y ) {(x, y) : x + by + c > } com d >. Encontrmos o rio: A distnci do punto à ret x+by +c =. A inclinção dest ret é m = b, logo rect perpendiculr tem coeficiente ngulr m = b e su equção é bx y = bx y. Então o ponto de interseção (x, y ) ds dus rets stisfz Logo x + by = c bx y = bx y. x = b2 x by c 2 + b 2 y = 2 y bx bc 2 + b 2. Portnto distnci entre (x, y ) e (x, y ) é d 2 = (x x ) 2 + (y y ) 2 ( ) 2 ( ) 2 = x b2 x by c 2 + b 2 + y 2 y bx bc 2 + b 2 = 2 (x + by + c) 2 + b 2 (x + by + c) 2 ( 2 + b 2 ) 2 = (x + by + c) b 2 >. Lembremos s equções ds rets prlels e perpendiculr x + by + c = que pssm por (x, y ): x + by x by = bx y bx + y =. Consideremos bol B d (x, y ). Mostremos B d (x, y ) {(x, y) : x + by + c > }. Isto é equivlente mostrr que pr todo (x 2, y 2 ) B d (x, y ) distnci à ret é positiv, ou sej x 2 + by 2 + c >. Como (x 2, y 2 ) B d (x, y ), então (x x 2 ) 2 + (y y 2 ) 2 < d,

81 8 isto é, (x x 2 ) 2 + (y y 2 ) 2 < (x + by + c) b 2 [x 2 + by 2 x by ] 2 + [bx 2 y 2 bx + y ] b 2 < (x + by + c) b 2 [x 2 + by 2 x by ] b 2 < (x + by + c) b 2 (x 2 + by 2 x by ) 2 < (x + by + c) 2. Portnto, x 2 + by 2 x by < x + by + c x by c < x 2 + by 2 x by < x + by + c < x 2 + by 2 + c < 2(x + by + c). Sejm A, B dois subconjuntos de R 2. Prove que se A, B são bertos então A B e A B tmbém serão bertos. Se temos um fmíli A n de subconjuntos de bertos de R 2, então n= A n e n= A n serão bertos? Sej x A B; então x A ou x B. Se x A, então existe r > tl que B( x, r ) A A B. Portnto A B é berto. De mneir similr, se x B, então existe r 2 > tl que B( x, r 2 ) B A B. Portnto, A B é berto. Sej x A B; então x A. Então existem r, r 2 > tis que B( x, r ) A e B( x, r 2 ) B. Sej gor B( x, r) A B. Portnto A B é berto. De mneir semelhnte pr união de um fmíli é berto. Más n interseção só é certo se fmíli é finit. Por exemplo, I n = ( n, n ) é berto, ms n=i n = {} é fechdo. B = [, ] [, ]. B é fechdo. O complementr de B, {(x, y) x > ou x < } {(x, y) y > ou y < }, é união de conjuntos bertos, portnto é berto. C = (, b) (c, d). C = {(x, y) x < b e x > } {(x, y) y < d e y > c} é berto, sendo interseção finit de bertos. D = { (, n ) : n nturl}. C não é fechdo, porque o ponto (, ) D c ms não possui um bol contid no complementr de D. O conjunto dos pontos de cumulção é D = {(, )}, D = (, ). E = {(x, y) : x e y inteiros}. E é fechdo, não é berto. E =, E = E. F = {(x, y) : x e y rcionis}. F não é fechdo, não é berto. F = R 2, F = R 2. G = {(x, y) : x + y < }. De fto, G = {(x, y) x + y < } {(x, y) x + y < } {(x, y) x y < } {(x, y) x + y > } é berto por ser interseção finit de conjuntos bertos, não é fechdo. G = G G onde G = {(x, y) : x + y = }. E = { (x, y) : y = sen ( x)}. E não é berto, nem fechdo. E = E ( [, ]). (Use o teorem 2 do vlor intermédio) e considere os intervlos I n = [ (2n+3)π, 2 (2n+)π ] com n N. Exercício 264. (Plnos Tngentes).

82 82 Encontre o plno de melhor proximção de ordem d função { xy x f(x, y) = 2 +xy+y (x, y) (, ) 2 (x, y) = (, ) n origem. Ele existe? Observe-se que plicção não é continu em (, ), logo não é diferenciável. Assim não existe plno tngente. Ms podemos flr do seu possível plno tngente, sus derivds prciis são nuls, portnto, o plno no origem é z =. Observe-se que ret tngente à curv γ(t) = (t, t, f(t, t)) no ponto γ() = (,, ) : (x, y, z) = (,, ) + λ(,, ). De fto, o cim não é o plno tngente no ponto considerdo, que de fto não existe. Pr função cim clculr o plno tngente nos pontos (,, f(, )), (,, f(, )), (,, f(, )). Às derivds prciis nos pontos (, ) e (, ) são nuls então o plno tngente é z =. Agor clculemos s derivds prciis em (, ) Então f x f x (x, y) y + xy 2 + y 3 2x 2 y xy 2 =x2 (x 2 + xy + y 2 ) 2 = x2 y + y 3 (x 2 + xy + y 2 ) 2. f y (x, y) + x 2 y + xy 2 x 2 y 2xy 2 =x3 (x 2 + xy + y 2 ) 2 x 3 xy 2 = (x 2 + xy + y 2 ) 2. f (, ) = = y (, ). Logo o plno tngente é z = /3. Escrev o grdiente em (, π) de f(x, y) = x sen ( y /x). Prove que f é diferenciável. Clcule o plno tngente o gráfico no ponto (, π, f(, π)). Grdiente: ( f(x, y) = sen ( y /x) y ) x cos (y /x), cos ( y /x). f(, π) = (π, ). f en diferenciável em (, π) : devido que s derivds prciis são funções continus em (, π). O plno tngente: z = + π(x ) (y π) =πx y. Clcule o plno tngente o gráfico de f(x, y) = xe x2 y 2 no ponto (2, 2, f(2, 2)). f(x, y) = e x2 y 2 ( + 2x 2, 2xy), no ponto f(2, 2) = (9, 8). Portnto o plno tngente é z = 2 + 9(x 2) 8(y 2) = 9x 8y. Determine o plno que pss pelos pontos (,, 2) e (,, ) que sej tngente o gráfico de f(x, y) = xy. O grdiente f(x, y) = (y, x). Então o plno tngente no ponto (x, y ) é ddo pel equção z = x y + y (x x ) + x (y y ) = y x + x y x y.

83 83 Como pss pelos pontos, obtemos o seguinte sistem 2 =y + x x y = y + x x y. Subtrindo, obtemos = 2y, o sej, y = 2. Logo 3 2 = 2 x. Portnto (x, y ) = (3, 2 ). O plno procurdo é z = 2 x + 3y 3 2, ou sej, x + 6y 2z = 3. Exercício 265. ) Determine o plno tngente à superfície z = 3x 2 + 2xy + y 2 no ponto (,, 6). Sej f(x, y) = 3x 2 + 2xy + y 2 = z. Então o plno tngente é dd pel expressão z f(, ) = f x (, )(x ) + f y (, )(y ) = (6 + 2)(x ) + (2 + 2)(y ) = 8x 8 + 4y 4 = 8x + 4y 2. Logo z = 8x + 4y 6 é o plno tngente. b) Considere à equção 4x 2 y 2 z 2 + 8x + 6y 4z + 7 =.Encontre equção do plno tngente e d ret norml no ponto (,, 2). Sej F (x, y, z) = 4x 2 y 2 z 2 +8x+6y 4z+7. Então F (x, y, z) = (8x+8, 2y+6, 2z 4). Portnto, o vetor norml é n = F (,, 2) = (6, 8, 8) = 8(2,, ). O plno tngente est dd pel equção A ret norml est dd pel equção Exercício 266. (Curvs de nível) f(x, y) = sen x + cos y. 2(x ) + (y + ) (z 2) = 2x + y z + =. l(t) =(,, 2) + t(2,. ) =( + 2t, + t, 2 t) Pr c > 2: não temos curv. Pr N 2 : N 2 = {(x, y) sen y + cos x = 2}. Logo temos sen y = e cos x =, isto implic que x = 2πk e y = π 2 (4k + ). Portnto N 2 = {(2πk, π ) } 2 (4l + ) k, l Z.

84 84 Pr N 2 : N 2 = {(x, y) Sen y + cos x = 2}. Logo temos sen y = e cos x =, isto implic que x = (2k + )π e y = 3π 2 + 2πk. Portnto, N 2 = {((2k + )π, 3π2 ) } + 2πl k, l Z. f(x, y) = cos(x + y). ( f(x, y) = rctn ) x 4 +y 2 f(x, y) = y 2 x 2. N const de dus rets y = ±x. Pr qulquer outro nivel temos hiperbols. f(x, y) = x 2 y. Cnlet, curvs de nível, prábols.

85 85 Exercício 5. (Máximos e mínimos) Considere à função f(x, y, z) = z 2 4z restrit E = (x, y, z) x 2 + y 2 2, z. Os pontos críticos: f(x, y, z) = (,, 2(z 2)) = (,, ). Os pontos críticos (x, y, 2) est for d regão E deve ser excluído. Estudmos os pontos críticos n bord: E = { (x, y, z) x 2 + y 2 = r 2, z }. Prmetrizmos E = ( cos θ, sen θ, z) com θ [, 2π] e z. g(θ, z) := f(r cos θ, r sen θ, z) = z 2 4z. De igul mneir tem ponto critico for d regão. E 2 = { (x, y, z) x 2 + y 2 2, z = }, logo f E2 =. Então f E2 = (,, ) De mneir semelhnte pr E 3 = { (x, y, z) x 2 + y 2 2, z = } temos f E3 f E3 = (,, ) Temos máximos em E 2 e mínimos em E 3. = 3 e logo Exercício 6. Determine os máximos e mínimos bsolutos de f(x, y) = x( x 2 4y 2 ) restrit o conjunto E = { (x, y) x 2 + 4y 2 } Pontos críticos: f(x, y) = ( 3x 2 4y 2, 8xy) = (, ) 3x 2 4y 2 = 8xy =. Se x = então y = ± 2. Os pontos (, ± 2 ) E. Se y = então x = ± 3. Os pontos (± 3, ) E. Pontos críticos n bord: Prmetrizmos elipse γ(t) = (cos t, 2 sen t). Então g(t) := f(γ(t)) = cos t() =. Portnto, temos que os pontos d bord são pontos críticos Comprção: f E = f( 3, ) = 3 ( 3 ) = f( 3, ) = 3 ( 3 ) =